Prof. Dr. Ulrich Schwalbe Sommersemester 2001 Klausur zur Vorlesung Spieltheorie Musterlösung Die Klausur besteht aus vier Vorfragen, von denen drei zu beantworten sind sowie drei Hauptfragen, von denen zwei zu beantworten sind. Sie haben für die Beantwortung 90 Minuten Zeit. Verwenden Sie auf eine Vorfrage nicht mehr als 10 Minuten. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Vorfragen Aufgabe 1 Ermitteln Sie die Nash Gleichgewichte des Zwei Personen Spiels, in dem die Strategienmenge jedes Spielers die Menge der nichtnegativen rellen Zahlen ist; die Auszahlungsfunktionen sind gegeben durch p 1 (a 1, a 2 ) = a 1 (a 2 a 1 ) und p 2 (a 1, a 2 ) = a 2 (1 a 1 a 2 ). Dabei ist a i die von Spieler i gewählte relle Zahl. 1
Lösung Spieler 1 maximiert a 1 (a 2 a 1 ). Die Bedingung erster Ordnung (B1O) ist a 2 2a 1 = 0. Auflösen nach a 1 ergibt die Reaktionsfunktion (beste Antwort Funktion) a 1 (a 2 ) = a 2 /2. Spieler 2 maximiert a 2 (1 a 1 a 2 ). Die Die B1O ist 1 a 1 2a 2 = 0. Auflösen nach a 2 ergibt die Reaktionsfunktion a 2 = (1 a 1 )/2. Einsetzen von a 2 (a 1 ) in die Reaktionsfunktion des Spielers 1 ergibt a 1 = 1 a 1 4 a 1 = 1/5. Einsetzen in die Reaktionsfunktion des Spielers 2 ergibt a 2 = 2/5. Das Nash GG lautet also a 1 = 1/5, a 2 = 2/5. Aufgabe 2 Siehe Skript. 2
Aufgabe 3 Jede von zwei Firmen hat eine freie Stelle. Die Firmen zahlen unterschiedliche Löhne w i mit 0.5w 1 < w 2 < 2w 1. Angenommen, es gibt zwei Arbeiter, die sich bei den Firmen bewerben können. Sie entscheiden simultan darüber, wo sie sich bewerben, ihre Strategien sind also: bei Firma 1 bewerben bzw. bei Firma 2 bewerben. Wenn sich bei einer Firma nur einer bewirbt, bekommt er die Stelle, bewerben sich beide bei der Firma, wählt die Firma zufällig einen aus, der andere ist arbeitslos. Ermitteln Sie die Normalform des Spieles und alle Nash Gleichgewichte. Lösung Bezeichne 1 die Strategie bei Firma 1 bewerben und 2 die Strategie bei Firma 2 bewerben. Die Auszahlungsmatrix ist 1 2 1 w 1 /2, w 1 /2 w 1, w 2 2 w 2, w 1 w 2 /2, w 2 /2 Das Spiel hat zwei Nash GGe in reinen Strategien: (2, 1) und (1, 2). 3
Das NG in gemischten Strategien berechnet sich wie folgt. Sei p die Wahrscheinlichkeit des Spielers 1 für Strategie 1 und q die Wahrscheinlichkeit des Spielers 2 für Strategie 1. Für die erwarteten Auszahlungen des Spielers 1 muss gelten: q w 1 /2 + (1 q) w 1 = q w 2 + (1 q) w 2 /2. Auflösen nach q ergibt q = (2w 1 w 2 )/(w 1 + w 2 ). Da das Spiel symmetrisch ist, gilt p = q. Das GG in gemischten Strategien lautet somit ((p, 1 p), (q, 1 q)) mit p = q = (2w 1 w 2 )/(w 1 + w 2 ). Aufgabe 4 Siehe Skript. 4
Hauptfragen Aufgabe 1 Die Firma R (der Raider ) überlegt, ob sie die Firma Z (das Ziel ) übernehmen soll. Allerdings kennt sie den Wert der Firma Z nicht genau; sie vermutet, daß der Wert, wenn Z von Zs eigenen Management geleitet wird, mindestens DM 0 und höchstens DM 100 beträgt. Jedem dieser 101 möglichen DM Werte ordnet Firma R die gleiche Wahrscheinlichkeit zu. Übernimmt R die Firma, dann wird der Wert von Z um 50% steigen. Angenommen, Firma R bietet den Betrag y um die Firma Z zu übernehmen und Firma Z ist (unter eigenem Management) den Betrag x Wert. Wenn Z das Angebot von R akzeptiert, dann ist R s Auszahlung 1.5x y und Z s Auszahlung ist y; wenn Z das Angebot ablehnt, erhält R die Auszahlung 0 und Z s Auszahlung ist x. 5
