Parameter- und Kurvenintegrale

KAPITEL 6 Parameter- und Kurvenintegrale 1. Parameterintegrale Typishe Beispiele fur Parameterintegrale sind sogenannte spezielle Funktionen wie die Gamma-Funktion Γx : oder auh die Besselfunktionen J n x : 1 π π t x 1 e t dt, x > osx sin t nt dt, n N, oder auh Integraltransformationen wie die Fourier-Transformierte: ˆfω e iωt ft dt. Satz 6.1. Sei D [a, b] [, d] {x, y : a x b, y d} ein abgeshlossenes Rehtek im R 2 und f : D R stetig. Dann gilt fur die Integralfunktion F x : d fx, y dy, a x b, a: F ist stetig in [a, b], b: Ist zusatzlih f auf [a, b] stetig partiell nah x dierenzierbar, dann ist F dierenzierbar und es gilt F x d dx d fx, y dy d f x, y dy. x und Beispiel 6.1. F x π 1 F x F x sintx t π π 1 1 dt, dann ist sintx π dt ostx dt x t 1 π ostx dt t sintx dt. x 1 122

1. PARAMETERINTEGRALE 123 1.1. Leibniz-Regel. Nun konnen bei einem Parameterintegral aber auh eine oder beide Grenzen vom Parameter abhangen, in diesem Fall genugt es niht nur unter dem Integral zu dierenzieren. Beispiel 6.2. Oensihtlih ist F x x os t dt ein Parameterintegral mit dem Parameter x in der oberen Grenze. Andererseits ist F x oensihtlih eine Stammfunktion fur os t. Es gilt und damit F x x F x sin x d dx os t dt sin t x sin x x os t dt os x. Beispiel 6.3. Mit den gleihen Argumenten kann man folgendes Integral untersuhen: hx gx ft dt mit dierenzierbaren Funktionen gx, hx. Ist F x eine Stammfunktion von fx, so ist und damit d dx hx gx Allgemein gilt hx gx ft dt F gx F hx ft dt d dx F hx F gx F hxh x F gxg x fhxh x fgxg x. Satz 6.2. Leibniz-Regel. Es seien g und h nah x stetig dierenzierbare Funktionen und die Funktion fx, t sei stetig in x und t sowie stetig partiell nah x dierenzierbar. Dann gilt d dx hx gx fx, t dt hx gx x fx, t dt + fx, hxh x fx, gxg x. Beispiel 6.4. Fur Iα : α 2 di α 2 dα osα t 2 dt ist α 2 α osα t2 dt + osαα 2 2 2α t 2 sinα t 2 dt + 2α os α 5.

2. RAUMLICHE SKALAREN- UND VEKTORFELDER 124 1.2. Uneigentlihe Parameterintegrale. Fur uneigentlihe Parameterintegrale gelten dem Satz 6.1 entsprehende Ergebnisse nur unter der zusatzlihen Voraussetzung, dass einige der vorkommenden Integral " gleihmaig konvergieren\. Die gleihmaige Konvergenz kann durh Majoranten gesihtert werden, d.h. Satz 6.3. Ist f auf dem einseitig oenen Rehtek D {x, y : a x b, y < d}, d R {} stetig und stetig partiell nah x dierenzierbar und gibt es Funktionen g, h : [, d R, fur die gilt: 1 fx, y gy und f x x, y hy fur alle x, y D, 2 die uneigentlihen Integrale bzw. d gy dy : lim gy dy : lim ε d ε d d gy dy, gy dy, d hy dy hy dy konvergieren. Dann konvergiert fur jedes x [a, b] das uneigentlihe Integral F x : d fx, y dy bzw. F x : fx, y dy und die dadurh denierte Funktion F ist dierenzierbar mit der Ableitung: F x : d f x x, y dy bzw. F x : f x x, y dy. Beispiel 6.5. Es sei F x : e t2 osxt dt. Dieses Integral existiert als uneigentlihes Parameterintegral und ist dierenzierbar nah x, da fx, t e t2 osxt eine einmal stetig dierenzierbare Funktion ist und die folgenden Abshatzungen gelten: fx, t e t2, f x x, t te t2 sinxt te t2 ; und die Integrale e t2 dt und konvergieren wegen e t2 < e t fur t > 1. t e t2 dt 2. Räumlihe Skalaren- und Vektorfelder Ein Skalarenfeld oder eine Belegungsfunktion f : R 3 jedem Punkt x D eine Zahl f x zu. D R ordnet

