Körper kennen lernen Station 1 Aufgabe 1.1) Der kleine Lars hat mit Bauklötzen eine Stadt nachgebaut. Welche Teile (geometrische Körper) hat er dabei verwendet? Fertigt eine Liste an. Aufgabe 1.2) Viele Gegenstände aus unserer Umwelt haben die Form von geometrischen Körpern. Zum Beispiel: a) Ordnet die Gegenstände aus der Rappelkiste nach ihrer Form in verschiedene Gruppen und ordnet ihnen jeweils einen geometrischen Körper zu. (Liste) b) Überlegt euch zu jeder Gruppe mindestens einen weiteren Gegenstand. (Ideen hierzu findet ihr auf dem Wimmelbild von Hilfsblatt B) Aufgabe 1.3) Aus welchen geometrischen Körpern wurden diese Körper zusammengesetzt? 1) Gruppe 2) Gruppe
Merkblatt zu Station 1 Geometrische Körper Bezeichnungen: Geometrische Körper werden von Flächen begrenzt. Beim Zylinder, beim Kegel und bei der Kugel sind diese zum Teil auch gewölbt. Die Seitenflächen zusammen bilden den Mantel, alle Flächen zusammen die Oberfläche des Körpers. Aneinander stoßende Flächen bilden eine Kante. Beim Kegel gibt es zum Beispiel auch eine gebogene Kante, nämlich einen Kreis. Aneinander stoßende Kanten bilden eine Ecke. Folgende Körper werden nach der Form ihrer Grundfläche benannt: - Pyramiden (Bsp.: Dreieckspyramide, quadratische Pyramide, Achteckpyramide ) - Prismen (Bsp.: Dreiecksprisma, Sechseckprisma )
Hilfsblatt zu Station 1 Wimmelbild
Körper beschreiben Station 2 Aufgabe 2.1) Beschreibe die Form der Flächen a) eines Quaders, b) einer quadratischen Pyramide, c) eines Dreieckprismas. Aufgabe 2.2) Schlafmütze Spiel Aufgabe 2.3) Welche Körper a) bestehen nur aus quadratischen Flächen? b) besitzen eine Spitze? c) haben runde Deckflächen? d) bestehen aus einer Mantelfläche, die nur aus gleichen Dreiecken besteht? e) können verschiedene Vielecke als Grundfläche haben? f) besitzen zwei Kreisflächen? g) besitzen keine Ecken? Aufgabe 2.4) Nenne einen Körper mit: a) 5 Flächen, 8 Kanten und 5 Ecken b) 4 Flächen, 6 Kanten und 4 Ecken c) 5 Dreiecken und 1 Fünfeck als Fläche d) nur gewölbten Kanten e) keiner einzigen Kante f) keiner einzigen Ecke g) nur einer Fläche h) nur einer Kante i) mit Kanten, aber ohne Ecken. j) Mit einer Kante und einer Ecke k) 12 gleich langen Kanten und 8 Ecken l) 9 gleich langen Kanten und 6 Ecken Gibt es für manche Steckbriefe mehrere Möglichkeiten?
