3. Differentialrechnung

3. Differentialrechnung 3.1. Differentialquotient, Ableitung und Differential Bildachse y Funktion y = f(x ) y(x 0 + Δx) y(x ) 0 Sekante: Δy/ Δx := [y(x + Δx) - y(x )]/ Δx 0 0 α Tangente in x 0 Winkel α x 0 x = x + x 0 Δ Werteachse x Differentialquotient dy/dx := lim Δy/ Δx für Δx -> 0 o Die Sekante wird im Grenzfall (Δx 0) zur Tangente im Punkt (x 0, y(x 0 )). o Kurvenanstieg im Punkt (x 0, y(x 0 )) ist per def. der Anstieg der Tangente in (x 0, y(x 0 )). o Differentialquotient: per def. der Limes der Differenzquotienten: lim Δy(x) / Δx = [y(x) - y(x 0 )] / [x - x 0 ] = lim [y(x 0 + Δx) - f(x 0 )]/ Δx := d [y(x 0 )] / dx = [d/dx] y(x 0 ) := y (x 0 ). Der Differentialquotient d[y(x 0 )]/dx heißt auch Ableitung der Funktion y(x) im Punkte (x 0, y(x 0 )). o o Differential: per def. die Änderung der Tangentenordinate: dy(x) := y (x). dx. Differenzierbar: Eine Funktion y(x) ist im Punkt (x 0, y(x 0 )) differenzierbar, wenn sie in der Umgebung ε dieses Punktes definiert ist (also in ε stetig ist) und der linksseitige Limes = den rechtsseitigen Limes ist. Ist eine Funktion in allen Punkten eines Intervalls differenzierbar, dann ist sie In diesem Intervall differenzierbar. J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 1

3.2. Die Ableitungsregeln 3.2-1 Die 3 grundlegenden Ableitungsregeln a) y(x) = Const => y(x)' = 0: Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Gerade mit Anstieg 0. b) y(x) = x => y(x) = 1: Der Graph der identischen Funktion ist eine Gerade mit Anstieg 1. c) y(x) = e x => y(x)'= e x : Der Anstieg der Exponentialfunktion ist in jedem Punkt gleich dem Funktionswert eine weitere Besonderheit des exponentiellen Wachstums ). Mit genau dieser Voraussetzung wurde die Zahl e als natürliche Basis der Exponentialfunktionen erhalten. Die rigorose Herleitung dieses Ergebnisses erfordert allerdings tiefere Kenntnisse der Operationen an Folgen und Reihen ( gleichmäßige Konvergenz ). Aus diesen drei grundlegenden Ableitungsregeln können wir alle anderen Regeln für das Ableiten aller analytischen Funktionen herleiten. 3.2-2 Ableitungsregeln II. Für Funktionen, die sich als Summe, Differenz, Produkt oder Quotient von anderen Funktionen darstellen, gibt es Regeln, welche die Ableitung der Gesamtfunktion auf die Ableitungen ihrer Teile zurückführen. Diese Regeln bilden drei Gruppen: a) Summe: [f+g] (x) = f (x) + g (x) b) Vielfaches: [c.f] (x) = c.f (x) c) Produkt: [f. g] (x) = f (x). g(x) + f(x) + g (x) [f 1. f 2. f 3....] (x) = f 1 (x). f 2 (x). f 3 (x).... + f 1 (x). f 2 (x). f 3 (x).... +... c-1) Potenz: (x n ) = n.x n-1. c-2) Quotient: [f(x) /g(x)] = [f (x). g(x) - f(x). g (x)] / [g(x)]² Die Quotientenregel sollte allerdings nur dann verwendet werden, wenn wir viele solcher Ableitungen berechnen müssen. Ansonsten ist es besser, f(x)/g(x) = f(x). g(x) -1 zu schreiben, und die Produktregel zu benützen. J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 2

Beispiele: 3.2-3 Ableitung von zusammengesetzten Funktionen. o Kettenregel: [f g] (x) = [f(g(x))] = [df(u)/du]. [du(x)/dx] mit u = g(x). o Fortgesetzte Kettenregel: [f g... h] (x) = df/dg. dg/dh..... dh/dx Beispiele: J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 3