2. RAUMLICHE SKALAREN- UND VEKTORFELDER 125 Beispiel 6.6. Die Dihte ρx, y, z ρ x einer inhomogenen Platte, Temperatur T x, y, z T x im Raum. Unter einem raumlihen Vektorfeld versteht man eine Funktion v : R 3 D R 3, die jedem Punkt x D einen Vektor v x zuordnet. Eine Kurve in in D heit Feldlinie des Vektorfeldes v, wenn der Vektor v x in jedem Kurvenpunkt x parallel zur Kurventangente t ist. Feldlinien v x Beispiel 6.7. Starre Drehung. Eine Rehtsdrehung mit konstanter Winkelgeshwindigkeit ω um eine Ahse durh den Nullpunkt mit dem Rihtungsvektor a a 1, a 2, a 3 T, a 1, wird dargestellt durh xt osωt x + 1 osωt x a a + sinωt a x, wobei x die Lage zur Zeit t bezeihnet. a x vx Fur die Geshwindigkeit vt xt gilt demnah vt ω sinωt x + sinωt x a a + osωt a x ω a xt. Man nennt w ω a die vektorielle Winkelgeshwindigkeit. Damit hat das Geshwindigkeitsfeld einer gleihformigen Drehbewegung die Darstellung v x w x ω a x. Beispiel 6.8. Zentrales Kraftfeld. Eine Punktmasse M im Ursprung zieht die Punktmasse m in X x 1, x 2, x 3, x OX, mit der Gravitationskraft K x x x, x, 3 an γmm, γ >. Handelt es sih in O und X um elektrishe Ladungen der Starke Q bzw. q, so gilt fur die elektrishe Anziehungskraft dieselbe Gesetzmaigkeit mit kqq, k >.

3. KURVEN IM R n 126 Beispiel 6.9. Magnetishe Wirbel. Ein gerader stromdurhossener Draht hat die Rihtung der e 3 -Ahse. Dann ist das magnetishe Feld H x x 2 e 3 x 2 e 3 x x 2 1 + x 2 2 x 2 x 1, x 1, x 2,, >. Beispiel 6.1. Laminare Rohrströmung. Eine zahe Flussigkeit wird durh ein zur x 2 -Ahse koaxiales Rohr vom Radius r mit geringer Geshwindigkeit gepresst, so dass eine laminare Stromung eintritt. Das Geshwindigkeitsfeld ist bestimmt durh v x vx 1, x 2, x 3 r 2 x 2 1 x 2 3, x 2 1 + x 2 3 r 2. 3. Kurven im R n Definition 6.1. Sei G R n und [a, b] R ein abgeshlossenes Intervall. Jede Abbildung γ 1 t γ 2 t : [a, b] G, t., γ n t mit stetig dierenzierbaren Funktionen γ 1, γ 2,..., γ n heit Kurvenstük in G mit dem Anfangspunkt a und dem Endpunkt b und der Spur {t : a t b}. t, a t b, heit Parameterdarstellung oder auh Parametrisierung des Kurvenstuks mit dem Parameter t. Ein Kurvenstuk heit regulär, wenn t γ 1 t 2 + γ 2 t 2 +... + γ n t 2 > fur alle t [a, b] gilt. Durh wahsende Werte des Parameters ist fur des Kurvenstuk eine Orientierung gegeben. Eine Aneinanderreihung von Kurvenstuken K i, i 1, 2,..., r,, wobei der Anfangspunkt von K i jeweils mit dem Endpunkt von K i 1, i 2,..., r, ubereinstimmt, heit Kurve. Beispiel 6.11. Der einfahste Fall einer Kurve ist der, wo die Kurve selbst eine Funktion ist. Im folgenden Beispiel ist eine Kurve dargestellt, die aus zwei Kurvenstuken besteht, wobei jedes Kurvenstuk durh eine Funktion beshreibbar ist.

3. KURVEN IM R n 127 y a 1 1 b 1 a 2 3 b 2 4 x Wie man leiht sieht besteht die Kurve aus zwei Kurvenstuken, jedes Kurvenstuk ist als Funktion gegeben. Das erste blaue Kurvenstuk wird durh die Funktion y fx x 2 5 2 + 3 mit 1 x 3 beshrieben, die dazugehorige Parameterdarstellung ist deshalb: 1 t xt yt t t 5 2, 1 t 3. 2 + 3 Das zweite rote Kurvenstuk shliet an das erste an, da der Endpunkt des ersten Kurvenstuks gleih dem Anfangspunkt des zweiten ist. Das zweite Kurvenstuk wird durh die Funktion y fx x 1 mit 3 x 4 beshrieben, 4 die Parameterdarstellung ist deshalb: xt t 2 t yt t 1, 3 t 4. 4 Die Kurve besteht aus den beiden Kurvenstuken 1 und 2 und besitzt den Anfangspunkt und den Endpunkt 1 1 1 4 2 4 Eine Kurve heit geshlossen, wenn der Anfangspunkt mit dem Endpunkt ubereinestimmt. Beispiel 6.12. Niht in jedem Fall ist eine Kurve, ein Kurvenstuk als Funktion beshreibbar, z.b. im Fall eines Kreises, der oensihtlih eine geshlossene Kurve ist. Wir wollen fur den folgenden Kreis eine Parameterdarstellung nden. 1 3 4 4 15 4.

