Aufgaben zu Kapitel 38

Aufgaben zu Kapitel 38 Aufgaben zu Kapitel 38 Verständnisfragen Aufgabe 38. Welche der folgenden vier Aussagen sind richtig:. Kennt man die Verteilung von X und die Verteilung von Y, dann kann man daraus die Verteilung von X+Y berechnen.. Kennt man die gemeinsame Verteilung von X, Y ), kann man daraus die Verteilung von X berechnen. 3. Haben X und Y dieselbe Verteilung, dann ist X + Y verteilt wie X. 4. Haben zwei standardisierte Variable X und Y dieselbe Verteilung, dann ist X = a + by. 5. Haben zwei standardisierte Variable X und Y dieselbe Verteilung, dann ist X verteilt wie a + by. Aufgabe 38. Welche der folgenden 8 Aussagen sind richtig:. Jede diskrete Variable, die nur endlich viele Realisationen besitzt, besitzt auch Erwartungswert und Varianz.. Eine diskrete zufällige Variable, die mit positiver Wahrscheinlichkeit beliebig groß werden kann, P X > n) > 0 für alle n N, besitzt keinen Erwartungswert. 3. X und X haben die gleichen Varianz. 4. Haben X und X den gleichen Erwartungswert, dann ist EX) = 0. 5. Wenn X den Erwartungswert μ besitzt, dann kann man erwarten, dass die Realisationen von X meistens in der näheren Umgebung von μ liegen.. Bei jeder zufälligen Variablen sind stets 50% aller Realisationen größer als der Erwartungswert. 7. Sind X und Y zwei zufällige Variable, so ist E X + Y ) = E X) + E Y ). 8. Ist die zufällige Variable Y = g X) eine nichtlineare Funktion der zufälligen Variablen X, dann ist E Y ) = gex)). Aufgabe 38.3 Welche der folgenden Aussagen sind richtig?. Sind X und Y unabhängig, dann sind auch /X und /Y unabhängig.. Sind X und Y unkorreliert, dann sind auch /X und /Y unkorreliert. Aufgabe 38.4 Zeigen Sie: Aus E X ) =EX)) folgt: X ist mit Wahrscheinlichkeit konstant. ) Aufgabe 38.5 Zeigen Sie: a) Ist X eine positive Zufallsvariable, so ist E X EX). b) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass diese Aussage falsch ist, falls X positive und negative Werte annehmen kann. Aufgabe 38. Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage: Ist X n ) n N eine Folge von zufälligen Variablen X n mit lim P X n > 0) =, dann gilt auch lim E X n) > 0. n n Aufgabe 38.7 Beweisen Sie die Markov-Ungleichung aus der Übersicht S. 30. Aufgabe 38.8 Zeigen Sie: a) Aus X Y, folgt F X t) F Y t), aber aus F X t) F Y t) folgt nicht X Y. b) Aus F X x) F Y x), folgt EX) EY), falls EX) und EY) existieren. Aufgabe 38.9 Im Beispiel auf Seite 309 sind R und B die Augenzahlen zweier unabhängig voneinander geworfener idealer Würfel und X = max R,B) sowie Y = min R,B). Weiter war Var X) = Var Y ) =. 97. Berechnen Sie CovX, Y ) aus diesen Angaben ohne die Verteilung von X, Y ) explizit zu benutzen. Aufgabe 38.0 Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Antwort.. Um eine Prognose über die zukünftige Realisation einer zufälligen Variablen zu machen, genügt die Kenntnis des Erwartungswerts.. Um eine Prognose über die Abweichung der zukünftigen Realisation einer zufälligen Variablen von ihrem Erwartungswert zu machen, genügt die Kenntnis der Varianz. 3. Eine Prognose über die Summe zufälliger i.i.d.-variablen ist in der Regel genauer als über jede einzelne.

