Technische Universität Ilmenau Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Hausaufgabe im Fach Grundlagen der analogen Schaltungstechnik GaST (WS 04/5) Bearbeiter Matr.-Nr. Emailadresse Aufgabe erreichte Punkte mögliche Punkte Kommentar. Aufgabe. Aufgabe 3. Aufgabe 4. Aufgabe 5. Aufgabe 6. Aufgabe 7. Aufgabe 8. Aufgabe Gesamt
GaST-Hausaufgabe WS 04/5 Abgabetermin: Donnerstag, den 9.0.05, 8:30 Uhr (nach der Vorlesung) Durch die freiwillige Abgabe der korrekten Lösung dieser Hausaufgabe bis zum oben genannten Termin können Sie Bonuspunkte für die Klausur am Ende dieses Semesters verdienen (ca. 5 bis 0 Prozent der Gesamtpunkte). Schaltungsbeschreibung Zur Selektion von Signalen werden in der Nachrichtentechnik sehr häufig aktive Filterschaltungen eingesetzt. Im diskreten Schaltungsentwurf eignen sich dazu besonders Filterschaltungen mit Widerständen, Kapazitäten und Operationsverstärkern. Ein Filter aus diesem Bereich sehen Sie in Abbildung. 3 u ein C C 3 C 5 u 8 4 u aus Abbildung : Schaltung des gegebenen Filters Diese Schaltung zählt zu den Filtern. Ordnung. Das bedeutet, dass es ein quadratisches Nennerpolynom in Abhängigkeit von s und damit auch eine DGL.Ordnung besitzt, d.h. eine Übertragungsfunktion der Form H(s) = a s + b s + c s ω 0 + s Q ω 0 + () aufweist. Die Größen ω 0 und Q sind aus dem Filterentwurf bekannt, wobei ω 0 als esonanzfrequenz des ungedämpften Systems bezeichnet wird. Q ist die Güte oder Quality-Factor des Filters und gibt an, wie groß die Bandbreite, sprich die Selektivität des Filters im Frequenzgang, ausgeprägt ist. In dieser Hausaufgabe ist der Zusammenhang zwischen der Dimensionierung der Bauelemente des Filters, der Güte und der Filtercharakteristik zu untersuchen. Ferner sollen Vorgehensweisen der Analyse und typische Anwendungen von Filterstrukturen vermittelt werden. GaST WS 04/5 Hausaufgabe
Aufgabenstellung Aufgabe Für die Bauelemente des Filters ist Folgendes bekannt: C = C, C = C/k C, C 3 = C ( + /k C ) =, = k, 3 = k /( + k ) Geben Sie (ohne Herleitung) die Formel der Verstärkung v für die nicht-invertierende Operationsverstärkerschaltung mit dem Eingang u, d.h. u aus /u, an. Stellen Sie mit der Superknotenanalyse das Gleichungssystem des Netzwerkes auf und bestimmen Sie mit Hilfe von Mathematica die Formel für die Übertragungsfunktion symbolisch. Dabei dürfen sich nur noch die Parameter, C, k, k C, die Verstärkung v der nicht-invertierenden Operationsverstärkerschaltung sowie die komplexe Frequenz s in der Formel befinden. Wie müssen die Widerstände 4 und 5 gewählt werden, damit das Verhältnis u aus /u genau ist? Wie nennt man diese OPV-Grundschaltung? Stellen Sie auch für diesen Fall die Übertragungsfunktion der Gesamtschaltung auf. Letztere Übertragungsfunktion soll nun die Basis für die nachfolgenden Aufgaben darstellen. Aufgabe Bestimmen Sie anhand der in Aufgabe ) ermittelten Formel die Parameter Q und ω 0 bzw. f 0 symbolisch. Aufgabe 3 Nun sind folgende Werte gegeben: Q = 5 = kω k C = f 0 = 50 Hz Berechnen Sie anhand dieser Angaben die Werte für C und k. Damit können Sie nun die