3. KURVEN IM R n 128 y Kreis ist gegeben durh den Mittelpunkt x, y und den Radius r y x x Die Kreisgleihung lautet fur x 3, y 1 und r 2: x 3 2 + y 1 2 4. Variante 1 Der Kreis setzt sih aus zwei Kurvenstuken zusammen, die durh eine Funktion beshrieben werden konnen. Das erste Kurvenstuk sei der obere Halbkreis, gegeben durh die Funktion y fx 4 x 3 2 +1 fur 1 x 5. Damit ergibt sih fur das Kurvenstuk die Parameterdarstellung: 1 t xt yt t 4 t 32 + 1, 1 t 5. Das zweite Kurvenstuk ist dann der untere Halbkreis und ist gegeben durh die Funktion y fx 4 x 3 2 + 1 fur 1 x 5. Damit man die rihtige Parameterdarstellung für den Kreis erhält, muss man beahten, 5 dass der Endpunkt von 1 der Punkt ist. Die Parameterdarstellung 1 fur den unteren Halbkreis lautet: 1 t xt yt 6 t 4 t 3 2 + 1, 1 t 5. und der Kreis hat die Parameterdarstellung t, die sih aus 1 t und 2 t zusammensetzt. Man beahte, dass der Endpunkt von 1 5 1 5 2 1 1 mit dem Anfangspunkt von 2 ubereinstimmt. Der Kreis ist eine geshlossene Kurve, da der Anfangspunkt von 1 1 1 2 5 1

4. KURVENINTEGRALE EINER SKALAREN FUNKTION 129 mit dem Endpunkt ubereinstimmt. Variante 2 Es ist aber einfaher und eleganter den Kreis in Polarkoordinaten zu beshreiben, dabei muss man aber beahten, dass der Mittelpunkt des Kreises der Punkt 3; 1 ist. Da der Radius r 2 des Kreises vorgegeben ist, beinhalten die Polarkoordinaten nur noh einen Parameter, namlih den Winkel ϕ. Jeder Punkt des Kreises ist gegeben durh die x-koordinaten os ϕ 2 und die y-koordinate sin ϕ 1 fur ϕ < 2π. Damit ergibt sih die Parameterdarstellung mit ϕ t fur den Kreis: t xt yt 2 os t + 3 2 sin t + 1, t 2π. Weiter Parameterdarstellungen folgen in den Beispielen zu Kurvenintegralen. 4. Kurvenintegrale einer skalaren Funktion Definition 6.2. Sei D R n oen, : [a, b] D ein Kurvenstuk und f eine skalare Belegungsfunktion auf dem Kurvenst uk, so dass t ft stetig ist. Dann heit b f ds ft t dt das Kurvenintegral 1. Art von f langs. a Anshaulihe Deutung: Man wahle eine Zerlegung a t < t 1 < t 2 <... < t n b des Parameterintervalls und erhalt demit die zugehorigen Kurvenpunkte t, t 1,..., t n, dann wird die Lange des Bogens t i t i+1 durh die Lange s i+1 der Gerade durh γt i und t i+1 approximiert. yt i *. γt i * γt * i. xt i *. yt i * γt i+1 xt i * Dabei ist γt i s i+1 : t i+1 t i t i t i+1

