19 9. Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) Der Punkt P rotiert gleichförmig in der Grundebene um den Ursprung O mit der Winkelgeschwindigkeit in positivem Drehsinn. Zur Zeit t = 0 schliesst uuur OP mit der positiven x-achse den Winkel ϕ ein. Die Auslenkung y von der x-achse kann dann in der folgenden Form dargestellt werden: y(t) = A sin (t +ϕ) A, > 0 (1) Im Folgenden wird die Bedeutung der auftretenden Parameter A,, ϕ untersucht. Spezialfälle: 1. y(t) = A sin t Skizze: A = 1, 2, 1 /2 Die y-werte werden mit dem Faktor A vergrössert (verkleinert). Eine Veränderung des Radius A bewirkt geometrisch eine Dehnung der y-koordinaten im Verhältnis A:1 (sogenannte normale Affinität bezüglich der x-achse). Die Periode p ist 2.
20 2. y(t) = sin (t) Skizze: = 1, 2, 2 /3 Die Veränderung der Drehgeschwindigkeit bewirkt eine Dehnung senkrecht zur y-achse im Verhältnis 1: (normale Affinität zur y-achse). Der Faktor verändert damit die Periode p. 2 p ist umgekehrt proportional zu. Nimmt nämlich t um 2 zu, dann t um p = 3. y(t) = sin (t + ϕ) Skizze: ϕ =0, /3, - / Der Parameter ϕ bewirkt eine Translation der Sinuskurve in t-richtung um den Vektor (-ϕ,0), denn die Kurve y = sin ( t + ϕ) schneidet die x-achse an den Stellen t + ϕ = k bzw. t = -ϕ + k. Beachte: ϕ > 0 Verschiebung nach links (Vorsprung) ϕ < 0 Verschiebung nach rechts (Verspätung)
21. vorbereitendes Beispiel für den allgemeinen Fall: y(t) = 3 sin (2t + /2) = 3 sin (2(t + /)) Die Kurve schneidet die t-achse an der Stelle 2t + /2 = 0 also bei t = - / Für die Periode p muss gelten: 2(t + p) + /2 = 2t + /2 + 2 und damit: 2t + 2p + /2 = 2t + /2 + 2 also gilt für die Periode p = 2 / = maximaler y-wert : A = 3 allg. Fall: A, > 0 ϕ y( t) = A sin( t + ϕ ) = A sin t + maximaler y-wert: A Periode: 2 / Die Kurve schneidet die t-achse an der Stelle t0 = - ϕ / (Phasenverschiebung) B: y t = 3 sin( t + ) = 3 sin( ( t + ) ( ) 3 3 3 2 8 2 maximaler y-wert: 3 Periode: 3 Phasenverschiebung
22 Aufgabe: Bestimme zu den gezeichneten Graphen die passende Funktionsgleichung a) b) Lösungen: a) y( t) 2 sin( t) c) y t = 3 sin( t ) = 3 sin( ( t )) = b) ( ) 5 5 1 1 2 2 2 5 Lösung: 3 3 3 1 c) y( t) = 3 sin( t + ) = 3 sin( ( t + )) 8 2
23 Bei der Beschreibung von mechanischen oder elektromagnetischen Schwingungen spielen Sinusfunktionen eine wichtige Rolle. y( t) = A sin( t + ϕ) (1) (1) beschreibt die Auslenkung y eines elastischen Federpendels. Die maximale Auslenkung A aus der Ruhelage heisst Amplitude, Kreisfrequenz, ϕ Phase Die Periodendauer p = 2 / wird als Schwingungsdauer T bezeichnet. Zwischen Frequenz f, Kreisfrequenz und Schwingungsdauer T besteht die Beziehung: 2 = 2f = T 1 f = T Die Sinusschwingung beginnt zur Zeit t 0 ϕ = (sogenannte Phasenverschiebung). Für ϕ > 0 ist die Kurve auf der Zeitachse nach links, für ϕ < 0 nach rechts verschoben. Skizze: y t = sin(2 t + ) = sin(2 ( t + )) t 0 ( ) 2 in s, y(t) in cm Amplitude: A = Kreisfrequenz: = 2, Schwingungsdauer: 2 T = p = = Phasenverschiebung: ϕ t0 = = Übungsaufgabe: Bestimme die Schwingungsgleichung, wenn Zeit t = 0 mit maximaler Auslenkung A = 12 cm gestartet wird und die Schwingungsdauer T = 3 Sekunden beträgt. Lösung: Amplitude: A = 12 Kreisfrequenz: = 2 /3, 2 Schwingungsdauer: T = p = = 3 3 Phasenverschiebung: = ϕ = A = 12, = 2 /3, t0 = - 3 / 2 y( t) = 12 sin( t + ) 3 2 t 0
2 Übungsaufgaben : 1. Ein Riesenrad hat einen Durchmesser von 60m, seine Achse liegt 35 m über dem Boden. Es dreht sich einmal in Minuten. Eine Person nimmt zur Zeit t = 0 in einer Gondel Platz. a) Wie hoch ist sie über dem Boden zur Zeit t in Minuten. b) Wann befindet sie sich zum ersten und zum zweiten Mal auf der Höhe 50m? a) y( t) = 35 + 30 sin( 2 ( t 1)) b) y( t) = 35 + 30 sin( 2 ( t 1)) =50 1 sin( ( t 1)) = 2 2 5 ( t 1) = oder ( t 1) = t1 = 1 20 oder 2 0 2 6 2 6 2. Die Gezeiten (Ebbe und Flut) verlaufen mit einer Periode von etwa 12.5 Stunden. Der Tidenhub (Höhenunterschied zwischen Höchststand und Tiefstand) beträgt in der englischen Hafenstadt Hull 7m. a) Wie kann die Abweichung in Metern vom mittleren Wasserstand H(t) beschrieben werden, wenn angenommen wird, dass der Verlauf des Wasserspiegels sinusförmig ist? b) Wieviele Meter über dem Tiefstand steht der Meeresspiegel 8 Stunden nach dem Höchststand? a) 12.5 y( t) = 3.5 sin( 25 ( t + )) b) 12.5 y(8) = 3.5 sin( 25 (8 + )) 2.23 etwa 1.3 Meter über dem Tiefststand 3. Die wissenschaftlich nicht fundierte Theorie der Biorhythmen (?)
25 Beispiel für den Verlauf einer gedämpften Schwingung: t 10 ( ) = 3 sin f t e t Der Graph der Funktion verläuft zwischen den Kurven y = 3 10 und y = 3 10 (die Berührpunkte sind nicht die lokalen Maxima bzw. Minima). t e t e