Abschnitt: Folgen, Reihen, Grenzwerte

Abschnitt: Folgen, Reihen, Grenzwerte Entwicklung von Mathematikaufgaben Realschule 1960: Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die Erzeugerkosten betragen 40 DM. Berechne den Gewinn! Sekundarstufe 1970: Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die Erzeugerkosten betragen 4/5 des Erlöses. Wie hoch ist der Gewinn des Bauern? (Rechenschieber nicht erlaubt) Sekundarstufe 1980: Korrektur der Formulierung (Identische Neuauflage von 1970): Ein/e Bauer/in verkauft einen/e Sack/in Kartoffeln/innen einem/er Kunden/in für DM 50.-. Die Erzeuger/innen Kosten betragen 4/5/innen des Erlöses. Wie hoch ist der/die Gewinn/in des/der Bauern/in? (Keine Taschenrechner/innen verwenden.) Gymnasium 1990: Ein Agrarökonom verkauft eine Menge subterraner Solanum tuberasum für eine Menge Geld (=G). G hat die Mächtigkeit 50. Für die Elemente aus G=g gilt: Die Menge der Herstellungskosten (=H) ist um zehn Elemente weniger mächtig als die Menge G. Zeichnen Sie ein Bild der Menge H als Teilmenge G und geben Sie die Lösungsmenge X für folgende Frage an: Wie mächtig ist die Gewinnmenge? Freie Waldorf-Schule 1995: Male einen Sack Kartoffeln und singe ein Lied dazu. Integrierte Gesamtschule 1999: Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50.-. Die Erzeugerkosten betragen 40.-. Der Gewinn beträgt 10.-. Unterstreiche das Wort Kartoffeln und diskutiere mit deinen 15 Mitschülern aus anderen Kulturkreisen darüber. Waffen sind dabei nicht erlaubt. Schule 2005 (nach der Bildungs- und Rechtschreibreform): Ein agrargenetiker ferkauft ein sagg gatoffeln für 6.25 Franken. Die kosden bedragen 5 Franken. Der ganze gewin bedregt 1.25 Franken. Aufgabe: margiere den term gardoffeln und maile die losung im pdf-format an classenleerer@schule.euroba Jor 2015: Sorrie, es gipt keine gartoffeln meer! Nur noch pom fritt bei mc donels. Es lebe der fordschridd! 1

Kapitel 1 Zahlenfolgen 1.1 Zahlenfolgen Eine reelle Zahlenfolge a 1, a 2, a 3,,... abgekürzt (a n ), ist eine Funktion, welche die natürlichen Zahlen von eins bis unendlich auf reelle Zahlen abbildet. Anders gesagt ist eine reelle Zahlenfolge eine Nummerierung von unendlich vielen, reellen Zahlen. Definition Eine reelle Zahlenfolge a 1, a 2, a 3,,... abgekürzt (a n ), ist eine Funktion n a n mit n N und a n R. Beispiel Betrachten wir zum Beispiel die Zahlenfolge der geraden, natürlichen Zahlen: 2, 4, 6, 8, 10,... Bei dieser Zahlenfolge gilt: a 1 = 2 a 2 = 4 a 3 = 6 a 10 = 20 Das bedeutet, dass die erste Zahl der Folge 2 ist, die zweite Zahl 4, die dritte 6, die zehnte 20 usw. 2

Beispiel Eine Zahlenfolge ist meistens nach einer bestimmten Regel aufgebaut. Diese Regel kann bei jeder Folge wieder anders sein. Schreibe zu jeder der unten stehenden Folgen weitere 4 Glieder: a) 1, 4, 7, 10, 13, b) 3, 33, 333, 3333, c) 6, 12, 24, 48, d) 1, 2, 6, 24, 120, 720, e) 2, 3, 5, 7, 11, 13, f) 1 2, 3 4, 1, 5 4, 3 2, 7 4, 2, g) 343, 216, 125, 64, h) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 1.1.1 Grafische Darstellung von Folgen Da der Definitionsbereich von reellen Zahlenfolgen nur aus ganzen Zahlen besteht, ist der Graph einer solchen Folge keine durchgezogene Linie, sondern besteht nur aus einzelnen Punkten. Beispiel Zeichne den Graphen der abbrechenden Zahlenfolge 1, 4, 7, 10, 13. 3

