Rolf Stahlberger Alexander Golfmann Lineare Algebra Grundlagen der Vektorrechnung fsg Verlag
Impressum Herausgeber: FSG Verlag Alexander Golfmann Augustenstr. 58 80333 München info@fsg-verlag.de www.fsg-verlag.de Version Nr.: 03-2014-0001 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der Entnahme, des Nachdrucks, der Vervielfältigung, Veröffentlichung oder sonstiger Verwertung ist untersagt und wird strafrechtlich verfolgt. Alle Rechte vorbehalten. 2013 FSG Verlag 2 www.fernstudium-guide.de
Inhaltsverzeichnis 1 Zweidimensionaler Vektorraum 5 1.1 Einführung 5 1.2 Lineare Unabhängigkeit 14 1.3 Skalarprodukt 21 1.4 Hessesche Normalform 31 2 n-dimensionaler Vektorraum 40 2.1 Einführung 40 2.2 Lineare Unabhängigkeit 47 2.3 Skalarprodukt 54 2.4 Übungsaufgaben 60 2.5 Zusammenfassung 73 2.6 Allgemeine Übungen 75 3 Matrizenrechnung 79 3.1 Einführung 79 3.2 Multiplikation von Matrizen 81 3.3 Spezielle Matrizen 83 3.4 Übungsaufgaben 88 www.fernstudium-guide.de 3
4 Lineare Gleichungssysteme 106 4.1 Einführung 106 4.2 Der Rang einer Matrix 109 4.3 Lösen linearer Gleichungssysteme 116 4.4 Inverse einer Matrix 123 4.5 Input-Output Relationen 134 4.6 Übungsaufgaben 138 4.6.1 Übungsaufgaben LGS 146 4.7 Hyperräume 160 4.8 Zusammenfassung 168 5 Lineare Planungsrechnung 172 5.1 Einführung 172 5.2 Grafische Lösung 176 5.3 Simplex-Algorithmus 181 5.4 Zusammenfassung 185 5.5 Übungsaufgaben Simplex 192 5.6 Übungsaufgaben gemischt 203 4 www.fernstudium-guide.de
1 Zweidimensionaler Vektorraum 1.1 Einführung Wozu Vektorrechnung: Vektoren benötigt man beispielsweise zur Berechnung von Landkarten, für Routenplaner aber auch in den Naturwissenschaften und der Ökonomie. Zu Beginn einige Definitionen: IR 2 = IR x IR ist eine Zahlenmenge aus jeweils zwei reellen Zahlen, die zu einem Paar (sogenannte Zweitupel) zusammengefasst werden. Ein solches Paar ist etwa (2,1). Wir nennen IR 2 den zweidimensionalen Vektorraum. Ein Vektor ist ein Element der oben dargestellten Zahlenmenge IR 2. Wir unterscheiden nicht zwischen Punkt oder Vektor. Man schreibt den Vektor als Spaltenvektor in der Form Den Zeilenvektor erhält man, indem man den Spaltenvektor transponiert : Transponiert man den Zeilenvektor, erhält man wieder den Spaltenvektor: Der Vektor heißt der Nullvektor. Der Vektor und der Vektor heißen Einheitsvektoren des zweidim. Vektorraums. Ein (zweidimensionaler) Vektor ist als Pfeil darstellbar. Wir schreiben daher Vektoren benötigen zur Darstellung ein Koordinatensystem: Beispiel: Es seien die drei nachfolgenden Vektoren bzw. Punkte zu zeichnen. Dabei zeichnet man an der waagrechten x-achse (die Abszisse) die obere Komponente. Die untere Komponente des Vektors trägt man auf der senkrechten y-achse (Ordinate) ab. 5 www.fernstudium-guide.de
Merke: In einem zweidimensionalen Vektor steht in der oberen Komponente der Wert, der auf der x-achse abzutragen ist. In der unteren Komponente steht der Wert für die y-achse. Abbildung 1 VEK OR y-achse 6 5 p 2.5 Q = 4 1 1-5 -4-2.5 0 2.5 5 7 x-achse -2.5-3 5 R = 3 Abbildung 2 Rechenregeln für Vektoren - 1. Die Addition von Vektoren: Vektoren können genauso wie Zahlen addiert werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Vektoren aus dem gleichen Vektorraum stammen müssen. Bei der Addition wird komponentenweise aufaddiert. www.fernstudium-guide.de 6
Beispiel: Gegeben seien die folgen vier Vektoren. Die Summe der Vektoren erhalten wir komponentenweise. y 5-10 -7-5 0 5 10 x -5 P= (-7, -9) -9-10 Abbildung 3 7 www.fernstudium-guide.de
Rechenregeln für Vektoren - 1. Die Subtraktion von Vektoren: Vektoren können genauso wie Zahlen subtrahiert werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Vektoren aus dem gleichen Vektorraum stammen müssen. Bei der Subtraktion wird komponentenweise subtrahiert. Beispiel: Gegeben seien die folgen zwei Vektoren. Die Differenz der Vektoren erhalten wir komponentenweise. Man subtrahiert dabei einen Vektor b von einem anderen Vektor a, indem man das negative von Vektor b zu Vektor a addiert. y -3-2 -1 0 1 2 3 x -1-2 a-b -3 a+b a -4 -b -5 a -b Abbildung 4 www.fernstudium-guide.de 8