Physikalisches Anfaengerpraktikum Trägheitsmoment Ausarbeitung von Marcel Engelhardt & David Weisgerber (Gruppe 37) Montag, 1. März 005 email: Marcel.Engelhardt@mytum.de Weisgerber@mytum.de 1
1. Einleitung Bei diesem Versuch geht es um die Bestimmung von verschiedenen Traegheitsmomenten. Zunaechst betrachten wir das Traegheitsmoment eines Systems bestehend aus einer duennen Stange an der zwei zylindrische Gewichte angebracht sind. Zur Messung benutzen wir ein Drehpendel ueber dessen veraenderte Periodendauer auf das Traegheitsmoment geschlossen werden kann. Im weiteren Verlauf des Versuchs sollen auch Systeme mit komplexeren Koerpern untersucht werden wie zb zunaechst eine hoelzerne Puppe und anschliessend mit einem groesseren Drehpendel das Traegheitsmoment eines Menschen.. Messung des Traegheitsmoments einer hoelzernen Puppe.1 Statische Bestimmung der Winkelrichtgroesse Um die Winkelrichtgoesse D des Systems zu bestimmen wurde ein Arm der Laenge R angebracht. Das System wurde in beide Richtungen in 45 Grad Schritten ausgelenkt, und die Kraft in Tangentalrichtung in Abhaengigkeit vom Auslenkwinkel gemessen. Fuer Auslenkungen im Uhrzeigersinn sind Winkel und Kraft jeweils positiv, im Gegenuhrzeigersinn negativ. Es besteht folgende Beziehung: F = D R Traeg man die Kraft F ueber den Auslenkwinkel auf, so kann man aus der Steigung der Geraden das Richtmoment D bestimmen: D= F R Kraft in N f(x)=0.16137*x+0.00065 1 0.8 0.6 0.4 0. -6-5 -4-3 - -1 1 3 4 5 6 Winkel in rad -0. -0.4-0.6-0.8-1 Fuer die gemessenen Werte nehmen wir einen Ablesefehler von 4 Grad (0.07rad) fuer den Auslenkwinkel und einen Ablesefehler von 0.01N fuer die Kraft an.
Als Geradengleichung erhielten wir: F=0.1614 N 0.04 N Fehler der Steigung: 0.017N Fehler des Achsenabschnitts: 0.066N Unsere Regressionsgerade geht somit inerhalb der Fehlergrenzen durch den Ursprung des Koordinatensystems. Mit einer Armlaenge von 1.6 cm±3 cm erhalten wir fuer das Winkelrichtgroesse einen Wert von 0.003 Nm±5 10 3 Nm. Der Fehler wurden mittels der Formel D=D R R S S berechnet.. Dynamische Bestimmung der Winkelrichtgroesse Hierzu wurden zwei identische Gewichte (mit jeweils 48,5g) symmetrisch zur Drehachse an der Querstange befestigt. Die Periodendauer des veraenderten Systems wurde nun mit Hilfe einer Lichtschranke und einem Digitalmessgeraet ermittelt. Zunaechst berechnet man das zusaetzliche Traegheitsmoment der Gewichte, die wir als punktfoermig annehmen mit folgender Formel: J = m R Abstand 1: R = 7cm J= 4.75 10 4 kg m ±0.11 10 4 kg m Abstand : R = 10cm J= 9.7 10 4 kg m ±0. 10 4 kg m Abstand 3: R = 15cm J= 1.18 10 4 kg m ±1.47 10 4 kg m Die Fehler wurden ueber die Gaussche Fehlerfortpflanzung mit folgender Formel berechnet: J = R R m m Es ist nun zu zeigen, dass die Ausdehnung der Gewichte fast keinen Einfluss auf das Gesamttraegheitsmoment haben. Man berechnet das Traegheitsmoment der Gewichte bezueglich einer der Drehachsen paralleln Achse wie folgt: J R =m d h 1 J =43.89 10 6 kg m m = 48.5g d = 9.99mm Durchmesser des Gewichts h = 7.99mm Hoehe des Gewichts 3
Der errechnete Wert ist etwa 1/100 kleiner als die vorher berechneten Traegheitsmomente und kann bei der Gesamttraegheitsmomentsberechnung nach dem Satz von Steiner ( J ges =J J D ) vernachlaessigt werden. Die Winkelrichtgroesse wird durch folgende Beziehung bestimmt: T = 4 4 J D D J D Hierzu misst man fuer die drei verschiedenen Abstaende die Schwingungsdauer T. Fuer jeder der drei Gewichtkonfigurationen wurde einmal auf 90 Grad und einmal auf 135 Grad ausgelenkt, die Periodendauer T mittels des elektronischen Zeitmessers ermittelt und dann den Mittelwert der Periodendauer gebildet. Traegt man T gegen J auf, so kann man aus der Steigung S der Geraden D wie folgt berechnen: D= 4 S Wir erhielten das folgende Diagramm: T² in s² 90 135 4.5 4 3.5 3.5 1.5 1 0.5 0.0001 0.000 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001 0.0011 0.001 0.0013 0.0014 0.0015 0.0016 0.0017 0.0018 0.0019 0.00 0.001 J in kg m² Fuer unsere Ausgleichsgerade ergab sich bei 135Grad Auslenkung eine Steigung von 1613.55. Die Gerade verlaeuft mit einem Achsenabschnitt von 0.53 nicht durch den Ursprung, was durch das Vorhandensein eines Eigentraegheitsmoments der Anordnung erklaert werden kann. Die Ausgleichsgerade bei 90Grad hatte die Steigung 161. Fuer die Wikelrichtgoesse ergibt sich somit ein Wert von 0.045Nm. 4