1.1.2 Definition von Folgen Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, eine Folge zu definieren, nämlich explizit oder rekursiv. Die explizite Definition Ist das allgemeine Glied a n durch einen Term in einer Variablen n gegeben, so heisst die Funktion explizit definiert. Beispiel a n = n 2 4n+0.5 Berechne die ersten vier Glieder dieser Folge. a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = Die rekursive Definition Oft wird eine Folge festgelegt, indem man das erste (oder mehrere) Glied(er) nennt und ausserdem angibt, wie man von einem (oder mehreren) Glied(ern) zum nächsten kommt. Man spricht dann von einer rekursiven Definition einer Folge. Beispiele Berechne jeweils die nächsten zwei Glieder der nachstehenden Folgen: 1. a n = 3a n 1, a 1 = 7 2. a n+ 1 = 7a n, a 1 = 0 3. a n+1 = a n +a n 1, a 1 = 2, a 2 = 4 4

Bemerkung Bei rekursiven Definitionen ist es wichtig, ein Folgeglied anzugeben. Sonst könnte die Folge a n = 2a n 1 sowohl 2, 4, 8, 16, 32,... als auch 3, 6, 12, 24,... bedeuten. Nur durch Angabe des ersten Folgegliedes wird die Folge eindeutig definiert. Vor und Nachteile der beiden Definitionen Die explizite Definition ist oft komplizierter als die rekursive, dafür kann man mit Hilfe der expliziten Definition beliebige (auch hohe) Folgeglieder schnell ausrechnen, während man bei der rekursiven nur ein Folgeglied ums andere berechnen kann. 1.1.3 Aufgaben Aufgabe 1 Berechne die ersten 5 Glieder der Folgen: a) a n = 4n 1 b) b n = 2n+3 c) c n = n 2 3n d) d n = (n+1) 1 Aufgabe 2 a) Berechne a 5 : a n = a n 1 +11, a 1 = 5. b) Berechne b 5 : b n+1 = 4b n, b 1 = 3. c) Berechne c 1 und c 5 : c n+1 = c n +n, c 3 = 7. d) Berechne d 0, d 1 und d 6 : d n+1 = (n+1)d n, d 2 = 2. e) Berechne e 6 : e n+1 = e n 1 +e n, e 1 = 1 und e 2 = 3. 5

Aufgabe 3 Definiere die folgenden Folgen sowohl explizit, als auch rekursiv: a) 2 2, 2 3, 2 4, 2 5,... b) 3, 33, 333, 3333,... c) 6, 24, 120, 720, 5040,... Aufgabe 4 Definiere die folgenden Zahlenfolgen rekursiv: a) 5, 11, 23, 47, 95,... b) 7, 20, 59, 176, 527,... c) 2, 4, 16, 256,... d) d n = n 2 e) e n = n 2 2n 1.2 Spezielle Zahlenfolgen In diesem Kapitel werden wir zwei spezielle Folgen kennenlernen, nämlich die arithmetische und die geometrische Folge. 1.2.1 Arithmetische Folgen Definition Eine Folge (a n ) mit a n = a 1 +d(n 1) (wobei a 1,d R und n N) heisst arithmetische Folge. Erklärung Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz d = a n a n 1 für alle n die gleiche. Das heisst, der Abstand von Folgeglied zu Folgeglied bleibt für alle Folgeglieder gleich. Wie alle anderen Folgen können wir auch arithmetische Folgen rekursiv und explizit definieren. 6