3.2-4 Ableitungen von elementaren Funktionen. Alle Ableitungen können im Prinzip auf die drei fundamentalen Bausteine zurückgeführt werden. Es ist jedoch einfacher, beim Differenzieren mit dem erweiterten Bausteinsatz der Ableitungen aller elementaren Funktionen zu arbeiten. Diese sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt (aus Bartsch, S 443f). f(x) f (x) Bedingungen a x a x.ln a *) a>0 ln x 1/x x>0 a log x 1/(x.ln a) a 1, x>0 sin x cos x cos x -sin x *2) tan x 1/cos² x = 1 + tan² x *3) x (2k+1)π/2, k = Z cot x -1/sin² x = -(1+cot²x) x kπ, k = Z *) a x = (exp (ln a)) x ; Substituieren u := x.ln a => a x = e u ; => d(e u )/dx = d(e u )/du. du/dx = e u. ln a = (exp (ln a)) x. ln a = a x. ln a *2) Dies folgt aus der e-potenzdarstellung von sin x und cos x: sin x = [e ix - e -ix ] / (2i) => sin x = [i. e ix - (-i). e -ix ] / (2i) = [ie ix + e -ix ] / 2 = cos x. *3) tan x = (sin x / cos x) = sin x / cos x + sin x. (1 / cos x) = 1 + (sin x/cos² x).sin x wegen 1 + tan² x = cos²/cos² + sin²/cos² = 1 / cos² = tan x. J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 4

3.2-5 Ableitung der Umkehrfunktionen y = f(x) <=> x = f -1 (y) = g(y). Die Umkehrfunktion x = f -1 (y) = g(y) einer differenzierbaren Funktion y = f(x) ist in y differenzierbar, wenn y = f (x) 0. Die Ableitung von dx/dy = dg(y)/dy = df -1 (y)/dy ist der Kehrwert der Ableitung von y = f(x). dx/dy = dg(y)/dy = 1/f (x) = 1/[df(x)/dx] = 1/[dy/dx]. => dx/dy = 1/[dy/dx]. Beispiel: f(x) =y = tan x => g(y) = x = arctan y. f (x) = 1+ tan² x => g (y) = 1/f = 1/(1+ tan² x) wegen tan x = y => dg(y)/dy = 1/(1+y²). J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 5

3.3 Höhere Ableitungen Ist f'(x) eine differenzierbare Funktion, so kann sie selbstverständlich ebenfalls abgeleitet werden: d [f(x) ] / dx := f (x); f (x=x 0 ) heißt 2. Ableitung von f im Punkt x 0. Manchmal auch: Analog werden die 3. Ableitung f (x) und alle höheren Ableitungen f (n) (x ) (die n-ten Ableitungen) gebildet - sofern sie existieren. Eine Funktion f(x) heißt n-mal differenzierbar, wenn ihre n-te Ableitung existiert. Beispiele: (i) (ii) (iii) Höhere Ableitungen von Potenzen Die Potenzfunktionen x n, nєn, können genau (n+1)-mal abgeleitet werden, die n-te Ableitung ist eine Konstante, die (n+1)-te Ableitung ist identisch 0. (iv) J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 6

3.4 Kurvencharakteristika 3.4-1 (Erste) Ableitung: Anstieg der Kurven. Hat eine differenzierbare Funktion f(x) in x 0 ein (lokales) Extremum, so verschwindet dort die 1. Ableitung, f (x 0 ) = 0. Dieser Satz ist aber nicht umkehrbar, denn bei f (x 0 ) = 0, muss keineswegs ein Extremwert vorliegen, es kann hier auch ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente vorliegen. Beispiele: f(x) = x³: 3.4-2 Zweite Ableitung: Krümmung und Wendepunkte. J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 7

Beispiele: 3.4-3 Globale (absolute) Extremwerte. Das globale oder absolute Maximum (Minimum) einer Funktion ist der größte bzw. der kleinste Wert, der von der Funktion auf ihrem Definitionsbereich oder auf einem einschränkenden Intervall angenommen wird. Solch ein Wert muss nicht existieren! Über globale Extrema kann man jedoch einige ganz allgemeine Aussagen machen. Auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] haben stetige Funktionen ein globales Maximum und ein globales Minimum (Satz vom Maximum und vom Minimum). An der Stelle eines absoluten Extremwertes verschwindet entweder die 1. Ableitung oder aber ist sie nicht existent! (Etwa an den Randpunkten eines geschlossenen Intervalls). J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 8

