CHEMISCHES RECHNEN II

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1 Arbetsunterlagen zu den VU CHEMISCHES RECHE II Enhet 3 ao. Prof. Dr. Thomas Prohaska (Auflage Ma 5) Berechnung von Kalbratonskurven Muthgasse 8, A-9 Wen, Tel.: , Fax: , thomas.prohaska@boku.ac.at,

2 9 Kalbrerung und Regressonsanalyse 7. Grundlagen (Theore) 7.. Kalbratonsgerade lneare Regresson Vele Analysenmethoden bedürfen der vorhergen Kalbrerung, um aus enem für ene unbekannte Probe gemessenen Messwert $y enen Konzentratonswert $x zu berechnen. Dazu werden Proben mt bekannter Konzentraton (Kalbrerproben oder Standards) analysert und das Messgnal gegen de Konzentraton aufgetragen. Häufg st nnerhalb enes bestmmeten Arbetsbereches, dem lnearen Berech der Analysenmethode, der gemessene Messwert y dem Konzentratonswert x des Analyten n der Probe drekt proportonal. Dann kann der Konzentratonswert ener unbekannten Probe aus dem Messwert mt Hlfe ener lnearen Kalbrerfunkton (Kalbrergeraden), de durch Analyse von Kalbrerproben mt bekanntem Gehalt des Analyten ermttelt werden kann, berechnet werden. De Ermttlung der lnearen Kalbrerfunkton erfolgt mttels lnearer Regresson (Methode der klensten Quadrate). Zel der lnearen Regresson st es, ene Ausglechsgerade (Regressonsgerade) zu fnden, de de Abhänggket des Messwertes y vom Konzentratonswert x optmal, d.h. am wengsten fehlerbehaftet, beschreben kann. De entsprechende Geradenglechung lautet: y = m x + b Snd de Stegung m und der Ordnatenabschntt b der Geradenglechung bekannt, kann von jedem Messwert $y der dazugehörge Konzentratonswert $x berechnet werden gemäß: $x = $y b m Aus den vorlegenden x/y-wertepaaren, de durch de Analyse der Kalbrerproben (Standards) erhalten werden können, lassen sch de Stegung und der Ordnatenabschntt der Regressonsgeraden berechnen. Es st zweckmäßg, zunächst folgende Größen, de sogenannten Quadratsummen, zu defneren: Q xx = x - = Q yy = y - = ( x ) = ( y ) = Q xy = ( x y ) = - = x = y De Stegung m der Regressonsgeraden lässt sch dann we folgt berechnen:

3 m = Q Q xy xx Se stellt en Maß für de Empfndlchket der Methode dar. Je größer de Stegung der Geraden st, desto höher st de Empfndlchket des Verfahrens. Der Ordnatenabschntt b lässt sch folgendermaßen berechnen: b = y - m x Dabe stellt x das arthmetsche Mttel der Gehalte aller Kalbrerproben (de Abszsse des Schwerpunktes der Regressonsgeraden) und y das arthmetsche Mttel der Messwerte aller Kalbrerproben (de Ordnate des Schwerpunktes der Regressonsgeraden) dar. Se ergeben sch aus: x = = x und y = = y Häufg werden auch der Korrelatonskoeffzent r oder das Bestmmthetsmaß r herangezogen, um de Güte der Anpassung durch de Regressonsgerade zu beurtelen. Der Korrelatonskoeffzent verglecht de Streuung der Punkte von der Regressonsgeraden mt der Gesamtstreuung des Verfahrens. Der Korrelatonskoeffzent st ene Indexzahl, de angbt, ob und we en Varablenpaar (x;y) mtenander verknüpft st (korrelert). De Werte des Korrelatonskoeffzenten legen zwschen - und + (negatves Vorzechen für fallende Gerade, postves Vorzechen für aufstegende Gerade). De Berechnung des Korrelatonskoeffzenten erfolgt gemäß: r = = = [( x x) ( y y)] ( x x) ( y y) = Ist der Korrelatonskoeffzent n der ähe von ull, st en funktonaler Zusammenhang zwschen x und y ncht erkennbar. mmt der Korrelatonskoeffzent Werte n der ähe von Ens en, st en lnearer Zusammenhang zwschen den Konzentratonswerten x und den Messwerten y wahrschenlch. Das Quadrat des Korrelatonskoeffzenten nennt man Bestmmthetsmaß r. Der Vortel des Bestmmthetsmaßes als Indexzahl st, dass zum enen r mmer postv st und zum anderen der Indexwert schärfer wrd (z.b. ergbt sch für r =,95 en Wert von r =,95). Der Korrelatonskoeffzent bzw. das Bestmmthetsmaß snd jedoch nur bedngt tauglch, um de Güte ener Anpassung zu beurtelen. Man kann aus desen Indexzahlen z.b. ncht entnehmen, ob ene lneare oder ene quadratsche Anpassung günstger wäre. Um de Qualtät des lnearen Ansatzes zu bewerten, st de Resdualanalyse geegnet. Herzu werden de Resduen (Restfehler) normert. Dazu dvdert man de Resduen aller Meßpunkte durch de Standardabwechung aller Resduen, also de Verfahrenstandardabwechung. Man erhält de normerten Resduen nach: y m x b ( + ) u = s y Dabe st zu beachten, dass der wahre Konzentratonswert µ des Analyten n der Probe ncht bekannt st und nur durch das Analyseverfahren abgeschätzt werden kann. Jede Analysenmethode st jedoch fehlerbehaftet. Der Gesamtfehler, der dabe gemacht wrd, besteht aus der Summe der Fehler, de be der Analyse der Probe gemacht werden, und den Fehlern, de be der Kalbrerung entstehen.

