Exponential- & Logarithmusfunktionen

Exponential- & Logarithmusfunktionen Referenten: Paul Schmelz & Wadim Krapp Fachlehrer: Herr Wettlaufer Fach: Mathematik Thema: Exponential- & Logarithmusfunktionen Inhaltsverzeichnis file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (1 von 20)02.03.2006 16:07:41

Inhalt: Seite: Inhalt: Seite: Exponentialfunktionen Einführung Exponentialfunktionen werden zum Beispiel in der Wirtschaft (Zinsrechnung), in Biologie, Physik und Chemie, im Bereich Wachstums- und Zerfallprozesse benutzt. Exponentialfunktionen sind Funktionen, in denen man jedem x- Wert den Wert b x zuordnet. Besonderheit: b > 0 wenn 0 < b < 1 Zerfall wenn b > 1 Wachstum Graph: Zerfall Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik! Original document contains a graphic at this position! Graph: Wachstum file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (2 von 20)02.03.2006 16:07:41

Originaldokument enthält an dieser Stelle eine Grafik! Original document contains a graphic at this position! Beispiele: f(x)=10 x f(5)=10 5 =100.000 f(x)=e x e=2.718 f(5)=e 5 =148,41 f(x)=2 x f(5)=2 5 =32 f(x)=0,5 x f(5)=0,5 5 =0,03125 Allgemeine Funktionsgleichung: f(x)=b x Die Funktion und ihre Veränderungen f(x)=(-) s. b [ (-) t x-b ] - w Spiegelung Streckung Spiegelung Streckung Verschiebung x-achse Verschiebung y- x-achs Stauchung y-achse Stauchung um b nach rechts Achse nach oben y-richtung x-richtung Eine Kurvendiskussion am Beispiel von f(x)= e x-2 würde nicht viel Sinn machen, da wir wissen wie die Funktion verläuft. Die Funktion ist um den Wert ½ gestaucht und um den Faktor 2 nach rechts verschoben. Daher nehmen wir die zusammengesetzte Funktion: f(x)= e (x-2). ( x 2 x ) Exponential- u. ganzrationale Funktion Kurvendiskussion am Beispiel von f(x)= e (x-2). ( x2 x ) file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (3 von 20)02.03.2006 16:07:41

Definitions- & Wertebereich D = R W = kann noch nicht ermittelt werden (später mehr dazu) Symmetrieeigenschaften Es wird überprüft, ob f(x) punktsymmetrisch, achsensymmetrisch oder unsymmetrisch ist. f(x) = f(-x) achsensymmetrisch f(x) = - f(-x) punktsymmetrisch f(-x) = e (-x-2). [ (-x) 2 - (-x) ] = e x 2 ( x 2 +x) f (x) nicht achsensymmetrisch -f(-x) = -e (-x-2). [ (-x) 2 - (-x) ] = -e x 2 ( x 2 +x) f (x) nicht punktsymmetrisch Die Funktion ist unsymmetrisch! Verhalten am Rande des Definitionsbereichs + + lim f(x)= e (x-2). (x 2 -x) = + x + 0 + lim f(x)= e (x-2). (x 2 -x) = 0 x - Schnittpunkt mit der f(x)- Achse Bed: x = 0 f(0) = e -2. ( 0 2 0 ) file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (4 von 20)02.03.2006 16:07:41

f(0) = 0 S y (0 / 0) Schnittpunkte mit der x-achse Bed: f(x) = 0 0 = e x-2. (x 2 -x) 0 0 = (x 2 -x) 0 = x. (x - 1) 0 siehe S y daraus folgt: 0 = x -1 +1 x = 1 S x2 ( 1 / 0 ) Bildung der Ableitungen f(x)= e (x-2). ( x 2 x ) u = e (x-2) u = e (x-2). (1) Kettenregel v = ( x 2 x ) v = ( 2x 1 ) Produktregel f (x)= u. v + u. v f (x)= e (x-2). ( x 2 x ) + e (x-2). ( 2x 1 ) f (x)= e (x-2). [ x 2 + x 1 ] u = e (x-2) u = e (x-2). (1) Kettenregel v = ( x 2 + x 1 ) v = ( 2x + 1 ) Produktregel f (x)= e (x-2). [ x 2 +3x ] u = e (x-2) u = e (x-2). (1) Kettenregel v = ( x 2 +3x ) v = ( 2x +3 ) Produktregel f (x)= e (x-2). [ x 2 +5x +3] Bestimmung der Extremstellen file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (5 von 20)02.03.2006 16:07:41