Körper beschreiben Station 2 Aufgabe 2.5) a) Welcher Körper ist hier gesucht? b) Überlegt euch selbst weitere Steckbriefe und stellt sie einander als Rätsel. (Hinweis: Schöne Exemplare werden im Klassenzimmer aufgehängt ) Gesucht ist der Körper mit: - 5 Ecken - 8 Kanten - 4 Dreiecksflächen - 1 quadratischen Grundfläche Aufgabe 2.6)
Merkblatt zu Station 2 Körper werden nach ihren Eigenschaften eingeteilt: Gerades und schiefes Prisma
Kantenmodelle Station 3 Aufgabe 3.1) Aus Trinkhälmen und Knetkügelchen kann man Kantenmodelle herstellen, wie man sie auf dem Photo rechts sieht. a) Für welche Körper ist das möglich, für welche nicht? b) Bastelt zu jedem Körper, zu dem es möglich ist, ein Kantenmodell. Wählt dabei eure Maße selbst. c) Zusatzfrage: Aus einem 18cm langen Trinkhalm soll das Kantenmodell Eines Tetraeders hergestellt werden. Wie lang wird jede Kante? Aufgabe 3.2) Krabbelkäfer a) Ein Käfer sitzt auf der vorderen Ecke 1 des Kantenmodells eines Würfels und möchte zur Ecke 7 krabbeln. Dabei soll aber keine Kante mehrmals durchlaufen werden. Notiere 5 verschiedene Wege. Wie lang ist der kürzeste, wie lang ist der längste Weg? b) Nun will der Käfer jede Ecke des Würfels erkrabbeln. Auch dabei will er keine Kante zweimal durchlaufen? Ist das möglich? Aufgabe 3.3) Lauras Vater ist Installateur. Er will für die Schule ein anschauliches Kantenmodell eines Würfels aus festen Drahtstücken zusammenschweißen. Der Würfel soll eine Seitenlänge von 24 cm haben. a) Wie viel cm Draht benötigt er dafür? b) Wie viel Draht braucht er mehr, wenn die Kantenlänge 6 cm länger sein soll? Aufgabe 3.4) Aus insgesamt 96 cm Draht soll ein Kantenmodell a) eines Würfels b) einer quadratischen Pyramide hergestellt werden. In welche Stücke muss der Draht jeweils geschnitten werden, wenn kein Reststück übrig bleiben soll? Gibt es mehrere Möglichkeiten?
Schrägbilder Station 4 Im täglichen Leben begegnen uns oft Abbildungen von Körpern, die einen räumlichen Eindruck vermitteln. Man nennt solche Abbildungen Schrägbilder. Aber wie zeichnet man solche Bilder? Mit dem Geobrett könnt ihr einfach Schrägbilder von Körpern herstellen. Aufgabe 4.1) Schrägbilder mit dem Geobrett a) Spannt zunächst die unten gezeigten Schrägbilder mit den Gummis auf dem Geobrett nach. b) Verändert die Schrägbilder der Quader im rechten Bild, indem ihr die Kantenlängen der Quader vergrößert oder verkleinert. c) Versucht danach eigene Schrägbilder von Körpern mit dem Geobrett darzustellen. Aufgabe 4.2) Zeichnen von Schrägbildern Lernt das Zeichnen von Schrägbildern, indem ihr folgende Schritte auf einem karierten Blatt nachvollzieht:
Schrägbilder Station 4 Aufgabe 4.3) Ordnet den unten aufgeführten Kantenlängen von Quadern das entsprechende Schrägbild zu. (2 Kästchen = 1 cm): a) b) c) d) e) 1.Kantenlängen: 5 cm; 5 cm; 1 cm 6.Kantenlängen: 1,5 cm; 1,5 cm; 3 cm 2.Kantenlängen: 2 cm; 2 cm; 2 cm 7.Kantenlängen: 3 cm; 1,5 cm; 2 cm 3.Kantenlängen: 5 cm; 1 cm; 1 cm 8.Kantenlängen: 4 cm; 2 cm; 2 cm 4.Kantenlängen: 5 cm; 10 cm; 1 cm 9.Kantenlängen: 3 cm; 1,5 cm; 4 cm 5.Kantenlängen: 2 cm; 4 cm; 2 cm 10. Kantenlängen: 2,5 cm; 2 cm; 1,4 cm Aufgabe 4.4) Aufgabe 4.5) Zeichne das Schrägbild einer Siegertreppe für Sportler.
Körpernetze Station 5 Aufgabe 5.1) a) Welche der gezeichneten Netze lassen sich zu Würfeln zusammensetzen? Probiert es mit den Klickies aus. (Vielleicht könnt ihr bei einigen Netzen ohne Ausprobieren sagen, ob sich damit ein Würfel herstellen lässt, oder nicht. Mit den Klickies lässt sich eure Vermutung dann ganz schnell überprüfen.) b) Findet ihr weitere Würfelnetze? c) Wie viele gibt es insgesamt? Aufgabe 5.2) Baue folgende Netze. Überprüfe jeweils, ob sich der gewünschte Körper aus deinem Netz bilden lässt. a) Das Netz einer Dreieckspyramide, die aus 16 Dreiecken besteht. b) Das Netz für ein Dreieckiges Prisma. c) Das Netz für einen Quader, der wie eine lange Schachtel aussieht. d) Das Netz für eine Pyramide mit einem Fünfeck als Grundfläche. e) Denke dir selbst einen Körper aus, für den du das Netz herstellst. Zeichne alle Netze in deinen Ordner.
