Kapitel 2: Mathematische Grundlagen

[ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.1/67

Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume 2.1.1 Vektorräume 2.1.2 Affine Räume 2.1.3 Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span 2.2.1 bei Vektorräumen 2.2.2 bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen 2.3.1 bei Vektorräumen 2.3.2 bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen 2.4.1 Lineare Abbildungen 2.4.2 Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.2/67

Mathematische Grundlagen Wichtig für Darstellung von 3D-Objekten auf dem Bildschirm Kamera-Modell Einstellung der Aufnahmebedingungen Parallel- und perspektivische Projektion Translation, Skalierung, Rotation von Objekten Komposition komplexer Szenen aus einfachen Teilen Darstellung dynamischer Vorgänge Animation, Bewegung von Objekten 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.4/67

Beschreibung geometrischer Objekte Geometrische Objekte können durch Punktkoordinaten beschrieben werden. Punkte werden dabei in einem Koordinatensystem definiert. Dreieck: Durch Angabe der drei Eckpunkte Würfel: Durch Angabe der Koordinaten seiner 8 Eckpunkte Kugel: Durch Angabe des Mittelpunkts und des Radius Vorteil dieser Darstellung: Objekte bestehen aus unendliche vielen Punkten. Objekt verschieben = unendlich viele Punkte verschieben? Aufwand? Statt dessen: Verschiebe nur (wenige) endlich viele Punkte die das Objekt genau definieren. Alle anderen Punkte die zu einem Objekt gehören lassen sich daraus rekonstruieren. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.5/67

Vektorräume Menge V von Vektoren mit zwei Operatoren: Addition von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl Notation: Vektoren: Kleine lateinische Buchstaben u, w, w,... Skalare: Kleine griechische Buchstaben α, β, γ,... 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.7/67

Vektorraum Definition: Ein reeller Vektorraum (V, +, ) besteht aus einer Menge V einer Verknüpfung (Addition) + : V V V (v, w) v + w einer Verknüpfung (Multiplikation mit Skalaren) so dass folgendes gilt: : R V V (α, w) α w 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.8/67

Eigenschaften der Operatoren Addition Kommutativ: v + w = w + v Assoziativ: (u + v) + w = u + (v + w) Neutrales Element (Identität): 0 + v = v Inverses: Für alle v V gibt es w V mit v+w=0. Wird als v bezeichnet. Skalare Multiplikation (αβ)v = α(βv) 1v = v (α + β)v = αv + βv α(v + w) = αv + βw für alle u, v, w V, α, β, γ R 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.9/67

Geometrische Interpretation Vektorraum abstrahiert grundlegende geometrische Eigenschaften der Ebene Ebene? Vektorraum Wähle Punkt auf Ebene: Ursprung Addition von zwei Vektoren: Parallelogrammregel Skalare Multiplikation 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.10/67

Frage Ist die Konstruktion eines Vektorraums in der Ebene abhängig von einem Koordinatensystem? Oder ist es eine rein geometrische Konstruktion? 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.11/67

Klassische Beispiel: R n R n : Menge aller geordneten n-tupel reeller Zahlen. Addition und skalare Multiplikation: Komponentenweise definiert Beispiele 1.5 3.0 5 + 1.5 3.0 2.5 2.0 = = 7.5 15.0 4.0 1.0 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.12/67

Linearkombination Seien v 1,...,v n V. Eine Linearkombination von v 1,...,v n hat die Form α 1 v 1 +... + α n v n mit α 1,...,α n R 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.13/67

Anwendungen von Linearkombinationen Linie durch den Ursprung 0 {αv : α R} für ein v V, v 0. Strahl durch den Ursprung in Richtung v {αv : α R, α 0} für ein v V, v 0. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.14/67

Span Seien v 1,...,v n V. Der Span von v 1,...,v n ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren. span(v 1,...,v n ) = {α 1 v 1 +...α n v n : α i R für i = 1,...n} Beispiel: Sind v, w nicht parallel so ist span(v, w) eine Ebene. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.15/67

Affiner Raum Ist eine Menge in der geometrische Operationen Sinn machen. es aber keinen besonders ausgezeichneten Punkt gibt. Frage: Welcher Vektor eines Vektorraums ist besonders ausgezeichnet? Affine Räume - wozu? 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.17/67

Affine Räume - wozu? Ist eine Menge in der geometrische Operationen Sinn machen. es aber keinen besonders ausgezeichneten Punkt gibt. Frage: Welcher Vektor eines Vektorraums ist besonders ausgezeichnet? Affine Räume - wozu? Objekte, Räume haben kein eingebautes Koordinatensystem (auch eine Ebene nicht). Alle Punkte sind gleichberechtigt. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.18/67

