Inhalt:. Brüche und Bruchteile........................................... Erweitern und Kürzen von Brüchen................................... Größenvergleich von Brüchen der Hauptnenner.......................... Addition und Sutraktion von Brüchen................................. Unechte Brüche und gemischte Zahlen................................ 6. Multiplikation von Brüchen......................................... Division von Brüchen............................................ Verindung der Rechenarten...................................... 9. Checkliste................................................... 0. Hinweise zur Durchführung....................................... 0 6 9 Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente: Anhand von Beispielen werden neue Regeln, Definitionen und Kenntnisse eingeführt. Die Aufgaen in den Beispielen sind meist so gestellt, dass sie von den Schülerinnen und Schülern auch selstständig eareitet werden können. Die Merkekästen stehen meist im Anschluss an ein einführendes Beispiel und fassen wichtige Regeln, Definitionen und Kenntnisse zusammen. Sie sollten von den Schülerinnen und Schülern unedingt ageschrieen werden. Hier können die Schülerinnen und Schüler die gelernten Regeln und Kenntnisse üen und festigen. Im Anschluss an die Üungsaufgaen finden Sie jeweils die ausführlichen Lösungen dazu. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Brüche und Bruchteile. Brüche und Bruchteile Beispiel: Wie groß ist der Bruchteil (= Anteil) der markierten Felder an der gesamten Fläche? Figur A: Figur B: Figur C: Figur A: Der Bruchteil der markierten Fläche an der gesamten Fläche ist ein Viertel. Man enutzt dafür die Bruchschreiweise: Figur B: Ein Teil des Streifens ist ein Fünftel. Da von insgesamt Teilen Teile markiert sind, ist der Bruchteil der markierten Fläche an der gesamten Fläche (sprich: "zwei Fünftel"). Figur C: Hier sind von insgesamt Teilen des Kreises Teile markiert. Der Bruchteil der markierten Fläche ist also (sprich: drei Achtel ). Merke: Ein Bruch eschreit einen Bruchteil von einer Größe. Jeder Bruch esteht aus einem Zähler, einem Nenner und dem Bruchstrich dazwischen. Zähler Nenner Der Nenner eines Bruchs git an, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt werden soll. Der Zähler git an, wie viele dieser Teile gemeint sind. 00 Mathematik-Verlag Rainer Hild Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Brüche und Bruchteile Üung : Üertrage die Figuren ins Heft und markiere den angegeenen Bruchteil. Figur A: 0 Figur B: Figur C: 6 Figur A: 0 Figur B: Figur C: 6 Berechne. Üung : a) von 00 m ) von kg Mehl c) von 0 Litern d) 6 von 90 Minuten a) von 00 m sind (00 m : ) = m = m ) von kg Mehl sind ( kg : ) = kg = 6 kg c) von 0 Litern sind (0 l : ) = 0 l = 60 l d) 6 von 90 min sind (90 min : 6) = min = min Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Brüche und Bruchteile Exkurs: Brüche als Quotient Beispiel: a) Trage den Bruch in einen Zahlenstrahl mit der Längeneinheit LE = cm ein. LE = cm 0 ) Ermittle die Lage des Quotienten : auf demselen Zahlenstrahl, indem du den dritten Teil von LE estimmst. Was fällt auf, wenn du mit der Lage von vergleichst? a) LE = cm 0 Der Bruch liegt cm rechts vom Ursprung, da von cm = cm sind. ) 0 : LE = 6 cm Der Quotient : ist der dritte Teil von LE (= 6 cm). Das sind cm. Der Quotient : liegt also an derselen Stelle wie der Bruch. Das heißt, der Quotient : und der Bruch sind gleichwertig. Merke: Jeder Bruch a ist gleichwertig mit dem Quotienten a : und umgekehrt jeder Quotient a : mit dem Bruch a. Es gilt: a = a : mit a, N Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Erweitern und Kürzen. Erweitern und Kürzen von Brüchen Beispiel: Zeichne zwei Zahlenstrahlen genau üereinander und wähle die Längeneinheit LE = 0 cm (= 0 Kästchen). Trage den Bruch in den oeren und den Bruch in den 0 unteren Zahlenstrahl ein. Was fällt auf? Tipp: Die Lage der eiden Brüche auf dem Zahlenstrahl findest du, indem du erechnest, wie viele Kästchen zw. von 0 Kästchen sind. 0 von 0 cm sind 6 cm. von 0 Kästchen sind Kästchen = 6 cm. 0 LE = 0 cm 0 0 0 0 Beide Brüche liegen auf dem Zahlenstrahl an derselen Stelle - das heißt, sie sind gleichwertig. Außerdem fällt auf, dass der Zähler und der Nenner im Bruch 0 jeweils das -fache des Zählers und Nenners des Bruchs sind.. =. 