0 = e x-2. ( x 2 + x 1 ) 0 0 = ( x 2 + x 1 ) 0 = x 2 + x 1 x 1/2 = - x 1/2 = - x 1/2 = - x 1 = 0,6180 x 2 = - 1,6180 Überprüfen mit der 2. Ableitung f (0,6180)= e 0,6180-2. (0,6180 2 + 3. 0,6180) f (0,6180)= 0,5614 0,5614 > 0 TP f (-1,6180)= e -1,6180-2. (-1,6180 2 + 3. -1,6180) f (-1,6180)= - 0,06-0,06 < 0 HP Einsetzen in die Ausgangsgleichung f(x) f (0,6180)= e 0,6180 2. (0,6180 2-0,6180) f (0,6180)= -0,0593 TP (0,6180/-0,0593) f (-1,6180)= e -1,6180-2. (-1,6180 2 + 1,6180) f (-1,6180)= 0,0268 HP (-1,6180/0,0268) file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (6 von 20)02.03.2006 16:07:41

Erläuterung zum Wertebereich W = {von - 0,059 bis + 8} Bestimmung des Wendepunktes 0 = e (x-2). [ x 2 +3x ] 0 0 = ( x 2 + 3x ) 0 = x 2 + 3x x 1/2 = - x 1 = - x 2 = - Überprüfen mit der 3. Ableitung f (0)= e (0-2). [ 0 2 +5. 0 +3] f (0)= 0,4060 0,4060 > 0 rechts/links Krümmung f (-3)= e (-3-2). [ -3 2 +5. -3 +3 ] f (-3)= - 0,0202-0,0202 < 0 links/rechts Krümmung Einsetzen in die Ausgangsgleichung f(x) f(0)= e (0-2). (0 2-0) f(0)= 0 WP 1 (0 / 0) file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (7 von 20)02.03.2006 16:07:41

f(-3)= e (-3-2). (-3 2 +3) f(-3)= 0,0809 WP 2 ( 0 / 0,0809 ) Graph Logarithmusfunktionen Einführung Logarithmusfunktionen sind Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen. Der Logarithmus dient dazu, den Exponenten auszurechnen. Logarithmusfunktionen werden zum Beispiel in der Informatik (Programme), der Chemie (Halbwertszeit) und Biologie (natürliches Wachstum) gebraucht. Hier ein Beispiel an unserem Zahlensystem: Potenz:(Exponentialfunktion) 10 0 =1 log 10 (1)=0 10 1 =10 log 10 (10) =1 10 2 =100 log 10 (100) =2 10 3 =1.000 log 10 (1000) =3 10 4 =10.000 log 10 (10.000) =4 Logarithmus:(Logarithmusfunktion) 10 5 =100.000 log 10 (100.000) =5 Daran sieht man noch mal gut, dass der Logarithmus immer den Exponenten(Hochzahl) als Ergebnis ausgibt. 10er Logarithmus Es gibt den 10er Logarithmus, f(x)= log 10. Er ist einer der wichtigsten und die Umkehrfunktion von file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (8 von 20)02.03.2006 16:07:41

der Exponentialfunktion zur Basis 10, f(x)=10 x. Beispiele zum 10er Logarithmus: Der Zehner Logarithmus kann anstatt log 10 auch als lg geschrieben werden (siehe Tabelle) Logarithmus zur Basis 10 Potenz (dient zur Kontrolle) lg(5)= 0,698970004 10 0,698970004 = 5 lg(9)= 0,954242509 10 0,954242509 = 9 lg(3)= 0,903089987 10 0,903089987 = 3 Natürlicher Logarithmus Genau wie bei dem 10er Logarithmussystem ist auch hier beim natürlichen Logarithmus die Basis festgelegt; die Basis ist e. Auch hier gibt es eine andere Schreibweise. Anstatt ständig log e zu schreiben, kürzt man ab und schreibt ln für Logarithmus naturalis. Auch bei diesem System gilt, dass das Ergebnis oder der Exponent in dem Fall nur für die Basis e ausgerechnet wird. Beispiele zum natürlichen Logarithmus: Logarithmus zur Basis e Potenz(dient zur Kontrolle) ln(5)= 1,609437912 e 1,609437912 = 5 ln(9)= 2,197224577 e 2,197224577 = 9 ln(3)= 1,098612289 e 1,098612289 = 3 Logarithmus mit verschiedenen Basen Beim Logarithmus mit verschiedenen Basen kann man fast jede Zahl als Basis für den Logarithmus nehmen, ausgeschlossen sind negative Zahlen, die Zahl 0 und die Zahl 1. Allgemeine Funktionsgleichung: f(x)=log b (x) Die Funktion und ihre Veränderungen file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (9 von 20)02.03.2006 16:07:41