Rekursive Definition von arithmetischen Folgen a n = a n 1 +d, a 1 = p, wobei p R und d die Differenz d = a n a n 1 ist. Beispiel a n = a n 1 +3, a 1 = 2 Explizite Definition von arithmetischen Folgen a n = a 1 + d(n 1), wobei n N, a 1 R beliebig und d die Differenz d = a n a n 1 ist. Beispiel a n = 2+3(n 1) Bemerkung Die Punkte des Graphen einer arithmetischen Folge liegen auf einer Linie. Beispiel Seien a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 5, a 4 = 7 und a 5 = 9 die ersten fünf Glieder einer arithmetischen Folge. Zeichne den Graphen dieser Folge: Wie ist die rekursive Definition dieser Folge? Wie ist die explizite Definition dieser Folge? 7

1.2.2 Geometrische Folgen Definition Eine Folge (a n ) mit a n = c q n 1 (mit c,q R) heisst geometrische Folge. Erklärung Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient a n a n 1 für alle n der gleiche. Wenn also zwei benachbarte Folgeglieder durcheinander geteilt werden, ist das Resultat immer gleich. Auch geometrische Folgen können rekursiv und explizit definiert werden. Rekursive Definition von geometrischen Folgen a n = q a n 1, a 1 = p, wobei n N, p R und q der Quotient q = an a n 1 ist. Beispiel a n = 3 a n 1, a 1 = 2 Explizite Definition von geometrischen Folgen a n = a 1 q n 1, n N, wobei a 1 R beliebig und q der Quotient q = an a n 1 ist. Beispiel a n = 2 3 n 1 8

Beispiel Seien a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 4, a 4 = 8 und a 5 = 16 die ersten fünf Glieder einer geometrischen Folge. Zeichne den Graphen dieser Folge: Wie ist die rekursive Definition dieser Folge? Wie ist die explizite Definition dieser Folge? 9

Beispiel Ein Beispiel aus dem Alltag für geometrische Folgen ist die Zinseszins-Rechnung. Zinseszins heisst, dass die Zinsen von einem Kapital jedes Jahr zu dem Kapitel hinzukommen und wieder verzinst werden. Die Formel für die Berechnung des Zinseszins lautet: K n = K 0 (1+ p 100 )n Dabei ist K 0 das Kapital bei der Einzahlung, also nach null Jahren. K n ist das Kapital nach n Jahren und p ist der Zinssatz. Übertragen auf die explizite Definition der geometrischen Folge ist a 1 := K 0, p := 1 + p. Da wir mit K 100 0 und nicht mit K 1 beginnen, ist der Exponent nun n und nicht mehr n 1. a) Nach zehn Jahren erhalten wir ein Kapital von 500 000 Franken. Der Zinssatz betrug 0.2%. Wie hoch war das Anfangskapital? b) Jemand hat 2 000 Franken. Dieses Kapital möchte er in fünf Jahren verdoppeln. Wie gross müsste der Zinssatz sein? c) Wie lange müssten 2 000 Franken bei einem Zinssatz von 0.5% angelegt werden, wenn diese verdoppelt werden sollen? 10

Kapitel 2 Reihen Bevor wir mit den eigentlichen Zahlenreihen beginnen, müssen wir uns das Summenzeichen genauer anschauen. Dieses wird uns helfen, die aufwändigen Reihen einfacher zu schreiben. 2.1 Summenzeichen Wenn man lange Summen aufschreiben will, benutzt man das Summenzeichen. Beispiel 4 i=1 (2i 1) = (2 1 1)+(2 2 1)+(2 3 1)+(2 4 1) = 1+3+5+7 Natürlich kann man bei diesem Beispiel die Summe auch ausschreiben. Wenn wir uns nun aber vorstellen, dass wir alle ungeraden Zahlen bis 99 summieren möchten, würde dies sehr mühsam. Mit dem Summenzeichen geht auch das sehr einfach: 50 i=1 (2i 1). Erklärung Das ist ein grosser, griechischer Buchstabe und heisst Sigma. Wenn wir ihn aber wie oben beschrieben verwenden, nennen wir ihn Summenzeichen. i=1 bedeutet, dass wir beim Summieren mit 1 beginnen. Danach wird das i bei jedem Summanden um eins erhöht, bis wir bei derjenigen Zahl angelangt sind, welche oberhalb des Summenzeichens steht. Dort hören wir mit dem Summieren auf. 11