0 Merke: Gleichwertige Brüche liegen auf dem Zahlenstrahl an derselen Stelle. Gleichwertige Brüche können ineinander umgewandelt werden, indem man Zähler und Nenner mit derselen Zahl multipliziert zw. dividiert. Die Multiplikation des Zählers und Nenners mit derselen Zahl nennt man Erweitern eines Bruchs. Die Division des Zählers und Nenners durch diesele Zahl nennt man Kürzen eines Bruchs. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Erweitern und Kürzen Üung : Erweitere folgende Brüche mit der angegeenen Zahl. a) mit ) mit c) mit d) mit 6 a) = = ) = = 0 c) = = d) 6 = = 6 Üung : Kürze folgende Brüche mit der angegeenen Zahl. a) mit ) mit c) mit 6 d) mit a) : = = : ) : = = : c) : = = :6 6 d) : = = : Üung : Kürze folgende Brüche soweit wie möglich. a) ) c) 0 6 d) a) : = = :9 9 ) : = = : c) 0 : = = 0 : d) 6 6 : = = : Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten! 6
Kapitel : Größenvergleich von Brüchen der Hauptnenner. Größenvergleich von Brüchen der Hauptnenner Beispiel : a) Ordne folgende Brüche der Größe nach. Beginne mit dem kleinsten Bruch. Benutze jeweils einen Zahlenstrahl mit der angegeenen Längeneinheit (LE). 9 Reihe A: ; ; ; ; (Zahlenstrahl: LE = 9 cm) Reihe B: ; ; ; 6 ; (Zahlenstrahl: LE = 6 cm) (Tipp: Ermittle die Lage der Brüche auf dem Zahlenstrahl so wie im Beispiel von Kapitel.) ) Welche Reihe lässt sich leichter der Größe nach ordnen? Warum? a) Reihe A: (LE = 9 cm = Kästchen) 0 9 Es gilt: 9 < < < < Reihe B: (LE = 6 cm = Kästchen) 0 6 Es gilt: < < < < 6 ) Die Reihe A lässt sich leichter der Größe nach ordnen, da alle Nenner gleich sind und man nur auf die Zähler achten muss. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Größenvergleich von Brüchen der Hauptnenner Merke: Brüche, deren Nenner gleich sind, heißen gleichnamige Brüche. Von zwei gleichnamigen Brüchen ist derjenige Bruch größer, dessen Zähler größer ist. Um zwei ungleichnamige Brüche miteinander vergleichen zu können, muss man sie durch geschicktes Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner, den sogenannten Hauptnenner, ringen. Um unnötig große Zahlen zu vermeiden, sollte man als Hauptnenner immer das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner nehmen. Bestimmen des Hauptnenners Beispiel : Was ist der Hauptnenner der Brüche und? Variante A: Zunächst schreit man die Reihen eider Nenner auf: er-reihe:, 6,,, 90, 0, 6,, 6, 0 er-reihe:,,, 96, 0,, 6, 9, 6, 0 Die kleinste Zahl, die gleichzeitig in eiden Reihen vorkommt, ist der Hauptnenner. Variante B: Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) zweier Zahlen a und kann man auch mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggt) der eiden Zahlen erechnen. Es gilt: kgv = a ggt a zw. kgv = ggt Bei den Nennern und ist der ggt = 6. Damit erhält man: kgv = = = oder kgv = = = 6 6 Tipps:. Den größten gemeinsamen Teiler (ggt) kann man folgendermaßen leicht estimmen: Man ildet zunächst aus den eiden Zahlen (hier und ) einen Bruch, den man dann (eventuell auch schrittweise) vollständig kürzt. 