Bestimmung des Eigentraegheitsmoments J D des Systems: Hierbei kommt nur der senkrecht zur Drehachse eingespannte Stab zum tragen, da das Traegheitsmoment des Vierkantstabs, parallel zur Drehachse, vernachlaessigbar klein ist. Das Traegheitsmoment errechnet sich wie folgt: J D = m s l s 1 m s = g l s =40 cm J D =.93 10 4 Vergleich von statisch und dynamisch ermittelten Winkelrichtgroessen: statisch: 0.003Nm dynamisch: 0.045Nm Die Differenz von statischem D und dynamischem D betraegt 0.004Nm, was in etwa im Bereich des Fehlers den wir in.1 mit 0.005Nm berechnet haben liegt..3 Dynamische Bestimmung des Traegheitsmoments einer Puppe Nun wird auf den Drehteller eine von der Form menschenaehnliche hoelzerne Puppe (Laenge = 31.4cm, Masse = 183g ), zentral auf der Drehachse angebracht. Wiederum wurde das System einmal um 90Grad und einmal um 135Grad ausgelenkt und die Schwingungsdauer gemessen. In zwei Durchgaengen wurden die Arme der Puppe erst an den Koerper angelegt und dann im 90Grad Winkel ausgestreckt (T Stellung). Wir verwenden die dynamische Winkelrichtgroesse D = 0.045Nm, das errechnete Eigentraegheitsmoment J D =.93 10 4 und die gemessene Schwingungsdauer um das Traegheitsmoment der Puppe zu bestimmen: J P = T 4 D J D Angelete Arme J P in kg m^ bei 90Grad 3.006 10 4 9.35 10 4 J P in kg m^ bei 135Grad 3.014 10 4 9.84 10 4 J in kg m^ 3.01 10 4 9.588 10 4 T Stellung Das Traegheitsmoment von Puppe mit ausgestreckten Armen ist 3.11mal groesser als das der Puppe mit angelegten Armen. Es ist jedoch nicht sicher ob unsere Puppe exakt im Mittelpunkt der Drehachse befand. Fuer eine Abweichung von 1mm ergibt sich eine Veranderung des 5
Traegheitsmoments von J =m 1 mm =1.83 10 7 kg m, was in etwa 0. Promille des Traegheitsmoments bei angeleten Armen entspricht. Auf die Positionierung der Puppe hatten wir durch die vordefinierte Oeffnung wenig Einfluss, durch die geringe Abweichung faellt dies aber kaum ins Gewicht. 3. Messung des Traegheitsmoments eines Menschen 3.1 Statische Bestimmung der Winkelrichtgroesse und des Eigentraegheitsmoments Hierzu gingen wir analog wie in.1 vor: 10 Kraft in N f(x)=6.095*x+(-0.111111) 9 8 7 6 5 4 3 1 Winkel in rad -1.4-1. -1-0.8-0.6-0.4-0. 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4-1 - -3-4 -5-6 -7-8 -9-10 Gleichung der Ausgleichsgeraden: F =6.03 N 0.111 N Steigungsfehler: 0.58 Achsenabschnittsfehler: 0.57 Unsere Regressionsgerade geht somit wiederrum inerhalb der Fehlergrenzen durch den Ursprung des Koordinatensystems. Der Krafmesser wurde in einem Abstand von 9 cm±0.5 cm angelegt, somit ergibt sich wine Winkelrichtgroesse D= F R D=6.03 N 0.9 m=1.799 Nm±0.17 Nm Der Fehler wurde wieder mittels der Formel D=D R R S S berechnet. 6
Berechnung des Eigentraegheitsmoments des Drehtellers: Da das System vorwiegend aus einer Aluminiumplatte (h = 0,16mm, R = 30cm, =,7 g /cm 3 ) besteht, kann man das Traegheitsmoment mit folgender Formel berechnen: J 0 = m R = h R4 =0.687 kg m 3. Dynamische Bestimmung der Winkelrichtgroesse Zur dynamischen Bestimmung der Winkelrichtgroesse wird das System um 90Grad ausgelenkt, und die Schwingungen mittels Computer aufgezeichnet. Wir erhielten folgendes Ergebnis: In dem obigen Diagramm wurde bereits versucht eine Näherungsfunktion durch die Messwerte zu legen (und zwar per Hand/Kopf). Wie man sieht, ist dies bis zu einem gewissen Grad sehr gut gelungen. Wir erhielten daher folgende Funktion: A t =0.6 e 0.04 t cos 1.53 t 0.78 0.60 7