Aufgaben zu Kapitel 38 4. Das Prognoseintervall über die Summe von 00 identisch verteilten zufälligen Variablen mit Erwartungswert μ und Varianz σ ) ist 0-mal so lang wie das Prognoseintervall für eine einzelne Variable bei gleichem Niveau. 5. Wenn man hinreichend viele Beobachtungen machen kann, dann ist EX) ein gute Prognose für die nächste Beobachtung. Rechenaufgaben Aufgabe 38. Bestimmen Sie die Verteilung der Augensumme S = X + X von zwei unabhängigen idealen Würfeln X und X. Aufgabe 38. Beim Werfen von 3 Würfeln tritt die Augensumme häufiger auf als, obwohl doch durch die sechs Kombinationen, 4, ) ;, 3, ); 5, 5, ); 5, 4, ); 5, 3, 3); 4, 4, 3) und die Augensumme ebenfalls durch sechs Kombinationen, nämlich, 5, ),, 5, ),, 3, 3), 5, 5, ), 5, 4, 3), 4, 4, 4) erzeugt wird. a) Ist diese Beobachtung nur durch den Zufall zu erklären oder gibt es noch einen anderen Grund dafür? b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme von drei unabhängigen idealen Würfeln. Aufgabe 38.3 Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen.. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Medians X med der drei Augenzahlen.. Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion von X med. 3. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz des Medians. Aufgabe 38.4 Sei X die Augenzahl bei einem idealen n-seitigen Würfel: P X = i) = n für i =,,n.berechnen Sie EX) und Var X). Aufgabe 38.5 Für Indikatorfunktionen I A gilt: I A C = I A I A B I AUB = I A I B = I A C I B C Ist A ein zufälliges Ereignis, so ist EI A ) = P A). Beweisen Sie mit diesen Eigenschaften die Siebformel aus Abschnitt 37.: n ) P A i = i= n ) k+ k= i <i <i k n Aufgabe 38. Beweisen Sie die folgende Ungleichung: P X t) inf s>0 Dabei läuft das Infimum über alle s>0, für die E e sx) existiert. P A i A i A ik ) e st E e sx)). Aufgabe 38.7 Zeigen Sie: a) Ist für eine diskrete Zufallsvariable X die Varianz identisch null, so ist X mit Wahrscheinlichkeit konstant: PX = EX)) =. b) Zeigen Sie die gleiche Aussage für eine beliebige Zufallsvariable X. Aufgabe 38.8 Verifizieren Sie die folgende Aussage: ) E X AX = E X ) AE X) + Spur ACov X)) Aufgabe 38.9 Ein idealer n-seitiger Würfel wird geworfen. Fällt dabei die Zahl n, so wird der Wurf unabhängig vom ersten Wurf wiederholt. Das Ergebnis des zweiten Wurfs wird dann zum Ergebnis n des ersten Wurfs addiert. Fällt beim zweiten Wurf wiederum die Zahl n, wird wie beim ersten Wurf wiederholt und addiert, u.s.w. Sei X die bei diesem Spiel gezielte Endsumme. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und den Erwartungswert.

Aufgaben zu Kapitel 38 3 Aufgabe 38.0 Es seien X und X die Augensummen von zwei idealen Würfeln, die unabhängig voneinander geworfen werden. Weiter sei Y = X X. Zeigen Sie, dass Y und Y unkorreliert sind. Aufgabe 38. Das zweidimensionale Merkmal X, Y ) besitze die folgende Verteilung: Y 3 X 0. 0.3 0. 0. 0. 0.. Bestimmen Sie Erwartungswerte und Varianzen a) von X und Y,b)vonS = X + Y und c) von X Y.. Wie hoch ist die Korrelation von X und Y? Anwendungsprobleme Aufgabe 38. Sie schütten einen Sack mit n idealen Würfeln aus. Die Würfel rollen zufällig über den Tisch. Keiner liegt über dem anderen. Machen Sie eine verlässliche Prognose über die Augensumme aller Würfel. Aufgabe 38.3 Es seien X und Y jeweils der Gewinn aus zwei risikobehafteten Investitionen. Abbildung 38.8 zeigt die Verteilungsfunktionen F X rot) und F Y blau). a) Welche der beiden Investitionen ist aussichtsreicher? Fx) F X F Y x Abbildung 38.8 Die Verteilungsfunktionen F X rot) und F Y blau) des Gewinns aus zwei Investitionen X und Y. b) Kann man aus der Abbildung schließen, dass X Y oder Y X ist? Aufgabe 38.4 Die Weinmenge, die von einer automatischen Abfüllanlage in eine 0.75-l-Flasche abgefüllt wird, sei aus mancherlei Gründen als eine Zufallsvariable aufzufassen, deren Erwartungswert gleich 0.7 und deren Standardabweichung gleich 0.0 beträgt.. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens, dass in eine Flasche zwischen 0.7 l und 0.9 l abgefüllt werden?. Wie groß ist höchstens die Wahrscheinlichkeit, dass in eine Flasche weniger als 0.7 l abgefüllt werden, wenn die Verteilung der von der Abfüllanlage abgegebenen Menge symmetrisch ist?