9 Kürzen von ergit: = =. Die Zahl, mit der vollständig gekürzt wurde, ist der ggt; hier also 6.. Mit der Gleichung = kann man das kgv von und auch sofort erechnen: kgv = = = Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Größenvergleich von Brüchen der Hauptnenner Variante C: Man zerlegt die Nenner in Primfaktoren und schreit gleiche Faktoren untereinander. Unterschiedliche Faktoren dürfen nicht untereinander stehen. Bei den Nennern und sieht das so aus: = = Die Primfaktoren des Hauptnenners erhält man, wenn man die Primfaktoren in diesem Schema spaltenweise sammelt. Stehen zwei Faktoren üereinander, wird daraus nur ein Faktor: = = HN = = Üung: Ordne der Größe nach, indem du auf den Hauptnenner (HN) erweiterst. Beginne mit dem kleinsten Bruch. a) und ) und c) und d), und 6 e), und 9 f), und a) HN =. Erweitern: ) HN =. Erweitern: 9 = und =. Damit ist <. = und =. Damit ist <. c) HN = 6. Erweitern: = und =. Damit ist <. 6 6 d) HN = 90. Erweitern: =, = und =. Damit ist < <. 90 90 6 90 6 e) HN =. Erweitern: =, = und =. Damit ist < <. 9 0 6 9 f) HN =. Erweitern: =, = und =. Damit ist < <. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten! 9
Kapitel : Addition und Sutraktion von Brüchen. Addition und Sutraktion von Brüchen Beispiel : (Addition und Sutraktion gleichnamiger Brüche) a) Berechne + mithilfe eines Streifens, der aus gleichen Teilen esteht: ) Berechne mithilfe eines Streifens, der aus 0 gleichen Teilen esteht: 0 0 0 c) Formuliere eine Regel zur Addition und Sutraktion gleichnamiger Brüche. a) Wenn man erst Achtel des Streifens markiert und anschließend weitere Achtel, sind insgesamt + = Achtel des Streifens markiert. Damit gilt: + = ) Das Ergenis erhält man, indem man erst der 0 Teile markiert und dann davon wieder Teile azieht. Teile leien ürig. Es gilt also: = 0 0 0 0 c) Bei der Addition und Sutraktion von gleichnamigen Brüchen addiert zw. sutrahiert man die Zähler und ehält den Nenner ei. 0 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten! 0
Kapitel : Addition und Sutraktion von Brüchen Merke: Gleichnamige Brüche werden addiert zw. sutrahiert, indem man ihre Zähler addiert zw. sutrahiert und den gleichen Nenner eiehält. Es gilt: a a + + = c c c zw. a a = c c c Üung : Berechne. Kürze das Ergenis, falls möglich. a) + ) + c) d) 9 9 a) + + = 9 9 9 = 9 ) + + = = c) = = = d) = = = Berechne: a) Beispiel : (Addition und Sutraktion ungleichnamiger Brüche) + ) Veranschauliche die Rechnungen mithilfe von Pfeilen an folgendem Zahlenstrahl ( LE = 0 cm): 0 c) Wie könnte man die Ergenisse ohne einen Zahlenstrahl erechnen? Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Addition und Sutraktion von Brüchen a) Die Addition ergit: 9 + = 0 ) Die Sutraktion ergit: = 0 0 9 0 0 0 + c) Ohne Hilfe des Zahlenstrahls erechnet man das Ergenis, indem man zuerst eide Brüche auf den Hauptnenner 0 erweitert. 9 + = + = 0 0 0 und = = 0 0 0 Merke: Ungleichnamige Brüche werden addiert zw. sutrahiert, indem man sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner ringt und anschließend die gleichnamigen Brüche addiert zw. sutrahiert. Um große Zahlen zu vermeiden sollte man als Hauptnenner das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner nehmen. Üung : Erweitere auf den Hauptnenner und erechne dann. a) d) + ) c) + 6 e) + f) 6 9 0 a) + = + = 6 6 6 6 ) = = = c) + = + = = d) = = 6 9 e) 9 + = + = 0 0 0 0 f) 9 = = Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Unechte Brüche und gemischte Zahlen. Unechte Brüche und gemischte Zahlen Beispiel : a) Zeichne einen Zahlenstrahl ( LE = cm) und trage den unechten Bruch ein. 0 ) Beschreie den Bruch als Summe zwischen und einem echten Bruch. a) Wegen = muss man von aus um nach rechts gehen. + 0 ) Es ist: = + Merke: Brüche, in denen der Zähler größer als der Nenner ist, nennt man unechte Brüche. Man kann sie als Summe zwischen einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch schreien. Zum Beispiel: = + Gewöhnlich lässt man das Pluszeichen weg und schreit: = Zahlen, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch estehen, nennt man gemischte Zahlen. Ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners, steht der unechte Bruch für eine ganze Zahl. Z. B.: = = Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Unechte Brüche und gemischte Zahlen Beispiel : a) Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um. Üerlege dir eine möglichst einfache Rechenvorschrift. ) Wandle den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um. 9 a) Es ist: = + = + = + Einfacher kann man so rechnen: = 9 = ) Wegen = : = Rest erhält man: = Merke: Gemischte Zahlen können nach folgender Regel in unechte Brüche umgewandelt werden: a c = c. a + c mit a,, c N Umgekehrt wandelt man einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl um, indem man sich üerlegt, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Der Rest ist dann der Zähler des Bruchs in der gemischten Zahl. Zum Beispiel: = : = Rest. Also ist =. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Unechte Brüche und gemischte Zahlen Üung : Wandle in einen unechten Bruch um: a) ) c) d) e) 9 9 f) + a) = = + ) = = + c) = = + d) = = 9 + e) 9 = = 9 + 9 f) = 0 = Üung : Schreie als gemischte Zahl: a) 6 ) c) 0 d) e) 9 f) a) 6 : = Rest. Damit ist: 6 = ) : = Rest. Damit ist: = c) 0 : = 6 Rest. Damit ist: 0 = 6 d) : = 6 Rest. Damit ist: = 6 e) : 9 = Rest. Damit ist: = 9 9 f) : = 9 Rest 0. Damit ist: = 9 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel 6: Multiplikation von Brüchen 6. Multiplikation von Brüchen Beispiel : a) Berechne mithilfe einer Summe das Produkt 6. (Tipp: Das Produkt kann man auch so erechnen: = + + = ) ) Üerlege dir eine Regel, wie man das Ergenis einfacher erechnen könnte als in a). c) Berechne mithilfe des Kommutativgesetzes der Multiplikation das Produkt. d) Berechne den Bruchteil von (vgl. Kap. ). Was fällt auf, wenn du mit dem Ergenis aus c) vergleichst? + + + + + a) 6 = + + + + + = = = ) Wenn man 6 mit dem Zähler von multipliziert und das Ergenis durch teilt, erhält man 6 das gleiche Ergenis: 6 = = = c) Es ist: = = = = 9 d) von sind ( : ) = 9. Der Bruchteil von ist also dassele wie. a c c c a Allgemein gilt: von c = (c : ) a = a = a = = c a = a c Merke: Ein Bruch wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem man seinen Zähler mit der natürlichen Zahl multipliziert und den Nenner eiehält. a a c Es gilt: c = a c a zw. c = Der Bruchteil a von c kann mit dem Produkt a c erechnet werden. mit a,, c N Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten! 6
Kapitel 6: Multiplikation von Brüchen Beispiel : a) Bestimme den Bruchteil von mithilfe der neenstehenden Figur, indem du zuerst von allen 0 Kästchen markierst. Berechne anschließend von den markierten Kästchen. ) Wie könnte man den Bruchteil von erechnen, ohne die Kästchen zu zählen? a) Die gesamte Fläche esteht aus 0 Kästchen. davon sind 0 Kästchen = Kästchen. = von Kästchen sind: Kästchen = 6 Kästchen 6 Das entspricht dem Bruchteil von 0 Kästchen. 0 6 Es gilt also: von = 0 ) von = 6 0 Der Bruchteil von kann als Produkt geschrieen werden (vgl. Beispiel ): von = Wenn man nun Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, erhält man dassele Ergenis: = 6 = 0 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel 6: Multiplikation von Brüchen Merke: Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Es gilt: a. c d =. a c. d mit a,, c, d N Tipp: üerkreuz kürzen Oft kann man vor der Multiplikation von zwei Brüchen üerkreuz kürzen. Dadurch erleichtert man sich die Berechnung des Produkts. Zum Beispiel:. =. =. = Üung: Berechne. Kürze zuerst üerkreuz, falls möglich. a) d) 6 ) e) 9 c) 9 f) 9 6 a) = = ) 6 9 = = c) = 9 99 d) 6 = 6 e) 6 = = 9 f) = = 0 