Abiturprüfung Berufliche Oberschule Mathemati Techni - B I - Lösung Teilaufgabe (7 BE) Aus einem gut gemischten Kartenspiel mit Karten erhält ein Spieler Karten. Als Treffer gelten die drei Karten Pi As, Herz As und Karo As. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer in der Hand des Spielers an. Ermitteln Sie die Wahrscheinlicheitsverteilung von X in Tabellenform auf vier Nachommastellen genau, und berechnen Sie den Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Zufallsgröße X. Urnenmodell ohne Zurüclegen: Hypergeometrische Verteilung PX ( ) K N K n N n Gesamtzahl: N Anzahl eines bestimmten Mermals: K mit K N Stichprobe: n N n K Mathcad: P ( ) combin( K ) combin( N Kn ) combin( Nn) PX ( ) 9 P ( ).897 PX ( ) 9 4 P ( ).8 PX ( ) 9 P ( ).444 PX ( ) 9 P ( ).6 Abi, Mathemati Techni. Klasse, B I - Lösung Seite von 8
Gegeben: N n K Zufallsgrößen: n Mit Schlüsselwort in Mathcad: H ( ) dhypergeom( K N Kn) F ( ) phypergeom( K N Kn) Definitionen.7 Hypergeometrische Verteilung H ( ) F ( ) Wahrscheinlicheit P(X).6..4... 4.897.8.444..897.94.99798 4 6 Zufallsgröße X Erwartungswert: μ.897.8.444. 4 μ.4688 Varianz: Var.897.8.444. 4 μ Var.7 Standardabweichung: Var.68 Abi, Mathemati Techni. Klasse, B I - Lösung Seite von 8
Teilaufgabe. Ein Händler auft eine große Anzahl von Energiesparlampen. Der Produzent teilt mit, dass die Wahrscheinlicheit für eine defete Lampe % beträgt. Die Lampen werden nacheinander mit Zurüclegen geprüft. Teilaufgabe. (6 BE) Der Händler prüft Lampen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlicheiten für folgende Ereignisse: A: Genau eine geprüfte Lampe ist defet. B: Höchstens eine geprüfte Lampe ist defet. C: Nur die erste geprüfte Lampe ist defet. D: Zwei aufeinanderfolgend geprüfte Lampen sind defet, die anderen drei funtionieren. Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlicheit P B (A). Urnenmodell mit Zurüclegen: Binomialverteilung n PX ( ) p ( p) n n p. PA ( ) P ( )..97 4 P ( ) combin( n ) p ( p) n P ( ).79 P ( ).887 PB ( ) P ( ) P( ) P ( ).887.79.99 PC ( )..97 4.66 dd x x x xd d x x xx d d x xx x d d 4 Möglicheiten PD ( ) 4..9.9 Bedingte Wahrscheinlicheit : PE 4 PA ( B) PB ( ) PA ( ) PB ( ).79.9.99 Abi, Mathemati Techni. Klasse, B I - Lösung Seite von 8
Zufallsgrößen: n Mit Schlüsselwort in Mathcad: B ( ) dbinom( n p) F ( ) pbinom( n p) Definitionen Wahrscheinlicheit P(X).9.8.7.6..4... Binomialverteilung 4 6 4 B ( ).887.8.8. F ( ).89.99 Zufallsgröße X Teilaufgabe. (4 BE) Berechnen Sie, wie viele Lampen mindestens getestet werden müssen, um mit über 9% Wahrscheinlicheit mindestens eine defete Lampe zu finden. PX ( ).9 P( X ).9 PX ( ). n p ( p) n..97 n. nln(.97) ln(.) n ln(.) ln(.97) aufrunden: n ceil( n) 99 Es müssen mindestens 99 Lampen geprüft werden. ln(.) n n 98. ln(.97) Abi, Mathemati Techni. Klasse, B I - Lösung Seite 4 von 8
