JOHANNES BARKOWSKY Mathematische Quellen der musikalischen Akustik Mit 305 graphischen Darstellungen und 71 Tabellen 2007 FLORIAN NOETZEL VERLAG HEINRICHSHOFEN-BÜCHER WILHELMSHAVEN
sverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 1.1 Ableiten und Integrieren 13 1.1.1 Sinus-und Kosinusfunktion 1 7 1.2 Komplexe Zahlen 18 1.2.1 Polarkoordinaten 27 1.3 Euler-Gleichung 23 1.4 Bogenmaß und Sinusfunktionen 29 1.5 Fourier-Reihe 32 1.5.1 Gibbs-Phänomen 35 1.6 Addition von Sinusschwingungen 39 1.7 Einige Definitionen 44 2. Schallwahrnehmung 2.1 Das Gehör 47 2.2 Ohm'sches Grundgesetz der Akustik 55 2.3 Residualtöne 57 2.4 Nicht-lineare Übertragung 59 2.4.1 Klirrfaktor 62 2.4.2 Kombinationstöne 64 2.5 Obertöne 65 2.6 Schwebungen und.rauhigkeit 67
2.7 Dezibel (db) 73 2.7.1 Schalldruckpegel 74 2.7.2 Addition von Schalldrücken 78 2.7.3 Schallleistungspegel und Schallintensitätspegel 78 2.8 Wahrnehmung von Lautheit 83 2.8.1 Phon und Sone 85 2.8.2 Musikalische Dynamikstufen 86 2.8.3 Bewertungskurven 86 2.9 Binaurales Hören 88 2.1 0 Tonhöhe, Tonchroma, absolutes Gehör 97 3. Stimmungssysteme 3.1 Der Tonraum 93 3.2 Temperierte Stimmung 96 3.3 Pythagoräische Stimmung 98 3.4 Reine Stimmung 702 3.5 Mitteltönige Stimmungen 706 3.5.1 Zyklische Stimmungen 708 3.6 Auswahlsysteme 7 70 3.7 Außereuropäische Tonsysteme 7 72 3.8 Physikalische Herleitung von Tonleitern 7 75 3.9 Kirchentonarten 7 79 4. Klangsynthese 4.1 Schwingung von Luftmolekülen 727 4.1.1 Schallwandler 724 4.2 Additive Synthese 72S 4.3 Amplitudenmodulation 7 30 4.3.1 Ringmodulation 733 4.3.2 Multiplikative Mischung 7 34
4.4 Frequenzmodulation 134 4.4.1 Chowning FM 141 4.5 Waveshaping 143 4.5.1 Tschebyscheff-Polynome 145 4.6 Subtraktive Synthese 749 4.7 Formanten 7 53 4.7.1 Formanten der Singstimme 7 54 4.7.2 Formanten der Sprechstimme 759 4.8 Rauschen 760 4.9 Synthese mit Hilfe von Wellenformspeichern 7 64 4.9.1 Karplus-Strong-Algorithmus 7 65 4.10 Normalisierung 168 4.11 A-D-, D-A-Wandlung und Störabstand 168 4.11.1 Rekonstruktionsfilter 7 77 4.12 Datenreduktion: verdecktes Rauschen 777 5. Klangerzeugung durch schwingende Luftsäulen 5.1 Volumen, Druck und Temperatur 775 5.1.1 Adiabatenexponent 7SO 5.2 Wellengleichung 187 5.2.1 Schallgeschwindigkeit 790 5.2.2 Lösung der Wellengleichung 792 5.3 Fortschreitende Wellen 795 5.4 Reflektierte Wellen 204 5.4.1 Beidseitig offene Pfeifen 204 5.4.2 Einseitig offene Pfeifen 273 5.4.3 Zylindrisches Rohr, druckgesteuert 279 5.4.4 Konisches Rohr 222 5.5 Bauformen der Orgelpfeifen 227
