4 Inhalt 1 Teiler und Teilbarkeitsregeln 6 2 Primzahlen und Primfaktorzerlegung 8 3 ggt und kgv 10 4 Bruchzahlen und gemischte Zahlen 12 5 Erweitern und Kürzen 14 6 Addition und Subtraktion von Bruchzahlen 16 7 Multiplikation und Division von Bruchzahlen 18 8 Dezimalzahlen 20 9 Zusammenhang zwischen Dezimalzahlen und Brüchen 22 10 Abbrechende und periodische Dezimalzahlen 24 11 Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen 26 12 Multiplikation und Division von Dezimalzahlen 28 13 Dezimalzahlen runden 30 14 Anwendungsaufgaben 32 15 Prozentrechnung 34 16 Relative Häufigkeit 36 17 Tabellen und Diagramme 38 18 Mittelwerte 40 19 Maßstäbe und Verhältnisse 42 20 Einfache Dreisatzrechnung 44 21 Winkel messen und zeichnen 46 22 Kreise 48 23 Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende 50 24 Achsenspiegelung 52 25 Drehung und Punktspiegelung 54 26 Verschiebung 56
5 27 Negative Zahlen am Zahlenstrahl 58 28 Addieren und Subtrahieren negativer Zahlen 60 29 Multiplikation mit negativen Zahlen 62 30 Division mit negativen Zahlen 64 31 Terme und einfache Gleichungen 66 Test 1 zu Kapitel 1 bis 7 (Teilbarkeit und Rechnen mit Brüchen) 68 Test 2 zu Kapitel 8 bis 14 (Rechnen mit Dezimalzahlen) 70 Test 3 zu Kapitel 15 bis 20 72 (Anwendungen von Brüchen und Dezimalbrüchen) Test 4 zu Kapitel 21 bis 26 (Winkel und Abbildungen) 74 Test 5 zu Kapitel 27 bis 31 (Ganze Zahlen) 76 Lösungen zu den Übungen 78 Lösungen zu den Tests 121 Stichwortverzeichnis 128
6 1 Teiler und Teilbarkeitsregeln Eine natürliche Zahl n heißt teilbar durch eine natürliche Zahl t, wenn man sie ohne Rest durch t teilen kann. Die Zahl t heißt dann Teiler der Zahl n. Man sagt t teilt n. Eine Zahl ist teilbar durch 2, wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. durch 3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. durch 4, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl darstellen. durch 5, wenn sie auf 0 oder 5 endet. durch 6, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. durch 8, wenn ihre letzten drei Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl darstellen. durch 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. durch 10, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Die Zahl 34 512 ist teilbar durch 2, da sie auf 2 endet; durch 3, da ihre Quersumme 3 + 4 + 5 + 1 + 2 = 15 durch 3 teilbar ist; durch 4, da 12 (die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl) durch 4 teilbar ist; durch 6, da sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Alle anderen Teilbarkeitsregeln treffen nicht zu! 1. Untersuche die Teilbarkeit, indem du die Möglichkeit einer Division ohne Rest prüfst. Von 91 durch 7, 11 und 13. b) Von 646 durch 14, 17 und 19 c) Von 336 durch 16, 18 und 21 d) Von 5589 durch 23, 27 und 29 e) Von 1066 durch 24, 26 und 64 2. Überprüfe durch Anwendung der Teilbarkeits regeln. Unterstreiche diejenigen Zahlen, die durch 2 teilbar sind: 538, 8875, 12006, 27444, 2227, 92, 345678. b) durch 3 teilbar sind: 475, 30045, 29475, 11924, 238, 2784, 93510. c) durch 4 teilbar sind: 18836, 38, 30054, 348, 2892, 93737422, 23540. d) durch 5 teilbar sind: 59755, 45340850, 6543, 64, 6970, 12765, 5554. e) durch 6 teilbar sind: 46576, 274854, 90, 5665, 3546, 100002, 3334.