Beispiele a) 4 i=1 i2 = b) 6 i=3 (i 3)2 = c) Schreibe mithilfe des Summenzeichens die Summe aller geraden Zahlen von 2 bis 200. 2.1.1 Aufgaben a) 5 i=1 (i+1) = b) 10 i=1 (i2 1) = c) 6 i=2 (2i 3)2 = d) 5 i=0 2i = e) Schreiben mit dem Summenzeichen die Summe aller natürlichen Zahlen von 100 bis 1000. f) Schreibe folgende Summe mit dem Summenzeichen: 2!+3!+4!+5!+...50!. (Dabei ist das! die Fakultät. Dies bedeutet, dass alle Zahlen bis zu derjenigen, welche vor dem Fakultätszeichen steht, multipliziert werden. Also z.b. 3! = 1 2 3.) 2.2 Zahlenreihen 2.2.1 Definition Zu jeder Zahlenfolge kann man eine neue Folge bilden, nämlich die Folge (s n ) der Teilsummen der Folgeglieder: (s n ) = s 1, s 2, s 3,..., s n = a 1, a 1 +a 2, a 1 +a 2 +a 3,..., n i=1 a i = 1 i=1 a i, 2 i=1 a i, 3 i=1 a i,..., n i=1 a i 12

Reihen Eine unendliche Reihe ist die Folge (s n ) der Teilsummen, die zu einer Folge (a n ) gehören. Beispiel Gegeben ist die Folge a n = 4n 2. Berechne die ersten vier Glieder der zugehörigen Reihe. 2.2.2 Arithmetische Reihe Als arithmetische Reihe bezeichnen wir eine Zahlenreihe, welche zu einer arithmetischen Folge gehört. Für solche Reihen gibt es eine einfache Formel, um das n-te Glied der zugehörigen Reihe zu berechnen. Herkunft der Formel Die Idee für diese Formel hatte der Mathematiker Karl Friedrich Gauss(1777-1855). In der Primarschule war er oft gelangweilt und störte darum den Unterricht. Der Lehrer wollte Gauss beschäftigen und gab ihm den Auftrag, die Summe der ersten 100 Zahlen zu berechnen. Bereits nach wenigen Minuten war Gauss schon fertig. Er hat die Aufgabe folgendermassen gelöst: 13

Berechnung des n-ten Gliedes einer arithmetischen Reihe Sei (a n ) eine arithmetische Folge und (s n ) die zugehörige Reihe. Dann gilt für das n-te Folgeglied der Reihe: s n = n 2 (a 1 +a n ). Beispiele a) Gegeben ist die Zahlenfolge a n = 1+4n. Wie gross ist die Summe der ersten fünf Folgeglieder? b) Gegeben ist die Zahlenfolge a n = a n 1 + 3, a 1 = 1. Wie gross ist die Summe der ersten 50 Folgeglieder? c) Gegeben ist die Zahlenfolge 0, 5, 10, 15,... Wie gross ist die Summe, wenn alle Folgeglieder vom 20. bis zum 50. Folgeglied zusammengezählt werden? 14

2.2.3 Geometrische Reihe Als geometrische Reihe bezeichnen wir eine Zahlenreihe, welche zu einer geometrischen Folge gehört. Auch für solche Reihen gibt es eine einfache Formel, um das n-te Glied der zugehörigen Reihe zu berechnen. Berechnung des n-ten Gliedes einer geometrischen Reihe Sei (a n ) eine geometrische Folge und (s n ) die zugehörige Reihe. Dann gilt für das n-te Folgeglied der Reihe: s n = a 1 q n 1 q 1. Beweis Sei a n = a 1 q n 1 s n = n 1 i=0 a 1 q i s n q = n 1 i=0 a 1 q i q = n 1 i=0 a 1 q i+1 s n q = n i=1 a 1 q i s n s n q = n 1 i=0 a 1 q i n i=1 a 1 q i = a 1 q 0 a 1 q n = a 1 a 1 q n s n (1 q) = a 1 (1 q n ) s n = a 1 q n 1 q 1 15

