Physik für Pharmazeuten und Biologen MECHANIK I Kinematik Dynamik
MECHANIK Bewegungslehre (Kinematik) Gleichförmige Bewegung Beschleunigte Bewegung Kräfte
Mechanik I 1.1 Kinematik Kinematik beschreibt Ablauf einer Bewegung Bewegung definiert relativ zu Bezugssystem Koordinatensystem Ursprung O r ( t ) Ortsvektor zu Massepunkt zum Zeitpunkt t Einschub Vektorrechnung: Addition Subtraktion skalare und vektorielle Multiplikation
Mechanik I Geschwindigkeit Differenz der Ortsvektoren zu t 1 und t r r r = ( t ) ( t ) 1 mittlere Geschwindigkeit: Ortsdifferenz / Zeitdifferenz r r ( t) ( t1) v = r r t = t t1 momentane Geschwindigkeit: Grenzfall t t 1 r ( ) ( 1) ( ) lim lim r v t t = = r t 1 t t t t t 1 1 t t 1 [ l] Einheit m [ v ] = [ t] = s geradlinige Bewegung: Richtung von v r ist konstant gleichförmige Bewegung: Größe von v r ist konstant
Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe Ein Vektor hat einen Betrag (Länge des Pfeils) und eine Richtung. y v = m 3 s v y = 3 m s v v v = v x + v y = 9 m s + 4 m s = 13 m s vx = m s x Die x- und y-komponenten erhält man durch Projektion auf die Achsen
Mechanik I Beschleuningung Differenz der Geschwindigkeitsvektoren zu t 1 und t r r r v = v( t ) v( t ) 1 mittlere Beschleunigung: Geschwindigkeitsdiff./ Zeitdifferenz r v v( t) v( t1) a = = r r t t t 1 momentane Beschleunigung: Grenzfall t t 1 r ( ) lim lim v r v at t = = v r t Einheit 1 t t t t t m s 1 1 [ a ] = = [ l] [ t][ t] ( ) ( 1) t t 1 Tangentialbeschleunigung: Richtung der Geschwindigkeit wird geändert Normalbeschleunigung: nur ändert sich v r a r v r ( )
Vektor-Charakter der Beschleunigung v[m/s] Auch die Beschleunigung ist ein Vektor. r v r a = lim t 0 = d r v m t dt s a dv dt = und ds d s v = a = dt dt t[s]
Mechanik I einfache Bewegungen gleichförmig geradlinige Bewegung (Tropfenwagen, nur eine Richtung nur skalar): r( t) = r + vt 0 gleichmässig beschleunigte Bewegung -konstante Kraft bewirkt konstante Beschleunigung: a = F m -v ändert sich linear mit der Zeit: v( t) = v0 + at 1 -r ändert sich quadratisch mit der Zeit: r( t) = r + v t + at -bei einfachen Anfangswerten (r 0 =0, v 0 =0): 0 1 0 freier Fall: Spezialfall der beschleunigten Bewegung (Fallschnüre) Entsprechend Gravitationsgesetz (siehe später) erfährt jeder Körper eine Beschleunigung von (Galileis Fallexperimente) a = g = 9,81 m/ s Erdbeschleunigung Dartpfeil v = at, r = at, v = ar
Wichtige Formeln: die gleichförmig beschleunigte Bewegung a [ m ] s a a ( t ) = a v [ m s ] t [ s ] v ( t ) = t a 0 dt v ( t ) = a t + v 0 s v 0 [ m ] s 0 t t [ s ] [ s ] t ( a t ) s ( t ) = + v 0 dt a s + ( t ) = t + v 0 t s 0 0
Experiment: Fallender Körper im Schwerefeld (Fallschnur) a s + mit v = 0, s = 0, a ( t) = t + v0 t s0 s( t) = 0 a t 0 = g gilt
Mechanik I Addition von Geschwindigkeiten alle vektorielle Größen können addiert werden! Ort bekannt aus Mathematik. Aber auch Geschwindigkeit, Beschleunigung,... Experiment: Kanonenwagen Geschwindigkeit von Wagen und Kugeln addieren sich Bezugssystem: Laborsystem: Wagen bewegt sich, zusätzlich Kugel Wagen: Kugel bewegt sich Inertialsystem: nichtbeschleunigtes Bezugssystem
Mechanik I Experiment Kanonenwagen
Gleichzeitig verlaufende Bewegungen überlagern sich ungestört und addieren sich geometrisch Beispiel: Bewegung eines Boots v ges v Fluß v Fluß v v Boot v Boot v ges = v Fluß + v Boot
Mechanik I Versuche Dartpfeil Fallschnur
Mechanik I Experiment: g Dartpfeil auf fallende Scheibe g
Paradebeispiel: Der waagrechte Wurf y a=g v 0 h 0 x Wie weit entfernt landet der Ball? Welches ist der Aufschlagwinkel? Galileo Galilei (1564-164)
In der Natur vorkommende Geschwindigkeiten Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) : 3 10 8 m / s Schallgeschwindigkeit : 3 10 m / s Wasserstoff bei T=300K (im Mittel) : 10 3 m / s Elektronen in der Fernsehröhre : 1 10 6 m / s Schuss aus einer Gaspistole :?