Körpernetze Station 5 Tipp für die nächsten Aufgaben: Nehmt euch 6 Quadrate in verschiedenen Farben und ordnet jeder Farbe einen Buchstaben, ein Symbol oder eine Zahl zu. So könnt ihr die vorgegebenen Würfelnetze nachlegen und eure Vermutung überprüfen. Aufgabe 5.3) (Hinweis: G=Grundfläche)
Körpernetze Station 5 Aufgabe 5.4)
Körpernetze Station 5 Aufgabe 5.5) (Hinweis: G=Grundfläche)
Körpernetze Station 5 Aufgabe 5.6) Aufgabe 5.7) Ordne jedem Bild das passende Netz zu. Schreibe die passenden Zahlen-Buchstaben-Paare in deinen Ordner.
Platonische Körper Station 6 Die Menschen waren schon immer von der geometrischen Regelmäßigkeit und Schönheit mancher Körper fasziniert. So fanden schon die alten Griechen heraus, dass es nur vier weitere Körper gibt, die eine so vollkommene Regelmäßigkeit besitzen wie der Würfel. Man nennt sie Platonische Körper. Betrachte die Modelle. Frage: Was bedeutet vollkommene Regelmäßigkeit? Betrachte dazu die Flächen und Kanten. Was fällt auf? Aufgabe 6.1) Zähle die Flächen der Körper. Nach der Anzahl der Flächen werden die Platonischen Körper benannt: Vierflächner oder Tetraeder Sechsflächner oder Hexaeder Achtflächner oder Oktaeder Zwölfflächner oder Dodekaeder Zwanzigflächner oder Ikosaeder Welchen anderen Namen hat also ein Würfel? Stelle die passenden Schilder vor die Modelle. Die Griechen sahen in den Platonischen Körpern die Grundelemente der Welt: Erde (Würfel), Feuer (Tetraeder), Luft (Oktaeder), Wasser (Ikosaeder). Das Dodekaeder stand für die ganze Welt, den Kosmos. Die nächste Aufgabe ist schwierig. Versucht sie in der ganzen Gruppe zu lösen. Wenn ihr gar nicht weiter kommt, fragt zuerst einen Experten und dann den Lehrer. Die Aufgaben d) und e) sind für Spezialisten. Aufgabe 6.2) Warum gibt es nicht mehr als fünf Platonische Körper? Das soll diese Aufgabe beweisen. a) In einem n-eck beträgt die Summe aller Winkel (n-2) 180 (für n 2). Wie groß ist also die Winkelsumme in einem Dreieck, Viereck, Fünfeck, Sechseck? b) In einem regelmäßigen n-eck sind alle Winkel gleich groß. Wie groß ist also ein Winkel im regelmäßigen Dreieck, Viereck, Fünfeck, Sechseck? c) Damit ein Körper entsteht, muss die Summe aller in einer Ecke zusammenstoßenden Winkel kleiner als 360 sein. Warum? d) Wie viele regelmäßige Dreiecke (Vierecke, Fünfecke, Sechsecke) können also in einer Ecke eines Körpers zusammenstoßen? Suche alle Möglichkeiten und begründe, warum es nicht mehr geben kann. e) Warum gibt es also genau fünf Platonische Körper? regelmäßiges Dreieck, Viereck, Sechseck:
Eulersche Polyederformel Station 7 (nach Leonhard Euler, 1707 1783) Definition: Ein Körper, der nur von ebenen Flächen begrenzt wird, heißt Vielflächner oder Polyeder. Frage: Welche geometrischen Körper sind keine Polyeder? Aufgabe 7.1) Ein Polyeder besitzt Flächen, Kanten und Ecken. Betrachte die Körpermodelle und fülle folgende Tabelle aus, die an der Station ausliegt. Zeile Körper Anzahl e der Ecken Anzahl f der Flächen e+f Anzahl k der Kanten 1 Quader 2 Würfel 3 Prisma 4 Dreieckspyramide (Tetraeder) 5 Viereckspyramide Welcher Zusammenhang besteht zwischen e, f und k? Das ist die Eulersche Polyederformel. Ergänze sie im folgendem Kasten. Eulersche Polyederformel: In einem Polyeder gilt: Aufgabe 7.2) Diese Aufgabe ist nur für Schüler, die bereits Station 6 Platonische Körper bearbeitet haben. Gilt auch hier die Polyederformel? 6 Oktaeder 7 Dodekaeder 8 Ikosaeder Aufgabe 7.3) Gilt auch bei dem ausgelegten Körper die Polyederformel?