Beispiele a) Gegeben ist die Zahlenfolge a n = 2 3 n. Wie gross ist die Summe der ersten fünf Folgeglieder? b) Gegeben ist die Zahlenfolge a n = 2 a n 1, a 1 = 1. Wie gross ist die Summe der ersten 50 Folgeglieder? c) Gegeben ist die Zahlenfolge 2, 3, 4.5, 6.75,... Wie gross ist die Summe, wenn alle Folgeglieder vom 20. bis zum 50. Folgeglied zusammengezählt werden? 16

2.2.4 Aufgaben Aufgaben zu arithmetischen Folgen und Reihen a) Im Küssnachter Theater sitzen in der ersten Reihe 20 Zuschauer, in jeder weiteren Reihe sitzen 3 Zuschauer mehr als in der vorherigen. Wie viele Zuschauer sitzen in der 11. Reihe? b) In einem anderen Theater sitzen in der 31. Reihe 70 Zuschauer, in der ersten Reihe sitzen nur 10. Wie viele Zuschauer sitzen in jeder Reihe mehr als in der vorherigen? c) Wie gross ist die Anzahl Glieder einer arithmetischen Folge, deren Anfangsglied 4, deren k-tes Glied 80 und bei welcher die Summe der ersten k Glieder 672 beträgt? Wie gross ist die Differenz zwischen zwei Gliedern? d) Das Anfangsglied einer arithmetischen Folge ist 6. Die Differenz beträgt 9 und die Summe der ersten k Glieder ist 2 016. Wie gross ist k? Wie gross ist a k? e) Ein Arbeitnehmer verdient im ersten Jahr pro Monat 10 000 Franken. In jedem weiteren Jahr verdient er monatlich 700 Franken mehr als im Vorjahr. Wie lautet die Folge, deren k-tes Glied den Monatslohn nach k Jahren angibt? Wie viel verdient der Arbeitnehmer im vierzigsten Jahr pro Monat? Wie viel hat der Arbeitnehmer nach 10 Jahren insgesamt verdient? 17

Aufgaben zu geometrischen Folgen und Reihen a) Wie gross ist die Summe s 12 der geometrischen Folge 1, 2,...? b) Ein Kapital von 5 000 Franken wird mit Zinseszins angelegt. Der Zinssatz beträgt 5 %. Wie gross ist das Kapital nach 10 Jahren? Bei welchem Zinssatz würde sich das Kapital in 10 Jahren verdoppeln? (Überlege dir, ob es bei dieser Frage eine Rolle spielt, wie gross das Anfangskapital ist.) c) In einer geometrischen Zahlenfolge ist a 1 = 2 3 und a 10 = 13 122. Wie heisst die explizite Definition dieser Folge? Wie gross ist das 15. Glied dieser Folge? 18

Kapitel 3 Grenzwerte 3.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen Wenn sich die Glieder einer Zahlenfolge immer mehr einer bestimmten Zahl annähern, nennt man diese Zahl Grenzwert der Zahlenfolge. Natürlich haben aber nicht alle Zahlenfolgen einen Grenzwert. Zahlenfolgen, die einen Grenzwert besitzen, nennt man konvergent. Solche, die keinen Grenzwert besitzen, nennt man divergent. 3.1.1 Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge Ist (a n ) eine reelle Zahlenfolge, dann heisst g der Grenzwert dieser Folge genau dann, wenn es zu jedem ǫ > 0 eine Gliednummer n 0 gibt, sodass gilt: a n g < ǫ für alle n n 0. Erklärung Die oben aufgeschriebene Definition ist etwas ungewohnt, dafür aber mathematisch korrekt. Sie bedeutet, dass, wenn wir uns den Graphen einer konvergenten Zahlenfolge anschauen, ab einem bestimmten Folgeglied alle nachfolgenden Punkte innerhalb eines unendlich dünnen Streifens um den Grenzwert g liegen. 19