7 f ) durch 8 teilbar sind: 646576, 994995, 340, 12448, 2222, 88444, 8816. g) durch 10 teilbar sind: 1180, 395, 715200, 51273, 455, 6905, 900. 3. Ergänze an der Fehlstelle jeweils eine fehlende Ziffer. Wo gibt es mehrere Möglichkeiten? Die Zahlen sollen durch 3 teilbar sein: 2 45; 43 ; 45 97 b) Die Zahlen sollen durch 4 teilbar sein: 6 ; 91 ; 82 6 c) Die Zahlen sollen durch 5 teilbar sein: 5 ; 73 ; 40 5 d) Die Zahlen sollen durch 6 teilbar sein: 43 ; 2 42; 65 9 e) Die Zahlen sollen durch 8 teilbar sein: 1 4; 98 2; 45 64 f ) Die Zahlen sollen durch 10 teilbar sein: 34 ; 773 ; 89 90 4. Gib alle Teiler der folgenden Zahlen an. Zu jedem gefundenen Teiler findet man einen weiteren, indem man die Ausgangszahl durch den gefundenen Teiler dividiert. Wenn z. B. 3 ein Teiler von 45 ist, ist auch 45 : 3 = 15 ein Teiler von 45. 35 1 7 b) 60 c) 170 d) 99 e) 108 f ) 245
8 2 Primzahlen und Primfaktorzerlegung Eine Zahl, die genau zwei Teiler besitzt, nämlich 1 und sich selbst, wird Primzahl genannt. Primzahlen kann man nicht in kleinere Faktoren zerlegen. Die Zahl 1 ist nach Definition keine Primzahl, da sie nur einen Teiler hat. Jede natürliche Zahl, die nicht selbst Primzahl ist, lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Man nennt diese dann Primfaktoren oder Primteiler und spricht von einer Primfaktorzerlegung. Die ersten Primzahlen bis 50 lauten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 Die Primfaktorzerlegung einer Zahl findest du, indem du sie fortgesetzt in immer kleinere Faktoren zerlegst, bis nur noch Primzahlen übrigbleiben: 3500 = 35 100 = 5 7 5 20 = 5 7 5 2 10 = 5 7 5 2 2 5 = 2 2 5 5 5 7 (nach Größe sortiert) Die Primfaktorzerlegung wird häufig in Potenzschreibweise angege ben, d. h. man schreibt die Häufigkeit des Auftretens eines Faktors als Exponenten an den Primfaktor. 2 2 5 5 5 7 = 2 2 5 3 7 1. Suche alle Primzahlen. zwischen 40 und 60 b) zwischen 70 und 100 c) zwischen 100 und 120 d) zwischen 120 und 150 2. Unterstreiche in den nachfolgenden Zahlenreihen die 3 Primzahlen. Überprüfe dazu die Teilbarkeitsregeln oder führe Divisionen mit kleinen Primzahlen durch. 104, 109, 125, 137, 141, 151, 162, 189 b) 201, 221, 231, 241, 251, 261, 271, 291 c) 503, 531, 547, 555, 569, 579, 582, 597
9 3. Ergänze die fehlenden Primzahlen in der Primfaktorzerlegung. 70 = 2 7 b) 100 = 2 5 c) 117 = 3 3 d) 858 = 3 13 e) 1155 = 5 7 f ) 1100 = 2 5 11 g) 4875 = 3 5 h) 4675 = 5 17 4. Wahr oder falsch? Kreuze an! 2 2 3 2 = 38 w f b) 3 3 5 = 135 w f c) 2 3 3 7 = 168 w f d) 2 4 5 11 = 780 w f e) 3 2 5 2 = 225 w f f ) 2 3 5 2 = 150 w f g) 2 3 2 11 = 199 w f 5. Schreibe die angegebenen Primfaktorzerlegungen in Potenzschreibweise und ermittle die Zahl, die durch diese Primfaktorzerlegung beschrieben wird. 2 3 3 3 5 = = b) 2 2 2 2 2 2 = = c) 2 2 5 7 7 = = d) 3 3 3 5 5 = = 6. Finde die Primfaktorzerlegung der Zahl durch schrittweise Zerlegung in immer kleinere Faktoren. Gib sie anschließend in Potenzschreibweise an. 24 = 2 = 2 2 = 2 2 = b) 56 = c) 32 = d) 78 = e) 102 = f ) 128 = g) 540 = h) 1125 = i) 1300 =
