Beschrebung des Zusammenhangs zweer metrscher Merkmale Streudagramme Korrelatonskoeffzenten Regresson
Alter und Gewcht be Kndern bs 36 Monaten Knd Monate Gewcht 9 9 5 8 3 4 7.5 4 3 6 5 3 6 4 3.5 7 35 5 8 8 9 3 3 0 36 3 34 4. 0. 3.5 3 30 4.5 4 5 5 4 6 9 4
Alter und Gewcht be Kndern bs 36 Monaten 6 4 0 kg 8 6 4 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 Monate
Korrelatonskoeffzenten Das Ausmaß des Zusammenhanges kann mt Korrelatonskoeffzenten quantfzert werden. Der Korrelatonskoeffzent legt zwschen und. Legt der Korrelatonskoeffzent nahe be... starke postve Korrelaton. 0... kene Korrelaton -... starke negatve Korrelaton.
Bespele für Korrelatonskoeffzent nach Pearson 3 3-3 - - 3-3 - - 3 - - - - -3 r = -0.86-3 r = 0.6 3 3-3 - - - 3-3 - - - 3 - - -3 r = - -3 r =
Korrelatonskoeffzent nach Pearson 3-3 - - 3 - - -3 r = 0.03
Berechnung des Korrelatonskoeffzenten nach Pearson Gegeben snd de Merkmale X und Y für n Beobachtungsenheten: X Y 3 3 4 4...... n n
Berechnung des Korrelatonskoeffzenten nach Pearson Der Korrelatonskoeffzent nach Pearson wrd mttels folgender Formel berechnet: s s r = = b s s s s s s de Standardabwechung des Merkmals X, de Standardabwechung des Merkmals Y, de Kovaranz der Merkmale X und Y s beschrebt de gemensame Streuung der - und der -Werte. s = n n ( )( ) =
Berechnung der Kovaranz 0 0 XY Y X n n ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n = n ) )( ( = = n n s ) )( ( = = n n n ) (
Bsp 7-: Sparlestung n Abhänggket vom Enkommen 40 30 0 0 Sparen 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 Enkommen
Berechnung des Korrelatonskoeffzenten nach Pearson Fortsetzung Bespel 7.: Mttelwert und Standardabwechung für das Enkommen: µ = 39.800, s = 9.87 Mttelwert und Standardabwechung für das Sparvolumens µ =.300, s = 8.5, De Stchprobenkovaranz beträgt s = /9[(-39.8)(-.3)+ + (3-39.8)(7-.3)] = 5.78 Somt berechnet sch der Korrelatonskoeffzenten nach Pearson: 5,78 r = = 0.943 9.87 8,5
Streudagramm mt SPSS Zunächst Graphken->Streudagramm lefert Wähle Enfach und dann Defneren
Korrelaton mt SPSS Analseren->Korrelaton->Bvarat lefert
SPSS Output Korrelaton Enkommen Sparen **. Korrelatonen Korrelaton nach Pearson Sgnfkanz (-setg) N Korrelaton nach Pearson Sgnfkanz (-setg) N Enkommen Sparen,000,943** De Korrelaton st auf dem Nveau von 0,0 (-setg) sgnfkant.,,000 0 0,943**,000,000, 0 0
Korrelatonskoeffzent nach Pearson Abhänggket von Ausreßern Y 0 Y 0 - - 0 - - 0 - - - - X X r=0.00 r=0.59
Korrelatonskoeffzenten 0 8 0 8 6 6 4 4-0 -8-6 -4 - - 4 6 8 0-0 -8-6 -4 - - 4 6 8 0-4 -4-6 -8-0 r = Der Korrelatonskoeffzent gbt kene drekte Auskunft über de Stegung der Geraden (dafür haben wr Regresson). Folglch st en m statstschen Snn starker Zusammenhang ncht unbedngt en praktsch relevanter Zusammenhang. -6-8 -0 r =
Korrelatonskoeffzenten Ene statstsche Korrelaton bedeutet ncht notwendgerwese enen relevanten Zusammenhang bedeutet ncht notwendgerwese enen kausalen Zusammenhang: Es kann enen drtten Faktor geben, der de beden anderen bestmmt: Be Kndern st etwa Gewcht und de Schnellgket bem Laufen postv korrelert. kann auch auf ener Schenkorrelaton beruhen
Schenkorrelaton Quelle: http://www.phl.un-sb.de/~jakobs/semnar/vpl/epost/kausal.htm r=0.6
