KOMBINATORIK IN DER SCHULE

KOMBINATORIK IN DER SCHULE Referenten: Florian Schmidt und Benjamin Otto

GLIEDERUNG 1. Erstbegegnungen mit ombinatorischem Denen 2. Das allgemeine Zählprinzip der Kombinatori 3. Die 4 ombinatorischen Grundfiguren 4. Vielfachheiten 5. 4 Schritt Modell zum Lösen von Kombinatoriaufgaben 6. Lehrplaneinordnung 7. Lernvoraussetzungen und Anwendungsgebiete

1. ERSTBEGEGNUNGEN MIT KOMBINATORISCHEM DENKEN

ERSTBEGEGNUNGEN MIT KOMBINATORISCHEM DENKEN (1) Anzahl an Geraden durch n Punte in allgemeiner Lage 3 Punte: 3 Geraden 4 Punte: 6 Geraden 5 Punte: 10 Geraden... n Punte:? Geraden Ansatz: Von einem Punt gehen (n 1) Geraden zu (n 1) Punten aus. Multipliziert mit der Anzahl an Punten n erhält man eine erste Anzahl an Geraden. Da man so aber jede Gerade doppelt zählt, muss man die Anzahl durch 2 dividieren, um das richtige Ergebnis zu erhalten. Man erhält also: n ( n 1) A( n) = 2

ERSTBEGEGNUNGEN MIT KOMBINATORISCHEM DENKEN (2) Turm von Hanoi Minimale Anzahl an Brechungen für eine Tafel Schoolade Anzahl von Möglicheiten der Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe zweier natürlicher Zahlen Bestimmung der Anzahl von Ecpunten und Kanten von onvexen Polyedern (Euler sche Polyeder) Anzahl der Diagonalen im (onvexen)n Ec

2. DAS ALLGEMEINE ZÄHLPRINZIP DER KOMBINATORIK

DAS ALLGEMEINE ZÄHLPRINZIP DER KOMBINATORIK Kombinatori liefert Strategien für geschictes Zählen Beispiel: Speisearte Speisearte Vorspeisen Tomatensuppe Rindfleischsuppe Hauptgerichte Hähnchen mit Reis Bratwurst mit Pommes Frites Schnitzel mit Salzartoffeln Nachspeisen Eis Pudding Wie viele unterschiedliche Essen ann man zusammenstellen? ANSATZ: BAUMDIAGRAMM

DAS ALLGEMEINE ZÄHLPRINZIP DER KOMBINATORIK Rechnerische Bestimmung der Anzahl: Anzahl an Wahlmöglicheiten pro Gang: 2 3 2 = 12 Vorspeise Hauptgericht Nachspeise

DAS ALLGEMEINE ZÄHLPRINZIP DER KOMBINATORIK Ableiten einer allgemeinen Zählregel: Sind n gliedrige Sequenzen a 1 a 2 a 3... a n zu bilden, und gibt es 1 Besetzungen für die 1. Stelle a 1, 2 Besetzungen für die 2. Stelle a 2,... n Besetzungen für die n te Stelle a n, so gibt es insgesamt 1 2... n verschiedene n gliedrige Sequenzen. Besteht ein Experiment aus n einfachen Teilversuchen, die unabhängig voneinander auszuführen sind, und gibt es 1 Möglicheiten für den 1.Teilversuch, 2 Möglicheiten für den 2.Teilversuch,... n Möglicheiten für den n ten Teilversuch, Dann hat das zusammengesetzte Experiment insgesamt 1 2... n verschiedene mögliche Ergebnisse

3. DIE KOMBINATORISCHEN GRUNDFIGUREN

EINE ERSTE KLEINE AUFGABE Mustafa möchte sich ein Zahlenschloss für sein Fahrrad aufen. Dazu hat er die Wahl zwischen zwei Schlössern gleicher Qualität. Schloss A vier Ringe, jeder mit den sechs verschiedenen Ziffern 1 bis 6. Schloss B hat drei Ringe, jeweils mit den Ziffern 1 bis 8. Mustafa möchte das sicherste Schloss aufen. Für welches entscheidet er sich? Lösung: Für Schloss A gibt es 6 6 6 6 = 6 4 = 1296 Einstellmöglicheiten. Für Schloss B gibt es 8 8 8 = 8 3 = 512 Einstellmöglicheiten. Mustafa wird sich für Schloss A entscheiden.