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Division von Brüchen. Division von Brüchen Beispiel : a) Trage den Bruch in einen Zahlenstrahl ein ( LE = cm). Berechne dann mithilfe des Zahlenstrahls den Quotienten :. ) Trage den Bruch in einen Zahlenstrahl ein ( LE = 0 cm). Berechne dann mithilfe des Zahlenstrahls den Quotienten :. c) Wie könnte man die Quotienten aus a) und ) erechnen, ohne einen Zahlenstrahl zu enutzen? a) LE = cm 0 Der Bruch liegt ei 6 cm (= von cm). Der Quotient : muss also ei cm liegen. cm von cm entspricht dem Bruch. Es gilt also: : = ) LE = 0 cm 0 0 Der Bruch liegt ei 6 cm (= von 0 cm) zw. ei Kästchen. Der Quotient : muss also ei Kästchen liegen. Kästchen von 0 Kästchen entspricht dem Bruch. Es gilt also: : = 0 0 c) Man erhält die gleichen Ergenisse, wenn man jeweils den Nenner mit dem Teiler multipliziert: : = = und : = = 0 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten! 9
Kapitel : Division von Brüchen Merke: Man dividiert einen Bruch durch eine natürliche Zahl, indem man den Nenner mit dieser Zahl multipliziert. Es gilt: a : c = a c mit a,, c N Beispiel : Es ist: : = = = 0 a) Berechne entsprechend : und :, indem du jeweils den Quotient zuerst als Doppelruch schreist und dann geschickt erweiterst. ) Wie könnte man die Quotienten einfacher erechnen? a) : = = = und : = = 0 0 = ) Wenn man jeweils mit dem Kehrruch des Teilers multipliziert, erhält man die gleichen Ergenisse: 0 : = = und : = = und : = = Merke: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrruch multipliziert. Den Kehrruch eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht. Es gilt: a c a d a d : = = d c c mit a,, c, d N Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten! 0
Kapitel : Division von Brüchen Üung : Berechne und kürze soweit wie möglich. a) : ) : 9 c) 6 : 6 6 6 d) : e) : f) : 9 6 a) : = = 9 ) : = = = 6 9 6 6 c) : 6 = 6 = d) : = 9 9 = 9 e) 6 : = = = 6 f) 6 6 : = = = 6 6 Üung : Vereinfache, indem du zunächst als Quotient schreist. a) 6 ) 9 c) d) 6 a) c) 6 = 6 : = 6 = = ) 9 = : = = 6 d) 6 = : = = 9 9 = 9 6 = : = = = 6 6 : = Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Kapitel : Verindung der Rechenarten. Verindung der Rechenarten M erke: Kommen in einem Rechenausdruck sowohl Punktrechnungen als auch Strichrechnungen vor, muss man nach folgenden Regeln vorgehen: Klammerregel: Terme in Klammern müssen zuerst erechnet werden. Punkt-vor-Strich-Regel: Punktrechnungen (mal, geteilt) müssen vor Strichrechnungen (plus, minus) durchgeführt werden. Beispiel: Berechne. 6 a) + ) + c) + d) 6 a) + = + = = ) + = 6 + = = c) + = + = = d) = = 9 = = a c a+ + = c c Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
9. Checkliste ) Was sind die Bestandteile eines Bruchs und was edeuten sie? ) Wie schreit man einen Bruch ) Wie erweitert zw. kürzt man einen Bruch? a als Quotient? ) Wie ordnet man gleichnamige zw. ungleichnamige Brüche der Größe nach? ) Wie estimmt man den Hauptnenner zw. das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Brüchen? (Eine Möglichkeit genügt.) 6) Wie addiert zw. sutrahiert man gleichnamige Brüche? ) Was muss man tun, um ungleichnamige Brüche addieren zw. sutrahieren zu können? ) Was sind unechte Brüche und gemischte Zahlen? 9) Wie kann man unechte Brüche und gemischte Zahlen ineinander umwandeln? 0) Wie multipliziert man einen Bruch mit einer ganzen Zahl? ) Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander? ) Wie dividiert man einen Bruch durch eine ganze Zahl? ) Wie dividiert man einen Bruch durch einen anderen Bruch? Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