Affiner Raum - Idee Ein affiner Raum besteht aus einer Menge P, den Punkten des affinen Raums, einem Vektorraum V, und zwei Operatoren Die Operatoren haben die Eigenschaften Sind P und Q Punkte, so liegt der Differenz in V Ist P ein Punkt, v V, so ist P + v ein Punkt 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.19/67

Affiner Raum - Definition Sei P eine Menge und V ein Vektorraum. Das Paar (P, V ) heißt affiner Raum, wenn eine Operation + : P V P gegeben ist, so dass für P,Q P und v, w V gilt: (i) P + 0 = P (ii) (P + v) + w = P + (v + w) (iii) Für alle P,Q P gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor v, so dass Q = P + v 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.20/67

Verbindungsvektor Für alle P,Q P gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor v, so dass Q = P + v v heißt auch Verbindungsvektor oder Differenz von P und Q. Bezeichnung: PQ Differenz von P und Q 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.21/67

Beispiel Jeder Vektorraum V kann zu einem affinen Raum gemacht werden. Menge der Punkte P := V Zugehöriger Vektorraum: V Differenz von Punkten ˆ= Differenz von Vektoren Summe von Punkt und Vektor ˆ= Addition von Vektoren Dann ist (V, V ) ein affiner Raum. Ist P,Q P = V und v V so definiere PQ := Q P }{{} aufgefasst als Vektoren und P + v }{{} Operation des affinen Raums := P + v }{{} Vektoraddition 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.22/67

Beispiel: Reeller affiner Raum Reeller affiner Raum (R 2, R 2 ), d.h. V = R 2 und P = R 2. Seien P = 2 1,Q = 4 5 P und v = 3 2 V. Berechnen Sie PQ und P + v. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.23/67

Affine Kombination Wiederholung: Linearkombination von Vektoren mit v 1,...,v n V, α 1,...,α n R. α 1 v 1 +... + α n v n Frage: Geht das auch mit Punkten eines affinen Raums (P, V )? 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.24/67

Affinkombination Affinkombination zweier Punkte P,Q P ist für α R definiert als Es gilt: P + 0 PQ = P und P + 1 PQ = Q P + α PQ P Allgemein: Ist α 1,...,α n R mit und P 1,...,P n P dann ist P 1 + α 2 P 1 P 2 +... + α n P n 1 P n eine Affinkombination der Punkte P 1,...,P n P. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.25/67

Konvexkombination Schreibweise: Ist α, β R mit α + β = 1, dann definiere αp + βq }{{} nur Schreibweise! := P + β PQ Allgemein: Ist α 1,...,α n R mit n i=1 α i = 1, und P 1,...,P n P. Dann ist α 1 P 1 +... + α n P n := P 1 + α 2 P 1 P 2 +... + α n P n 1 P n eine Konvexkombination der Punkte P 1,...,P n P. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.26/67

Gerade im affinen Raum Seien P und Q Punkte eines affinen Raums. Eine Gerade durch P und Q ist definiert durch { P + t } PQ : t R parametrische Form einer Geraden Beispiel: Affiner Raum (R 2, R 2 ), P = a b,q = c d Dann ist { P + t } PQ : t R = 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.27/67

Gerade im affinen Raum Seien P und Q Punkte eines affinen Raums. Eine Gerade durch P und Q ist definiert durch { P + t } PQ : t R parametrische Form einer Geraden Beispiel Affiner Raum (R 2, R 2 ), P = a b,q = c d Dann ist = = { P + t } PQ : t R a + t c a : t R b d b (1 t)a + tc : t R (1 t)b + td 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.28/67

Beispiel Durch (P, R 2 ) mit P = a b 1 : a, b R ist ein affiner Raum gegeben, wenn man definiert: PQ := c a d b und P + v = a + v 1 b + v 2 1 für P,Q P,P = a b 1, Q = c d 1 und v = v 1 v 2 R 2 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.29/67

Ebene im affinen Raum Sei (P, V ) ein affiner Raum. Sei P,Q,R P so, dass R nicht auf der Geraden zwischen P und Q liegt. Dann ist eine parametrische Beschreibung einer Ebene gegeben durch {(1 s) ((1 t)p + tq) + sr : t R} 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.30/67

Beispiel Sei (R 3, R 3 ) der reelle affine Raum. Welche Punkte gehören zu der Ebene, die durch die Punkte 1 0 4, 2 3 6, 0 0 7 definiert ist? 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.31/67

Unterräume Wir führen ein Lineare Unterräume bei Vektorräumen Affine Unterräume bei Vektorräumen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.33/67

Lineare Unterräume Sei V ein Vektorraum und U V eine Teilmenge von V. U heißt linearer Unterraum oder Untervektorraum von V falls gilt: v + w U αv U für alle v, w U und α R. Beispiel: {αv : v R} für ein v V. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.34/67