Mandbularbrete postoperatv - Mandbularbrete präoperatv (mm) Bvarate deskrptve Verfahren Regresson 0 5 0 5 0-5 -0-5 -0 90 00 0 0 30 40 50 Mastodbrete präoperatv (mm)
ŷ Mandbularbrete postoperatv - Mandbularbrete präoperatv (mm) Bvarate deskrptve Verfahren Regresson 0 5 0 5 0-5 -0-5 -0 90 00 0 0 30 40 50 Mastodbrete präoperatv (mm) e
Bvarate deskrptve Verfahren Regresson Geradenglechung allgemen: = k + d Regressonsgerade: ˆ = b0 + b wobe de Stegung b und der Achsenabschntt b 0 folgendermaßen berechnet werden (Andere Formel als m Buch Sete 86): b s s = r s = b 0 = b s
Regresson: Resduen Man wählt jene Gerade als Regressonsgerade für de glt, dass de Quadratsumme der Resduen am klensten st. = = = = n n e SQR ) ˆ ( st zu mnmeren! d.h. b b e = = 0 ˆ Lefert de Formeln für b 0 und b am (vgl. Buch S. 86)
Egenschaften der Resduen n = e = 0 n = e = 0 n = e (ˆ ) = 0 Man prüft de Qualtät des Modells mttels sogenannter Resduenplots
Bestmmthetsmaß Zunächst gegeben als r (legt somt zwschen 0 und ) Berechnung mttels Resduen: r = n = n = ( e ) r = Durch Regresson erklärte Varanz von Y Gesamtvaranz von Y Spelt be Mehrfachregresson ene große Rolle
Testen der Regressonsgerade bzw. des Korrelatonskoeffzenten Annahme: De Störterme e snd unabhängg und normalvertelt: N(0, b Teststatstk: T = (Sehe Buch S. 9) s b σ e Folgt ener T-Vertelung ) Alternatve: T = r n r
Testentschedung (Wederholung) Sgnfkanznveau α H 0 : b = 0, H : b 0 Entschedung für H falls T ( t) > Q n α ( ) Des entsprcht, dass p-wert < α (vgl. SPSS) Buch S. 9: Konfdenzntervalle für b
Regresson mt SPSS Analseren->Regresson->Lnear lefert Unabhängge Varable (): Enkommen Abhängge Varable (): Sparen
Regresson mt SPSS, Statstken
Regresson mt SPSS: Output Bestmmthetsmaß: Modellzusammenfassung Modell Standardf Korrgertes ehler des R R-Quadrat R-Quadrat Schätzers,943 a,889,875,8775 a. Enflußvarablen : (Konstante), Enkommen Das Ausgabefenster ANOVA st erst für Mehrfachregresson von Bedeutung, wchtg snd jetzt de Koeffzenten Modell (Konstante) Enkommen a. Abhängge Varable: Sparen Ncht standardserte Koeffzenten Koeffzenten a Standard serte Koeffzen ten 95%-Konfdenzntervall für B Standardf B ehler Beta T Sgnfkanz Untergrenze Obergrenze -3,039,6 -,430,9-7,94,863,385,048,943 7,984,000,74,497
Interpretaton des SPSS - Output De Spalte B gbt Auskunft über de Glechung der Regressonsgerade: ˆ = 3,039 + 0, 385 De Spalte T gbt de Teststatstk für b 0 (m Buch ncht durchgenommen) und b (T=7.984). Rechts davon n der Spalte Sgnfkanz befnden sch de entsprechenden p-werte. Schleßlch haben wr n den letzten beden Spalten de Konfdenzntervalle für de beden Koeffzenten. Für b erhalten wr, dass aufgrund der Daten mt 95% Wahrschenlchket de Gerade ene Stegung zwschen 0,74 und 0,497 hat.
Vorhersagen Mttels Regresson Prognose für den Mttelwert: Welchen Wert nmmt an ener Stelle m Mttel an? Indvduelle Prognose: Welchen Wert nmmt ene neue ndvduelle Beobachtung von an ener Stelle an? Zur Berechnung des Schätzers Ensetzen n Geradenglechung! Untersched legt ncht m Schätzer, sondern n der Genaugket des Schätzers Konfdenzntervalle Buch S.94 Konfdenzntervalle für den Mttelwert snd enger als für de ndvduelle Prognose