Hans Walser Raumgeometrie Modul 1 Der Würfel Lernumgebung, Teil 2
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 ii Inhalt 1 Symmetrieebenen in isometrischer Darstellung... 1 2 Symmetrieebenen in isometrischer Darstellung... 1 3 Ebene im Würfel... 2 Schnitt dreier Ebenen im Würfel... 5 Symmetrieebenen im regulären Oktaeder... 6 6 Reguläres Tetraeder... 8 7 Symmetrieebenen im Tetraeder... 10 8 Würfelschnitt... 11 9 Spurpunkt... 1 10 Keplerstern... 15 11 Würfelrekonstruktion... 16 12 2^3 Sudokubus... 17 13 Sudokubus... 17 13.1 Spielregeln... 18 13.2 Beispiele... 19 13.2.1 Sudokubus 1... 19 13.2.2 Sudokubus 2... 20 13.2.3 Sudokubus 3... 21 13.3 Ergebnisse... 22 13.3.1 Sudokubus 1... 22 13.3.2 Sudokubus 2... 22 13.3.3 Sudokubus 3... 23 Modul 1 für die Lehrveranstaltung Raumgeometrie Sommer 2006 Provisorische Ausgabe Sommer 2007 Ergänzungen Frühjahr 2008 Ergänzungen. Unterteilung in 2 Teile Frühjahr 2009 Ergänzungen. Fehlerkorrekturen Frühjahr 2010 Grafische Überarbeitung last modified: 9. Mai 201 Hans Walser Mathematisches Institut, Uni Basel www.walser-h-m.ch/hans/
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 1 1 Symmetrieebenen in isometrischer Darstellung Wie präsentieren sich die drei zu den Seitenflächen eines Würfels parallelen Symmetrieebenen des Würfels in isometrischer Darstellung? Ergebnis Symmetrieebenen 2 Symmetrieebenen in isometrischer Darstellung Wie präsentieren sich die sechs Symmetrieebenen eines Würfels, welche senkrecht, aber nicht parallel zu den Seitenflächen sind, in isometrischer Darstellung? Ergebnis Der Gag ist, dass wir nur drei der sechs Symmetrieebenen zweidimensional sehen. Die drei anderen sind projizierend.
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 2 Symmetrieebenen 3 Ebene im Würfel Wo schneidet die Ebene durch A, B und C die Würfeloberfläche? Ebene im Würfel
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 3 Ergebnis Schnittfigur
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 Schnitt dreier Ebenen im Würfel Zeichnen Sie die drei skizzierten Ebenen in denselben Würfel unter Berücksichtigung der Sichtbarkeit. Ebenen im Würfel
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 5 Ergebnis Ebenen im Würfel
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 6 5 Symmetrieebenen im regulären Oktaeder Zeichnen Sie im Oktaeder (vierseitige Doppelpyramide) sämtliche Symmetrieebenen vom skizzierten Typ unter Berücksichtigung der Sichtbarkeit. Worin besteht ein Zusammenhang mit dem Würfel? Symmetrieebenen im Oktaeder
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 7 Ergebnis Es gibt drei paarweise orthogonale Symmetrieebenen. Diese entsprechen den Mittelparallelebenen des Würfels (Dualität von Würfel und Oktaeder). Smmetrieebenen im Oktaeder
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 8 6 Reguläres Tetraeder Durch geeignete Auswahl der Ecken eines Würfels ergeben sich die Ecken eines Tetraeders. Was lässt sich über die Menge aller Symmetrieebenen des regulären Tetraeders sagen? Tetraeder im Würfel
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 9 Ergebnis Wenn wir jede zweite Würfelecke auswählen, ergibt sich ein Tetraeder (es gibt zwei Möglichkeiten). Die sechs Symmetrieebenen des Tetraeders entsprechen den sechs Diagonal-Smmetrieebenen des Würfels. Tetraeder im Würfel