Experiment: Mechanik I Messung der Geschossgeschwindigkeit [Tafel]
Anwendungsbeispiel: Neutronen-Flugzeit-Spektrometer Auswahl Mechanik / Analyse I der Neutronen-Geschwindigkeit mit rotierenden Schlitzen (chopper) Bei 0 C (= 93 K) ist v Neutron = 00 m/s am wahrscheinlichsten (Bolzmannverteilung) Wassermoderator (DO)
Anwendung beschleunigte Bewegung: Massenspektrometer (time of flight) TOF Analysator F m Beschleunigung : ( ) el 10 14 a = 10 10 [ m / s ] s(t) s Weg-Zeit Diagramm freier Flug Beschleunigung s 1 t 0 t 1 t [µs]
Matrix-assisted laser desorption/ionization (MALDI) Quelle : Lottspeich
Winkelmessungen b Das Bogenmaß ϕ = b r Obwohl das Winkelmaß einheitenfrei ist, verwendet man die Einheit rad ϕ r Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß: Für 360 (Vollkreis) gilt : b π r b = π r ϕ = = = π r r (Kreis-Umfang) ϕ = ϕ π 360 z.b. 45 = 0.785 rad = π / 8 rad
y Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit s y = r sinϕ ϕ x = r cosϕ x v s = r cos(ϕ) r sin(ϕ ) Während der Kreisbewegung wächst der Winkel gleichförmig mit der Zeit an. ϕ (t) = ω t ω : Winkelgeschwindigkeit ω = π f = π T f: Frequenz, Drehzahl (Einheit: 1/s oder Hz) T: Umlaufszeit, Periodendauer
Die Newtonschen Grundgesetze 1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip) Ein Körper, der sich völlig selbst überlassen ist, verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung.. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip) Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als F = m a (für m=konstant) F = d ( m v) / dt (allgemein gültig) 3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip) Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, ist die Kraft F 1 auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft F 1 auf den anderen Körper. F = 1 F 1 [N=kg m/s = 1 Newton] m : träge Masse (actio=reactio)
Mechanik I Experiment actio = reactio
Schwere und träge Masse Die Materie besitzt neben der Trägheit auch noch die Eigenschaft der Schwere. Aber : schwere und träge Masse sind identisch! F Gewicht = m s g F Beschl = m t a =1 a = m s m t g = g Äquivalenzprinzip Fundamentaler Zusammenhang zwischen Trägheit und Gravitation
Experimentelle Grundlage des Dynamischen Grundgesetzes v F = m a v Masse [kg] Beschleunigung[m/s ] Newton (N) =[kg m/s ]
Mechanik I 1. Dynamik Dynamik erklärt Ursache der Bewegung(sänderungen) Trägheit: Galilei: geradlinig gleichförmige Bewegung (ggb) bedarf keiner Ursache Galileisches Trägheitsprinzip Aktionsprinzip: Newton: Kraft ist notwendig, um Körper aus ggb zu bringen, verursacht Beschleunigung, verschiedene Körper werden durch gleiche Kraft unterschiedlich beschleunigt. r r r F = ma = mr && Einheit der Kraft: [ F] = [ m][ a] = kgm/ s = N Newton ( )
Mechanik I Newtons Axiome Newton baute gesamte Mechanik auf drei Sätzen auf: 1) Trägheitsprinzip: Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich geradlinig gleichförmig. (Ruhe ist Spezialfall mit r v = 0 r ) ) Aktionsprinzip: Wenn eine Kraft auf einen Körper mit der Masse m wirkt, beschleunigt F r sie ihn mit r r 3) Reaktionsprinzip: a = && r = F m Wenn die Kraft, die auf einen Körper wirkt, von einem anderen FKörper r ausgeht, so wirkt auf diesen die entgegengesetzt gleiche Kraft F r
Mechanik I Kräfte Gravitationskraft: Kraft zwischen Massen Gravitationsgesetz: ( ) ( ) F = F r r = F r r = F 1 1 1 Gravitationskonstante r r m1m F = G r r Gewichtskraft (Schwerkraft): G 11 Nm 6,67 10 kg m 1 =M=5.98 10 4 kg Erdmasse r=r=6 378388 m Erdradius FG = mg mit g = GM = 9,81 m/ s R g hängt von h (Meereshöhe), bzw. geographischer Breite ab. Gravitationskraft verantwortlich für Bewegung der Planeten etc. (Kepler), Gezeiten
Mechanik I Kräfte Federkraft aus Beobachtung: rücktreibende Kraft F el ist Auslenkung proportional r r r F = kx = F el k...federkonstante später: Reibungskraft, Zentrifugalkraft, Zentripetalkraft, Auftrieb(skraft), innere Reibungskraft in Flüssigkeiten, Stömungswiderstand, Adhäsions-und Kohäsionskraft, Kräfte zwischen Ladungen und Strömen,...
Mechanik I Zusammenfassung Kinematik Beschreibung der Bewegung Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung Dynamik Ursache der Bewegung Newtons Axiome Kräfte: Gravitationskraft, Federkraft einfache Bewegungen