5.6 Schallerregung in Labialpfeifen 228 5.6.1 Laminare und turbulente Strömung 230 5.6.2 Schneidenton 230 5.6.3 Mensur 233 5.7 Akustische Impedanz 233 5.8 Dämpfung und Absorption 244 6. Klangerzeugung durch schwingende Saiten 6.1 Schwingender Massenpunkt 249 6.2 Wellengleichung für eine Saite ohne Biegesteifigkeit 257 6.2.1 Lösung nach Bernoulli 259 6.2.2 Lösung nach d'alembert 277 6.3 Stegkräfte 287 6.4 Auslenkung einer angeschlagenen Saite 288 6.5 Grundfrequenz einer Saite ohne Biegesteifigkeit 292 6.6 Saiten mit Biegesteifigkeit 293 6.7 Klavier und Flügel 304 6.8 Bewegung der gestrichenen Saite nach Helmholtz 306 6.9 Wolfstöne 3 7S 7. Klangerzeugung durch schwingende Membranen 7.1 Zweidimensionale Wellengleichung 379 7.2 Lösung der Wellengleichung 322 7.2.1 Randbedingungen 325 7.3 Die kreisrunde Membran 336 7.4 Lösung der Wellengleichung 338 7.4.1 Bessel'sche Funktionen 340 7.5 Schwingungsmoden 343
Klanganalyse 8.1 Fourier-Transformation 360 8.1.1 Herleitung der Fourier-Koeffizienten 367 8.2 Diskrete Fourier-Transformation und Rücktransformation 363 8.3 Abtasttheorem 367 8.4 Fourier-Transformation mit komplexen Koeffizienten 375 8.4.1 Rücktransformation 380 8.5 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) 383 8.6 Fourier-Integral 392 8.6.1 Reelle Spektralfunktion 398 8.7 Fensterfunktionen 407 8.8 Anzahl der Abtastpunkte korrigieren 4 78 8.9 Spektrogramme 4 79 8.10 Beurteilung einer Zeitfunktion 422 9. Weitere Funktionen und Transformationen 9.1 Autokorrelation 425 9.2 Cepstrum 428 9.3 Faltungstheorem 430 9.4 Laplace-Transformation 432 9.4.1 Sprungfunktion 435 9.4.2 Rechteckpuls 437 9.4.3 Stufenfunktion 439 9.4.4 Dirac'sche Deltafunktion 439 ^ 9.5 Übertragungsfunktionen 44 7 9.5.1 Abtastfunktion 442 9.6 z-transformation 448 9.6.1 Kurvenintegrale 457 9.7 Fourier-, Laplace-, z-transformation im Vergleich 455
1 0. Gedämpfte Schwingungen 1 0.1 Frequenz einer gedämpften Schwingung 459 1 0.1.1 Inharmonizität des Flötentons? 464 10.2 Spektrum einer gedämpften Schwingung 464 11. Klangfilterung 11.1 Kondensator 469 11.1.1 Ladungskurve 473 11.2 Spule 476 11.3 Filterung durch.fourier-transformation 478 11.4 Filterung durch Faltung 480 11.5 Nicht-rekursive Filter 487 11.5.1 Linearer Phasengang 495 11.5.2 Nullstellen 502 11.5.3 Filterlänge n = 3 506 11.5.4 Filterlänge n = 4 570 11.5.5 Berechnung der Übertragungsfunktion 572 11.5.6 Filterkoeffizienten und Fourier-Kosinusreihe 574 11.5.7 Zeitunterschied - Frequenzunterschied 576 11.6 Rekursive Filter 576 11.6.1 Resonanzfilter 522 12. Raumakustik 12.1 Reflexion, Brechung, Beugung, Streuung 53 7 12.1.1 Schallreflexion 537 12.1.2 Schallbrechung 532 12.1.3 Schallbeugung 535 12.1.4 Schallstreuung 536 12.2 Huygens-Fresnel'sches Prinzip 536 12.2.1 Gangunterschied der Elementarwellen 539 12.3 Fraunhofer'sche Beugung 540 12.4 Schallreflexionen im Raum 544
12.5 Absorption 547 12.5.1 Helmholtz-Resonatoren 549 12.6 Nachhall 553 12.6.1 Tabellen der Schallabsorption in Luft 560 12.6.2 Beispielrechnungen 570 12.7 Hörsamkeit 571 12.7.1 Sprachverständlichkeit 5/7 12.7.2 Haas-Effekt 574 12.7.3 Sprachübertragungsindex STI 575 12.7.4 Raumakustische Kriterien für die Aufführung von Musik 577 Griechische Buchstaben 584 Vergrößerung und Verkleinerung von Einheiten (Sl-Präfixe) 585 Übersicht der Formelzeichen 587 Bibliographie 597 Index 605