4 Hinweise zu Kapitel 38 Hinweise zu Kapitel 38 Verständnisfragen Aufgabe 38. Aufgabe 38. Aufgabe 38.3 Aufgabe 38.4 Arbeiten Sie mit der Varianz. Aufgabe 38.5 Verwenden Sie die Jensen-Ungleichung. Aufgabe 38. Aufgabe 38.7 Betrachten Sie die Zufallsvariable Y = 0 falls X<kund Y = k falls X k. Berechnen Sie EY) und benutzen Sie die Montonie des Erwartungswertes. Aufgabe 38.8 zu a) Verwenden Sie: X Y genau dann, wenn X ω) Y ω) ω. Ignorieren Sie die Ausnahmemenge vom Maß null mit X ω) >Yω). Hinweis zu b): Verwenden Sie die Darstellung EX) aus der Vertiefung von Seite 98. Aufgabe 38.9 Verwenden Sie X + Y = R + B. Aufgabe 38.0 Rechenaufgaben Aufgabe 38. Aufgabe 38. Aufgabe 38.3 Aufgabe 38.4 Berechnen Sie Var X) =E X ) E X)). Aufgabe 38.5 Sei B = i A i dann ist B C = i AC i und P B) = E I B C ). Aufgabe 38. Wenden Sie die Markov-Ungleichung auf e sx an. Aufgabe 38.7 Aufgabe 38.8 Benutzen Sie, dass die Operationen Spur und Erwartungswert vertauschbar sind und E X AX ) = Spur X AX ) = Spur AXX ). Aufgabe 38.9 Aufgabe 38.0 Verwenden Sie die Symmetrie von Y. Aufgabe 38. Anwendungsprobleme Aufgabe 38. Aufgabe 38.3 Aufgabe 38.4

Lösungen zu Kapitel 38 5 Lösungen zu Kapitel 38 Verständnisfragen Aufgabe 38.. und 5. sind richtig,., 3. und 4. sind falsch. Aufgabe 38. Die Aussagen, 3, 4 und 7 sind richtig,, 5, und 8 sind falsch. Aufgabe 38.3. ist richtig und. ist falsch. Unabhängigkeit überträgt sich, Unkorreliertheit nicht. Aufgabe 38.4 Aus E X ) =EX)) folgt Var X) =E X ) EX) = 0. Wie in Aufgabe 38.7 gezeigt wird, folgt daraus, dass X eine entartete Zufallsvariable ist. Aufgabe 38.5 f x) = x ist für x>0konvex. Daher ist für eine Zufallsvariable, die nur positive Werte annimmt, E X ) >E X)). Die Jensen-Ungleichung braucht nicht zu gelten, falls X auch negative Werte annehmen kann. Als Gegenbeispiel nehme X die Werte und 0.5 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0.5 an. Dann ist E X) = 0.5 = 0.5 E X ) = = 0.5 <E X)). Aufgabe 38. Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: Die Zufallsvariable X n nehme den Wert mit Wahrscheinlichkeit ) n und den Wert n mit Wahrscheinlichkeit n an. Dann ist lim n > 0) =, aber E X n ) = n n n n = n + n < 0. Aufgabe 38.7 Es ist EY) = 0 P X <k) + kp X k) = kpx k). Nach Definition ist Y X. Daher ist EY) EX). Aufgabe 38.8 a) Aus X Y folgt {ω : Y ω) t} {ω : X ω) t}. Daher ist F Y t) = P Y t) = P ω : Y ω) t) P ω : X ω) t) = F X t). Wir zeigen mit einem Gegenbeispiel, dass aus F X t) F Y t) nicht X Y folgt. Dazu sei = {,, 3} mit P ) = P ) = P 3) = /3. Die Zufallsvariablen X und Y seien definiert durch i X i) Y i) 0 0 3 0 Dann ist weder X Y noch Y X. Die Verteilungen von X und Y sind : X PX = x) F X 0 /3 /3 /3 Y PY = y ) F Y 0 /3 /3 /3 /3 /3 Also ist F X t) F Y t) t. Aber Y X ist falsch. b) Aus F X t) F Y t) folgt mit der Darstellung von EX) aus der Vertiefung von Seite 98: EX) = 0 F X t)) dt F X t) dt 0 F Y t)) dt F X t) dt = EY). Aufgabe 38.9 Aufgabe 38.0 Falsch sind. und 5. Richtig sind. und 4. Die Antwort zu 3. hängt davon ab, ob die absolute oder die relative Genauigkeit gemeint ist. Im ersten Fall ist die Aussage falsch, im zweiten Fall richtig.