4 Bespel : Be der Analyse von Ble wurden mt Hlfe von ICP-MS folgende Standards gemessen: Konzentraton (ppb) Intenstät Pb (cps) Aus den Daten ergbt sch folgende Geradenglechung: y = 9933 x Für ene unbekannte Wasserprobe wurde nun en Pb Sgnal von 7. gemessen. Aus der Geradenglechung ergbt sch daraus ene Konzentraton von: 7 = 9933 c => c = 35 ppb lneare Kalbraton Intenstät (counts per seconds) y = 9933x R =.9998 gemessenes Sgnal n der Probe Konzentraton (ppb) 7.. ncht lneare Regresson Velfach ergeben sch für ene Kalbraton ene ncht lneare Funkton (z.b. AAS Analytk). Dese Funkton wrd allerdngs von der Software der Analysengeräte drekt berechnet und zur Konzentzratonsbestmmung der unbekannten Probe herangezogen. Als Annäherung kann aber ene Plynomfunkton höherer Ordnung zwschen Punkten als Gerade angenähert werden. In der praktschen Durchführung sucht man sch gemessene Punkte der Kalbratonsfunkton zwschen denen der Messwert legt und nterpolert ene Gerade. Über dese Geradenglechung kann nun annähernd de Konzentraton der unbekannten Probe berechnet werden. 3

5 Bespel : De Analyse der folgenden Standards ergab folgendes Ergebns: Gemessenes conc ng g- Sgnal Sgnal der unbekannten Probe y = x.5 R = B gemessenes Sgnal zwschen A und B nterpolerte Gerade A Konzentraton / ppb (a) Daraus ergbt sch ene Funkton () mt y = x.5. De unbekannte Probe ergbt en Sgnal von. Aus der obgen Funkton () ergbt sch aus x = (y/) und somt für de Probe ene Konzentraton von 36, ppb. (b) Wenn man nun lnear zwschen den Punkten A und B nterpolert: Der Messwert legt zwschen dem Standard A (3 ppb / 95) und B (4 ppb /65). Zwschen desen beden Punkten ergbt sch folgende Gerade y = m x + b m = (65-95)/(4-3) = 7 enen Punkt ensetzen: 65 = 7*4 + b => b = 585 Daraus ergbt sch zwschen den beden Punkten de Gerade () y = 7x +585 Es st klar erschtlch, dass dese Gerade nur n enem sehr klenen Berech mt der ursprünglchen Funkton überenstmmt, n desem Berech allerdngs sehr gut für de Berechnung der Konzetnraton geegnet st: Unbekannte Probe: Sgnal = aus Geradenglechung (): x = ( - 585)/7 = 36, ppb. 4