Antworten zur Checkliste: a ) Ein Bruch esteht aus dem Zähler a, dem Nenner und einem Bruchstrich dazwischen. Der Nenner git an, in wie viele gleich große Teile man das Ganze teilen soll, der Zähler eschreit, wie viele dieser Teile gemeint sind. ) Es gilt: a = a : ) Indem man Zähler und Nenner mit derselen Zahl multipliziert zw. dividiert. ) Man erweitert alle Brüche auf ihren Hauptnenner und vergleicht dann die Zähler miteinander. ) Erste Möglichkeit: Man erkennt den Hauptnenner anhand der Reihen der eiden Nenner. Zweite Möglichkeit: Man dividiert einen Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler und multipliziert das Ergenis mit dem anderen Nenner. Dritte Möglichkeit: Mithilfe einer Primfaktorzerlegung der eiden Nenner. 6) Man addiert zw. sutrahiert die Zähler und ehält den Nenner ei. ) Man muss die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner erweitern. ) In einem unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner. Eine gemischte Zahl esteht aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch: a c c a + 9) Es gilt: a =. Ein unechter Bruch wird in eine gemischte Zahl umgewandelt, indem man den Zähler c c durch den Nenner teilt und den Rest dieser Division estimmt. 0) Es gilt: a a c = c a zw. c = c a ) Es gilt: a c = d a c d ) Indem man den linken Bruch mit dem Kehrwert des rechten Bruchs multipliziert. ) Es gilt: a : c = a c ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Antworten zur Checkliste: a ) Ein Bruch esteht aus dem Zähler a, dem Nenner und einem Bruchstrich dazwischen. Der Nenner git an, in wie viele gleich große Teile man das Ganze teilen soll, der Zähler eschreit, wie viele dieser Teile gemeint sind. ) Es gilt: a = a : ) Indem man Zähler und Nenner mit derselen Zahl multipliziert zw. dividiert. ) Man erweitert alle Brüche auf ihren Hauptnenner und vergleicht dann die Zähler miteinander. ) Erste Möglichkeit: Man erkennt den Hauptnenner anhand der Reihen der eiden Nenner. Zweite Möglichkeit: Man dividiert einen Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler und multipliziert das Ergenis mit dem anderen Nenner. Dritte Möglichkeit: Mithilfe einer Primfaktorzerlegung der eiden Nenner. 6) Man addiert zw. sutrahiert die Zähler und ehält den Nenner ei. ) Man muss die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner erweitern. ) In einem unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner. Eine gemischte Zahl esteht aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch: a c c a + 9) Es gilt: a =. Ein unechter Bruch wird in eine gemischte Zahl umgewandelt, indem man den Zähler c c durch den Nenner teilt und den Rest dieser Division estimmt. 0) Es gilt: a a c = c a zw. c = c a ) Es gilt: a c = d a c d ) Indem man den linken Bruch mit dem Kehrwert des rechten Bruchs multipliziert. ) Es gilt: a : c = a c Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
0. Hinweise zur Benutzung Sehr geehrte Lehrerinnen und Lehrer, mit diesen Folienvorlagen können Sie Ihren Schülerinnen und Schülern effektiv und kräfteschonend das Thema Bruchrechnung vermitteln. Alle OHP-Folien sind so konzipiert, dass Ihnen aufwendige Erklärungen an der Tafel erspart leien. Jedes Kapitel eginnt mit einem einführenden Beispiel, mit dessen Hilfe sich die Schüler/innen die jeweiligen Regeln und Kenntnisse selstständig erareiten können. Wichtige mathematische Sätze und Zusammenfassungen sind in Merkekästen hervorgehoen, die Ihre Schüler/innen direkt von der Folie aschreien können. Im Anschluss daran folgen jeweils Üungsaufgaen mit ausführlichen Lösungen, die eenfalls von der Folie ins Schulheft üertragen werden können. Am Ende der Unterrichtseinheit finden Sie eine Checkliste, mit der die Schüler/innen den eigenen Kenntnisstand in kompakter Form üerprüfen und wiederholen können. Wie Sie nun die einzelnen Folien optimal im Unterricht einsetzen, zeigen Ihnen folgende Hinweise. Kapitel : Brüche und Bruchteile Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Bedeutung