4. KURVENINTEGRALE EINER SKALAREN FUNKTION 13 fur einen Zwishenwert t i < t i < t i+1. Um die Gesamtbelegung zu berehnen werden die Riemannshen Summen n 1 n 1 Z n : ft i s i+1 ft i t i t i+1 i i gebildet, die wegen der Stetigkeit von f fur immer feinere Zerlegungen, also n infty und t i gegen das Kurvenintegral 1. Art b f ds ft t dt konvergieren. a Berehnung des Kurvenintegrals skalarer Funktionen. I f ds 1 Die Kurve das Kurvenstuk parametrisieren: xt t yt, a t b. zt 2 Das skalare Bogenelement durh dierenzieren bestimmen: ds t dt ẋ 2 t + ẏ 2 t + ż 2 t dt. 3 Eintragen t im Integranden: f ft, das Bogenelement ds t dt ẋ 2 t + ẏ 2 t + ż 2 t dt a, b als Integrationsgrenzen: I b a fxt, yt, zt ẋ 2 t + ẏ 2 t + ż 2 t dt als bestimmtes Integral ausrehnen. Beispiel 6.13. Man berehne das Kurvenintegral f ds der Funktion fx, y x 2 y 2 entlang eines Kreises mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius R >. 1 Parametrisierung: xt R os t, yt R sin t, t 2π. 2 Skalares Bogenelement berehnen: ẋt R sin t, ẏt R os t ds ẋ 2 t + ẏ 2 t dt R 2 sin 2 t + R 2 os 2 t dt R dt.

4. KURVENINTEGRALE EINER SKALAREN FUNKTION 131 3 Einsetzen und ausrehnen: f ds x 2 y 2 ds 2π R 2 os 2 t R 2 sin 2 tr dt 2π R 3 os2tdt R 3 1 2π 2 sin2t. Beispiel 6.14. Es sei die Masse M ρ ds einer Shraubfeder mit der Massendihte ρx, y, z x 2 y 2 + z 2 zu berehnen. 1 Parametrisierung der Shraubfeder: xt 2 os t, yt 2 sin t, zt 1 t, t 4π. 2 2 Skalares Bogenelement berehnen: ds ẋ 2 t + ẏ 2 t + ż 2 t dt 3 Einsetzen und ausrehnen: M ρ ds x 2 y 2 + z 2 ds 4π ẋt 2 sin t, ẏt 2 os t, żt 1 2, 4 sin 2 t + 4 os 2 t + 1 4 dt 174 dt 1 2 17 dt. 4π 2 os t 2 2 sin t 2 + 2 1 2 t 1 17 dt 2 16 sin 2 t os 2 t + 1 4 t2 1 4π 17 dt 4 sin 2 2t 1 4π 17 17 dt + 2 2 24 t3 8π 17 sin 2 τ dτ + 8 17 π 3 8 17 17 8π π 3 + 1 os2τ dτ 3 3 2 8 17 π 3 + 4 17π 1 8π 17 16 3 2 sin2τ 2 3 π3 + 8π Beispiel 6.15. Bogenlange der Shraublinie r os t, r sin t, ht T, 2πn. 1 Parametrisierung ist bereits gegeben: t xt r os t, yt r sin t, zt ht, t 2πn. 2 Skalares Bogenelement: ẋt r sin t, ẏt r os t, żt h, ds ẋ 2 t + ẏ 2 t + ż 2 t dt r 2 sin 2 t + r 2 os 2 t + h 2 dt r 2 + h 2 dt. 3 Einsetzen und ausrehnen: die Bogenlänge ergibt sih für f 1 : 2π n f ds 1 r 2 + h 2 dt r 2 + h 2 2π n.

5. KURVENINTEGRAL EINES VEKTORFELDS { ARBEITSINTEGRAL 132 Lemma 6.1. Ferner gilt fur jedes Kurvenstuk : [a, b] R n der Mittelwertsatz f ds f x L, mit einem Kurvenpunkt x und der Kurvenlange L. 5. Kurvenintegral eines Vektorfelds Arbeitsintegral Definition 6.3. Sei D R n oen, : [a, b] D eine regulare Kurve und v : D R n ein stetiges Vektorfeld. Man nennt b v d x : vt t dt a das Kurvenintegral 2. Art von v langs. Tt vγt v. T T γt γ Bemerkung 6.1. 1 Mit T t : 1 t t lautet das Kurvenintegral 2. Art b [ v d x vt T ] t t dt a v T ds.