10 3 ggt und kgv Vergleicht man die Teiler zweier Zahlen, so können gemeinsame Teiler auftreten. Der größte dieser gemeinsamen Teiler heißt größter gemeinsamer Teiler, abgekürzt ggt. Den ggt zweier Zahlen erhält man aus deren Primfaktorzerlegungen, wenn man alle Primfaktoren miteinander multipli ziert, die in beiden Zerlegungen vorkommen. Addiert man zu einer Zahl immer wieder dieselbe Zahl, so erhält man die Vielfachen dieser Zahl. Vergleicht man die Vielfachen zweier Zahlen, so können gemeinsame Vielfache auftreten. Die kleinste Zahl dieser gemeinsamen Vielfachen heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches, abgekürzt kgv. Das kgv zweier Zahlen erhält man aus deren Primfaktorzerlegungen, wenn man die höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren multipliziert. Die Menge aller Teiler von 30 und 45 (Bezeichnung: T 30 bzw. T 45 ) lautet: T 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 T 45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45 Gemeinsame Teiler sind also 1, 3, 5, und 15. Der größte dieser gemeinsamen Teiler ist 15. Man schreibt daher: ggt (30, 45) = 15 Berechnung durch Primfaktorzerlegung: 30 = 2 3 5 45 = 3 3 5 ggt (30, 45) = 3 5 = 15 Die Menge aller Vielfachen von 30 und 45 (Bezeichnung: V 30 bzw. V 45 ) lautet: V 30 = {30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, ; V 45 = {45, 90, 135, 180, 225, 270, 305,. Gemeinsame Vielfache sind also 90, 180, 270 Das kleinste dieser gemeinsamen Vielfachen ist 90. Man schreibt daher: kgv (30, 45) = 90. Berechnung durch Primfaktorzerlegung: 30 = 2 3 5 45 = 3 2 5 kgv (30, 45) = 2 3 2 5 = 90 1. Bestimme die Teilermengen der Zahlen. Gib alle gemeinsamen Teiler und den ggt an. 12, 18 b) 30, 20 c) 68, 72 d) 35, 49, 91 e) 42, 18, 30 f ) 36, 54, 90 g) 25, 75, 100 h) 40, 56, 88
11 2. Bestimme die Vielfachenmengen der Zahlen. Gib jeweils drei gemeinsame Vielfache und das kgv an. 5, 7 b) 6, 15 c) 12, 18 d) 24, 40 e) 50, 20, 60 f ) 24, 36, 60 g) 32, 48, 80 h) 18, 54, 72, 90 3. Berechne den ggt durch Primfaktorzerlegung. ggt (80, 60, 20) Primfaktorzerlegungen: 80 = 60 = 20 = ggt (80, 60, 20) = = Bestimme ebenso: b) ggt (63, 135) c) ggt (525, 825) d) ggt (42, 56, 70) e) ggt (18, 72, 192) f ) ggt (28, 70, 84) g) ggt (66, 132, 165, 363) 4. Berechne das kgv durch Primfaktorzerlegung. kgv (30, 84, 100) Primfaktorzerlegungen in Potenzschreibweise: 30 = 2 3 5 = 84 = 2 2 2 3 7 = 100 = 2 2 5 5 = kgv (30, 84, 100) = = Bestimme ebenso: b) kgv (48, 84) c) kgv (72, 99) d) kgv (12, 42) e) kgv (16, 24, 56) f ) kgv (18, 30, 42) g) kgv (90, 70, 63) 5. Verbinde die richtigen Zeilen miteinander. kgv (10,18, 45) 60 ggt (24, 48, 56) 4 kgv (14, 22, 77) 90 ggt (15, 60, 105) 8 kgv (20, 11, 55) 154 ggt (28, 44, 64) 12 kgv (9, 28, 36) 220 ggt (40, 80, 180) 15 kgv (12, 15, 20) 252 ggt (24, 60, 108) 20
