Block-Schema eines einfachen Lock-In s Mixer Input AC-Amplifier u u 3 Low-Pass Filter Output u Referenz Der Mixer u u = U sin( πf ) u = U sin( πf t + Φ) t = u u = UU sin( πft + Φ)sin(πf t + ) 3 Φ Gemäss Additionstheorem: UU u3 = cos π ( f f) t + ( Φ Φ ) UU cos[ π ( f + f) t + ( Φ + Φ ) ] [ ] Differenzfrequenzkomponente Summenfrequenzkomponente
Low-Pass Filter 00%( 0dB) 70.7%( -3dB) 0%( -0dB) f c log(f) Signalbandbreite f c : Frequenz, bei der der Gain auf 70.7% (-3dB) fällt Äquivalente Rauschbandbreite f N (equivalent noise bandwidth) Entspricht idealem Rechteckfilter mit gleichem maximalen Gain, welches den gleichen RMS-output erzeugt Roll off Logarithmischer Abfall des Gains Typisch: -6dB/octave ; -db/octave oder 8dB/octave Mixer und Lowpass f =0Hz f =Hz Φ=90º f L =7Hz Butterworth
Standard-Lock-In-Anwendung Verwende Referenzsignal mit der Frequenz f und messe Antwortsignal des Systems mit der gleichen Frequenz f =f =f Benutze Mixer plus Low-Passfilter, um Summenfrequenz wegzufiltern. UU u3 = cos UU cos [( Φ Φ )] [ π ( f ) t + ( Φ + Φ )] UU u3 = cos U Φ [( Φ Φ )] cos( ) Es lässt sich Amplitude bzw. Phasenverschiebung messen Mixer und Lowpass f =f =0Hz Φ=0º f L =7Hz Butterworth 3
Mixer und Lowpass f =f =0Hz Φ=90º f L =7Hz Butterworth Mixer und Lowpass f =f =0Hz Φ=60º f L =7Hz Butterworth 4
Switching Mixer Bei kommerziellen Lock-In s wird das Referenzsignal in ein Rechtecksignal umgewandelt Bzw. bereits als Rechtecksignal eingespiesen. u 4 [( n + )( πf t + φ )] = sin π n= 0 n + Damit ergibt sich ein phasensensitiver Output für f =(n+)f u U u [ π ( f ( n + ) f ) t + Φ (n + Φ ] 3 = cos ) n= 0 (n + ) π n= 0 U cos (n + ) π [ π ( f + ( n + ) f ) t + Φ + (n + Φ ] ) Durch geeignete Filterwahl wird die entsprechende Komponente gemessen. Da U =const. hängt u 3 nur von der Phase bzw. Frequenz und Amplitude ab Block-Schema eines Lock-In Verstärkers Front-End Phase-Sensitive Detector (PSD) Input Signal AC Filter Broad or narrow Low-Pass Filter DC Output Signal Reference- Input PLL Phase- Shifter 5
PSD-Frequenz Antwort Ein einfacher Lock-In mit Sinusförmiger Referenz ist ein extrem schmalbandiges Filter um die Referenzfrequenz f. Die Breite des Bandpassfilters ist durch f N des Low-Pass-Filters gegeben. PSD-gain f N f f PSD-Frequenz Antwort mit Switching Mixer Mit Rechteckfunktion als Referenzsignal: PSD-gain Harmonic responses /3 /5 u U f 3f 5f f [ Φ (n + Φ ] 3 = cos ) n= 0 (n + ) π Für (n+)φ = Φ : U u3 = = (n + ) π z.b.: U u3 = n= 0 π n 0 für f u3 = n= 0 U 3π für 3f 6
Heterodyne Lock-In Verstärker Heterodyne Lock-In Verstärker benutzen einen zusätzlichen Mixer, um das Eingangssignal der Frequenz f auf eine andere Frequenz umzuwandeln. Entweder werden Summenfrequenz (f i =f +f 3 ) oder Differenzfrequenz (f i =f -f 3 ) benutzt. Der heterodyne Mixer wird verwendet um die Frequenz noch oben oder unten zu konvertieren (up convert f i >f or down convert. f i <f ) Vorteile: Elektronik des Lock-In s kann auf bestimmten Frequenzbereich unabhängig von der Anwendung optimiert werden. -Phasen/ Vektor Lock-In-Verstärker Input u u 3 Low-Pass Filter In-Phase U cos(φ -φ ) φ φ +90º u 3 Low-Pass Filter Out of Phase (Quadratur- Komponente) U sin(φ -φ ) Referenz Idealerweise: φ =φ 7