Die tatsächlichen globalen Extrema findet man mittels einer Wertetabelle, die jeweils sämtliche Kandidaten enthält (bei offenen Intervallen zum Vergleich auch die Grenzwerte in den Randpunkten). 3.4-4 Kurvendiskussion. Die Ermittlung der qualitativen Eigenschaften einer gegebenen Funktion f und die anschauliche Deutung der Eigenschaften ihres Graphen, der Kurve y - f(x)=0, heißt Kurvendiskussion. Die dazu nötigen Daten umfassen vor allem die Nullpunkte, kritischen (stationären) Punkte, Wendepunkte und Ausnahmepunkte und das asymptotische Verhalten der Funktion. Eine Kurvendiskussion ist vollständig, wenn der Verlauf des Graphen zweifelsfrei skizziert werden kann. (i) Definitionsbereich: Erlaubte Werte für x (ii) Periodizität: f(x) = f(x+ a.t) (iii) Symmetrie: f(x) = f(-x); f(x) = -f(-x) (iv) Unendlichkeitsstellen (Pole): f(x) ± mit vertikalen Asymptoten (v) Verhalten im Unendlichen: f(x) ±, Asymptoten (vi) Differenzierbarkeit: f (x), f (x),... f (n) (x) (vii) Nullstellen: f(x N ) = 0 (viii) Extrempunkte: f (x E ) = 0 und f (x E ) 0; f (x E ) = f (x E ) =... = f (2k-1) (x E ) = 0 und f (2k) (x E ) 0 (ix) Wendepunkte: f (x W ) = 0 und f (x W ) 0; f (x W ) = f (x W ) =... = f (2k) (x W ) = 0 und f (2k+1) (x W ) 0 (x) Wertebereich: Mögliche Werte von f(x) (xi) Graph Beispiel: f(x) = x 4-4x³ + 4x² Parabel (Polynom) 4-ten Grades (i) Definitionsbereich: R (ii) Periodizität: keine (iii) Symmetrie: weder gerade noch ungerade (iv) Unendlichkeitsstellen (Pole): keine (v) Verhalten im Unendlichen: höchste Potenz entscheidend: f(± ) keine Asymptoten J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 9

(vi) Differenzierbarkeit: 4-mal f (x) = 4x 3-12x² + 8x = 4x(x² - 3x + 2) f (x) = 12x ² - 24x + 8 = 4(3x² - 6x + 2) (vii) Nullstellen: f(x N ) = x 4 N - 4x N ³ + 4x N ² = = x N ²(x N ² - 4x N +4) = x N ²(x N -2)² = 0 => x N1,2 = 0; x N3,4 = 2 (viii) Extrempunkte: f (x E ) = 4x E (x E ² - 3x E +2) = 0 => x E1 = 0; x E2 = 1; x E2 = 2; f (0) = 8 > 0 => Minimum; f (1) = -4 < 0 => Maximum; f (2) = 8 > 0 => Minimum; (ix) Wendepunkte: f (x W ) = 4(3x W ² - 6x W + 2) = 0 => x W1,2 = 1 ± 1/ 3 => x W1 = 0.423; x W2 = 1.577; (x) Wertebereich: x: 0 1 2 0.423 1.577 3 4-1 -2 y: 0 1 0 0.444 0.444 9 64 9 64 (xi) Graph J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 10

Beispiel: y = f(x) = x / [1 - x²] Im Prinzip eine Hyperbel, die in der Nähe des Ursprungs gestört wird. (i) Definitionsbereich: R \ Polstellen (ii) Periodizität: keine (iii) Symmetrie: gespiegelt am Ursprung, ungerade (= sowohl an x- als auch an y-achse) (iv) Unendlichkeitsstellen (Pole): 1-x² = 0 => x P1,2 = ±1 (v) Verhalten im Unendlichen: f(- ) +0; f( ) -0, Asymptote = x-achse (vi) Differenzierbarkeit: f (x) = [1+x²] /[1-x²]² f (x) = 2x[3+x²] /[1-x²]³ (vii) Nullstellen: f(x N ) = 0: Zähler = x = 0 => x N = 0 (viii) Extrempunkte: f (x E ) = 0: Zähler = 1+x² = 0 => keiner (ix) Wendepunkte: f (x W ) = 0: Zähler = 2x[3+x²] = 0 => x W = 0 (x) Wertebereich: (xi) Graph 2 Polstellen; links und rechts Hyperbelähnlich; insgesamt zusammengesetzt. J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 11

3.5 Optimierungsaufgaben Minimums- und Maximumsbestimmung, die Frage nach dem größten oder kleinsten Wert einer Variablen, nach ihrem Maximum und Minimum, und unter welchen Bedingungen diese erreicht werden, ist eines der wesentlichen Probleme in Wissenschaft, Technik und Ökonomie. Sie betrifft die Optimierung von Prozessen und Resultaten, und ist eine der wichtigsten Anwendungen der Mathematik. Beispiel: Der Wärmeverlust eines Körpers ist umso größer, je größer seine Oberfläche ist. Wir lösen nun folgendes Optimierungsproblem: Ein Quader mit quadratischer Grundfläche und vorgegebenem Volumen V soll möglichst wenig Wärmeverlust aufweisen. Wie ist das Verhältnis von Seitenlänge a und Höhe h zu wählen? Die Oberfläche F ergibt sich als Summe aus der doppelten quadratischen Grundfläche a² und dem Vierfachen der Fläche a.h eines Mantelrechtecks: (1) F = 2a² + 4a.h. Die Frage ist die nach dem Minimum der Oberfläche F bei gegebenem Volumen (2) V = a².h. Gl.(2) erlaubt uns, entweder a durch h oder - völlig gleichwertig - umgekehrt h durch a auszudrücken. Ein Blick auf Gl.(1) zeigt, dass wir weniger Rechenaufwand haben, wenn wir h = V/ a² setzen. In Gl.(1) eingesetzt, erhalten wir: F = 2a² + 4a.V/a² = 2a² + 4V/a. Damit ist F (a) = 4a - 4V/a² = 0 zu lösen. => a E ³ = V; => h = a E ³/a E ² = a E, also ein Würfel. Prüfung, ob der Würfel tatsächlich die minimale Oberfläche F besitzt: F (a E ) = 4 + 8V/a E ³ > 0? Immer, denn beide Summanden sind positiv definit (ausgerechnet: F (a E ) = 4+8a E ³/a E ³ = 12). J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 12