Teilaufgabe.. Händler und Produzent haben einen Preisnachlass vereinbart, falls in einer Stichprobe von 4 zufällig ausgewählten Lampen mehr als zwei defet sind. Teilaufgabe.. ( BE) Ermitteln Sie die Wahrscheinlicheit, dass der Preisnachlass gewährt wird, obwohl die Lieferung nur % defete Lampen enthält. X: Anzahl der defeten Lampen unter n 4 getesteten Lampen, p.. nicht im TW PX ( ) P( X ) ( P( X ) PX ( ) PX ( ) ) 4..97 4 4..97 9 4..97 8 (.97.68.6).78 Mathcad-Lösung: F ( ) pbinom( n p) P A F( ) P A.78 Der Preisnachlass wird mit einer Wahrscheinlicheit von,78% gewährt. Teilaufgabe.. ( BE) Bestimmen Sie die Wahrscheinlicheit, dass der Händler einen Nachlass erhält, obwohl 6 % der Lampen dieser Lieferung defet sind. n 4 p.6 PX ( ) PX ( ) PX ( ) PX ( ) 4.6.94 4 4.6.94 9.846.488.6746.66 4.6.94 8 Falls 6% aller Lampen defet sind, erhält der Händler mit einer Wahrscheinlicheit von 6,6% einen Preisnachlass. Mathcad-Lösung: F ( ) pbinom( n p) P B F ( ) P B.66 Abi, Mathemati Techni. Klasse, B I - Lösung Seite von 8
Teilaufgabe.4. Der Händler hat den Verdacht, dass einige Teillieferungen % defete Lampen enthalten, und möchte eine derartige Lieferung besser von den Lieferungen mit % unterscheiden. Deshalb will er ünftig eine Stichprobe von Lampen ziehen. Er möchte mit mindestens 88 % Sicherheit eine solche Lieferung mit % defeten Lampen erennen. Teilaufgabe.4. (4 BE) Ermitteln Sie, ab wie viel defeten Lampen er sich für eine Defetwahrscheinlicheit von % entscheiden soll. X: Anzahl der defeten Lampen unter n getesteten Lampen. Hypothese : p. Annahmebereich : A {... } Ablehnungsbereich: A {... } Linsseitiger Test: PX ( ).88 P( X ).88 PX ( ). TW Seite :.76 6 A { 7 8... } Ab 7 defeten Lampen soll sich der Händler für eine Defetwahrscheinlicheit vo % entscheiden... Hypothese H 6 Wahrscheinlicheit von H im Annahmebereich: B(, N, p)... P.88 Hypothese H wird nicht abgelehnt. obwohl sie falsch ist. β.7 β.7 % Abi, Mathemati Techni. Klasse, B I - Lösung Seite 6 von 8
Teilaufgabe.4. ( BE) Ermitteln Sie das Risio, dass eine normale Lieferung ( % defet) vom Händler beanstandet wird, wenn man sich ab 7 defeten Lampen für eine Defetwahrscheinlicheit von % entscheidet, und beurteilen Sie urz die neue Prüfregelung des Händlers im Vergleich zur Regel aus Aufgabe.. Hypothese : p. Annahmebereich: A {... 6 } Ablehnungsbereich: A { 7 8... } TW Seite β PX ( 7) P( X 6).96877. Die neue Prüfregel mit einer Irrtumswahrscheinlicheit von,% ist für den Produzenten günstiger als die in Aufgabe.., da dort die Wahrscheinlicheit, dass eine normale Lieferung beanstandet wird mit,78% sehr hoch ist... Hypothese H 6 Wahrscheinlicheit von H im Annahmebereich: P.96877 B(, n, p)... Richtige Hypothese H wird abgelehnt. α. α. % Abi, Mathemati Techni. Klasse, B I - Lösung Seite 7 von 8
Teilaufgabe ( BE) Die Kreiswehrersatzämter eines Bereichs mustern pro Quartal 4 junge Männer. Erfahrungsgemäß äußern 4 % die Absicht, Zivildienst leisten zu wollen. Ermitteln Sie mithilfe der Normalverteilung ein möglichst leines Intervall, in dem mit mindestens 9 % Wahrscheinlicheit die Anzahl der Zivildienstleistenden liegt. n 4 p.4 μ np μ 6 np ( p) 97.98 P( X μ c) P( μ c X μ c) Φ c. Umgebungsformel: Φ c..9 Φ c..9 TW: c..64 auflösen c annehmen c 6.67647886 c aufrunden: c 6 untere Grenze: μ c 89 obere Grenze: μ c 66 Probe: Φ( ) pnorm( μ ) Φμ ( c.) Φμ ( c.).9 Abi, Mathemati Techni. Klasse, B I - Lösung Seite 8 von 8