6 Deses Resultat st ene gute Annäherung an das Ergebns. (Anm.: Man muss bedenken, dass de mesten Analytschen Methoden enen Fehler von > % haben) 7..3 Interne Standardserung In velen Fällen wrd en nterner Standard zum Ausglech von Geräteschwankungen oder der Supresson des Sgnals durch Matrxeffekte zugegeben. Dabe wrd en Sgnal enes Analyten gemessen, welcher n allen Proben n glecher Konzentraton zugegeben wurde oder welcher m Hntergrund ständg vorhanden st. (Bespel ICP-MS: Indum Zugabe oder Xe Sgnal, welches m Ar Trägergas vorhanden st => s. Analytsche Cheme VO) In der praktschen durchführung wrd das gemessene Sgnal der gesuchten Größe durch das Sgnal des nternen Standards dvdert. Aus desen relatven Sgnalen wrd neuerlch ene Kalbratonsgerade bestmmt, aus der mt Hlfe des relatven Sgnals der Probe (.e. Sgnal dvdert durch das Sgnal des nternen Standards) de Konzentraton bestmmt wrd. Bespel 3 (Weterführung von Bespel ): Intenstät In Konzentraton Intenstät Pb (nterner Intenstät Pb / (ppb) (cps) Standard) Intenstät In Aus den relatven Konzentratonswerten ergbt sch folgende Kalbratonsfunkton: lneare Kalbraton relatve Intenstät y =.997x +.39 R =.9994 gemessenes Sgnal n der Probe Konzentraton (ppb) un messen wr als Bespel ene unbekannte Meerwasserprobe. Durch den hohen Salzgehalt kommt es zu enem Matrxeffekt, der alle Sgnale um de Hälfte reduzert (Anm.: es werden nur mehr wenger Ionen gebldet): Intenstät In Intenstät Pb (cps) (nterner Standard) Intenstät Pb / Intenstät In Meerwasserprobe 54 49,56 Aus der Geradenfunkton y =.997x +.39 ergbt sch für y =.56 en x-wert von: Konzentraton der Meerwasserprobe (mt nternem Standard) =,7 ppb. Zum Verglech: Würden wr kenen nternen Standard verwenden, würden wr gemäß der Geradenfunkton aus Bespel folgenden Wert für y = 54 erhalten: Konzentraton der Meerwasserprobe (ohne nternen Standard) = 6,3 ppb. D.h. de angenommene Konzentraton wäre nur halb so hoch. 5

7 7..4 Blndwert und Blndwertkorrektur Der Blndwert st jenes Analysensgnal, welches als Gesamthntergrund be der Messung enes Analysensgnals auftrtt. Deser Blndwert setzt sch mest aus enzelnen Werten zusammen: In den mesten Fällen lefert das Analysengerät auch dann en Sgnal, wenn kene Probe engebracht wrd, auch wenn deses Sgnal sehr klen st. Deses Sgnal bezechnet man als den Geräteuntergrund oder Blndwert des Gerätes. De Standards werden zumest aus ener hochkonzentrerten Lösung bekannten Gehaltes mt Wasser, verdünnten Säuren oder anderen Lösungsmtteln verdünnt. Dese Lösungsmttel können alle berets ene gewsse Konzentraton des Analyten benhalten. Der Analyt wrd dann aus dem konzentrerten Standard zuaddert. Deser Blndwert bezechnet man als Analysenblndwert des Standards. Für de Kalbratonsgerade wrd dann das Sgnal des Blndwertes (auch Standard) gemessen und dese Sgnalntenstät von jedem enzelnen Sgnal des Standards abgezogen. Daraus ergb sch ene Blndwert korrgerte Kalbratonskurve. Es kann auch der Standard drekt n de Kalbratonskurve aufgenommen werden n der de Standards ncht-blank-korrgert aufgetragen werden. De Blndwertkonzentraton ergbt sch dann m Falle ener lnearen Kalbraton aus dem Schnttpunkt mt der x-achse. (Bespel sehe Standardaddton). Deser Blndwert st dann von den weteren Analysen abzuzehen. Da n den mesten Fällen ene zu analyserende Probe enzelne Probenvorberetungsschrtte durchmachen, n denen es zur Verunrengung der Proben kommen kann, muß en sogenannter Methodenblndwert ermttelt werden. Dabe werden de enzelnen Chemkalen analog der Probenvorberetungsschrtte verarbetet, ohne daß ene Probe verwendet wrd. Deser Methodenblndwert wrd dann von allen Probenmesswerten abgezogen. Be der Verwendung enes nternen Standards müssen manchmal auch für desen de Blndwerte ermttelt werden. Erst dann kann de Kalbraton über de relatven Sgnalntensotäten durchgeführt werden. (Anmerkung: mest wrd der nterne Standard so gewählt, dass er n der Probe ncht vorkommt und der Hntergrund sgnfkant klener (< %) als das gemessene Sgnal st) Bespel 4: (Weterführung von Bespel 3): Konzentraton (ppb) Intenstät Pb (cps) Intenstät Pb (Blank korrgert) Intenstät In (nterner Standard) Intenstät In (Blank korrgert) Intenstät Pb Blank korr. / Intenstät In Blank korr. -Standard (Blank) 6-5 (ncht zugegeben) Kalbratonsgerade funktonert dann analog Bespel 3. Als Probe wrd nun weder ene Meerwasserprobe gemessen, de allerdngs n Behältern aufbewahrt wurden, de verunrengt waren. Als Blndwert wurde her hoch gerengtes Wasser mt Salzmatrx (acl) n de Behälter gefüllt und de Sgnalntenstät n desen Proben gemessen: 6