5. KURVENINTEGRAL EINES VEKTORFELDS { ARBEITSINTEGRAL 133 Folglih kann man ein Kurvenintegral 2. Art des Vektorfelds v langs der Kurve als Kurvenintegral 1. Art der skalaren Tangentialkomponente f v T berehnen. 2 Bei der Anderung der Integrationsrihtung\, d.h. beim Ubergang von " zur entgegengestzt durhlaufenen Kurve γ geht der Tangentialvektor T uber in T. Deshalb gilt v d x v d x. 3 Man nennt die Kurve geshlossen, wenn der Anfangspunkt mit dem Endpunkt zusammenfallt, in diesem Fall shreibt man auh: f ds bzw. v d x. 4 Das Skalarprodukt von v und d x wird auh gern explizit\ angegeben, " d.h. man shreibt: v d x v 1 dx 1 + v 2 dx 2 +... + v n dx n Berehnung des Kurvenintegrals 2. Art A v d x v 1 dx + v 2 dy + v 3 dz. 1 Parametrisierung: xt t yt, a t b. zt 2 Das vektorielle Bogenelement berehnen: d x t dt ẋt dt ẏt dt żt dt ẋt ẏt żt dt 3 Parameterdarstellung, vektorielles Bogenelement, Parametergrenzen eintragen: b A [v 1 tẋt + v 2 tẏt + v 3 tżt] dt a als bestimmtes Integral berehnen. Beispiel 6.16. Man berehne A x 2 y dx + x z dy + xyz dz langs der Graphen y x 3, x 2, in der Ebene z 2.

5. KURVENINTEGRAL EINES VEKTORFELDS { ARBEITSINTEGRAL 134 1 Parametrisierung: xt t, yt t 3, z 2, t 2. 2 vektorielles Bogenelement: dx dt, dy 3t 2 dt, dz. 3 2 [ A t 2 t 3 dt + t 2 3t 2 dt + tt 3 2 dt ] 2 t 5 + 3t 3 6t 2 dt t6 6 + 3t4 4 6t3 3 2 25 3 + 3 22 2 2 3 Beispiel 6.17. Das Integral uber den isolierten Wirbel im R 2 1 y vx, y, x, y,, x 2 + y 2 x 32 12 3 2 3. langs des einmal positiv durhlaufenen Einheitskreises v um,. 1 A v 1 dx + v 2 dy y dx + x dy. x 2 + y2 1 Parametrisierung: x os t, y sin t, t 2π. 2 vektorielles Bogenelement: dx sin t dt, dy os t dt. 3 Einsetzen und ausrehnen: A 2π [ sin 2 t + os 2 t ] dt 2π. 5.1. Anwendungen. 1. Arbeit. Die von einer Kraft K im Kurvenpunkt t langs des Weges d x t dt geleistete Arbeit betragt da K d x K T ds. Demnah betragt die von K langs geleistete Arbeit A K d x. 2. Zirkulation und Fluss. In der Stromungslehre heit das Integral eines Geshwindigkeitsfelds v langs einer geshlossenen Kurve, v d x v T ds die Zirkulation des Feldes v langs auntegriert. T γ n v

6. POTENTIAL EINES GRADIENTENFELDS. 135 Liegt in einer Ebene, so bezeihnet man das Integral uber die Normalkomponente von v als Fluss des Feldes v durh : v d n : v n ds, n bezeihnet dabei in jedem Kurvenpunkt den aueren Normalenvektor, der aus dem Tangentialvektor T durh eine Drehung um 9 entsteht. Er hat fur t xt 1 ẏt die Darstellung nt und weist bei positivem Um- yt ẋ 2 t+ẏ 2 t ẋt lauf stets ins Auere von. Der Mittelwertsatz siehe Lemma 6.1 ergibt die Deutung fur die physikalishe Anwendung: v d x vt T t L; v d n vt nt L, wobei L die Bogenlange der Kurve γ bezeihnet. Zirkulation langs mittlere skalare Tangentialkomponente von v langs Lange von, Fluss durh mittlere skalare Normalkomponente von v langs Lange von. 6. Potential eines Gradientenfelds. Die " Ableitung\ einer skalaren Funktion ist der Gradient, ein Vektor bzw. vektorwertige Funktion Vektorfeld. Wir untersuhen hier die Frage, wann es zu einem Vektorfeld eine skalare Funktion gibt, deren Gradient gerade die gegebene Vektorfunktion ist. Dazu benotigen wir einen weiteren Begi, namlih den des Gebiets. Definition 6.4. Eine Teilmenge G R n heit Gebiet, wenn gilt: 1 G ist offen, d.h. zu jedem x G gibt es eine ε-umgebung U ε x { x; x x < ε} vollstandig in G liegt. 2 G ist zusammenhängend, d.h. zu je zwei Punkten x, y aus G gibt es eine regulare Kurve : [a, b] G mit a x, b y.

