Seiten 4 / 5 1 Vorbemerkung: Die Konstruktionsaufgaben sind verkleinert gezeichnet. a) Aus dem Netz wird die Pyramidenhöhe herauskonstruiert. Dies mit dem rechtwinkligen Dreieck HS, wie im Raumbild angedeutet. (Hier durch den rechten Winkel bei H und dem herunterklappen der Strecke S) Danach können wir mit Hilfe der gegebenen Strecken AB, BC und der herauskonstruierten Höhe h das Raumbild fertig stellen. (Vorsicht, BC ist um die Hälfte verkürzt wegen der Raumbild-Darstellung) (KB unter 1 b) 1. AB zeichnen, BC im 45 -Winkel und um die Hälfte verkürzt anhängen (Raumbild!). Aus dem Netz die Strecke SC in den Zirkel nehmen und senkrecht zur Strecke AB bei der Ecke C ansetzen. S.. Vervollständigen. Die Konstruktion verläuft genau gleich wie bei 1a). 1. ittelpunkt H der Grundfläche zeichnen (Netz). ittelpunkt von CD zeichnen (Netz). Lot auf DC durch H (Netz) 4. S mit Zirkel von aus abtragen k (, r S) Lot S, HS gesuchte Höhe h (Netz) 5. Raumbild mit der Grundfläche ABCD beginnen (asse aus dem Netz mit Zirkel herausmessen) 6. ittelpunkt der Grundfläche konstruieren (Diagonalenschnittpunkt H) 7. Senkrechte auf AB durch H zeichnen, von H aus mit dem Zirkel die konstruierte Höhe übertragen S 8. Pyramide vervollständigen. a) H cm HS.5cm B cm (weil die Höhe im gleichsch. Dreieck die Basis halbiert) it dem eingezeichneten Dreieck HS konstruieren wir zuerst die Höhe der Seitenfläche. Danach können wir das gleichschenklige Dreieck SBC zeichnen und darin die gesuchte Strecke abtragen. (Die Basis BC ist senkrecht zur Höhe S!) Lösungen Dossier Pyramiden und Kegel.doc A. Räz / 0.06.01 Seite 1
Seiten 5 / 6 / 7 b) 1. Konstruktion des rechtwinkligen Dreicks ABD.. BD halbieren H. Höhe h senkrecht auf BD bei H abtragen S 4. Dreieck BDS zeichnen 5. SB halbieren 6. D verbinden. 1. Konstruktion der Strecke C im Dreieck BCS. Konstruktion von A im Dreieck ABS. it Zirkel die entsprechenden Strecken übertragen und das Dreieck AC zeichnen. 4. AC halbieren 4 5. 4 verbinden.. a) b) 4 d) AB BC h V a).5 cm. cm 6cm.4 cm b) 4 cm 1 cm 5.5cm 468 cm 5 dm 1.4 dm 9 dm 1606.5 dm d) 7.0 m 7.0 m 4. m 1046.448 m e) d 4e 9f 6def f) 4a 4a 6a 115a 1. G 11.56cm (quadratische Grundfläche). Also ist die Seitenlänge 11.56. cm. Somit kann man die Pyramide zeichnen (nach hinten verlaufende Strecken halbieren). Den Punkt Q im Raumbild einzeichnen 4. Die Schnittfläche einzeichnen 5. Die Strecke AC im Dreieck ABC konstruieren 6. Lot auf AC durch den ittelpunkt von AC, Höhe h 4cm abtragen S 7. Dreieck ACS zeichnen 8. AS halbieren Q 9. QC verbinden. Die verwendeten Formeln entsprechen denjenigen, die im Theorieteil des Dossier angegeben sind. Bitte dort nachschauen. Wird das Volumen verwendet, muss es zuerst mal gerechnet werden! Lösungen Dossier Pyramiden und Kegel.doc A. Räz / 0.06.01 Seite