Skizze Die Erklärung kann anhand einer Skizze verdeutlicht werden: Notation Statt die Folge (a n ) hat den Grenzwert g schreibt man kurz: lim n a n = g (lies: Limes a n für n gegen unendlich gleich g). 3.1.2 Rezept zur Berechnung von Grenzwerten Bei vielen Zahlenfolgen (a n ) kann man sich einfach überlegen was geschieht, wenn n unendlich gross wird. Beispiele Überlege dir, wie gross die folgenden Grenzwerte sind: a) lim n 1 n b) lim n 1+n c) lim n 1 2n 20

d) lim n n n 2 e) lim n 2n n f) lim n 3n n 2 g) lim n 1+ 1 n h) lim n 2n+1 n i) lim n 5n 2 +3 n 2 j) lim n 4n 2 +14n 2n 2 21

Bemerkung In den oberen Beispielen stehen Folgen, bei denen man den Grenzwert (evtl. nach einigen Umformungen) problemlos erkennen kann. Dies ist nicht immer so einfach der Fall. Um den Grenzwert von Brüchen einfach zu berechnen, gehst du am einfachsten folgendermassen vor: 1. Überlege dir, welches der höchste Exponent von n ist, der in der Folge vorkommt. 2. Teile alle Summanden durch die höchste Potenz von n. 3. Kürze jeden Summanden so weit als möglich. 4. Lasse n in jedem Summanden einzeln gegen unendlich gehen. (Viele der Summanden werden gegen Null gehen.) 5. Das was übrig bleibt, ist der gesuchte Grenzwert. Beispiel lim n 3n 2 +2n+1 2n 2 +4n = lim n 3.1.3 Aufgaben 3n 2 n 2 +2n n 2+ 1 n 2 2n 2 n 2 +4n n 2 Bestimme die folgenden Grenzwerte: a) lim n n 4 +3n 2 +n+1 4n 2 +2n+4n 4 b) lim n n 2 +2n+14 n 2 +3 c) lim n 24n+16 4n+3 d) lim n n 3 +2n 2 +4n 3n 2 +2n+1 e) lim n 2n 4 +2n 2 +2n+2 2n 4 +3n 2 +5n+3 = lim n 3+ 2 n + 1 n 2 2+ 4 n = 3 2 22

3.1.4 Rechenregeln für Grenzwerte Es seien: lim n a n = a und lim n b n = b. Dann gelten folgende Rechenregeln: 1. lim n (a n ±b n ) = a±b 2. lim n (c a n ) = c a 3. lim n (a n b n ) = a b 4. lim n a n bn = a b 3.2 Grenzwerte von Funktionen Bisher haben wir nur Grenzwerte von Zahlenfolgen angeschaut. Der Grenzwertbegriff beschränkt sich aber nicht nur auf Folgen. Auch Funktionen können Grenzwerte haben. Eines der nächsten Themen wird das Differenzieren sein. Dort werden wir Grenzwerte von Funktionen brauchen. 3.2.1 Grenzwerte von Funktionen für x ± Wenn man bei einer Funktion f mit Definitionsbereich R für x nacheinander 1, 2, 3,... einsetzt, so entsteht eine Folge f(1), f(2), f(3),... von Funktionswerten. Beispiel 23

Die Figur oben zeigt den Graphen der Funktion f(x) = 3 5 2 x. In diesem Fall hat die Bildfolge den Grenzwert 3. Dies gilt ebenso, wenn man als Urbildfolge (x, die eingesetzt werden) die Folge 1, 4, 9,... der Quadratzahlen oder die Folge 2, 3, 5, 7,... der Primzahlen oder irgendeine andere Folge (x n ) mit lim x = wählt. Die zugehörigen Bildfolgen haben alle den gleichen Grenzwert 3. Bemerkung Anschaulich bedeutet das, dass der Graph von f für wachsende x-werte der Parallelen zur x-achse mit der Gleichung y=3 beliebig nahekommt. Definition a) Eine Zahl g heisst Grenzwert der Funktion f für x, wenn für jede Urbildfolge (x n ) mit x n und x n D f (D f = Definitionsbereich von f) die Bildfolge (f(x n )) denselben Grenzwert g hat. Man schreibt dann lim x f(x) = g. b) EineZahlgheisstGrenzwertderFunktionffürx,wennfürjede Urbildfolge (x n ) mit x n und x n D f (D f = Definitionsbereich von f) die Bildfolge (f(x n )) denselben Grenzwert g hat. Man schreibt dann lim x f(x) = g. Bemerkung Beim Berechnen von Grenzwerten von Funktionen geht man gleich vor, wie wenn man Grenzwerte von Zahlenfolgen berechnet. Nur muss man sich bei Grenzwerten von x überlegen, was geschieht, wenn das x gegen geht. Aufgaben Bestimme die folgenden Grenzwerte: a) lim x 4 x b) lim x x 2 x c) lim x 12x+11 2x+7 d) lim x x 3 +2x 2 +4x 3x 2 +2x+1 24