f(x)=(-)a. log((-)x-b) - c Spiegelung x-achse Streckung Spiegelung y-achse Verschiebung x-achse Verschiebung y-achse Stauchung Besonderheiten: Bei allen Logarithmen gilt x > 0 - log b (x) Zerfall log b (x) Wachstum Eine Kurvendiskussion am Beispiel von f(x)= 3. lg(x-1) würde nicht viel Sinn machen, da wir wissen wie die Funktion verläuft. Die Funktion ist um den Wert 3 gestreckt und um den Faktor 1 nach rechts verschoben. Daher nehmen wir die zusammengesetzte Funktion: f(x)= x. ln(x) Linearfunktion + Logarithmusfunktion Kurvendiskussion von f(x)= x. ln(x) Definitions- & Wertebereich D = R+ W = R Da sich die Funktion nur der f(x)-achse nähert, erübrigt es sich, nach Schnittpunkten mit der f(x)- Achse zu suchen. Symmetrieeigenschaften Es wird überprüft, ob f(x) punktsymmetrisch, achsensymmetrisch oder unsymmetrisch ist. file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (10 von 20)02.03.2006 16:07:41

f(x) = f(-x) achsensymmetrisch f(x) = - f(-x) punktsymmetrisch f(-x) = (-x). ln(-x) f (x) nicht achsensymmetrisch -f(-x) = (-x). - ln(-x) f (x) nicht punktsymmetrisch Die Funktion ist unsymmetrisch! Verhalten am Rande des Definitionsbereichs + + lim f(x)= x. ln(x) = + x + + 0 lim f(x)= x. ln(x) = 0 x - Bestimmen der Schnittpunkte der f(x) Keine vorhanden, siehe Definitions- & Wertebereich Bestimmen der Schnittpunkte mit der x-achse Bed: f(x)=0 0 = x. ln(x) 0 file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (11 von 20)02.03.2006 16:07:41

0 = ln(x) Ergebnis durch Umkehrfunktion e 0 =1 x = 1 Sx(1 / 0) Ableitungen f(x) = x. ln(x) Produktregel f (x) = u. v + u. v u = x u =1 v = ln(x) v = f (x) = ln(x)+1 Summenregel f (x) = = 1. x 1 Quotientenregel f (x) = -1. x - ² = - Bestimmen der Extremstellen Bed: f (x) = 0 f (x) 0 0 = ln(x) +1 / -1 file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (12 von 20)02.03.2006 16:07:41

-1 = ln(x) / e -1 x = 0,3679 Überprüfen mit der 2 Ableitung f (0,3679) = 1 / f (0,3679) = 2,7183 < 0 TP Einsetzen in die Ausgangsgleichung f(0,3679) = 0,3679. ln(0,3679) f(0,3679) = -0,3679 TP(0,3679/-0,3679) [TP( / - )] Wendepunkt Da die Funktion nur eine Krümmung hat, dies ist beim Tiefpunkt kann sie keine Krümmung und somit auch keinen Wendepunkt haben. Graph Hausaufgaben Erstellen Sie eine vollständige Kurvendiskussion von folgenden Funktionen: 1) f(x) = x 4. e -x 2) g(x)= file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (13 von 20)02.03.2006 16:07:41

Lösung: Kurvendiskussion von f(x)= x 4. e -x Definitions- & Wertebereich D = R W = kann noch nicht ermittelt werden (später mehr dazu) Symmetrieeigenschaften Es wird überprüft ob, f(x) punktsymmetrisch, achsensymmetrisch oder unsymmetrisch ist. f(x) = f(-x) achsensymmetrisch f(x) = - f(-x) punktsymmetrisch f(-x) = -x 4. e x f (x) nicht achsensymmetrisch -f(-x) = -x 4. -e x f (x) nicht punktsymmetrisch Die Funktion ist unsymmetrisch! Verhalten am Rande des Definitionsbereichs + 0 lim f(x)= x 4. e -x = 0 x + + + lim f(x)= x 4. e -x = + x - file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (14 von 20)02.03.2006 16:07:41