6. POTENTIAL EINES GRADIENTENFELDS. 136 Definition 6.5. Sei G R n ein Gebiet. Man nennt ein auf dem Gebiet G deniertes stetiges Vektorfeld v konservativ oder ein Potential-, bzw. ein Gradientenfeld, wenn es eine auf dem Gebiet G denierte einmal stetig dierenzierbare Funktion f gibt mit v x grad f x, x G. In diesem Fall heit f Stammfunktion und U f eine Potentialfunktion oder ein Potential von v. Satz 6.4. 1. Hauptsatz für Kurvenintegrale. Ist v : G R n ein stetiges Gradientenfeld auf dem Gebiet G R n mit einer Stammfunktion f, dann gilt fur jede stukweise regulare Kurve in G mit dem Anfangspunkt a und dem Endpunkt b v d x fb fa. Beweis: Es sei v grad f. Dann gilt v d x Kettenregel Satz 3.6, S. 61 b a grad f d x b a grad ft t dt [ ] d dt ft dt fb fa. Beispiel 6.18. Die von der Zentralkraft K a x x mit dem Potential x 3 U a langs einer niht durh den Nullpunkt gehenden regularen Kurve : x [a, b] R 3 geleistete Arbeit betragt K d x grad U d x Ua Ub. Beispiel 6.19. Das elektrishe Feld unrealistish, aber berehenbar besitzt das Potential E : R 3 R 3, Ex, y, z 2xy + z 3 x 2 + 3z 3z 2 x + 3y Ux, y, z x 2 y + xz 3 + 3zy.

6. POTENTIAL EINES GRADIENTENFELDS. 137 Der Spannungsabfall zwishen den Punkten P 1, 1, 1 und Q 3, 4, 5 langs einer stukweise regularen Kurve ist wegunabhangig: E d x grad U d x UP UQ 1+1+3+9 4+3 125+3 5 4 466. γ γ Ganz allgemein ist die Spannung in einem konservativen elektrishen Feld zwishen zwei Punkten P und Q gleih der entsprehenden Potentialdierenz. Bemerkung 6.2. Aus dem 1. Hauptsatz folgt, dass sih zwei Stammfunktionen eines konservativen Vektorfeldes nur um eine additive Konstante untersheiden. Satz 6.5. Fur eine stetiges Vektorfeld v auf einem Gebiet G R n sind folgende Aussagen aquivalent: a: v ist ein Potentialfeld, b: Fur alle regularen Kurven in G hangt v d x nur vom Anfangs- und Endpunkt von ab. Man sagt in diesem Fall, dass das Integral wegunabhängig ist. : Fur alle geshlossenen Kurven γ in G gilt v d x. Bemerkung 6.3. a b folgt aus dem 1. Hauptsatz fur Kurvenintegrale 2. Art siehe Satz 6.4. Bemerkung 6.4. Anwendung: Ist das Integral wegunabhangig, so kann der Integrationsweg durh " gunstige\ Integrationswege mit dem gleihen Anfangsund Endpunkt ersetzt werden. Gunstige Integrationswege: parallel zu den Koordinatenahsen, entlang von Geraden, entlang von Kreisbogen,... Beispiel 6.2. Der blaue Integrationsweg kann durh den roten Integrationsweg 1 ersetzt werden: y γ 1 x γ

6. POTENTIAL EINES GRADIENTENFELDS. 138 Da Anfangs- und Endpunkt der Kurve 1 identish sind hierbei bezeihnet 1 die umgekehrt orientierte Kurve zu 1 gilt: 1 v d x fa fa und deshalb ist v d x v d x v d x. 1 Bemerkung 6.5. Insbesondere gilt: Das Kurvenintegral ist wegunabhangig v d x fur jede geshlossene regulare Kurve. Die Berehnung des Kurvenintegrals vereinfaht sih also sehr stark, wenn uber ein Potential- bzw. Gradientenfeld integriert wird. Wenn ist ein Vektorfeld ein Potentialfeld? Wie bestimmt man das Potential? Dazu bedarf es leider noh eines weiteren topologishen Begris: Definition 6.6. Ein Gebiet G R n also eine oene und zusammenhangende Menge heit einfah zusammenhängend, wenn jede geshlossene, doppelpunktfreie Kurve in G stetig auf einen Punkt in G zusammengezogen werden kann, ohne dass G verlassen wird. Beispiel 6.21. Im R 2 ist anshaulih jedes Gebiet ohne " Loh\; etwa der R 2, das Innere eines Kreises, eine Halbebene,... einfah zusammenhängend. Beispiel 6.22. Im R 2 sind niht einfah zusammenhängend: jedes Gebiet mit " Lohern\, etwa die " punktierte\ Ebene R 2 \{}, das Gebiet zwishen zwei ineinanderliegenden Kreisen,... Beispiel 6.23. Im R 3 sind einfah zusammenhängend: jedes Gebiet ohne Henkel, etwa R 3, das Innere eines Quaders oder einer Kugel, ein von zwei konzentrishen Kugeln begrenztes Gebiet. Diese Gebiete bleiben einfah zusammenhangend, wenn jeweils endlih viele Punkte entfernt werden. Insbesondere ist der punktierte Raum R 3 \{} einfah zusammenhangend. Beispiel 6.24. Im R 3 sind niht einfah zusammenhängend: jedes Gebiet mit Henkeln; ein Torus, der R 3 ohne eine Gerade oder ohne einen Kreis.