EIN ÄHNLICHESPROBLEM: DAS FUßBALL TOTO Wie viele Möglicheiten gibt es, einen Fußballtoto Tippschein auszufüllen, wenn für jede der neun Begegnungen der ersten Bundesliga entweder 1 Heimsieg 2 Unentschieden 3 Auswärtssieg getippt wird? Lösung: Für jedes der 9 Spiele gibt es drei Entscheidungen, also nach der allgemeinen Zählregel 3 3... 3 3 = 3 9 = 19683 Möglicheiten.

VERALLGEMEINERUNG: PERMUTATION MIT WIEDERHOLUNG Definition 1 (Permutation mit Wiederholung) Gegeben seien n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n. Jede gliedrige Sequenz, bei der an jeder Stelle irgendeines der n Zeichen steht, und bei denen Sequenzen als verschieden angesehen werden, die dieselben Zeichen in unterschiedlicher Reihenfolge enthalten, heißt Satz 1 geordnete Sequenz (Wort) mit Wiederholung der Länge aus n Zeichen oder urz Permutation mit Wiederholung. Aus n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n ann man auf n n n = n verschiedene Arten Permutationen mit Wiederholung erzeugen.

EIN ANDERES PROBLEM: Wie viele verschiedene Möglicheiten gibt es, dass fünf zufällig ausgewählte Personen 1. An verschiedenen Wochentagen 2. In verschiedenen Monaten Geburtstag haben? Lösung zu 1.: Wie gehen von sieben Wochentagen aus. Für die Person P 1 gibt es dann 7 Möglicheiten, für die Person P 2 gibt es nur noch 6 Möglicheiten (da es verschiedene Wochentage sein sollen) usw. Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es dann insgesamt 7 6 5 4 3 = 2520 Möglicheiten, dass fünf Personen an verschiedenen Wochentagen Geburtstag haben.

WIEDER EIN ANDERES PROBLEM? Wie viele Wörter (= Sequenzen) ann man aus den Buchstaben des Wortes BALI bilden? Lösung: Betrachtet man die vier Buchstaben nacheinander und überlegt sich, an welcher Stelle im Wort diese stehen önnen, so erhält man für den ersten Buchstaben vier Stellen, für den zweiten 3 Stellen, für den dritten 2 Stellen und für den letzten eine mögliche Position im Wort. Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es dann insgesamt 4 3 2 1 = 4! = 24 Wörter, die man aus den Buchstaben des Wortes BALI bilden ann.

VERALLGEMEINERUNG: K PERMUTATION OHNE WIEDERHOLUNG AUS N ZEICHEN Definition 2 ( Permutation ohne Wiederholung) Gegeben seien n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n. Jede gliedrige Sequenz ( n), in der jedes der n Zeichen höchstens ein Mal vorommt, und bei denen Sequenzen als verschieden angesehen werden, die sich nur in der Reihenfolge der Anordnung ihrer Zeichen unterscheiden, heißt Permutation ohne Wiederholung unter Beobachtung der Reihenfolge aus einer Menge von n Zeichen. Satz 2 Aus n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n ann man auf n (n 1) (n 2)... (n ( 1)) = n! ( n )! verschiedene Arten Permutationen ohne Wiederholung mit n erzeugen.