8 Methodenblank: Probe Intenstät Pb (cps) Intenstät Pb (Blank korrgert) Intenstät In (nterner Standard) Intenstät In (Blank korrgert) Intenstät Pb Blank korr. / Intenstät In Balnk korr. 4 (ncht Methodenblank 35 - zugegeben!) - Meerwasserprobe ,56 Wetere Auswertung analog Bespel 3 Anmerkung: Für de Blank Korrektur n Kombnaton mt nterner Standardserung gbt es verschedene Strategen. In unserem Bespel st ene davon aufgeführt. Se müssen entscheden, welche Stratege Se anwenden. Se können also auch de Konzentraton der Probe + Methodenblank n ppb (n unserem Bespel) bestmmen. Danach den Methodenblank n ppb berechnen und am Ende dese Werte vonenander abzehen. Se können machen was Se wollen, solange Se wssen, was Se tun! 7..5 Standardaddton Das Standard Addton stellt enen Spezalfall der Kalbrerung dar. Es kommt besonders n jenen Fällen zur Anwendug, be denen das Mess Sgnal durch de Probenmatrx besonders beenflußt wrd. Dabe werden äquvalente Probenvolumna mt stegender Konzentraton des Analyten versetzt. D.h. der Analyt wrd zu der ursprünglch vorhandenen Analytenmenge zuaddert. In Folge werden de Probe mt dem zugegebenen -Standard (ken Analyt) und de Proben mt stegendd zugegebener Analytkonzentraton gemessen. De daraus resulterende Kurve wrd n en Dagramm engetragen. Aus dem Schnttpunkt der (lnearen) Kurve mt der x-achse kann man drekt de Konzentraton des Analyten n der Probe ablesen. zugegebene Konzentraton Pb Intenstät nach Standard Addton Probe 64 Probe + 5ppp 5 84 Probe + ppp 734 Probe + 5ppp Probe + 5ppp Man erkennt auch klar, daß obwohl es zu ener starken Matrx Supresson kommt (vgl. Intenstäten Bespel 3) de Standardaddton de Rolle enes nternen Standards übernmmt und für dese Matrxeffekte korrgert. 7

9 lneare Kalbraton (Standard Addton) 7 6 y = 73x + 39 R = Intenstät 4 3 Pb Konzentraton n der Probe gemessenes Sgnal n der Probe Konzentraton (ppb) Aus der Geradenglechung y = 73 x ergbt sch nun de Konzentraton n der Probe: = 73 c => c = 6,5 ppb (wchtg: deser Wert st noch ICHT Blank korrgert!) Der Methodenblank kann nun separat n analoger Wese bestmmt werden: Methodenblank (MB) zugegebene Konzentraton Pb Intenstät nach Standard Addton 38 MB + 5 ppb 5 88 MB + ppb 43 MB + 5 ppb MB + 5 ppb lneare Kalbraton (Standard Addton) 6 5 y = x R =.9998 Intenstät 4 3 Pb Konzentraton des Methodenblanks gemessenes Sgnal m Methodenblank Konzentraton (ppb) Aus der Geradenglechung y = 9984,4 x ergbt sch für den Methodenblank: = 9984,4 c Blank => c Blank = 3,9 ppb Fur de Probe ergbt sch Konzentraton = c c Blank = 6,5 3,9 =,7 ppb. 8