Beispiel Untervektorräume in R 3 Der 0-Vektor (Ursprung) Alle Geraden durch den Ursprung Ebenen die den Ursprung enthalten R 3 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.35/67

Affine Unterräume Affine Unterräume sind Verschiebungen eines linearen Unterraums. Sei V ein Vektorraum. Eine Teilmenge A V ist ein affiner Unterraum von V falls gilt: Die Menge A = {u v : u, v A} ist ein linearer Unterraum von V. Achtung: A ist kein Vektorraum! 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.36/67

Affine Unterräume Ein affiner Unterraum A eines Vektorraums V kann zu einem affinen Raum gemacht werden: A := P Menge der Punkte A zugehöriger Vektorraum Addition und Differenz mit Vektoroperationen. Dann gilt: PQ A Def = {u v : u, v A} P + v A 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.37/67

Affiner Standard-Raum in R 4 Reeller affiner Raum (R 4, R 4 ) Die Menge A = x y z 1 : x, y, z R ist ein affiner Unterraum von R 4 und heißt affiner Standard-Raum in R 4. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.38/67

Affiner Standard-Raum in R 4 Zugehöriger Vektorraum A = {u b : u, v A} = x y z 0 : x, y, z R Differenz von P,Q A : PQ = x y z 0 Analog definiert man die affine Standard-Ebene in R 3. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.39/67

Punkte und Vektoren Wichtige Unterscheidung: Punkte im Raum: Elemente mit denen Positionen von Objekten in der Grafikwelt spezifiziert werden Vektoren: Spezifikation von Richtungen / Verschiebungen von Punkt zu Punkt Häufiger Fehler: Punkte werden bei affinem Raum mit Vektoren verwechselt. Punkte: Elemente in R 4 mit 1 als letzte Koordinate. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.40/67

Homogenisierung Homogenisierung ist eine wichtige Operation im affinen Standard-Raum (bzw. Ebene). x Gegeben ein Punkt y. Verbinde Punkt mit Gerade durch Ursprung. h Wo schneidet die Gerade die affine Ebene? x tx Linie durch y ist L = ty : t R h th Also ist x/h y/h 1 L, die Homogenisierung von x y h 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.41/67

Lineare Abhängigkeit und Span Erinnerung: Span = Menge aller Linearkombinationen einer Menge von Vektoren in R n. Beispiel: R 3 span(v): Linie, falls v 0 span(v 1, v 2 ): Ebene, falls v 1 αv 2 für alle α R und v 1, v 2 0. span(v 1, v 2, v 3 ) = R 3, falls v 1, v 2, v 3 linear unabhängig sind. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.43/67

Lineare Abhängigkeit Eine Menge von Vektoren v 1,...,v n ist linear abhängig, wenn einer von ihnen im Span der anderen liegt. Sprechweise: Die Vektoren v 1,...,v n sind linear abhängig. Genauer: Seien v 1,...,v n V Vektoren. v 1,...,v n heißen linear abhängig, falls es einen Vektor v i gibt, der sich als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben lässt, d.h. es gibt α 1,...,α i 1, α i+1,...,α n R mit v i = α 1 v 1 +... + α i i v i 1 + α i+1 v i+1 +...α n v n 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.45/67

Lineare Abhängigkeit - alternative Definition Eine Menge von Vektoren v 1,...,v n V sind linear abhängig, falls es α 1,...,α n R gibt die nicht alle Null sind, so dass α 1 v 1 +... + α n v n = 0 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.46/67

Lineare Unabhängigkeit Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig ist. Beispiel: Sind v 1, v 2, v 3 R 3 linear unabhängig, dann ist span(v 1, v 2, v 3 ) = R 3. Problem: Überprüfung einer negativen Aussage 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.47/67

Span im affinen Raum Sei (P, V ) ein affiner Raum und seien P 1,...,P n Punkte des affinen Raums. Dann ist der Span der Punkte span(p 1,...,P n ) wir folgt definiert: Mit v i := P 1 P i ist span(p 1,...,P n ) := {P 1 + v : v span(v 1,...,v n )} Bemerkung: Die Definition is unabhängig von dem ausgewählten Punkt P i. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.49/67

Abhängigkeit von Punkten im affinen Raum Sei (P, V ) ein affiner Raum und seien P 1,...,P n Punkte des affinen Raums. Die Punkte sind abhängig falls einer von ihnen im Span der anderen liegt. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.50/67

Basen im Vektorraum Basis eines Vektorraums: Minimale Menge von Vektoren, die einen linearen Unterraum aufspannt. Minimal: Jede Teilmenge dieser Menge hat kleineren Span Eigenschaften: Eine Basis eines linearen Unterraums ist linear unabhängig. Ist v 1,...,v n Basis eines linearen Unterraums U und v V. Dann gibt es eindeutig bestimmte α 1,...,α n mit v = α 1 v 1 +...α n v n 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.52/67