WIEDER EINE KLEINE AUFGABE Wie viele Möglicheiten hat man von sieben Feldern drei anzureuzen, wenn man drei verschiedene Farben benutzt? Wie ändert sich das Ergebnis wenn man nur eine Farbe benutzt? Lösung: n! 7! (a) Man hat = = 210 Möglicheiten. ( n )! 4! 210 (b) Man hat jetzt nur noch = 35 Möglicheiten. 6

BINOMIALKOEFFIZIENTEN Definition 3.1 n! Einen Ausdruc der Form!( n )! werden wir fortan als Binomialoeffizienten bezeichnen und n (sprich: n über ) schreiben. Anwendung: Pascal sches Dreiec

VERALLGEMEINERUNG: KOMBINATION OHNE WIEDERHOLUNG Definition 3.2 (Kombination ohne Wiederholung) Gegeben seien n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n. Jede gliedrige Sequenz aus diesen Zeichen mit den Eigenschaften, dass Sequenzen mit gleichen Zeichen in verschiedener Anordnung als gleich angesehen werden und sämtliche Zeichen in den Sequenzen voneinander verschieden sind, heißt ungeordnete Sequenz ohne Wiederholung der Länge aus n Zeichen oder urz Kombination ohne Wiederholung. Satz 3 Aus n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n ann man auf n verschiedene Arten Kombinationen ohne Wiederholung erzeugen.

HOTELZIMMERBELEGUNG In einem Hotel sind noch 5 Zimmer frei. Jedes der Zimmer ist ein Dreibettzimmer. Am Abend ommen noch drei Wanderburschen A,B,C. Wie viele Möglicheiten hat der Hotelier, die Gäste unterzubringen, wenn jedem Gast per Zufall eines der 5 Dreibettzimmer zugewiesen wird und zugelassen wird, dass in einem Zimmer eventuell zwei oder gar drei Personen schlafen? Der Hotelier will nur wissen, welche Zimmer mit wie vielen Personen belegt sind.

LÖSUNG Mögliche Anordnungen: 3 0 0 0 0; 0 1 0 2 0; 1 0 0 1 1; Bezeichnen wir fortan die Trennung zwischen den Zimmern mit 0 und die Belegung des Zimmers von einem Gast als 1, so erhalten wir: 1 1 1 0 0 0 0; 0 1 0 0 1 1 0; 1 0 0 0 1 0 1; Aus dem Kästchen Beispiel wissen wir, dass wir drei Einsen und Vier Nullen in 7! 7 5 + 3 1 = = = 35 3!4! 3 3 verschiedenen Möglicheiten auf Sieben Plätze anordnen önnen.

VERALLGEMEINERUNG: KOMBINATION MIT WIEDERHOLUNG Definition 4 (Kombination mit Wiederholung) Gegeben seien n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n. Jede gliedrige Sequenz aus diesen Zeichen mit den Eigenschaften, dass Sequenzen mit gleichen Zeichen in verschiedener Anordnung als gleich angesehen werden und in einer Sequenz Zeichen wiederholt auftreten önnen, heißt ungeordnete Sequenz mit Wiederholung der Länge aus n Zeichen oder urz Kombination mit Wiederholung. Satz 4 Aus n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n ann man auf verschiedene Arten Kombinationen mit Wiederholung erzeugen. n + 1

ZUSAMMENFASSUNG DER KOMBINATORISCHENFIGUREN (1) Anordnung von Elementen aus der Menge von n Elementen Mit Beachtung der Reihenfolge Ohne Beachtung der Reihenfolge Ohne Wiederholung Ungeordnete Sequenz ohne Wiederholung der Länge aus n Elementen. Permutation ohne Wiederholung. Ungeordnete Sequenz ohne Wiederholung der Länge aus n Elementen. Kombination ohne Wiederholung. Mit Wiederholung Geordnete Sequenz mit Wiederholung der Länge aus n Elementen. Permutation mit Wiederholung. Ungeordnete Sequenz mit Wiederholung der Länge aus n Elementen. Kombination mit Wiederholung.

ZUSAMMENFASSUNG DER KOMBINATORISCHENFIGUREN (2) Anordnung von Elementen aus der Menge von n Elementen Ohne Wiederholung Mit Wiederholung Mit Beachtung der Reihenfolge n! ( n )! n Ohne Beachtung der Reihenfolge n n + 1

BEISPIEL: URNENMODELL Ziehen von Kugeln aus einer Menge von n Kugeln Ohne Zurüclegen Mit Zurüclegen Mit Beachtung der Reihenfolge Geordnete Stichprobe ohne Zurüclegen vom Umfang aus n Elementen. Geordnete Stichprobe mit Zurüclegen vom Umfang aus n Elementen. Ohne Beachtung der Reihenfolge Ungeordnete Stichprobe ohne Zurüclegen vom Umfang aus n Elementen. Ungeordnete Stichprobe mit Zurüclegen vom Umfang aus n Elementen.