3.2.2 Grenzwerte von Funktionen für x x 0 Bei Funktionen können Grenzwerte nicht nur für x und x auftreten, sondern auch Grenzwerte für x x 0, wobei x 0 eine beliebige Zahl ist. Beispiel Wir betrachten die Funktion f(x) = x2 4. Diese Funktion ist für alle x 2 5x 10 definiert. (Alle Zahlen ausser 2 dürfen in die Funktion eingesetzt werden und liefern einen Funktionswert. Wenn wir 2 einsetzen würden, müssten wir durch 0 teilen.) Um herauszufinden, was in der Umgebung von 2 passiert, müssten wir in die Funktion Zahlen einsetzen, die beliebig nahe bei 2 liegen. Es muss also solche Zahlen im Denfinitionsbereich geben. 2 selber muss nicht dazugehören. Definition Eine Zahl g heisst Grenzwert der Funktion f für x x 0, wenn bei jeder Folge (x n ) mit x n D f, x n x 0 und x n x 0 die Bildfolge (f(x n )) denselben Grenzwert g hat. Man schreibt dann lim x x0 f(x) = g. Vorgehen Gehen wir zurück zum Beispiel von oben. Da wir 2 selbst nicht einsetzen dürfen, ist es nicht offensichtlich, wie das Verhalten der Funktion in der Nähe von 2 ist. Aus diesem Grund formen wir die Funktion so weit um, dass wir zwei einsetzen dürfen. Die Funktion wird durch solche Umformungen nur geringfügig verändert, sodass die Form den Graphen im Allgemeinen gleich bleibt: f(x) = x2 4 5x 10 = (x 2)(x+2) = x+2 5(x 2) 5, für x 2. Nun können wir 2 einsetzen, um den Grenzwert zu berechnen. Wir schreiben: lim x 2 f(x) = lim x 2 x 2 4 5x 10 = lim x 2 (x 2)(x+2) 5(x 2) = lim x 2 x+2 5 = 4 5. 25

Beispiele Berechne folgende Grenzwerte: a) lim x 3 3x 9 x 2 9 b) lim x 1 x 2 +x 2 x 2 +9x 10 c) lim x 0 2x x 2 +x 3 4x d) lim x 0 4x 3 2x 2 +x 5 x 26

3.2.3 Aufgaben Aufgabe 1 Skizziere mithilfe einer Wertetabelle ein Schaubild von f(x) = x 1 x. Gibt das Schaubild einen Hinweis auf einen vermutlichen Grenzwert für x? Aufgabe 2 Untersuche den Grenzwert der folgenden Funktionen für x und x : a) f(x) = sin(x) b) f(x) = x+1 x 2 c) f(x) = x2 1 x+1 d) f(x) = sin(x) x e) f(x) = x2 4x 3 +x 4 5x 5 x Aufgabe 3 Bestimme für die folgenden Funktionen und gegebenem x 0 lim x x0 f(x): a) f(x) = x2 9 x 3, x 0 = 3 b) f(x) = 4x2 1 2x+1, x 0 = 1 2 c) f(x) = 3x2 +3x x+1, x 0 = 1 d) f(x) = 2x2 32 3x+12, x 0 = 4 e) f(x) = x2 6x+9 x 3, x 0 = 3 f) f(x) = x2 5x+4 x 4, x 0 = 4 g) f(x) = x3 x x 1, x 0 = 1 27