5 a) V G h, also V 4 4 5 80 Seiten 7 / 8 6.667 cm Für die Oberfläche rechnen wir zuerst mit Pythagoras die Höhe hbc aus (Höhe des Seitendreiecks BCS. in der quadratischen Pyramide ist dies die einzige benötigte Höhe für den antel. hbc Also: hbc H +HS +5 9 5.9 cm Damit ist die Seitenfläche BCS hbc BC 5.9 4 10.77 cm AB Und dies heisst, dass der antel 4 BCS 4 10.77 cm 4.08 cm Und somit ist die Oberfläche S G + S 4 4 + 4.08 59.08 cm V 6.667 cm S 59.08 cm 6 a) Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide ist 46.4 cm. Damit ist die Kantenlänge dieses Quadrates a 46.4 6.8 cm. Die Oberfläche beträgt 1.4 cm, womit der antel 1.4 46.4 76.16 cm gross ist. hbc Also ist eine Seitenfläche (ein Seitendreieck) 76.16 4 19.04 cm gross. Die Höhe des Seitendreieckes ist also Fläche Grundseite 19.04 5.6 cm. 6.8 it Pythagoras können wir jetzt die Pyramidenhöhe berechnen: h S H 5.6.4 4.45 cm. Also ist das Volumen der Pyramide V G h 46.4 4.45 68.59cm AB h 4.45 cm V 68.59 cm 7 a) Die Grundfläche des Tetraeders ist ein gleichseitiges Dreieck. Gemäss unseren früheren Pythagoras-Überlegungen ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck h s Also ist die Grundfläche. In unserem Fall also 10 5 8.66 cm Grundseite Höhe 10 8.66 4. cm Dies ist gleichzeitig die Fläche jeder Seitenfläche. Die Oberfläche des Tetraeders ist also 4 4. 17.1 cm 8 a) In dieser Figur brauchen wir zwei Formeln aus dem Pythagoras-Bereich: 1. Diagonale im Quadrat (d 5 ). Höhe im gleichseitigen Dreieck: h s S 17.1 cm Die Grundseite dieser Pyramide ist das Dreieck GFC. Dies ist zum Berechnen besonders einfach. V G h, wobei die Grundseite G a a, also V a a 6 6 1000 6 166.667 cm mit Zahlen: V 10 Lösungen Dossier Pyramiden und Kegel.doc A. Räz / 0.06.01 Seite
Seite 8 8 b) Die Berechnung der Oberfläche ist etwas schwieriger. Dabei setzt sie sich zusammen aus den vier Dreiecksflächen. Die Dreiecke GFC, HGC und FGH sind dabei kongruent und einfach zu berechnen: AFGC AFGH ACGH a Das Dreieck HFC dagegen ist gleichseitig und zwar mit der Seitenlänge s a. Somit ist die Höhe dieses Dreiecks HFC h s Und dies führt und zur Fläche des Dreiecks HFC: Grundseite Höhe AHFC a a 6 a a 6 AHFC a 1 a 4 a a Die gesamte Oberfläche ist also S a + a a +a a ( + ) it Zahlen gerechnet S 10 ( + ) 100( + ) 6.60 cm 9 a) Das Volumen einer Pyramide ist ja bekanntlich V G h In unserem Fall ist G Seitenfläche des Würfels (Quadratfläche) a Die Höhe ist nicht bekannt. Bekannt ist aber, dass das Volumen des Körpers um drei Viertel des Würfelvolumens vergrössert wird. Also entsprechen alle sechs aufgesetzten Pyramiden diesen drei Vierteln des Würfelvolumens. Als Gleichung Aufgelöst ergibt diese Gleichung: a 4 6a h v a 4 a h HN (4) a 8a h : 8a 4 a 6 a h a 8 h Die Pyramiden haben also eine Höhe von h a 8 Lösungen Dossier Pyramiden und Kegel.doc A. Räz / 0.06.01 Seite 4
Seite 11 Aufgaben Der gerade Kreiskegel 1 a) it den Formeln lassen sich alle Aufgaben relativ leicht berechnen: V G h r h 1 104 1 ( kürzen)104 44096 cm 1 867.96 cm b) Wenn der Grundkreisumfang 4 cm misst ist der Radius dieses Grundkreises r u π r 4 π 6.84cm und somit ist G r π 147.14 cm Formeln im Theorieteil des Dossier nachschauen! V G h, also ist h V G 565 147.14 V G h, also ist G V h 48646 40 11.5 cm 076.9 cm Und damit lässt sich r berechnen, denn G r π, G also ist r π 076.9 π 1.9 cm a) rs, also müssen wir zuerst noch die Strecke s berechnen. (Dies geht mit Pythagoras im skizzierten Dreieck) s 15 + 1 5.81 cm Und somit ist rs 15 5.81 116.1 cm b) Für die Oberfläche brauchen wir zuerst den Radius der Grundfläche. Also auch hier mit Pythagoras im rot markieren Dreieck: r 51-41 0. cm S r + rs r (r+s), also S 0. (0.