4. VIELFACHHEITEN

ANWENDUNGEN DER KOMBINATORISCHEN FIGUREN: VIELFACHHEITEN (1) 1. Wie viele Wörter mit vier Buchstaben ann man aus den Buchstaben von BALL bilden? 2. Wie viele Wörter mit fünf Buchstaben ann man aus den Buchstaben von BALLA bilden? 3. Wie viele Wörter mit zehn Buchstaben ann man aus den Buchstaben von BALLABALLA bilden? Lösung zu 1: Um die Frage zu beantworten, bezeichnen wir die beiden L mit L 1 und L 2 und zählen die Wörter, die man aus B, A, L 1 und L 2 bilden ann. Je zwei Wörter aus den Buchstaben von BAL 1 L 2 entsprechen dann einem Wort aus den Buchstaben von BALL ( BL 1 AL 2 und BL 2 AL 1 sollten also als ein Wort gezählt werden) weil man L 1 und L 2 auf 2=2! Arten anordnen ann. Insgesamt gibt es also 4! = 12 2! Möglicheiten.

ANWENDUNGEN DER KOMBINATORISCHEN FIGUREN: VIELFACHHEITEN (2) Gegeben seien die zwei Zeichen 7 und 8. Wie viele 4 stellige Sequenzen, in denen die 7 dreimal und die 8 einmal auftritt, gibt es? Lösung: Man stellt sich die 10 stellige Sequenz als 10 Plätze vor. Aus den 10 Plätzen wählt 10 man einen für die 1 aus. Das geht auf = 10 Möglicheiten. 1 Es bleiben neun Plätze übrig, von denen man 2 für die Zahl 2 auswählt, das 9 geht auf = 36 Arten. Von den sieben restlichen Plätzen wählt man 3 für 2 7 die 3 aus, das ergibt = 35 Möglicheiten. Es bleiben vier Plätze für die 4 3 10 übrig, dafür gibt es = 10 Möglicheiten. 1 10 9 7 4 Das macht insgesamt = 12600 Möglicheiten. 1 2 3 4

VERALLGEMEINERUNG: K STELLIGE SEQUENZ MIT WIEDERHOLUNGEN BEI VORGEGEBENEN VIELFACHHEITEN Definition 5 ( Sequenz mit Wiederholungen und Vielfachheiten) Gegeben seien n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n. Jede stellige Sequenz mit 2, in der das Zeichen a i genau i mal ( i 1) vorommt (1 i n) und für die gilt 1 + 2 + 3 +... + n = heißt Satz 5 stellige Sequenz mit Wiederholungen bei vorgegebenen Vielfachheiten. Aus n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n ann man!!!! K stellige Sequenzen bilden, für die gilt: Das Zeichen a i ommt genau i mal vor ( i 1) für alle 1 i n und = = 1 2 3 n n i i 1!

VERALLGEMEINERUNG: K STELLIGE SEQUENZ MIT WIEDERHOLUNGEN BEI VORGEGEBENEN VIELFACHHEITEN Bemerung 1 Für die Bestimmung der Anzahl stelliger Sequenzen mit Wiederholungen und vorgegebenen Vielfachheiten nach Satz 5 gilt folgender Zusammenhang:!!!!! 3 2 1 1 2 1 3 2 1 2 1 1 n n n K K K =

5. VIER SCHRITT MODELL ZUR LÖSUNG VON KOMBINATORIKAUFGABEN

NOTWENDIGKEIT o o o Bietet eine Möglicheit wie man an ombinatorische Aufgaben herangehen ann Hilfreich für Schüler, da diese oft große Probleme mit den Kombinatorischen Fragestellungen haben Probleme bestehen oft in der Wahl der anzuwendenden Grundfigur und in der Bestimmung der Parameter für die Formeln o Somit ann das folgende Modell eine Hilfe darstellen o ABER: Aufgabenstellungen önnen auch einen einfacheren oder mehrere Lösungen besitzen (vgl. Beispiel aus Veranstaltung)