Schaltung in PSpice aufbauen und eine AC-Analyse von 0 Hz bis 00 Hz durchführen (logarithmisch). Für die Operationsverstärker verwenden Sie bitte das Modell VVideal bzw. eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle der Verstärkung 00000. Um welchen Filtertyp handelt es sich und wo könnte er mit diesen Parametern zum Einsatz kommen? Welche Auswirkung hat die Wahl der Verstärkung der nicht-invertierenden Operationsverstärkerschaltung? Aufgabe 4 Gegeben ist folgende allgemeine Übertragungsfunktion für den in Aufgabe 3) bestimmten Filtertyp: ) A 0 ( + s ω0 s + s () ω0 Q ω 0 + GaST WS 04/5 Hausaufgabe 3
Nutzen Sie nun wieder die erste der beiden in Aufgabe ermittelten Übertragungsfunktionen und bestimmen Sie Formeln für die Parameter A 0, ω 0 bzw. f 0 und Q. Was ändert sich im Vergleich zu Aufgabe? Nehmen Sie k = k C = 0, = kω, f 0 = 50 Hz sowie v = an und berechnen Sie daraus C und Q. Was fällt Ihnen dabei auf? Simulieren Sie diesen Fall und erklären Sie den Kurvenverlauf. Aufgabe 5 Im Folgenden soll dem Phänomen aus Aufgabe 4) auf den Grund gegangen werden. Berechnen Sie dazu die Pole und Nullstellen der ersten Übertragungsfunktion symbolisch sowie numerisch mit den Werten aus Aufgabe 4). Erklären Sie anhand dieser numerischen Werte die Erkenntnisse aus Aufgabe 4). Berechnen Sie die Pole und Nullstellen symbolisch und numerisch auch für die zweite Übertragungsfunktion mit den gegebenen und berechneten Werten aus Aufgabe 3). Erklären Sie die unterschiedlichen Kurvenverläufe der AC-Simulationen. Aufgabe 6 Simulieren Sie die Schaltung aus Aufgabe 3) transient und regen Sie dabei mit einer Pulsquelle (V = 0 V, V = 5 V, Periode und PW geeignet wählen) Messen Sie die Frequenz f der Schwingung der Sprungantwort und deren Abklingkonstante δ. Kleiner Hinweis: Die Abklingkonstante lässt sich leicht durch das Amplitudenverhältnis zweier Maxima berechnen. Welcher Zusammenhang ist zu den errechneten Polstellen festzustellen? Aufgabe 7 Berechnen Sie die Lösung der homogenen Differentialgleichung (DGL) des Netzwerks und erklären Sie kurz den Bezug zwischen den Polstellen, der Sprungantwort aus Aufgabe 6) und der Lösung der homogenen DGL. Aufgabe 8 egen Sie nun das Netzwerk mit einer Sinusquelle der Frequenz 50 Hz und einer Amplitude von 00 mv in eihe zu einer Pulsquelle mit V = 0 V, V = 5 V, t d = 00 ms, PW = s, PE = s an. Die Simulationszeit sollte nicht mehr als s betragen. Erklären Sie, ob das Filter ordnungsgemäß funktioniert und wie es seine Funktion erfüllt. Wofür könnte es in der Praxis verwendet werden? GaST WS 04/5 Hausaufgabe 4
Eine vollständige Lösung umfasst. Verstärkung der nicht-invertierenden Operationsverstärkerschaltung, Gleichungssystem mit SNA, symbolische Übertragungsfunktion, Dimensionierung von 4, 5, Name der OPV-Grundschaltung, Übertragungsfunktion für v =.. Formeln für ω 0 und Q. 3. numerische Werte für C und k C, Plot mit PSpice, Nennung und Anwendung des Filtertyps, Auswirkung der Verstärkung der nicht-invertierenden Operationsverstärkerschaltung. 