+51) 7750.016 cm 60 r, dies die Formel für den Netzwinkel. Hier genügt es, die gegebenen Werte s einzusetzen, also: Das Pythagoras-Dreieck ist rot markiert. s ist dabei die Hypothenuse, r und h sind Katheten. 60 r 60 5r 5 7 Berechnung im Kreiskegel G r π (r) π 4 r π Berechnung in der Pyramide G Länge Breite 4r 4r 16r (quadratische Pyramide) V 4 r π 5r 0 r π V 0 r π (Volumengleich wie der Kegel). Die Höhe ist somit h V G oder h.9r 4 a) Für den Netzwinkel brauchen wir r und s. Das gegebene Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck (dies ist mit dem Winkel 60 und der Angabe: gerader Kreiskegel gegeben). Also ist der Radius r 10cm 0 r π 16 r 5 rπ 4 1.5r π S 60 r 60 10 180 s 0 b) Die Oberflächenformel heisst: S r + rs r (r+s). Da wir s und r kennen, können einfach einsetzen. S r + rs r (r+s) 10(10+0) 10 0 00 94.48 cm gleichseitig! s0 cm 60 r B Lösungen Dossier Pyramiden und Kegel.doc A. Räz / 0.06.01 Seite 5
Seite 1 Aufgaben Der gerade Kreiskegel 5 a) Das gegebene Dreieck ist ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck (dies ist mit dem Winkel γ 90 und der Angabe gerader Kreiskegel gegeben). Also ist der Radius r h 8cm. Und nach Pythagoras ist die Strecke s 8 (11.14 cm) Somit ist die Grundfläche G r π 8 π 64π 01.06 cm Lösungen Geometrie-Dossier Pyramiden und Kegel γ90 h8cm gleichschenklig! s Das Volumen beträgt: V G h 64 π 8 56.17 cm b) Die antelfläche berechnet sich nach Formel durch rs 8 8 64 cm 84.45 cm 6 a) Aus den gegebenen Grössen lässt sich die Höhe h und der Radius r einfach berechnen: 1. h V G 6971.5 67.8 78.086 cm r. r G π 67.8 π 9. cm Damit können wir jetzt die antellinie mit Pythagoras berechnen, es gilt dabei: s r + h 9. + 78.086 78.60 cm b) Die antelfläche berechnet sich nach Formel durch rs 9. 78.60 80.8 cm 60 r 60 9. 4.7 s 78.60 7 a) Durch Ähnlichkeit kann man den Durchmesser der Deckfläche des Kegelstumpfes berechnen. Die Gesamthöhe zur Höhe des kleinen Stumpfes verhalten sich wie 6:4, also verhalten sich die Durchmesser entsprechend. Das Volumen des Restkörpers berechnet sich jetzt durch die Differenz des ganzen Kreiskegels minus des kleinen, abgeschnittenen Kreiskegels. 4cm 4cm cm Also VRestkörper Vgrosser Kegel Vkleiner Kegel Ggrosser Kegel r π π 9π Gkleiner Kegel r π π 4π 6cm b) Vgrosser Kegel 9π 6 18π cm Vkleiner Kegel 4π 4 16π cm VRestkörper Vgrosser Kegel Vkleiner Kegel 18π cm 16π Der Netzwinkel des grossen Kegels beträgt: 60 r cm 8π cm 9.794 cm Dreieck für die Berechnung von s 60 s 6.71 160.95 (s mit Pythagoras: s 6-6.71 cm) Entsprechend zeichnen wir den antel des grossen Kegels und dazu denjenigen des kleinen Kegels in die gleiche Figur. Die Restfigur ist die Gesuchte. s 6.71 cm s 4 cm Lösungen Dossier Pyramiden und Kegel.doc A. Räz / 0.06.01 Seite 6