1. SCHRITT Angabe passender Sequenzen für die onret gegebene Aufgabe, die als spezielle Lösungen möglich sind.

2. SCHRITT (1) Korrete Beantwortung der entscheidenden Grundfragen: K1: Sind in der Sequenz Wiederholungen von Elementen möglich? (ja/nein) K2: Ist die Reihenfolge der Elemente in der Sequenz zu beachten? (ja/nein) K3: Sind Vielfachheiten von Elementen vorgegeben? (ja/nein)

2. SCHRITT (2) zurüc nein Frage (K1) ja Frage (K2) ja Frage (K3) nein ja nein (mw/va) ja Frage (K2) nein (ow/rb) (ow/rnb) (mw/rb) (mw/rnb)

3. SCHRITT Übertragung in ein Modell sowie die Bestimmung von n, und gegebenenfalls der Vielfachheiten. i 4. SCHRITT Bestimmung des Ergebnisses.

BEISPIELAUFGABE Im Supermart Kaufrausch gibt es folgendes Sonderangebot: Beim Kauf von sechs Joghurts der Firma Joghuretta beommt man einen Sonderpreis, welcher deutlich unter dem sechsfachen Preis eines einzelnen Joghurts liegt. Bei der Wahl der sechs Joghurts ann man zwischen zehn vorhandenen Sorten frei wählen. Jede Sorte hat denselben Einzelpreis. Auf wie viele Arten ist die Nutzung dieses Sonderangebots möglich?

BEISPIELAUFGABE LÖSUNG (1) Schritt 1: Einaufsbeispiele: S1 S3 S5 S6 S7 S9 S1 S2 S2 S2 S10 S10 S4 S4 S4 S4 S4 S4

BEISPIELAUFGABE LÖSUNG (2) Schritt 2: Siehe Diagramm Es handelt sich also folglich um die ombinatorische Figur: (mw/rnb).

BEISPIELAUFGABE LÖSUNG (3) Schritt 3 und Schritt 4: n = 10 (10 verschiedene Sorten) = 6 (6 Joghurts sollen geauft werden) A = = n + 1 = 5005 10 + 6 1 6

6. LEHRPLANEINORDNUNG

EINORDNUNG DER THEMATIK IN DEN THÜRINGER LEHRPLAN Kombinatori ein eigenständiges Thema im Lehrplan Klassenstufe 10, Stochasti I, S2 Häufigeiten und Wahrscheinlicheiten, unter S2.3 Begriff der Wahrscheinlicheit ennen und anwenden : Klassenstufe 11: Zahlenfolgen und Grenzwerte: Anwendung der Beweismethode der vollständigen Indution auf geometrischombinatorische Probleme (vgl. Eingangsbeispiele) (...) Hier sollen auch einfache Regeln der Kombinatori wie ; einbezogen werden. n n n = )! 1 (! ( ) + = = 1 1!!! n n n n n

7. LERNVORAUSSETZUNGEN UND ANWENDUNGSGEBIETE

LERNVORAUSSETZUNGEN Rechnen mit gebrochenen Zahlen (Klasse 6) Potenzen mit ganzzahligem Exponenten (Klasse 8) Faultät einer natürlichen Zahl Binomialoeffizienten Werden erst im Zusammenhang mit der Kombinatori eingeführt

ANWENDUNGSGEBIETE Stochasti 1 (Klasse 10): S2: Laplace Wahrscheinlicheit S5: Binomialverteilung/Bernoulli Versuche Stochasti 2 (Klasse 12): S6: Normalverteilung (im Zusammenhang mit Bernoulli und Binomialverteilung) Hypergeometrische Verteilung

LITERATUR KÜTTING, H.: Elementare Stochasti. 2. Auflage. Spetrum Verlag, 2008. LEMMERMEYER, F.: Kombinatori. In Wurzel, Ausgabe 11/2008. THÜRINGER KULTUSMINISTERIUM: Lehrplan für das Gymnasium, Mathemati, 1999. ULSHÖFER, K.: Macht doch die Aufgaben selbst! Zum Thema Kombinatori in Klasse 10. In Mathemati in der Schule, Ausgabe 12, 1998. CUKROWICZ, J. ET AL.: MatheNetz 10, Westermann, 2004.