Koordinaten B = {v 1,...,v n } Basis von V. Vektor v V hat Darstellung mit eindeutig bestimmten α 1,...,α n R. v = α 1 v 1 +... + α n v n Der Vektor B: α 1. α n Rn wird als Koordinatenvektor von v bzgl. der Basis bezeichnet. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.53/67

Beispiel: Standardbasis in R 3 Vektorraum R 3. Standardbasis E = {e 1, e 2, e 3 } mit e 1 = 1 0 0, e 2 = 0 1 0, e 3 = 0 0 1 Aufgabe: Was sind die Koordinaten des Vektors 2 4 3 bezüglich E? 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.54/67

Koordinatensystem im affinen Raum Sei (P, V ) ein affiner Raum und seien P 1,...,P n Punkte des affinen Raums. Ist span(p 1,...,P n ) = {P}, so heißt P 1,...,P n Koordinatensystem. Eigenschaften: Jeder Punkt von P kann als affine Kombination von P 1,...,P n geschrieben werden. Koeffizienten: Affine Koordinaten eines Punktes bzgl. des Koordinatensystem, abhängig vom Koordinatenursprung. Ist P 1,...,P n ein Koordinatensystem für (P, V ), dann ist P 1 P 2,..., P 1 P n eine Basis für den assoziierten Vektorraum V. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.56/67

Beispiel Affine Standardebene in R 3 P 1 = 1 0 1,P 2 = 1 1 1,P 3 = 0 0 1 span(p 1,P 2,P 3 ) = = Welche Koordinaten hat Q = Koordinatenursprung ist? P 1 + v : v span 1, 1 0 0 P 2 + v : v span 0, 1 1 1 2 3 1 bzgl. P 1,P 2,P 3, wenn P 1 bzw. wenn P 2 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.57/67

Lineare Abbildung Sei V und W Vektorräume. Eine Funktion F : V W heißt lineare Abbildung, falls für alle α, β R, v, w V gilt: F(αv + βw) = αf(v) + βf(w) In Worten: Ein lineare Abbildung ist eine Funktion die einen Vektorraum auf einen anderen abbildet und dabei Linearkombinationen erhält Lineare Abbildungen werden auch als lineare Transformationen bezeichnet. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.59/67

Eigenschaften linearer Abbildungen Für eine lineare Abbildung F : V W gilt: F(0) = 0 v 1,...,v n linear abhängig in V F(v 1 ),...,F(v n ) linear abhängig in W. F(v 1 ),...,F(v n ) linear unabhängig in W v 1,...,v n linear unabhängig in V. Achtung: Aus v 1,...,v n linear unabhängig folgt nicht F(v 1 ),...,F(v n )! 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.60/67

Matrix für lineare Abbildungen Aufgabenstellung: Gegeben eine Basis b 1,...,b n R n beliebige Vektoren a 1...,a n R n Finde eine lineare Abbildung F : R n R n mit für alle i = 1,...,n. F(b i ) = a i Idee: Drücke lineare Abbildung mit Matrix aus Finde n n-matrix Q, so dass F(v) = Qv für alle v R n. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.61/67

Vereinfachtes Problem Finde Matrix Q für lineare Abbildung F, die e 1,...,e n auf beliebige Vektoren v 1,...,v n abbildet. Lösung Q = [v 1...v n ] Dann gilt: Qe i = v i 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.62/67

Lösung Hauptproblem Finde Matrix B mit Be i = b i Finde Matrix A mit Ae i = a i Dann ist Q = AB 1 eine Matrix mit Qb i = a i 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.63/67

Beispiel Finde Matrix, die 1 2, 2 5 auf 1 1, 3 2 abbildet. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.64/67

Affine Transformation Sei (P 1, V ), (P 2, W) zwei affine Räume. Eine Funktion F : P 1 P 2 mit F(P + α PQ) = F(P) + α F(P)F(Q) für alle P,Q P 1, α R heißt affine Transformation. Beispiele: Translationen, Rotationen, Skalierungen, Scherungen Bemerkung: Affine Transformationen können auf die assoziierten Vektorräume erweitert werden durch F( PQ) = F(P)F(Q) 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.66/67

Beispiel Matrixdarstellung einer affiner Abbildung zwischen (R 4, R 4 ) und sich selbst: a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 0 0 0 a 4,4 Matrixdarstellung einer affinen Abbildung auf dem affinen Standard-Raum in R 4. a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 0 0 0 1 Die Matrizen nennt man auch homogene Matrizen. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.67/67