-Phasen Lock-In Verstärker Es werden PSDs verwendet, wobei eine Phasenverschiebung von 90º zwischen den beiden Referenzsignalen besteht. Im Vektormodus wird die Quadraturkomponente sin(φ -φ ) zu null geregelt. Dann ist U cos(φ -φ )=U phaseninsensitiv und wird auch Vektorlänge (vector magnitude) genannt. Das Reglersignal ist proportional zu φ. r sin(φ ) r cos(φ ) Signalmessung mittels Lock-In Input Noise Power [V/sqrt(Hz)] /f-noise 50(60)Hz white noise f N f R log(f) B N 50Hz oder /f werden reduziert durch geschicktes Wählen der Referenzfrequenz. Durch weisses Rauschen wird die Messung band-limitiert. Angenommen das Instrument hat eine Bandbreite B N =00kHz. Die Rauschbandbreite des Lock-In s f N kann auf /000Hz reduziert werden, d.h. eine Messung dauert etwa 500Sekunden. Das SNR (signal to noise ratio) wird um Faktor 0 4 verbessert. BN f N 5 0 = 3 = 0 0 4 8
f and more See http://www.lockin.de/ An Example: Model EG&G Princeton Applied Research 50 High Performance Dual Phase Analog Lock-in Amplifier Others: ITHACO, Stanford... 9
Spezifikationen Sensitivity Voltage0 nv to 3 V (with output expand) Current0-6 A/V, 0-8 A/V conversion Impedance Voltage00 MΩ // 5 pf Current5 Ω (0-6 A/V) Noise Voltage5 nv/ Hz at khz Current3 fa/ Hz (0-8 A/V) at khz C.M.R.R.0 db at khz Frequency Response0.5 Hz to 0 khz Dynamic Reserve30 db (max) DetectionPhases ModesF, F Output ModesX,Y, (%): X,Y, (V): R,θ, NoiseTime constant00 µs, ms to 3000 s Roll-off6 or db/octavevoltage 0 V FS Impedance kω Oscillator Voltage0 to V rms ( mv steps) 0 to 5 V rms (software only) Frequency0.5 Hz to 0 khz Impedance kω Ein Lock-In Experiment Eine Grösse p wird langsam verändert und gleichzeitig moduliert mit der Referenzfrequenz ω=πf: p(t, ω) = p(t) + a cos(ωt) Die Antwort des Systems wird mittels eines Sensors gemessen: f f g( t) = f ( p( t)...) = f ( p( t)) + a cos( ωt) + ( a cos( ωt)) +... p p p( t) p( t) In erster Näherung misst ein Lock-In die erste Ableitung der Antwortfunktion und die. Ableitung im f-modus. Gilt nur für kleine Amplituden. D.h. die ursprüngliche Antwortfunktion kann durch Integration bestimmt werden. Die Antwortfunktion wird auch Systemfunktion oder Suszeptibilität des Systems genannt. 0
Physikalische Beispiele Methode Anregung p Antwort g ESR/NMR Magnetfeld RF-Frequenz Magnetisierung Auger Energie/Spannung Anzahl Elektronen STM-Spektroskopie Distanz Spitze-Probe Tunnel-Strom Magnetometer Position Probe Magnetisierung Eine etwas andere Betrachtungsweise Korrelationsfunktion: R( δ ) = lim f ( t) g( t + δ ) dt τ τ Verzögerung oder Delay δ. Falls f(t) und g(t) korreliert sind, so ist R(δ) 0. Falls g(t) stark verrauscht ist, wird f(t) als Referenz benutzt, um eine Korrelation zu finden. Im einfachsten Fall f(t)=a sin(ωt) als Referenz und g(t)=bsin (ωt+ δ) als Antwort. Somit erhält man die Autokorrelationsfunktion nt ab R( δ ) = t t dt nt sin( ω )sin( ω + δ ) 0 Die Integration ist ein Zeitmittel: 0 s ( t) s( t + δ ) Der Lock-In misst also eine Art Autokorrelationsfunktion. nt
Rauschen oder Signal? Falls es sich um unkorreliertes Rauschen handelt: R( δ ) = s( t) s( t + δ ) = 0 Bei einem signifikanten, korrelierten Signal erhält man von Null verschiedene Werte. Beachte, dass die Autokorrelationsfunktion die inverse Fouriertransformierte der power spectral density S(ω) (W/Hz ) ist. (Eine Grösse welche mit einem Spektrumanalyzer gemessen werden kann.): 0 R( δ ) = S( ω)exp( iωδ ) dω π Respektiv: 0 S( ω) = R( δ )exp( iωδ ) dδ Typische Autokorrelationsfunktion sin( Δω δ ) R( δ ) cos( ωδ ) Δω δ Wobei Δω die Bandbreite der Messung ist. Ein typische sin(x)/x Abhängigkeit.