Friedrich Schiller Universität Jena Faultät für Mathemati und Informati Abteilung Didati Prof. Dr. Bernd Zimmermann Didati der Mathemati Modul B Referenten: Florian Schmidt, Benjamin Otto Kombinatori in der Schule 1 Erstbegegnungen mit ombinatorischem Denen Anzahl an Geraden durch n Punte in allgemeiner Lage Turm von Hanoi Bestimmung der Anzahl von Ecpunten und Kanten von (onvexen) Polyedern (Eulerische Polyeder) Anzahl der Diagonalen im n Ec 2 Das allgemeine Zählprinzip der Kombinatori Erfahrbar z. B. am Problem der Menuzusammenstellung von einer Speisearte (Wie viele verschiedene Menüs önnen gewählt werden?) Sind n gliedrige Sequenzen a 1, a 2, a 3,..., a n zu bilden, und gibt es 1 Besetzungen für die 1. Stelle a 1, 2 Besetzungen für die 2. Stelle a 2,... n Besetzungen für die n te Stelle a n, so gibt es insgesamt 1 2... n verschiedene n gliedrige Sequenzen. 3 Die 4 ombinatorischen Grundfiguren 3.1 Permutationen mit Wiederholung Aufgabe: Wie viele Möglicheiten gibt es, einen Fußballtoto Tippschein auszufüllen, wenn für jede der neun Begegnungen der ersten Bundesliga entweder 1 Heimsieg 2 Unentschieden 3 Auswärtssieg getippt wird? Definition (Permutation mit Wiederholung) Gegeben seien n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n. Jede gliedrige Sequenz, bei der an jeder Stelle irgendeines der n Zeichen steht, und bei denen Sequenzen als verschieden angesehen werden, die dieselben Zeichen in unterschiedlicher Reihenfolge enthalten, heißt geordnete Sequenz (Wort) mit Wiederholung der Länge aus n Zeichen oder urz Permutation mit Wiederholung. Satz Aus n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n ann man auf n verschiedene Arten Permutationen mit Wiederholung erzeugen. Speisearte Vorspeisen Tomatensuppe Rindfleischsuppe Hauptgerichte Hähnchen mit Reis Bratwurst mit Pommes Frites Schnitzel mit Salzartoffeln Nachspeisen Eis Pudding Mit 2 3 2 = 12 Möglicheiten 3.2 Permutationen ohne Wiederholung Aufgabe: Wie viele Wörter (= Sequenzen) ann man aus den Buchstaben des Wortes BALI bilden? Definition ( Permutation ohne Wiederholung) Gegeben seien n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n. Jede gliedrige Sequenz ( n), in der jedes der n Zeichen höchstens ein Mal vorommt, und bei denen Sequenzen als verschieden angesehen werden, die sich nur in der Reihenfolge der Anordnung ihrer Zeichen unterscheiden, heißt Permutation ohne Wiederholung unter Beobachtung der Reihenfolge aus einer Menge von n Zeichen. Satz Aus n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n ann man auf n (n 1) (n 2)... (n ( 1)) = n! (n )! verschiedene Arten Permutationen ohne Wiederholung mit n erzeugen. 3.2 Kombinationen ohne Wiederholung Aufgabe: Wie viele Möglicheiten gibt es, von sieben Kästchen drei anzureuzen? Definition (Kombination ohne Wiederholung) Gegeben seien n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n. Jede gliedrige Sequenz aus diesen Zeichen mit den Eigenschaften, dass Sequenzen mit gleichen Zeichen in verschiedener Anordnung als gleich angesehen werden und sämtliche Zeichen in den Sequenzen voneinander verschieden sind, heißt ungeordnete Sequenz ohne Wiederholung der Länge aus n Zeichen oder urz Kombination ohne Wiederholung. Satz Aus n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n ann man auf!!! verschiedene Arten Kombinationen ohne Wiederholung erzeugen. 3.3 Kombinationen mit Wiederholung Aufgabe: Wie viele Möglicheiten gibt es, drei Personen auf fünf Zimmer zu verteilen, wenn jedes Zimmer mit bis zu drei Personen belegt werden ann. Definition (Kombination mit Wiederholung) Gegeben seien n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n. Jede gliedrige Sequenz aus diesen Zeichen mit den Eigenschaften, dass Sequenzen mit gleichen Zeichen in verschiedener Anordnung als gleich angesehen werden und in einer Sequenz Zeichen wiederholt auftreten önnen, heißt ungeordnete Sequenz mit Wiederholung der Länge aus n Zeichen oder urz Kombination mit Wiederholung. Satz Aus n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n ann man auf 1 verschiedene Arten Kombinationen mit Wiederholung erzeugen.