4. symbolische Formeln für A 0, ω 0, f 0, Q, Vergleich zu Aufgabe ), numerische Werte für C und Q, kurze Beschreibung der Ergebnisse, Plot mit PSpice, Erklärung des Kurvenverlaufs. 5. Pole und Nullstellen der ersten Übertragungsfunktion symbolisch und numerisch mit den Werten aus Aufgabe 4), Pole und Nullstellen der zweiten Übertragungsfunktion symbolisch und numerisch mit den Werten aus Aufgabe 3), Erklärung zu den unterschiedlichen Kurvenverläufen. 6. Plot der Transientensimulation, Schwingfrequenz und Abklingkonstante numerisch, Zusammenhang zu Polstellen. 7. Lösung der homogenen DGL, Bezug zwischen Polstellen, Sprungantwort und Lösung der homogenen DGL. 8. Plot der Transientensimulation, Erklärung zur Funktion des Filters. Drucken Sie bitte zusätzlich noch die zur Berechnung verwendeten Mathematica-Notebooks aus und versehen Sie alle Dokumente mit der jeweiligen Aufgabennummer, Ihrem Vor- und Zunamen sowie Ihrer Matrikelnummer. Füllen Sie bitte unbedingt das angefügte Deckblatt aus und heften Sie es vorn an Ihre Unterlagen an. Die Arbeit in Gruppen bis zu fünf Personen ist erlaubt und sogar erwünscht. Bitte geben Sie dann nur ein Exemplar ab. Hinweise zu Mathematica: Alle benötigten Befehle finden Sie in dem unten gezeigten Beispiel. Für weitere Befehle und Hinweise nutzen Sie den Mathematica Help-Browser. Auf unserer Homepage findet sich auch ein kleiner Mathematica Einführungskurs. Wichtig zwei mfme : Underscores _ dürfen nicht in Variablendeklarationen verwendet werden! Und noch ein Hinweis: MatrixForm darf nicht in der Zuweisung stehen (auch wenn es bequem erscheint und scheinbar zunächst funktioniert), also nicht AInv = Inverse[A]//MatrixForm, sondern nur so, wie nachfolgend angewendet. Ansonsten passiert bei der nächsten Operation mit der Matrix nichts. most frequently made errors :-) GaST WS 04/5 Hausaufgabe 5
Mathematica-Codebeispiele Lösen eines Gleichungssystems in MatrixForm In[]:= A a a a3 a4 ; b b b ; Ainv Inverse A ; c Ainv.b; MatrixForm c Out[5]//MatrixForm= a4 b a b a a3 a a4 a a3 a a4 a3 b a b a a3 a a4 a a3 a a4 Lösen von Gleichungssystemen symbolisch/numerisch In[5]:= sol Solve x c x c0 0, x Out[5]= x c 4 c0 c, x c 4 c0 c Lösen von Gleichungen numerisch In[6]:= Out[6]= sol NSolve x 5 x 3 0, x x.436, x 0.4679.308, x 0.4679.308, x 0.95853 0.49848, x 0.95853 0.49848 Zugriff auf Elemente in den Lösungen In[7]:= Out[7]= elem x. sol c 4 c0 c oder (bei Ergebnissen ohne ule( )- Operator): In[8]:= Out[8]= elem c a4 b a a3 a a4 a b a a3 a a4 Einsetzen von Werten/Liste von Werten In[9]:= Out[9]= values c0 4, c elem. values c0 4, c Out[0]= 3 GaST WS 04/5 Hausaufgabe 6
Grenzwertbildung In[]:= Out[]= grenzwert Limit x n n, n Infinity x Komplexe Betragsbildung Beträge von komplexen Ausdrücken zu berechnen, erfordert die Anwendung von Complex- Expand und PowerExpand, ansonsten kommt nur der Ausdruck wieder zurück. In[]:= Out[]= In[]:= Out[]= I w Abs c b I w a I w w Abs c b w a w I w Abs ComplexExpand PowerExpand c b I w a I w w b w c a w Falls Sie Fragen oder Hinweise zur Hausaufgabe haben, können Sie sich (bitte rechtzeitig) an die GST-Seminarleiter wenden. GaST WS 04/5 Hausaufgabe 7