3.6 Unbestimmte Werte und die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital sind Anleitungen zur Behandlung von unbestimmten Ausdrücken der Form 0/0 und /. Andere unbestimmte Ausdrücke wie 0., 0 0, 0, 1,... lassen sich durch Umformung auf eine der beiden Standardformen überführen. Regel von de l Hospital: Sind f(x) und g(x) in der Umgebung U(x 0 ) von x 0 differenzierbare Funktionen und ist g(x) 0 in U(x 0 )\{x 0 }, dann gilt: Bei der Regel von de l Hospital müssen wir den Zähler f(x) und den Nenner g(x) unabhängig voneinander differenzieren, und danach erst den Bruch [f (x) / g (x)] bilden (Keine Quotientenregel anwenden!). Ist dieser Ausdruck für x x 0 wiederum ein unbestimmter, dann ist erneut die Regel von de l Hospital anzuwenden (vorher gegebenenfalls immer umformen)... Abbruch, sobald sich als Limes kein unbestimmter Ausdruck ergibt. Beispiele: J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 13

3.7 Näherungsweise Lösungen von Gleichungen Die Mehrzahl der Gleichungen vom Typ g(x) = h(x) kann nicht analytisch gelöst werden. Eine Möglichkeit zur Bestimmung der Lösungen ist die grafische Methode: man konstruiert die eiden Graphen und bestimmt deren Schnittpunkte. In der Praxis greift man aber besser auf numerische Näherungslösungen zurück. Wenn auch manche Probleme durch den Einsatz von Papier und Bleistift zu knacken sind (und vormals auch so geknackt wurden), so stellen diese numerischen Verfahren doch typische Computeranwendungen dar. Es ist vorteilhaft, die Lösung der Gleichung als Nullstellenbestimmung anzusetzen, indem man die Hilfsfunktion f = g h definiert und die Gleichung f(x) = 0 löst. o Nullstellenbestimmung. Eine effiziente Methode zur numerischen Nullstellenbestimmung ist das Newton-Verfahren. Es beruht auf folgender Beobachtung: Ist f eine auf ( a, b ) differenzierbare Funktion mit Nullstelle x 0 (a, b), und ist x 1 eine Näherungslösung zu f(x) = 0, für die eine der beiden Bedingungen (a) f (x 1 ) > 0 und f (x 1 ) > 0; oder (b) f (x 1 ) < 0 und f (x 1 ) < 0, gilt, so ist x 2 = x 1 - f(x 1 ) / f (x 1 ) eine bessere Näherungslösung als x 1, d.h., x 2 liegt näher an der Nullstelle x 0 als x 1 ( x 2 - x 0 < x 1 - x 0 ). Die Methode wird mit x 2 als neuem Startwert fortgesetzt, und iterativ immer weiter mit x n+1 = x n - f(x n ) / f (x n ), bis die gewünschte Lösungsgenauigkeit erfüllt ist, wie etwa (ε = 10 -k, k N): oder f(x n+1 ) < ε, x n+1 - x n < ε. J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 14

Bild: Geeignete und ungeeignete Startwerte für das Newton-Verfahren. Links: Konvergenz durch geeigneten Startwert x 1. Rechts: Ungeeigneter Startwert x 1. Es ist meist eine günstige Strategie, den Startwert x 1 zunächst durch Intervallteilung und Vorzeichentest einzuengen. Das Newton-Verfahren ist eine weitere Anwendung der linearen Approximation: der Graph wird zur Nullstellenbestimmung jeweils durch eine Tangente ersetzt. Beispiel: Numerische Näherungslösung der Gl. ln x = sin x. nur Bedingung (a) erfüllt ist, sondern der Funktionswert des Startwerts ebenfalls schon sehr klein ist (0.033). J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 3 15

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