Schnittpunkt mit der f(x)- Achse Bed: x = 0 f(0) = 0 4. e -0 f(0) = 0 S y (0 / 0) Schnittpunkte mit der x-achse Bed: f(x) = 0 0 = x 4. e -x 0 0 = x 4 0 siehe S y S x1 ( 0 / 0 ) Ableitungen f (x) = (4x 3 - x 4 ). e -x f (x)=(x 4-8x 3 +12x 2 ). e -x Bestimmung der Extremstellen 0 = (4x 3 - x 4 ). e -x 0 0 = (4x 3 -x 4 ) kein absolutes Glied, daher x = 0 Suchrechnung x = 4 0 = (4. 4 3-4 4 ). e x 0 = 0 Extremwert bei x = 4 Überprüfen mit der 2 Ableitung file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (15 von 20)02.03.2006 16:07:41

f (0) = (0 4-8. 0 3 +12. 0 2 ). e 0 f (0) = 0 Sattelpunkt/ absoluter Tiefpunkt(siehe Graph) f (4) = (4 4-8. 4 3 +12. 4 2 ). e 4 f (4) = -1,17 HP Einsetzen in die Ausgangsgleichung f(0) = 0 4. e -0 f(0) = 0 TP ( 0 / 0 ) f(4) = 4 4. e 4 f(4) = 4,69 HP ( 4 / 4,69 ) Wendepunkte Bed. : f (x)=0 f (x) 0 0 = (x 4-8x 3 +12x 2 ). e x 0 = (0 4-8. 0 3 +12. 0 2 ). e -0 0 = 0 Suchrechnung für weitere Wendepunkte x = 2 0 = (x 4-8x 3 +12x 2 ). e x 0 = (2 4-8. 2 3 +12. 2 2 ). e -2 0 = 0 WP( 2 / 0 ) x = 6 0 = (x 4-8x 3 +12x 2 ). e x 0 = (6 4-8. 6 3 +12. 6 2 ). e -6 0 = 0 WP( 6 / 0 ) Einsetzen in die Ausgangsgleichung f(0) = 0 4. e -0 file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (16 von 20)02.03.2006 16:07:41

f(0) =0 WP( 0 / 0 ) f(2) = 2 4. e -2 f(2) = 2,17 WP( 2 / 2,17 ) f(6) = 6 4. e -6 f(6) = 3,21 WP( 6 / 3,21 ) Erläuterung des Wertebereichs Da die e -x Funktion einen höheren Einfluss auf die Endfunktion hat ist der Wertebereich immer nur positiv. W = R+ Graph Kurvendiskussion von g(x)= Definitions- & Wertebereich D = R+ W = R Symmetrieeigenschaften Es wird überprüft, ob f(x) punktsymmetrisch, achsensymmetrisch oder unsymmetrisch ist. f(x) = f(-x) achsensymmetrisch f(x) = - f(-x) punktsymmetrisch file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (17 von 20)02.03.2006 16:07:41

g(-x) = ln(-x)/-x g(x) nicht achsensymmetrisch -g(-x) = -ln(-x)/-x g (x) nicht punktsymmetrisch Die Funktion ist unsymmetrisch! Verhalten am Rande des Definitionsbereichs + + lim g(x)= ln(x) / x = + x + 0 + lim g(x)= ln(x) / x = 0 x - Schnittpunkt mit der f(x)- Achse Kein Schnittpunkt mit der f(x)-achse, da die Funktion sie nicht schneidet, sondern sich ihr nur nähert. Schnittpunkte mit der x-achse Bed: g(x) = 0 0 = ln(x) /x 0 = ln(x) /e 0 x = 1 S x ( 1 / 0 ) Ableitungen g (x) = g (x)= file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (18 von 20)02.03.2006 16:07:41

g (x)= Bestimmung der Extremstellen 0 = /. x 2 0 = 1-ln(x) /+1 1 = ln(x) /e 1 x =2,7183 = e Überprüfen mit der 2. Ableitung g (e) = - < 0 HP Einsetzen in die Ausgangsgleichung g(e) = g(e) = 0,3679 HP( e / ) Wendepunkte Bed. : g (x)=0 g (x) 0 0 = /. x 3 0 = 2. ln(x) 3 / +3 file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (19 von 20)02.03.2006 16:07:41

3 =2. ln(x) / : 2 1,5 = ln(x) /e 1,5 x = 4,48 Einsetzen in die Ausgangsgleichung f(4,48) = ln(4,48)/4,48 f(4,48) = 0,33 WP( 4,48 / 0,33 ) Graph file:///d /Refs/_To%20Do/zips/ExponentialLogarithmusfunktionen.html (20 von 20)02.03.2006 16:07:41