12 4 Bruchzahlen und gemischte Zahlen Ist bei einem Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, spricht man von einem echten Bruch. Ist bei einem Bruch der Zähler größer als der Nenner, spricht man von einem unechten Bruch. Da der beschriebene Bruchteil größer ist als ein Ganzes, lassen sich unechte Brüche auch als gemischte Zahlen schreiben. Dabei steht vorn die Anzahl der Ganzen und hinten der verbleibende Bruchteil. Der hier gezeigte Bruchteil besteht aus zwei Ganzen und einem 3 -großen Anteil. 4 Man kann dafür schreiben: 11 4 = 2 3 4 Bei der Umwandlung einer gemischten Zahl 1 hier: 2 3 4 2 in einen unechten Bruch gehst du also folgendermaßen vor: Teile die 2 Ganzen zunächst in Viertel, wie es der Nenner des Bruchteils vorgibt. Diese 8 Viertel addierst du zu dem noch vorhandenen Bruchteil. Also: 2 3 4 = 8 4 + 3 4 = 11 4 Die Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl entspricht einer Division mit Rest: 11 4 = 11 : 4 = 2 + 3 : 4 = 2 3 4 1. Bei welchen Brüchen handelt es sich um echte Brüche, bei welchen um unechte? Gib bei den unechten Brüchen an, wie viele Ganze dargestellt werden. 4 2 = b) 7 8 = c) 1 3 = d) 15 5 = e) 12 6 = f ) 7 14 = g) 60 10 = h) 105 35 =
13 2. Wandle die unechten Brüche durch Division mit Rest in gemischte Zahlen um. d) g) 7 2 = b) 9 8 = c) 5 3 = 13 5 = e) 11 6 = f ) 27 28 10 = h) 56 13 = 4 = 3. Welche gemischten Zahlen sind hier dargestellt? Gib auch die zugehörigen unechten Brüche an. b) c) d) 4. Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um. 2 1 2 = b) 5 3 4 = c) 6 2 3 = d) 8 2 5 = e) 4 1 6 = f ) 12 7 10 = g) 10 8 9 = h) 15 3 8 =
14 5 Erweitern und Kürzen Verschiedene Brüche können den gleichen Wert haben. Der Wert eines Bruches bleibt erhalten, wenn man Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert. Man spricht dann vom Erweitern des Bruches. Ebenso bleibt der Wert erhalten, wenn man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert. Dies nennt man dann Kürzen. Ein Bruch heißt vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler (außer 1) mehr haben. In der Zeichnung sind jeweils gleich große Anteile gefärbt. 1 2 2 4 4 8 Wegen der verschiedenen Unter teilungen ergibt sich: 1 2 = 2 4 = 4 8 In jedem Schritt wurde dabei der Bruch mit 2 erweitert, also sowohl der Zähler als auch der Nenner jeweils mit 2 multipliziert. Das vollständige Kürzen eines Bruches kann schrittweise erfolgen: 132 84 = 66 42 = 33 21 = 11 7 Hier wurde zunächst zweimal mit 2 und abschließend mit 3 gekürzt. 11 und 7 haben keine gemeinsamen Teiler mehr, also ist der Bruch vollständig gekürzt. 1. Gib mehrere wertgleiche Brüche für den gefärbten und den ungefärbten Anteil an. b) c) d)