Lösungen zu Kapitel 38 Rechenaufgaben Aufgabe 38. s PS = s i ) s PS = s i ) /3 8 5/3 3 /3 9 4/3 4 3/3 0 3/3 5 4/3 /3 5/3 /3 7 /3 Aufgabe 38. a) Die Angabe der möglichen Würfelereignisse ist unvollständig, da die Reihenfolge der Zahlen nicht beachtet wurde. Berücksichtigt man die Reihenfolge, dann gibt es = 3! verschiedene Permutationen von, 4, ), die auf die gleiche Reihenfolge führen, aber nur 3 verschiedene Permutationen von 5, 5, ). Beachtet man die Reihenfolge, so gibt es 7 verschiedene gleichwahrscheinliche Wurfsequenzen mit der Augensumme, aber 5 mit der Augensumme. b) Aufgabe 38.3. x i PX = x i ) 3 3 4 5 0 5 7 8 x i PX = x i ) 9 5 0 7 7 5 3 4 5 x i PX = x i ) 5 0 7 3 8 P X med = ) = P X med = ) = 0.074 P X med = ) = P X med = 5) = 0.85 P X med = 3) = P X med = 4) = 0.4. Berechnung der Werte für die Verteilungsfunktion: 3.E X med ) = 3.5; Var X med ) =. 88 Aufgabe 38.4 EX) = n+) ; Var X) = Aufgabe 38.5 Aufgabe 38. Aufgabe 38.7 Aufgabe 38.8 x PX med = x) PX med x) 0.074 0.074 0.85 0.59 3 0.4 0.500 4 0.4 0.74 5 0.85 0.9 0.074.000 n ). Aufgabe 38.9 P X = n k + i) = n k+ und E X) = nn+) n ). Aufgabe 38.0

Lösungen zu Kapitel 38 7 Aufgabe 38. EX) =.4 und Var X) = 0.4; EY ) =. und Var Y ) = 0.5. E S) = 3. und Var S) = 0.84. E XY) = 3. und Var XY) =.9 CovX; Y) = 0.0 und ρ X; Y ) = 0.054. Anwendungsprobleme Aufgabe 38. Es sei X i die Augenzahl des i-ten Würfels. Die Summe der Augenzahlen ist S = n i= X i, nach Aufgabe 38.4 ist EX i ) = 3.5; Var X i ) = 35. Da die X i i.i.d. sind, ist ES) = n3.5 und Var S) = n 35. Nach der Ungleichung von Tschebyschev gilt dann mit der Wahrscheinlichkeit von mindestends 75%: 35 S 3.5n n. Aufgabe 38.3 Aus der Abbildung 38.8 folgt F X F Y. Daher ist P X t) P Y t) oder gleichwertig P X >t) P Y >t). Für jeden Gewinn t gilt: Mit höherer Wahrscheinlichkeit überschreitet der Gewinn bei Y den Wert t als bei X. Wie in Aufgabe 38.3 gezeigt, folgt aus F X t) F Y t) nicht X Y und erst recht nicht Y X. Aufgabe 38.4. P 0.7 X 0.9) 3 4 und. P X <0.7) 8.