der Bruchschreiweise kennen und können Bruchteile von Größen erechnen. Hinweise zur Durchführung: Im einführenden Beispiel sollen sich die Schüler/innen anhand zweier Figuren üerlegen, wie man markierte Flächenanteile quantitativ eschreien kann. Auf diese Weise werden sie mit der Bruchschreiweise vertraut gemacht. Die entsprechende Definition ist im Merkekasten auf Folie enthalten. In Üung sollen die Schüler/innen dann in geometrischen Figuren die Fläche markie-ren, die jeweils von einem Bruch eschrieen wird. Zum Azeichnen dieser Figuren ist (insesondere ei Figur C) eventuell etwas Hilfestellung nötig. In Üung sollen schließlich Bruchteile von alltäglichen Größen wie Längen und Massen u. a. erechnet werden. Beide Üungen sollten allen Schüler/innen keine allzu große Mühe ereiten. Mit dem Exkurs auf Folie können Sie den Schülerinnen und Schülern demonstrieren, warum man einen Bruch auch als Quotient zwischen Zähler und Nenner schreien kann. Dieser Zusammenhang wird insesondere in Kapitel enötigt. Zeitedarf: ca. Schulstunde; je nach Umfang der zusätzlichen Üungen auch mehr. Kapitel : Erweitern und Kürzen von Brüchen Lernziele: Die Schüler/innen lernen, wie man einen Bruch kürzt und erweitert. Sie erkennen, dass man gleichwertige Brüche durch Kürzen oder Erweitern ineinander umwandeln kann. Hinweise zur Durchführung: Zunächst sollen die Schüler/innen zwei gleichwertige Brüche in einen Zahlenstrahl eintragen und selstständig üerlegen, wie man den einen Bruch in den anderen umwandeln kann. Auf diese Weise entdecken die Schüler/innen das Erweitern und Kürzen von Brüchen. Bei Prolemen, die Brüche auf den Zahlenstrahl einzutragen, hilft der Tipp zum Beispiel auf Folie weiter. Im Merkekasten (Folie ) werden die Begriffe Erweitern und Kürzen von Brüchen definiert. Auf Folie 6 kann dann das Kürzen und Erweitern von Brüchen geüt werden. Zeitedarf: ca. - Schulstunden; je nach Umfang der zusätzlichen Üungen auch mehr. Kapitel : Größenvergleich von Brüchen der Hauptnenner Lernziele: Dieses Kapitel macht die Schülerinnen und Schülern mit den Begriffen gleichnamige und ungleichnamige Brüche und Hauptnenner vertraut. Sie lernen außerdem, wie man gleichnamige Brüche der Größe nach ordnet und ungleichnamige Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ringt. Hinweise zur Durchführung: In Beispiel auf Folie sollen die Schüler/innen mithilfe geeigneter Zahlenstrahlen zwei Reihen von Brüchen jeweils der Größe nach ordnen. Daei sollen sie selstständig erkennen, nach welcher Regel sich gleichnamige Brüche (Reihe A) der Größe nach ordnen lassen. Wie man den Hauptnenner von ungleichnamigen Brüchen estimmt, zeigt Beispiel auf Folie. In der Lösung dazu werden drei Möglichkeiten zur Bestimmung des Hauptnenners vorgestellt. Variante A (Vergleich eider Reihen) ist recht einfach, aer ei großen Zahlen auch sehr aufwendig. Variante B zeigt, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache mithilfe des größten gemeinsamen Teilers erechnen kann. Diese Methode kann auch ei großen Zahlen schnell durchgeführt werden. In Variante C wird das kleinste gemeinsame Vielfache üer die Primfaktorzerlegung der Nenner ermittelt. Dies ist allerdings ei größeren Zahlen recht aufwendig und ereitet vielen Schülerinnen und Schülern erfahrungsgemäß immer einige Mühe. In der aschließenden Üung auf Folie 9 sollen die Schüler/innen dann den Hauptnenner von Brüchen estimmen, Brüche auf den Hauptnenner erweitern und der Größe nach ordnen. Zeitedarf: ca. - Schulstunden; je nach Umfang der zusätzlichen Üungen auch mehr. Kapitel : Addition und Sutraktion von Brüchen Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen, wie man gleichnamige und ungleichnamige Brüche addiert und sutrahiert. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten!