2. In jeder Reihe stehen zum ersten Bruch wertgleiche Brüche. Finde heraus, mit welcher Zahl sie gekürzt bzw. erweitert wurden. Jeweils einer der Brüche gehört nicht in die Reihe. Streiche ihn durch! 15 c) 12 48 ; 3 12 ; 1 4 ; 6 25 ; 24 b) 18 96 12 ; 6 4 ; 35 24 ; 9 6 ; 54 36 6 10 ; 18 30 ; 3 5 ; 12 20 ; 2 d) 15 5 20 ; 8 10 ; 3 4 ; 30 40 ; 135 180 3. Finde die fehlenden Zähler oder Nenner. Gib auch den Faktor an, mit dem gekürzt bzw. erweitert wurde. b) 3 5 = 10 Faktor ; 9 4 = 27 Faktor ; 6 7 = 21 Faktor ; 13 4 = 20 Faktor 8 5 = 48 Faktor ; 3 14 = 9 Faktor c) d) 18 11 = 110 Faktor ; 15 2 = 30 Faktor ; 1 50 = 700 Faktor 7 10 = 91 Faktor ; 16 3 = 176 Faktor ; 17 4 = 357 Faktor 4. Kürze vollständig. b) c) d) e) f ) 10 15 = 21 7 = 12 8 = 16 24 = 22 33 = 25 30 = 28 21 = 150 30 = 80 60 = 45 27 = 48 36 = 64 40 = 49 35 = 132 143 = 126 98 = 96 144 = 320 224 = 198 180 =
16 6 Addition und Subtraktion von Bruchzahlen Zwei Brüche mit gleichem Nenner werden addiert, indem man die beiden Zähler addiert und den Nenner beibehält. Zwei Brüche mit gleichem Nenner werden subtrahiert, indem man die beiden Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält. Will man Brüche mit verschiedenen Nennern addieren oder subtrahieren, so muss man sie durch Erweitern zunächst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Man nennt dies gleichnamig machen. Als gemeinsamen Nenner wählt man das kgv der beiden Nenner. Diesen kleinsten gemeinsamen Nenner bezeichnet man auch als Hauptnenner. Hat man die Brüche gleichnamig gemacht, wird wie beschrieben addiert bzw. subtrahiert. 8 7 5 7 = 8 5 7 = 3 7 7 3 + 9 5 =? 1. Hauptnenner suchen: kgv (3, 5) = 15 2. gleichnamig machen: 7 3 = 35 15 und 9 5 = 27 15 3. Addition durchführen: 7 3 + 9 5 = 35 15 + 27 15 = 62 15 Beim Addieren und Subtrahieren gemischter Zahlen kannst du entweder in Brüche umwandeln oder die ganzen Zahlen und die Bruchteile getrennt voneinander adddieren und subtrahieren. 1. Addiere und subtrahiere die gleichnamigen Brüche. 5 4 + 3 4 = = b) 7 15 2 15 = = 16 c) 7 11 7 = d) 19 e) 8 6 29 2 6 29 = f ) 57 5 + 13 5 = 114 + 23 114 = = g) 4 89 234 + 7 61 234 = = h) 12 4 99 5 16 99 = =
17 2. Finde den Hauptnenner und mache die Brüche gleichnamig. c) e) 3 5 = ; 6 10 = b) 2 7 = ; 6 49 = 5 4 = ; 10 8 15 = ; 11 3 = d) 5 12 = ; 3 20 = f ) 1 18 = ; 3 8 = 8 = 3. Addiere bzw. subtrahiere die ungleichnamigen Brüche. b) c) d) 7 10 + 19 30 = + = = 9 4 7 20 = = = 25 18 11 12 = = 1 24 + 11 16 = + = e) 9 7 7 9 = = f ) 11 27 + 20 18 = + = = g) 2 9 140 + 1 13 42 = + = h) 5 26 35 3 11 20 = = 4. Markus möchte sich ein neues Fahrrad kaufen. 2 des Kaufbetrages hat er 5 selbst angespart, seine Oma gibt 1 des Betrages und der Händler verspricht 4 noch 1 Rabatt. Den Rest will Markus sich von seinem Patenonkel zum Geburtstag schenken lassen. Wie groß muss dessen Anteil werden? 10 b) An der Fritz-Walter-Schule betreiben 9 aller Schüler mindestens eine Sportart, 1 sind sogar in mehreren Sportarten aktiv. Wie groß ist der Anteil der 10 6 Schüler, die keinen Sport betreiben und wie groß ist der Anteil, die nur eine Sportart betreiben?