3.3 Zusammenfassung 4 Vielfachheiten Sequenz von Elementen aus einer Menge von n Elementen Mit Berücsichtigung der Reihenfolge Ohne Berücsichtigung der Reihenfolge Ohne Wiederholung Mit Wiederholung Aufgabe: Gegeben seien die vier Zahlen 1, 2, 3, 4. Wie viele 10 stellige Sequenzen, in denen die 1 einmal, die 2 zweimal, die 3 dreimal und die 4 viermal auftritt, gibt es? Definition ( Sequenz mit Wiederholungen und Vielfachheiten) Gegeben seien n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n. Jede stellige Sequenz mit 2, in der das Zeichen a i genau i mal ( i 1) vorommt (1 i n) und für die gilt 1 + 2 + 3 +... + n = heißt stellige Sequenz mit Wiederholungen bei vorgegebenen Vielfachheiten. 6 Lehrplanbezug und Anwendungsgebiete Literatur: Kombinatori im Thüringer Lehrplan ein eigener Themenschwerpunt lediglich Behandlung einiger ombinatorischer Grundbegriffe in Stochasti I, Klasse 10 empfohlen Verständnis ombinatorischer Figuren Voraussetzung für Bestimmung von Laplace Wahrscheinlicheiten, Behandlung der Binomial und hypergeometrischen Verteilung Kütting, H.: Elementare Stochasti. 2. Auflage. Spetrum Verlag, 2008. Lemmermeyer, F.: Kombinatori. In Wurzel, Ausgabe 11/2008. Thüringer Kultusministerium: Lehrplan für das Gymnasium, Mathemati, 1999. Ulshöfer, K.: Macht doch die Aufgaben selbst! Zum Thema Kombinatori in Klasse 10. In Mathemati in der Schule, Ausgabe 12, 1998. Hinweis: Die vollständige Präsentation findet ihr auch unter http://users.minet.uni jena.de/~schmitzm/midida/start.html Platz für Lösungen Satz Aus n Zeichen a 1, a 2, a 3,..., a n ann man! 1! 2! 3! K n! stellige Sequenzen bilden, für die gilt: Das Zeichen a i ommt genau i mal vor ( i 1) für alle 1 i n und i = n i=1 5 Vier Schritt Modell zum Lösen von Kombinatoriaufgaben Schritt 1: Beispiele finden die der Aufgabenstellung gerecht werden. Schritt 2: Ermittlung der ombinatorischen Grundfigur mittels der drei Grundfragen K1: Sind in der Sequenz Wiederholungen von Elementen möglich? K2: Ist die Reihenfolge der Elemente in der Sequenz zu beachten? K3: Sind Vielfachheiten von Elementen vorgegeben? nein Frage (K1) ja Frage (K2) ja Frage (K3) nein ja nein (mw/va) ja Frage (K2) nein (ow/rb) (ow/rnb) (mw/rb) (mw/rnb) Schritt 3: Übertragung der Aufgabenstellung in das Modell; Bestimmung von n und. Schritt 4: Ergebnis bestimmen