0. Hinweise zur Benutzung Hinweise zur Durchführung: Die Regel zur Addition zw. Sutraktion gleichnamiger Brüche können sich die Schüler/innen in Beispiel auf Folie 0 selstständig erareiten, indem sie sich die Addition zw. Sutraktion grafisch veranschaulichen. Mit den ageildeten Streifen ist dies erfahrungsgemäß für die wenigsten Schüler/innen ein Prolem. In Üung kann die Addition und Sutraktion gleichnamiger Brüche geüt werden. Die Addition und Sutraktion ungleichnamiger Brüche sollen die Schüler/innen in Beispiel zuerst mithilfe eines Zahlenstrahls durchführen. Der Trick, ungleichnamige Brüche zuerst auf den Hauptnenner zu erweitern, wird in der Lösung zu Beispiel und im Merkekasten auf Folie verraten. (Stärkere Schüler/innen kommen eventuell selst drauf.) In der Üung (Folie ) kann dann die Addition zw. Sutraktion ungleichnamiger Brüche geüt werden. Zeitedarf: ca. Schulstunden; je nach Umfang der zusätzlichen Üungen auch mehr. Kapitel : Unechte Brüche und gemischte Zahlen Lernziele: Die Schüler/innen erkennen, was unechte Brüche und gemischte Zahlen sind und wie man sie ineinander umwandeln kann. Hinweise zur Durchführung: In Beispiel werden die Schüler/innen mit gemischten Zahlen anhand der Lage auf einem geeigneten Zahlenstrahl vertraut gemacht. Gleichzeitig sollen sie am Zahlenstrahl selstständig erkunden, wie man einen unechten Bruch als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs schreien kann. Der Merkekasten auf Folie enthält die Definition der Begriffe unechter Bruch und gemischte Zahl. In Beispiel sollen sich die Schüler/innen dann üerlegen, wie man eine gemischte Zahl möglichst geschickt in einen unechten Bruch und umgekehrt einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umwandeln kann. Der Merkekasten auf Folie fasst eide Umwandlungsarten zusammen. In den eiden Üungen auf Folie kann geüt werden, wie man unechte Brüche und gemischte Zahlen ineinander umwandelt. Zeitedarf: ca. - Schulstunden; je nach Umfang der zusätzlichen Üungen auch mehr. Kapitel 6: Multiplikation von Brüchen Lernziele: Die Schüler/innen lernen, wie man eine natürliche Zahl mit einem Bruch und wie man zwei Brüche miteinander multipliziert. Darüer hinaus erkennen sie, dass man den Bruchteil von einer Größe durch Multiplikation des Bruchs mit dieser Größe erechnen kann. Hinweise zur Durchführung: Anhand von Beispiel können die Schüler/innen die Regel, wie man eine natürliche Zahl mit einem Bruch multipliziert, selstständig erkunden. Außerdem lernen die Schüler/innen in diesem Beispiel, dass der a a Bruchteil von c als Produkt c erechnet werden kann und warum dies so ist. Diese Beziehung wird dann in Beispiel enötigt, wo die Schüler/innen die Multiplikationsregel für ein Produkt aus zwei Brüchen erkunden können. Hier sollen die Schüler/innen zunächst den Bruchteil von mithilfe eines Rechtecks aus 0 Kästchen estimmen. Indem die Schüler/innen dann das Ergenis mit dem Produkt vergleichen, erkennen sie die Multiplikationsregel für Brüche. Diese Regel steht dann ausdrücklich im Merkekasten auf Folie. Das Kapitel endet nach einem Tipp zum Üerkreuzkürzen mit einer Üung zur Multiplikation von Brüchen. Zeitedarf: ca. - Schulstunden; je nach Umfang der zusätzlichen Üungen auch mehr. Kapitel : Division von Brüchen Lernziele: Die Schüler/innen lernen, wie man einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividiert und wie man eine Division durch einen Bruch ausführt. Hinweise zur Durchführung: In Beispiel sollen die Schüler/innen den Quotienten zwischen einem Bruch und einer natürlichen Zahl mithilfe eines Zahlenstrahls estimmen. Durch die geschickte Wahl der Längeneinheit sollte dies auch für schwächere Schüler/innen kein Prolem sein. Die entsprechende Rechenregel wird deutlich, wenn die Schüler/innen jeweils die Zahlen von Dividend und Teiler mit dem Ergenis vergleichen. Das Beispiel auf Folie 0 zeigt, nach welcher Rechenregel man durch einen Bruch teilt. Die Regeln zur Division mit Brüchen sind in den Merkekästen auf Folie 0 zusammengefasst. In den Üungen auf Folie kann die Division mit Brüchen und das Vereinfachen von Doppelrüchen geüt werden. Zeitedarf: ca. - Schulstunden; je nach Umfang der zusätzlichen Üungen auch mehr. Checkliste was man nun wissen sollte Anhand der Fragen der Checkliste auf Folie können Sie die wichtigsten Kenntnisse zum Thema Bruchrechnung in kompakter Form afragen und wiederholen. Auf diese Weise erhalten Ihre Schüler/innen einen guten Üerlick üer den eigenen Kenntnisstand. Die Antworten auf die Fragen finden Sie als Kopiervorlage in doppelter Ausführung, sodass Sie nur jeweils Blatt für zwei Schüler/innen kopieren müssen. Zeitedarf: ca. 0 min. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com Nur zur Ansicht, Download veroten! 6