Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König

Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König Myriam Ezzedine, 0326943 Anton Ksernofontov, 0327064 Jürgen Platzer, 0025360 Nataliya Sokolovska, 0326991

1. Beweis des Satzes von Menger Bevor die eigentliche Aufgabe des ersten Teils, den Satz von Menger zu beweisen, besprochen wird, sind einige grundlegende Definitionen festzulegen. 1.1. Definitionen Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph und s, t V. Zwei Wege von s nach t (kurz (s,t)-wege) heißen kantendisjunkt, wenn sie keine Kante gemeinsam haben. Eine Menge von Kanten E trennt s von t, wenn in G = (V, E \ E ) kein Weg existiert, der s und t verbindet. Gegeben sei folgender ungerichteter Graph G: Abbildung 1: Graph G Zwei kantendisjunkte (s,t)-wege wären der Weg (s, 3) (3, t) und der Weg (s, 2) (2, 4) (4, t), da keine Kante von beiden Wegen benützt wird. Eine Menge von Kanten, die s von t trennen würden wäre die Kante von s nach 3 und die Kante von 2 nach 4. Würde man diese beiden Kanten entfernen, so gäbe es keinen Weg mehr von s nach t. 1.2. Der Satz von Menger In einem zusammenhängenden Graph G gilt für alle Knoten s, t: Die maximale Anzahl A kantendisjunkter (s,t)-wege ist gleich der minimalen Anzahl B an Kanten, die x und y trennen. In dem Graph G aus Abbildung 1 müssten mindestens 2 Kanten gelöscht werden, damit man nicht mehr von s nach t gelangt. Dementsprechend folgt daraus, dass es höchstens 2 kantendisjunkte (s,t)-wege in G geben kann.

1.3. Beweis In dem Beweis des Satzes ist zu zeigen, dass die Mächtigkeit (Ordnung) der Menge A (= größtmögliche Anzahl kantendisjunkter (s,t)-wege) gleich der Mächtigkeit der Menge B (= kleinstmögliche Anzahl von Kanten, die t von s separiert) ist. Um die Gleichheit zweier Kardinalzahlen zu zeigen, ist zu zeigen, dass A B und B A gilt. A B: Ist k die kleinste Anzahl an Kanten, die man löschen muss, um t von s zu separieren, so ist die Anzahl der kantendisjunkten (s,t)-wege durch k beschränkt. Der Grund liegt darin, dass diese Wege über die Kantenmenge, welche t separiert, gehen müssen. Da sie aber keine Kante doppelt verwenden dürfen, um als kantendisjunkt zu gelten, ist die Anzahl der trennenden Kanten größer gleich der Anzahl der kantendisjunkten Wege. Es gilt: A B Wenn im Graphen G aus Abbildung 1 die Kanten (3,t) und (4,t) gelöscht werden, so ist t von s separiert. Weiters können alleine aus dieser Bedingung folgend höchstens 2 kantendisjunkte (s,t)-wege existieren, da jeder dieser Wege als letzte Kante nach t einen dieser beiden trennenden Kanten verwenden muss. B A: Wir bezeichnen die Menge der k kantendisjunktien (s,t)-wegen mit W. Wir bilden nun eine Menge V 1 aller Knoten, die über einen zu allen Wegen in W disjunkten Weg von s aus erreichbar sind. Die übrigen Knoten kommen in die Menge V 2. s liegt in V 1, da ja der triviale Weg der Länge 0 zu jedem anderen Weg disjunkt ist. t liegt in V 2, da W maximal ist. Im Graphen G wählen wir die Wege (s, 3) (3, t) und (s, 2) (2, 4) (4, t) als kantendisjunkte (s,t)-wege. Sie gehören demnach der Menge W an. Nun ist die Knotenmenge V 1 festzulegen. Dieser gehört zunächst der Knoten s selbst an. Als nächstes gehören V 1 alle Knoten an, die über einen zu W disjunkten Weg von s aus erreichbar sind. Dabei überprüfen wir alle Kanten die von s wegführen. Die Kante (s, 3) gehört einem Weg von W an und darf daher nicht benützt werden. Das selbe gilt für die Kante (s, 2). Über die Kante (s, 1) gelangen wir zum Knoten 1 und weiter über die Kante (1, 2) zum Knoten 2. Der Knotenmenge V 1 gehören demnach die Knoten s, 1 und 2 an. Der Knotenmenge V 2 gehören 3, 4 und t an. Dies ist nochmals in Abbildung 2 grafisch dargestellt.