Der Dämpfungkoeffizient λ beträgt also 0,04. Bestimmung der Periodendauer: Durch Zeitmessung per Hand und Messung der Perioden mittels PC kommen wir auf einen mittlere Periodendauer von 4,1s. Mit Hilfe des statischen Eigendrehmoments J 0 berechnet man die Winkelrichtgroesse wie folgt: D= 4 T J 0 =1.613 Nm Der Unterscheid zum statischen Wert liegt bei etwa 10%, was einer relativ schlechten Uebereinstimmung entspricht. 3.3 Dynamische Bestimmung des Traegheitsmoments eines Menschen Im folgenden Abschnitt wurde das Traegheitsmoment eines Menschen, einmal mit angelegten und einmal mit ausgestreckten Armen ermittelt. Hierzu stellte sich Marcel(m=91kg, l=197cm) moeglichst zentral auf den Drehteller, so dass die Drehachse durch seinen Schwerpunkt geht. Das System wurde auf 80Grad ausgelenkt, losgelassen und die Schwingung am PC aufgezeichnet. Fuer jede der Armhaltungen wurde die Messung dreimal wiederholt. Es wurde jeweils die mittlere Periodendauer der einzelnen Messungen ermittelt und dann den Mittelwerkt gebildet. Periodendauer mit angelegten Armen: 7.4±0.1 s Periodendauer mit ausgetreckten Armen: 10.4±0.3 s Mit folgeder Formel kann man nun das Traegheitsmoment von Marcel berechnen: J = D T 4 J 0 Traegheitsmoment mit angelegten Armen: 1.55 kg m Traegheitsmoment mit ausgetreckten Armen: 3.73 kg m Damit ergibt sich ein Verhaeltnis von J ausgestreckt zu J angelegt von:.41 Wie wirkt sich eine Abweichung der Schwerpunktsache zur Drehachse aus? Nach dem Satz von Steiner wirkt sich eine Abweichung r von der Drehachse im Traegheitsmoment mit J =m r aus. Bei einer Masse von 91kg und einer Abweichung r von ca. 5cm ergibt dies: J =0.75 kg m. Dies ist ein recht grosser Anteil und entspricht in etwa 6,1% des ermittelten Traegheitsmoments. 8
4. Vergleich der Traegheitsmomente Nun soll mit Hilfe einiger geometrischer Modelle das Traegheitsmoment des Menschen bestimmt werden. Dazu betrachtet man den Menschen idealisiert als eine zylinderfoermige Figur und kann dann anhand folgender Formel das Traegheitsmoment berechnen: m J Zylinder = h m=91 kg h=197 cm =1 g /cm 3 Um das Traegheitsmoment zu berechnen, macht man die Annahme, dass der Durchmesser und die Masse des Zylinders mit dem des Menschen uebereinstimmt. Um den Durchmesser bzw Radius der Person zu ermitteln misst man den Hueftumfang U = 9cm und ermittelt aus dem Zusammenhang U = R den Radius R = 0.146m. Mit J Zylinder = m R ergibt sich: J Zylinder =0.98 kg m Eine bessere Naeherung erreicht man in dem man den Menschen in fuenf Zylinder un eine Kugel einteilt. Nach Tabelle 1 in der Anleitung werden den einzelnen Koerperteilen folgende Gewichte zugeordnet: m Kopf =6.64 kg m Rumpf =44.5 kg m Arm =4.75 kg m Bein =15. kg Daraus ergeben sich folgende Traegheitsmomente: J Kopf = 5 m Kopf R =0.07 kg m mit R=10 cm J Rumpf = 1 m Rumpf R =0.47 kg m mit R=0.146 m Ein Bein, mit Umfang 50 cm befindet sich im Abstand von 13cm von der Drehachse entfernt und besitzt ein Traegheitsmoment nach dem Satz von Steiner von 0.31 kgm. Bei angelegten Armen hat ein Arm den Umfang von 0.9m und eine Laenge von 0.78m in einem Abstand von 5cm von der Rotationsachse. Daraus folgt ein Traegheitsmoment von 0.3 kgm 9
Bei ausgestreckten Armen muss beachtet werden, dass die Rotationsachse senkrecht zur ArmZylinderAchse steht, somit errechnet sich das Traegheitsmoment mit: J Arm =m Arm U /4 l 1 Hierbei ist auch zu beachten, dass die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt geht. Bei einer Armlaenge von 78cm, liegt der Schwerpunkt in etwa bei 0.55cm, da sich das meiste Gewicht am Oberarm befindet. Nach Steiner errechneten wir ein Traegheitsmoment von: J Arm waagerecht =1.54 kg m Durch Addition der Einzeltraegheitsmomente kommen wir auf J angelegt =1.7 kg m J ausgestreckt =4. kg m Man sieht, dass die Werte zwar von der Größenordnung her zwar übereinstimmen, sich aber trotzdem ein Unterschied von 10-1% ergibt, was aufgrund der unterschiedlichen Betrachtungsweisen nicht weiter verwunderlich ist. 10