6. POTENTIAL EINES GRADIENTENFELDS. 139 Satz 6.6. 2. Hauptsatz für Kurvenintegrale. Ein einmal stetig dierenzierbares Vektorfeld v : G R n auf einem einfah zusammenhangenden Gebiet G R n ist genau dann ein Potentialfeld, wenn die " Integrabilitätsbedingung\ erfullt ist. v i x k v k x i, i, k 1, 2,..., n, fur alle x G Bemerkung 6.6. Ist G niht einfah zusammenhangend, dann ist der Satz nur auf einfah zusammenhangende Teilgebiete anwendbar. Die auf den jeweiligen einfah zusammenhangenden Teilgebieten existierenden Potentiale lassen sih i. Allg. niht zu einem Potential auf dme gesamten Gebiet fortsetzen. Bemerkung 6.7. Im R 3 kann die Integrabilitatsbedingung auh geshrieben werden als v rot v mit dem Nabla-Operator e 1 e 2 e 3 v x 1 x 2 v 1 v 2 v 3 x 1, x 3 x 2, T x 3, da x 1 x 2 x 3 v 1 v 2 v 3 e 1 e 2 e 3 v2 v 1 v3 e 3 + v 2 v1 e 1 + v 3 e 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 v 3 x 2 v 2 x 3 v 1 x 3 v 3 x 1 v 2 x 1 v 1 x 2 rot v. Bemerkung 6.8. In hoheren Dimensionen kann man die Integrabilitatsbedinung auh mit Hilfe der Jaobi-Matrix ausdruken. So wie der Gradient einer skalarwertigen Funktion mehrerer Veranderliher den Vektor der ersten partiellen Ableitungen zuordnet, so ordnet man einem Vektor oder Vektorfeld, das von mehreren Veranderlihen abhangt, eine Matrix der ersten partiellen Ableitungen zu, die sogenannte Jaobi-Matrix. Sei v : R n G R n ein einmal stetig differenzierbares Vektorfeld, dann ist die zugehorige Jaobi-Matrix J v x gegeben durh J v x grad v 1 x T grad v 2 x T. grad v n x T v 1 x 1 x v 2 x 2 x. v n x 1 x Dann lautet die Integrabilitätsbedinung: J v x J v x T fur alle x G. v 1 v x 2 x... 1 x n x v 1 v x 2 x... 2 x n x... v n v x 2 x... n x n x

6. POTENTIAL EINES GRADIENTENFELDS. 14 Bemerkung 6.9. Weitere Dierentialoperatoren lassen sih formal mit Hilfe des Nabla-Operators shreiben. Fur eine skalarwertige Funktion f ist grad f f und das " Skalarprodukt\ eines Vektors mit dem Nabla-Operator ergibt die sogenannte Divergenz: v x 1, x 2, x 3 T v v 1 x 1 + v 2 x 2 + v 3 x 3 div v. 6.1. Praktishe Bestimmung eines Potentials für n 3. 6.1.1. Methode mit Kurvenintegral. Kurvenintegral-Methode. 1 Besitzt das einmal stetig dierenzierbare Vektorfeld v : G R 3 ein Potential? Gilt rot v x für ein x G, dann ist v kein Potentialfeld. 2 Gilt rot v x für alle x G und ist G einfah zusammenhangend, dann wahlt man ein x G fest und zu x G eine geeignete Kurve in G, die x mit x verbindet. Dann ist f : G R, f x : v d x eine Stammfunktion grad f v und U f ein Potential grad U grad f v fur v. γ Die bevorzugten Wege von x nah x, sofern sie in G verlaufen, sind die Streke t x + t x x, t 1, die x mit x verbindet; in diesem Fall gilt f x 1 v x + t x x x x dt; ein Strekenzug, der stukweise parallel zu den Koordinatenahsen, etwa von x, y, z uber x, y, z und x, y, z nah x, y, z verlauft. Die Stammfunktion wird dann uber ein sogenanntes " Hakenintegral\ berehnet: fx, y, z x x v 1 t, y, z dt + y y v 2 x, t, z dt + z z v 3 x, y, t dt. Beispiel 6.25. Wir bestimmen eine Stammfunktion zum Vektorfeld v y 2 os x 2y sin x + e 2z 2y e 2z im R 3.