8 Lösungswege zu Kapitel 38 Lösungswege zu Kapitel 38 Verständnisfragen Aufgabe 38. Aufgabe 38. Aufgabe 38.3 Aufgabe 38.4 Aufgabe 38.5 Aufgabe 38. Aufgabe 38.7 Aufgabe 38.8 Aufgabe 38.9 Stets gilt Wegen Var X) = Var Y ) folgt VarX + Y) = Var X) + Var Y ) + CovX, Y ). CovX, Y ) = VarX + Y) Var X). Andererseits ist X + Y = R + B gerade die Augensumme der beiden Würfel. Nach Vorgabe sind R und B unabhängig und identisch verteilt. Also ist Var R) = Var B) und VarX + Y) = VarR + B) = Var R) + Var B) = Var B). Also CovX, Y ) = VarB Var X). Erwartungswert und Varianz der Augenzahl bei idealen Würfeln wurde bereits bestimmt. Danach ist VarB = 35. Dies liefert CovX, Y ) = VarB Var X) = 35. 97 = 0.94. Aufgabe 38.0 Zu. und. Die Tschebychev-Ungleichung sagt P X E X) kσ) k. Daher ist die erste Aussage falsch, denn man braucht σ. Dagegen ist die zweite Aussage richtig, denn für die Abschätzung von X E X) wird nur σ gebraucht. 3. Die Genauigkeit einer Prognose über S = X i hängt ab von Var S) = nvarx). Die Prognose von X i wird also mit Xi nμ wachsendem n ungenauer. Ist E X i ) = μ = 0, so ist die relative Genauigkeit gegeben durch nμ = X μ μ. Die Varianz von X ist σ n. Die relative Genauigkeit wächst also mit wachsendem n. 4. ist richtig, denn die Varianz der Summe wächst mit n, die Standardabweichung mit n. Die Länge des Prognoseintervalls wächst daher mit n. 5. ist falsch. Wenn man hinreichend viele Beobachtungen machen kann, lässt sich EX) sowie Var X) gut schätzen. Eine gute Prognose für die nächste Beobachtung wird dann mit der Ungleichung von Tschebyschev arbeiten und mit EX) und Var X) arbeiten. Rechenaufgaben Aufgabe 38. In der folgenden Tabelle sind in der Kopfzeile und der Kopfspalte die Realisationen von X und X und in den Innenzellen die jeweilige Augensumme aufgetragen.

Lösungswege zu Kapitel 38 9 3 4 5 3 4 5 7 3 4 5 7 8 3 4 5 7 8 9 4 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 7 8 9 0 Wegen der Unabhängigkeit von X und X hat jede Zelle die Wahrscheinlichkeit ). Summiert man über die Diagonalen erhält man die angegebenen Werte. Aufgabe 38. In Aufgabe 38. wurde die Verteilung der Augensumme S von zwei unabhängigen idealen Würfeln bestimmt. Wir benutzen diese Verteilung und berechnen analog S 3 als S + X. In der folgenden Tabelle sind in der ersten und zweiten Kopfzeile die Realisationen von X und deren Wahrscheinlichkeiten, in der ersten und zweiten Kopfspalte die Realisationen von S und deren Wahrscheinlichkeiten und in den Innenzellen die jeweilige Augensumme S 3 = S + X aufgetragen. \ X 3 4 5 S \ 3 4 5 7 8 9 0 3 3 4 5 7 8 3 4 5 7 8 9 3 3 5 7 8 9 0 4 3 7 8 9 0 5 3 7 8 9 0 3 8 9 0 3 5 3 9 0 3 4 4 3 0 3 4 5 3 3 3 4 5 3 3 4 5 7 3 3 4 5 7 8 Multiplizieren wir die Randwahrscheinlichkeiten, erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten der Zellen. Addieren die Zellenwahrscheinlichkeiten aller Zellen mit den gleiche Werten, erhalten wir die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Summenwertes. So ist z. B. PS 3 = 4) = 3 + 3 = 3. Auf diese Weise ist die obige Verteilung errechnet worden. Aufgabe 38.3. mögliche Werte von X med {,, 3, 4, 5, }. Sei X i :=Augenzahl des i-ten Würfels P X med = ) = P X =, X =, X 3 = ) +P X =, X =, X 3 > ) 3 = 3 + 3 5 3 = 3. P X med = ) = P X = X = X 3 = ) +P X =, X =, X 3 = ) 3 +P X =, X =, X 3 > ) 3! +P X =, X =, X 3 > ) 3 = 40 + 3 + 4 + 4 3) = 3 3.