a) Stellen Sie diese Situation als ein Spiel mit unvollständiger Information dar, in dem R wählt, welchen Betrag sie bieten soll und Z darüber entscheidet, was der niedrigste Betrag ist, den sie akzeptiert. Lösung Das Spiel kann wie folgt beschrieben werden: Spielermenge: {R, Z}. Strategiemengen: Eine Aktion für R ist ein Angebot y R, eine Aktion für Z ist Zustimmung (Ja) oder Ablehnung (Nein). Information: Typ von Z gleichverteilt im Intervall [0, 100]. Auszahlungen: Die Auszahlung von R ist 1, 5x y falls Z zustimmt, und null sonst. Die Auszahlung von Z ist y falls Z zustimmt und x falls Z nicht zustimmt. 6
b) Ermitteln Sie das Bayesianische Nash Gleichgewicht (die Gleichgewichte?) dieses Spiels. Lösung Da R im Laufe des Spiels keine zusätzliche Information erhält, findet kein Bayesianisches Updating statt. Die Vermutungen des R sind gleich den a priori Wahrscheinlichkeiten. Strategie des Z Typ x von Z akzeptiert jedes Gebot y x und lehnt jedes Gebot y < x ab. Demnach muss R mindestens den Betrag x bieten. Der erwartete Wert von Z, falls y akzeptiert wird, ist jedoch E(x) = y/2 (wegen der Gleichverteilung der Typen). Beispiel: Ein Gebot von y = 50 wird von den Typen x [0, 50] akzeptiert. Der Erwartungswert ist daher E(x y = 50) = 25. 7
Die erwartete Auszahlung des R bei Gebot y ist, falls y akzeptiert wird 1, 5 y 2 y = y 4 < 0. Daher ist das optimale Gebot (die beste Antwort von R) die Strategie y = 0. Das einzige Bayesianische Nash GG ist daher: R bietet y = 0, Z vom Typ x akzeptiert jedes Gebot y x und lehnt jedes Gebot y < x ab. Somit kann es nicht zu einer Übernahme kommen. 8
Aufgabe 2 Die Armee des Landes 1 (Armee 1) muß sich überlegen, ob sie die Armee des Landes 2 (Armee 2) angreifen soll, die eine Insel zwischen den beiden Ländern besetzt hält. Beide Länder sind jeweils durch eine Brücke mit der Insel verbunden. Im Falle eines Angriffs könnte die Armee 2 sich entweder in ihr Land zurückziehen oder könnte kämpfen. Jede Armee würde die Insel lieber besetzen als nicht besetzen, aber ein Kampf ist das schlechteste Ergebnis für beide Armeen. 9
a) Stellen Sie die Situation als ein Extensivformspiel mit vollständiger Information dar. Lösung Bezeichne A bzw. N die Strategien Angreifen bzw. Nicht angreifen der Armee 1, und Z bzw. K die Strategien Zurückziehen bzw. Kämpfen der Armee 2. Mögliche Auszahlungen sind beispielsweise Z K A 2, 2 3, 3 N 0, 0 0, 0 Extensivform ( 2 2 2 A Z K ) ( ) 3 3 1 N ( 0 0 ) 10
b) Zeigen Sie, daß die Armee 2 ihre Auszahlung in einem teilspielperfekten Nash Gleichgewicht erhöhen kann, wenn sie die Brücke zu ihrem Heimatland verbrennt und sich dadurch die Rückzugsmöglichkeit nimmt. Lösung Rückwärtige Induktion ergibt das einzige teilspiel perfekte GG (A, Z). Das Nash GG (N, K) ist nicht teilspiel perfekt, da K beim Angriff der Armee 1 eine unglaubwürdige Drohung seitens der Armee 2 darstellt. Zerstört Armee 2 die Brücke, so nimmt sie sich selbt die Möglichkeit zum Rückzug. Sie bindet sich also glaubhaft an die Strategie K, da die Strategie Z für Armee 2 nicht mehr existiert. Das einzige teilspiel perfekte Nash GG ist nun (N, K). 11
Aufgabe 3 Gegeben sei das folgende Spiel in Normalform: L R O 1, 1 5, 0. U 0, 5 4, 4 a) Was ist das Nash Gleichgewicht des Spieles, wenn das Spiel nur einmal gespielt wird? Lösung (O, L). b) Zeigen Sie, daß die Pareto effiziente Lösung ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht des obigen Spiels sein kann, wenn das Spiel unendlich oft wiederholt wird und die Spieler die folgende Strategie verwenden: Spiele U/R am Anfang und wenn es in der vergangenen Periode gespielt wurde. Ansonsten spiele O/L. Lösung Die Pareto effiziente Lösung ist (U, R). Sie wird in jeder Runde erreicht, wenn sich beide Spieler an die vorgegebene Strategie halten. Man muss nun prüfen, ob diese Strategiekombination ein Nash GG des wiederholten Spiels darstellt. 12