18 7 Multiplikation und Division von Bruchzahlen Zwei Brüche werden multipliziert, indem man jeweils die beiden Zähler und die beiden Nenner miteinander multipliziert. Vor dem Multiplizieren kann falls möglich noch gekürzt werden. Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Auch hierbei kann vor dem Multiplikationsschritt gekürzt werden. Bei der Multiplikation oder Division eines Bruches mit einer ganzen Zahl gibt man der ganzen Zahl den Nenner 1 und geht genauso vor wie beschrieben. Gemischte Zahlen verwandelt man vor der Multiplikation bzw. Division in unechte Brüche. Multiplikation: Division: 7 9 4 3 = 7 4 9 3 = 28 27 35 12 4 21 = 35 4 12 21 = 5 1 3 3 = 5 9 9 4 : 3 8 = 9 4 8 3 = 9 8 4 3 = 3 2 1 1 = 6 1 = 6 Ganze Zahlen: 4 2 9 = 4 1 2 9 = 8 9 Gemischte Zahlen: 3 1 5 : 2 1 3 5 : 4 = 3 5 : 4 1 = 3 5 1 4 = 3 20 3 = 16 5 : 7 3 = 16 5 3 7 = 48 35 Vor dem Multiplizieren das Kürzen nicht vergessen. 1. Multipliziere. c) 5 8 6 8 = b) 7 16 4 21 = 25 9 9 5 = d) 13 4 10 7 = e) 1 3 5 25 18 = f ) 14 27 4 18 35 = g) 12 27 9 4 16 3 = h) 55 63 49 121 99 70 =
19 2. Dividiere. Statt zwei Brüche zu dividieren, wird manchmal auch ein Doppelbruch geschrieben. Ersetze hier einfach den Hauptbruchstrich durch das Divisionszeichen. c) e) g) 6 8 : 3 8 = b) 7 12 : 21 6 = 25 9 : 11 10 = d) 4 5 : 1 4 = 16 9 8 63 = f ) 55 24 22 36 24 10 : 3 5 : 1 2 = h) 6 5 : 36 2 : 18 10 = = 3. Führe die Multiplikationen und Divisionen mit ganzen und gemischten Zahlen aus. 3 1 2 2 3 = b) 7 : 7 16 = c) 1 3 4 2 2 3 = d) 14 5 : 5 3 5 = e) 6 2 7 14 = f ) 24 53 : 8 = g) 2 5 8 1 1 8 : 16 = h) 3 6 7 : 9 1 3 = 4. Der ICE benötigt für die 589 km lange Strecke von Köln nach München 4 3 Stunden. Wie viele Kilometer hat er durchschnittlich pro Stunde zurückgelegt? Berechne ebenso die durchschnittlich pro Stunde zurückgelegte 4 Strecke für eine Regionalbahn, die für die 69 km lange Strecke von Dortmund nach Düsseldorf 1 1 Stunden benötigt. 4 b) 585er Gold besteht zu 585 aus reinem Gold, der restliche Anteil sind Fremdmetalle. Wie viel Gramm Gold sind in einer 25 g schweren Goldkette aus 1000 585er Gold und einem 11 1 g schweren Ring enthalten? 9 c) Für eine große Tombola werden 4500 Lose gedruckt. Ein Dreißigstel aller Lose enthält einen Gewinn. Ein Fünfundzwanzigstel der Gewinnlose gewinnt eine Reise. Wie viele Personen gewinnen eine Reise, wenn alle Lose verkauft werden? Wie groß ist der Anteil der Reisegewinne an der gesamten Zahl der Lose?