Abbildung 2: Graph G mit den Knotenmengen V 1, V 2 Als nächstes bestimmen wir die Kantenmenge S. S sei die Menge aller Kanten, die von Knoten aus V 1 nach Knoten aus V 2 führen. In unserem Beispiel gehören dieser Kantenmenge die Kanten (s,3) und die Kanten (2, 4) an. Jede Kante (v 1, v 2 ) aus S muss auf irgendeinem Weg aus W liegen, da der Knoten v 2 ansonsten von s aus über einen zu W kantendisjunkten Weg erreichbar wäre. (Dies hätte zur Folge, dass v 2 der Knotenmenge V 1 angehört und somit (v 1, v 2 ) nicht zur Kantenmenge S gehört. WIDERSPRUCH) Für jeden Weg in W kann höchstens eine Kante in S liegen. Liegen (v 1, v 2 ) und (w 1, w 2 ) auf demselben (s,t)-weg (ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass Kante (v 1, v 2 ) vor (w 1, w 2 ) kommt), dann ist v 2 über einen zu W disjunkten Weg erreichbar. Dieser Weg führt von s aus zu w 1 (, der ja V 1 angehört) und von w 1 weiter zu v 2 (in der Gegenrichtung des (s,t)-weges, welche nicht W angehört!!!). Demnach müsste v 2 in V 1 liegen WIDERSPRUCH. Für jeden Weg in W liegt mindestens eine Kante in S. Da s V 1 und t V 2 gilt, existiert auf jedem Weg von s nach t eine Kante, deren Anfangsknoten in V 1 und Endknoten V 2 liegt. Da alle Wege in W disjunkt sind, liegen mindestens W solche Wege in S. Damit ist gezeigt, dass W = S gilt. Da S aber s von t trennt, ist bewiesen, dass die minimale Anzahl an Kanten, die x und y trennen (B) kleiner gleich der maximalen Anzahl kantendisjunkter (s,t)-wege (A) ist. Es gilt B A.

2. Beweis des Satzes von König 2.1. Definitionen Matching Eine Menge M von unabhängigen Kanten in einem Graphen G = (V,E) nennt man ein Matching. Man nennt M ein Matching von U V, wenn jeder Knoten aus U mit einer Kante aus M inzident ist. In Abbildung 3 ist M ein Matching von U = {v2, v3, v4, v5, v6, v7}. Abbildung 3: Matching k-faktor Einen k-regulären spannenden Subgraphen nennt man k-faktor. (Beispiel in Abbildung 4) Abbildung 4: 2-Faktor

Perfektes Matching Ein perfektes Matching ist Matching von V(G), also ein Matching, das alle Punkte des Graphen überdeckt. Daraus folgt, dass ein perfektes Matching ein 1-Faktor sein muss. Abbildung 5: Perfektes Matching (1-Faktor) Bipartiter Graph Ein Graph G = (S + T, E) heißt bipartit, wenn er aus 2 disjunkten Knotenmengen S und T besteht, für die gilt: Jede Kante aus E verbindet S und T (wir schreiben S + T, um dies auszudrücken). Abbildung 6: Bipartiter Graph Fragestellung: Wie findet man ein Matching mit maximal vielen Kanten?

Alternierender Weg Ein Weg P der an einem Knoten startet, der nicht von M gematcht wird, und dann abwechselnd Kanten aus E\M und aus M enthält heißt alternierender Weg in Bezug auf M. Augmentierender Weg Ein alternierender Weg, der ebenfalls an einem ungemachtem Knoten endet, heißt augmentierender Weg. Abbildung 7: alternierender und augmentierender Weg Matching auf bipartitem Graph Sei G = (S + T, E) ein bipartiter Graph. Ein Matching M E auf G ist eine Menge paarweise nicht inzidenter Kanten aus E. Matchingzahl Die Matchingszahl m(g) ist definiert als die Kardinalität M eines größtmöglichen Matchings M auf G. Ein Matching heißt maximal Matching, wenn M = m (G). Überdeckung Ist jede Kante aus E(G) mit einem Punkt aus U V(G) indizent, so nennt man U Überdeckung von E (bzw. Knotenüberdeckung von G).

2.2. Der Satz von König In jedem bipartiten Graphen G = (S + T, E) ist max ( M, M Matching) = min ( U, U Überdeckung) oder Der maximale Grad eines Matchings in G ist gleich der minimalen Kardinalität einer Knotenüberdeckung in G 2.3. Beweis Sei M ein Matching mit maximaler Kardinalität. Wir wählen uns von jeder Kante aus M eine Ende aus. Das Ende liegt in B, wenn dort ein M-alterniereder Weg endet. Ansonsten wählen wir das Ende, das in A liegt. Die Menge U der ausgewählten M Knoten überdeckt G. Da jede Knotenüberdeckung von G auch unser Matching M überdecken muss, kann es keine mit weniger als M geben. (Abbildung 8) Abbildung 8: 1. Teil des Beweises Bleibt zu zeigen, dass unsere Knotenüberdeckung U jede Kante aus G erreicht, dass also bei jeder Kante ab E (G) a oder b in U liegen muss. Fall 1: Ist ab M, so liegt laut Definition von U einer der Punkt schon in U. Fall 2: Ist ab M, dann gibt es eine Kante a'b' aus M, die mit ab einen Punkt gemeinsam hat, da M ein maximales Matching ist.

Fall 2.1 Wenn a ungematcht ist, dann ist ab eine ungematchte Kante aus G, und b = b' U. Fall 2.2 Wenn a gemacht ist und nicht zur Knotenüberdeckung gehört, also a = a' U, muß b' U sein und ein alternierender Weg P endet in b'. Gleichzeitig muß aber auch ein alternierender Weg P' in b enden, für den gilt P' := Pb (wenn b P) oder P' = Pb'a'b. Da M maximal ist, kann P' kein augmentierender Weg sein, weil man sonst durch Invertieren von P' ein Matching höherer Kardinalität erhalten könnte. Also muß in b eine Kante von M enden und b zu U gehören. Abbildung 8: Fälle