Bezeichne a 1 bzw. a 2 die Aktion des Spielers 1 bzw. 2. Angenommen, Spieler 1 weicht in Periode t von der vorgegebenen Strategie ab und spielt O. Der Spielverlauf lässt sich wie folgt skizzieren. t 1 2 t t + 1 t + 2... a 1 U U O O O O a 2 R R R L L L Dies ist analog zur Trigger Strategie: Nach einmaligem Abweichen wird nie wieder (U, R) gespielt. Die diskontierte Auszahlung der Strategie Trigger (V T 1 ) ist V T 1 = 4 1 δ. Die diskontierte Auszahlung, falls Spieler 1 in Periode t abweicht (V A 1 ), ist V A 1 = 5 4δ 1 δ. Die Kombination zweier Trigger Strategien ist ein Nash GG, falls V1 T V1 A : 4 1 δ 5 4δ 1 δ δ 1/4. Die Kombination zweier Trigger Strategien ist ein Nash GG für δ 1/4. Dieses GG ist auch teilspielperfekt, da in jedem der Abweichung folgendem Teilspiel ein Nash GG gespielt wird. 13
c) Wie ändert sich die notwendige Bedingung an den Diskontfaktor, wenn die Spieler die folgende Strategie im unendlich oft wiederholten Spiel verwenden? Spiele U/R am Anfang oder wenn U/R bzw. O/L in der vergangenen Periode gespielt wurde. Ansonsten spiele O/L für eine Periode. Eräutern Sie das Ergebnis. Lösung Dies ist nicht Tit for Tat: Nach Spielen des Nash GGs (O, L) wird wieder zum Pareto Optimum (U, R) zurückgekehrt. Weicht Spieler 1 nur in Periode t ab, lässt sich der Spielverlauf wie folgt skizzieren. t 1 2 t t + 1 t + 2... a 1 U U O O U U a 2 R R R L R R Die Auszahlungen der angegebenen Strategie unterscheiden sich von denen beim Abweichen nur in den Perioden t und t + 1. Die Auszahlungen bei der angegebenen Strategie sind 4 + 4δ, die beim Abweichen 5 + δ. 14
Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit des Abweichens. Spieler 1 könnte auch wiederholt abweichen. Der Spielverlauf wäre dann t 1 2 t t + 1 t + 2 t + 3 t + 4 t + 5... a 1 U U O O U O O U a 2 R R R L R R L R Nach einmaligem Abweichen wird der Zyklus (O, R), (O, L), (U, R) unendlich oft wiederholt. Die Auszahlung für Spieler 1 in drei aufeinander folgenden Perioden ist V A 1 = 5 + δ + 4δ 2. Diese Auszahlung ist höher als bei einmaligem Abweichen (5+δ). Damit die Strategiekombination ein Nash GG darstellt, muss gelten, dass die Auszahlung dreier aufeinanderfolgender Perioden bei der angegebenen Strategie mindestens so hoch ist wie beim Abweichen: 4 + 4δ + 4δ 2 5 + δ + 4δ 2. Auflösen nach δ ergibt δ = 1/3. Erläuterung Der Diskontfaktor ist grösser als bei der Trigger Strategie, d.h. es ist schwieriger, das Pareto Optimum in jeder Periode zu erreichen, da der Anreiz zum Abweichen gestiegen ist. 15
Zusatzfrage Angenommen, das Spiel wird modifiziert, indem für jeden Spieler eine strikt dominierte Strategie hinzugefügt wird. Angenommen, das modifizierte Spiel wird zweimal gespielt. Entwerfen Sie eine Strategiekombination, die ein Nash GG des Spiels darstellt, und bei der in der ersten Runde (U, R) gespielt wird. Lösung Das modifizierte Spiel könnte z.b. so aussehen: L R X O 1, 1 5, 0 2, 2 U 0, 5 4, 4 2, 2 X 2, 2 2, 2, 4, 4 Betrachte folgende Strategie für Spieler 1 (2): Spiele in der ersten Runde U (R). In der zweiten Runde spiele O (L), falls in der ersten Runde das Strategiepaar (U, R) gespielt wurde, und spiele X sonst. Ein solches Paar von Strategien stellt ein Nash GG dar.. 16
Beweis Es ist zu zeigen, dass sich kein Spieler durch einseitiges Abweichen verbessern kann. Betrachte Spieler 2. Bei der angegebenen Strategiekombination ist seine Auszahlung 4 + 1 = 5. Kann er sich durch Abweichen verbessern? Die profitabelste Abweichung wäre, in beiden Perioden L zu spielen. Dann bekäme er in der ersten Periode 5 (da Spieler 1 U spielt), und in der zweiten Periode 2 (da Spieler 1 X spielt). Seine Auszahlung wäre somit 5 2 = 3. Abweichen lohnt sich demnach nicht. Ein analoges Argument gilt für Spieler 1. 17