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 10 7 Symmetrieebenen im Tetraeder Gesucht sind die Symmetrieebenen im regelmäßigen Tetraeder. Symmetrieebenen im Tetraeder
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 11 8 Würfelschnitt Wir sehen einen Würfel (rot) in isometrischer Axonometrie, der von einem Sechskantprisma (blau) geschnitten wird. z x y Würfel und Sechskantprisma Wie sieht die Schnittfigur in Grund- und Aufriss sowie in einer Normalaxonometrie mit r : s :t = : 5 : 6 (Vorlage) aus? Würfel r : s :t = : 5 : 6
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 12 Bearbeitung Grund- und Aufriss z y, y Normalaxonometrie x Grund- und Aufriss Normalaxonometrie
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 13 Der Schnittkörper ist die lineare Hülle der beiden Achtelswürfel. Achtelswürfel
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 1 9 Spurpunkt Wo schneidet die Gerade PQ die Bodenebene ABCD? D A C Bearbeitung Wir arbeiten mit einem Hilfsdreieck. B Würfel und Gerade D A C B Schnittpunkt S S
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 15 10 Keplerstern H E F G A C Keplerstern Der Keplerstern ist die Vereinigung der beiden regulären Tetraeder ACFH und BDEG. Ergänzen Sie das Tetraeder ACFH zum Keplerstern. B H A C Ergänzung zum Keplerstern F
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 16 11 Würfelrekonstruktion Durch eine Auswahl von vier geeigneten Würfelecken erhält man ein reguläres Tetraeder. Die folgende Zeichnung ist das Schrägbild eines regulären Tetraeders. Rekonstruieren Sie den dazugehörenden Würfel. H A C Passender Würfel? F
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 17 12 2^3 Sudokubus Auf wie viele Arten können die Zahlen 1, 2, 3, so auf die Ecken eines Würfels verteilt werden, dass auf jeder Würfelseite jede der vier Zahlen genau einmal vorkommt? Würfel Ergebnis Es gibt! = 2 Möglichkeiten, die aber alle durch Bewegungen ineinander übergeführt werden können. Bei einem nicht festsitzenden Würfel gibt es also nur eine Möglichkeit. 13 Sudokubus Ein würfelförmiges Gerüst wird an den Knoten mit Kugeln versehen. Die Kugeln bilden eine 3x3x3-Anordnung. Würfel mit 27 Kugeln
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 18 13.1 Spielregeln Versehen Sie die 27 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 9, so dass - in jeder der drei Etagen jede Zahl genau ein Mal erscheint, - in jeder der drei zur Frontalebene parallelen Ebenen jede Zahl genau ein Mal erscheint und - in jeder der drei zur Seitenwand parallelen Ebenen jede Zahl genau ein Mal erscheint. Die Figur illustriert die drei Etagen, die drei zur Frontalebene parallelen Ebenen und die drei zur Seitenwand parallelen Ebenen. Drei Mal drei Ebenen
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 19 13.2 Beispiele 13.2.1 Sudokubus 1 7 1 2 8 9 7 3 5 6 Sudokubus 1
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 20 13.2.2 Sudokubus 2 5 7 2 6 7 9 9 3 1 Sudokubus 2
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 21 13.2.3 Sudokubus 3 6 8 2 5 2 1 7 2 3 8 Sudokubus 3
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 22 13.3 Ergebnisse 13.3.1 Sudokubus 1 1 5 8 7 2 9 6 3 8 1 5 6 3 2 9 7 3 6 5 8 1 9 7 2 Sudokubus 1 13.3.2 Sudokubus 2 1 6 8 2 9 5 7 3 2 9 8 7 3 5 1 6 3 5 7 6 1 9 8 2 Sudokubus 2
Hans Walser: Modul 1, Der Würfel. Lernumgebung, Teil 2 23 13.3.3 Sudokubus 3 6 2 8 1 9 9 7 5 7 5 3 3 6 1 3 8 2 8 1 5 2 7 9 6 Sudokubus 3