Eulersche Polyederformel Station 7 Aufgabe 7.3) Der Körper in nebenstehender Abbildung ist aus Dreiecken und Quadraten zusammengesetzt. a) Wie viele Dreiecke und wie viele Quadrate sind es? b) Bestimme e, f und k und überprüfe die Eulersche Polyederformel. Zähle geschickt! Aufgabe 7.4) Fußbälle sind meistens aus Fünfecken und Sechsecken zusammengesetzt. Überprüfe die Eulersche Polyederformel an einem Fußball. Zähle auch hier geschickt!
Symmetrie Station 8 Aufgabe 8.1) a) Welche der Körper sind ebenensymmetrisch? Wie viele Symmetrieebenen haben sie? b) Nenne 2 Gegenstände (Objekte) aus dem täglichen Leben, die drehsymmetrisch sind. Aufgabe 8.2) Nutze die Bauklötze und die Kartonbögen auf dem Arbeitstisch: Aufgabe 8.3) Bestimme alle Symmetrieebenen a) eines Quaders. Nutze dazu wieder die Bauklötze und die Kartonbögen auf dem Arbeitstisch. b) eines Würfels. Probiere es an einem Kantenmodell eines Würfels oder an Bauklötzen aus. Wie viele Symmetrieebenen gibt es jeweils? Aufgabe 8.4) Gib jeweils den Symmetriepartner an. a) B? b) A? E? G? Aufgabe 8.5) Wie viele Symmetrieebenen hat eine Kugel?
Merkblatt zu Station 8 MERKE: Man unterscheidet ebenensymmetrische und drehsymmetrische Körper. Die Symmetrieebene E zerlegt den Körper in 2 spiegelbildliche Hälften. Bei Drehung um eine Drehachsee kommt der Körper mit sich selbst zur Deckung.
Anzahl/Körper Würfel Quader Dreieckspyramide quadrat. Dreiecks- Pyramide Prisma Ecken 8 Kanten 12 9 Kanten an einer Ecke Boden 3 Spitze 4 Kanten gleicher Länge 4 / 4/ 4 Anzahl/Körper Würfel Quader Dreieckspyramide quadrat. Dreiecks- Pyramide Prisma Ecken 8 Kanten 12 9 Kanten an einer Ecke Boden 3 Spitze 4 Kanten gleicher Länge 4 / 4/ 4 Anzahl/Körper Würfel Quader Dreieckspyramide quadrat. Dreiecks- Pyramide Prisma Ecken 8 Kanten 12 9 Kanten an einer Ecke Boden 3 Spitze 4 Kanten gleicher Länge 4 / 4/ 4 Anzahl/Körper Würfel Quader Dreieckspyramide quadrat. Dreiecks- Pyramide Prisma Ecken 8 Kanten 12 9 Kanten an einer Ecke Boden 3 Spitze 4 Kanten gleicher Länge 4 / 4/ 4 Anzahl/Körper Würfel Quader Dreieckspyramide quadrat. Dreiecks- Pyramide Prisma Ecken 8 Kanten 12 9 Kanten an einer Ecke Boden 3 Spitze 4 Kanten gleicher Länge 4 / 4/ 4