0 Lösungswege zu Kapitel 38 P X med = 3) = P X = X = X 3 = 3) +P X =, X = X 3 = 3) 3 +P X =, X = 3, X 3 > 3) +P X =, X = 3, X 3 > 3) +P X =, X = X 3 = 3) 3 +P X = X = 3, X 3 > 3) 3 = 5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 3) = 3 3. Aus Symmetriegründen ist P X med = ) = P X med = ) = 0.074. P X med = ) = P X med = 5) = 0.85. P X med = 3) = P X med = 4) = 0.4. 3. Berechnung des Erwartungswertes: E X med ) = i P X med = i) i= = 0.074 + 0.85 + 3 0.4 +4 0.4 + 5 0.85 + 0.074 = 0.074 + 0.370 + 0.73 + 0.94 +0.95 + 0.444 = 3.5 Berechnung der Varianz: Var X med ) = E X med ) ) E X med )) E X med ) ) = 0.074 + 0.85 + 3 0.4 +4 0.4 + 5 0.85 + 0.074 = 4. 3 Var X med ) = 4. 3 3.5 =. 88 Aufgabe 38.4 n E X) = x i P X = x i ) = n i n i= i= = n n + ) n + ) =. n E X ) n = xi P X = x i) = n i n i= i= = n n + )n + ) n + )n + ) =. n Var X) = E X ) E X)) ) n + )n + ) n + ) = n + )n ) =.

Lösungswege zu Kapitel 38 Aufgabe 38.5 Sei B = i A i dann ist B C = i AC i und P B) = E I B ) = E ) ) I B C = E IB C ) ) = E I = E I i AC i A C i i ) ) = E IAi i = E i I Ai + i<j I Ai I Aj i<j<k = i i<j<k I Ai I Aj I Ak + P A i ) + P ) A i A j i<j P ) A i A j A k + Aufgabe 38. Es ist X t genau dann, wenn e sx e st. Daher ist P X t) = P e sx e st) Nach der Markov-Ungleichung folgt P e sx e st) E e sx) e st. Da diese Ungleichung für jeden zulässigen) Wert von s gilt, folgt P X t) inf s e st E e sx). Aufgabe 38.7 a) Nach Definition ist für eine diskrete Zufallsvariable: Var X) = x i μ) P X = x i ). i= Daher ist Var X) = 0 genau dann, wenn für alle i gilt: x i μ) P X = x i ) = 0. Ist also P X = x i ) > 0, so ist x i = μ. b) Für ein beliebiges X definieren wir die Zufallsvariable { 0 falls X μ) Y = <ε ε falls X μ) ε Dann ist 0 Y X μ). Also ist 0 = Var X) = E X μ) E Y ) = ε P X μ) ε ). Daher gilt P X μ ε) = 0 für alle ε > 0, also P X μ <ε) =. Sei nun ε n eine Nullfolge, dann sind die Ereignisse X μ <ε n ) monoton fallend. ) Wegen der Stetigkeit der Wahrscheinlichkeitsfunktion, siehe Seite 5 gilt P X μ = 0) = P { X μ <ε n } = lim n P X μ <ε n ) =. n=

Lösungswege zu Kapitel 38 Aufgabe 38.8 ) ) E X AX = Spur E X AX = E Spur AXX )) = Spur E AXX )) = Spur AE XX )) )) = Spur A μμ + Cov X) ) = Spur μ Aμ + Spur ACov X)) = μ Aμ + Spur ACov X)). Aufgabe 38.9 Sei X k die beim k-ten Wurf geworfene Augenzahl. Dann gilt wegen der Unabhängigkeit der X k für k = 0,,...und i =,...,n P X = n k + i) = P X = n; X = n;......; X k = n; X k+ = i ) = P X = n ) P X k = n) P X k+ = i ) = n n n = n k+. Für die Berechnung von E X) ziehen wir eine Nebenrechnung vor: Der Erwartungswert von X ist : E X) = k=0 k=0 n k = n = + n kn k = n d ) n k dn k=0 k=0 = n d + ) n = dn n n ) k n k = n n n n k + i) P X = n k + i) = k=0 i= n ) n k + nn ) = n k+ k=0 [ ] k = n ) n k + n k k=0 k=0 [ n = n ) n ) + ] n n n = n + n n n + ) = n ). k=0 i= n k + i n k+ Aufgabe 38.0 Y und Y 3 sind symmetrisch um den Nullpunkt verteilt, denn PY = k) =PY = k). Daher ist EY ) =E Y 3) = 0. Dann ist CovY, Y ) = EY 3 ) E Y ) E Y ) = 0. Aufgabe 38. a) Erwartungswert und Varianz von X werden aus der Randverteilung von X berechnet:

Lösungswege zu Kapitel 38 3 x PX = x) xpx = x) x x PX = x) 0. 0. 0. 0.4 0.8 4..4. Daher ist EX) =.4 und Var X) =E X ) E X)) =..4 = 0.4. Analog werden EY ) und Var Y ) berechnet. y PX=y) ypx=y) y y PX=y) 0. 0. 0. 0.4 0.8 4. 3 0.4. 9 3..0. 5.4 EY ) =. und Var Y ) =E Y ) E Y )) = 5.4. = 0.5. b) EX + Y ) =EX) +EY ) =.4 +. = 3.. Die Varianz lässt sich so nicht bestimmen, da X und Y korreliert sind. Wir müssen daher die Verteilung von S = X + Y explizit bestimmen: Die Wahrscheinlichkeiten der Summe PX + Y = s) = kpx = k, Y = s k)berechnen wir bildhaft als,faltung der beiden Verteilungen. Wir schreiben dazu die Verteilungen von X und Y auf zwei Papierstreifen in gegenläufiger Reihenfolge X-Streifen Y-Streifen 3 und schieben die Streifen feldweise aneinander vorbei. Die Summen aus den besetzten Spalten sind jeweils konstant: 3 P 0. 3 4 4 P 0. 0. 3 3 3 P 0.3 0. 3 5 P 0. Dann werden die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zellen addiert. Damit erhalten wir S=s PS=s) sps=s) s PS=s) 0. 0. 0.4 3 0.4. 3. 4 0.3. 4.8 5 0. 5 3. 3.8 Damit ist E S) = 3. und E S ) = 3.8. Daraus folgt Var S) = E S ) E S)) = 3.8 3.) = 0.84. c) Die Verteilung des Produktes X Y ergibt sich aus PXY = k) = j PX = j,y = j k ). Für jeden Wert von k müssen die Zellenwahrscheinlichkeiten aller Kombinationen X = j,y = j k ) addiert werden. Dies liefert xy=k PXY=k) kpk) k k Pk) 0. 0. 0. 0.4 0.8 4. 3 0. 0. 9.8 4 0. 0.4. 0.. 3 7. 3..3

4 Lösungswege zu Kapitel 38 Aus dieser Verteilung lassen sich EXY) = 3. und Var XY) =.3 3. =.9 wie gewohnt ausrechnen.. Aus CovX; Y) = E X Y ) E X) E Y ) folgt CovX; Y) = 3..4. = 0.0. Eine Kontrollrechnung: Es ist Var X + Y ) = Var X) + Var Y ) + CovX; Y). Mit den bereits berechneten Parametern muss also gelten CovX; Y) = Var X + Y ) Var X) + Var Y )) = 0.84 0.4 0.5) = 0.0 Die Korrelation ist ρ = CovX; Y) 0.0 = = 0.054. Var X) Var Y ) 0.4 0.5 Es besteht eine minimale Korrelation. Anwendungsprobleme Aufgabe 38. Aufgabe 38.3 Aufgabe 38.4. Sei X die fragliche Weinmenge E X) = 0.7, σ X = 0.0. Dann ist P 0.7 X 0.9) P 0.7 X 0.74) = P X 0.7 0.0) Nach der Tschebyschev schen Ungleichung gilt P X E X) kσ X ) k. Setzen wir kσ X = 0.0, dann ist bei einem σ X = 0.0 der Faktor k =. Also gilt P X 0.7 0.0) 4 = 3 4. Die Verteilung von X ist symmetrisch um E X) 0.7. Dann folgt: P X <0.7) = P X 0.7 < 0.) = P X 0.7 > 0.) = P X 0.7 > 0.) Für E X) = 0.7 und σ X = 0.0 sagt die Ungleichung von Tschebyschev P X 0.7 > 0.) 4. Daher ist P X <0.7) 8.