6. POTENTIAL EINES GRADIENTENFELDS. 141 1. Shritt: Es gilt rot v e x e y e z x y z y 2 os x 2y sin x + e 2z 2y e 2z y 2y e 2z e x + z y 2 os x e y + x 2y sin x + e 2z e z y y 2 os x e z z 2y sin x + e 2z e x x 2y e 2z e y 2 e 2z 2 e 2z e x + e y + 2y os x 2y os x e z. 2. Shritt: rot v und G R 3 ist einfah zusammenhangend. Wählen x,, dann ist fx, y, z y x x v 1 t,, dt + 2 os t dt + y y v 2 x, t, dt + z 2t sin x + e 2 ot dt + v 3 x, y, t dt z 2y e 2t dt 2t sin x + 1 dt y 2 sin x + y + ye 2z 1 y 2 sin x + y e 2z. Wie man leiht sieht gilt grad f grad y 2 sin x + y e 2z y 2 os x 2y sin x + e 2z 2y e 2z.

6. POTENTIAL EINES GRADIENTENFELDS. 142 6.2. Ansatzmethode. Man lost die Dierentialgleihung grad f v zur Bestimmung von f durh dreimaliges unbestimmtes Integrieren; dazwishen muss zweimal partiell dierenziert werden: Ansatzmethode. 1 Ist G einfah zusammenhangend und rot v? Ansatz: f x v 1, f y v 2, f z v 3. 2 Unbestimmte Integration nah x von f x v 1 dabei werden y und z wie Konstanten behandelt fx, y, z f x dx v 1 x, y, z + y, z, y, z hangt nur von y und z ab und ist die Integrationskonstante bezuglih der unbestimmten Integration nah x. 3 Partielle Dierentation von f nah y : f y f y v 1 x, y, z dx + y y y, z v 2x, y, z und damit aquivalent zu y y, z v 2x, y, z v 1 x, y, z dx : hy, z. y Die Funktion h darf nur noh von y und z abhangen! Wurde h auh noh von x abhangen, so ware rot v. 4 Durh unbestimmte Integration nah y wird y, z bestimmt: y, z hy, z dy + dz dz ist die Integrationskonstante bezuglih der Integration nah y. Alles bisher berehnete in fx, y, z eintragen: fx, y, z v 1 x, y, z dx + hy, z dy + dz. 5 Partielle Dierentation von f nah z : f z f z v 1 x, y, z dx + hy, z dy + d z v 3 x, y, z z z bzw. d z v 3 x, y, z v 1 x, y, z dx hy, z dy z z Analog wie im 3. Shritt hangt dieser Ausdruk nur noh von z ab. Wurde dieser Ausdruk noh von x oder y abhangen, so ware rot v. 6 Durh unbestimmte integration nah z dz bestimmen.

6. POTENTIAL EINES GRADIENTENFELDS. 143 Beispiel 6.26. Wir wollen nun mit der Ansatzmethode die Stammfunktion y 2 os x zum Vektorfeld v 2y sin x + e 2z in G R 3 bestimmen. 2y e 2z 1. Shritt: Oensihtlih ist R 3 einfah zusammenhangend und wie wir bereits gezeigt haben ist rot v fur alle x R 3. Ansatz: f x y 2 os x, f y 2y sin x + e 2z, f z 2y e 2z. 2. Shritt: 3. Shritt: fx, y, z f x dx y 2 os x dx y 2 sin x + y, z. f y f y 2y sin x + y y, z v 2x, y, z 2y sin x + e 2z und umgeformt y y, z e2z. Diese Gleihung enthalt x niht mehr. 4. Shritt: Eintragen: y, z e 2z dy e 2z y + dz. fx, y, z y 2 sin x + y e 2z + dz. 5. Shritt: f z f z + 2y e2z + d z 2y e 2z und umgeformt d z. Diese Gleihung enthalt weder x noh y. 6. Shritt: dz C onst. Ergebnis: fx, y, z y 2 sin x + y e 2z + C. Wie man leiht sieht untersheiden sih zwei Stammfunktionen gerade um eine additive Konstante siehe auh Bemerkung 6.2. Insbesondere ist fx, y, z y 2 sin x + y e 2z eine Stammfunktion vgl. Beispiel 6.25.