20 8 Dezimalzahlen Außer in der Bruchschreibweise kann man Bruchteile auch in Kommaschreibweise angeben. Solche Zahlen heißen Dezimalzahlen oder Dezimalbrüche. Wie bei den natürlichen Zahlen ist bei den Dezimalzahlen jeder Ziffer ein bestimmter Stellenwert zugeordnet. Er ist abhängig davon, an welcher Stelle der Zahl die jeweilige Ziffer steht. Dies veranschaulicht die Stellenwerttafel: Vorkommastellen Nachkommastellen 5. 4. 3. 2. 1. 1. 2. 3. 4. Zehntausender Tausender Hunderter Zehner Einer Komma Zehntel Hundertstel Tausendstel Zehntausendstel Von zwei Dezimalzahlen ist bei gleichen Vorkommastellen die jenige die größere, die (von links gelesen) zuerst eine größere Ziffer hat. H Z E 1 10 1 100 2 0 7 3 4 6 207,346 = 2 100 + 0 10 + 7 1 + 3 1 10 + 4 1 100 + 6 1 1000 = 207 346 1000 1 1000 1. Trage die Dezimalzahlen in die Stellenwerttafel ein und schreibe sie als Summe bzw. schreibe umgekehrt die Summen als Dezimalbruch in Kommaschreibweise. Summenschreibweise H Z E 1 140 + 3 10 + 8 56 + 7 10 + 4 1 1 1 10 100 1000 10 000 Dezimalzahl 1000 1 4 0 3 0 8 140,308 100 + 1 1000 9,5788 981 + 2 100 + 6 10 000 767,006 1 10 + 9 100 + 6 1000 27,0543 0,6801
21 2. Verwandle die gemischten Zahlen in Dezimalzahlen. 5 7 10 = b) 31 8 c) 69 2 1000 e) 9 77 1000 10000 = = d) 187 53 100 = = f ) 900 123 1000 = 3. Verwandle die Dezimalzahlen in gemischte Zahlen. Bei den Nachkommastellen kann man Nullen am Ende einfach weglassen, ohne dass sich der Wert der Dezimalzahl verändert. 12,9860 = b) 3,005 = c) 80,45000 = d) 783,5001 = e) 0,0043 = f ) 22,90100 = 4. Gib die markierten Stellen auf dem Zahlenstrahl als Dezimalzahl und als gemischte Zahl an. 12,44 12 12,5 13 12 44 100 5. Ordne die Dezimalzahlen der Größe nach. Verwende dazu das Kleiner als -Zeichen (<). 54,22; 45,12; 45,21; 45,01; 54,002; 45,202; 40,51 b) 0,09; 0,109; 0,91; 0,019; 1,009; 0,0099; 1,901 c) 808,8; 88,88; 8,808; 88,80; 808,08; 80,88; 8,0088; 0,888
128 Stichwortverzeichnis A Abbrechende Dezimalzahl 24 Absolute Häufigkeit 36 Achsenspiegelung 52 Arithmetisches Mittel 40 Assoziativgesetz 66 Ausklammern 66 Ausmultiplizieren 66 B Betrag 58, 62, 64 Bildpunkt 52 Bruch 22 Brüche addieren 16 Brüche dividieren 18 Brüche multiplizieren 18 Brüche subtrahieren 16 D Dezimalbruch 20, 22 Dezimalzahl 20, 22 Dezimalzahlen addieren 26 Dezimalzahlen dividieren 28 Dezimalzahlen multiplizieren 28 Dezimalzahlen subtrahieren 26 Distributivgesetz 66 Drehung 54 Drehwinkel 54 Drehzentrum 54 Dreisatzrechnung 44 Durchmesser 48 Durchschnittswert 40 E Echter Bruch 12 Erweitern 14 G Gegenzahl 58 Gemischt periodisch 24 Gemischte Zahl 12 ggt 10 Gleichnamig 16 H Hauptnenner 16 K kgv 10 Kommutativgesetz 66 Kongruent 52 Kongruenzabbildung 52, 54, 56 Koordinatensystem 58 Kreisdiagramm 38 Kreise 48 Kreislinie 48 Kürzen 4 M Maßstab 42 Median 40 Mittelpunkt 50 Mittelsenkrechte 50 Mittelwert 40 N Nachkommastellen 20 Negative Zahlen 58 Negative Zahlen addieren 60 Negative Zahlen dividieren 64 Negative Zahlen multiplizieren 62 Negative Zahlen subtrahieren 60 P Periodenlänge 24 Periodische Dezimalzahl 24 Potenzschreibweise 8 Primfaktorzerlegung 8, 10 Primzahl 8 Proportional 44 Prozentrechnung 34 Punktspiegelung 54 Q Quersumme 6 R Radius 48 Reinperiodisch 24 Relative Häufigkeit 36 Runden 30 S Scheitelpunkt 46 Sehne 48 Spiegelachse 52 Streifendiagramm 38 Symmetrieachse 52 T Teilbarkeitsregeln 6 Teiler 6, 10 Teilermenge 10 Term 66 U Unechter Bruch 12 V Verhältnisgleich 44 Verschiebung 56 Verschiebungspfeil 56 Vielfachenmenge 10 Vorfahrtregeln 66 Vorzeichen 58 W Winkel 46 Winkelarten 46 Winkelhalbierende 50 Z Zentralwert 40