Pohlsches Pendel / Kreisel Mit Hilfe des Pohlschen Pendels, eines schwingenden Systems mit einem Freiheitsgrad, sollen freie und erzwungene Schwingungen mit und ohne Dämpfung untersucht werden. Insbesondere soll die Resonanzerscheinung hier studiert werden. Am Kreisel sollen die Bewegungsformen Nutation sowie Präzession demonstriert werden. Die Präzessionswinkelgeschwindigkeit wird an einem schnellen, schweren Kreisel als Funktion der Momente gemessen. Vorkenntnisse Grundgesetze der Mechanik: Die Newton schen Grundgesetze der Mechanik - Die Erhaltungssätze der Mechanik (Impuls, Drehimpuls, Energie) - Aufstellen und Bedeutung von Bewegungsgleichungen - Formale Ähnlichkeiten zwischen den Gesetzen der Translationsund Rotationsbewegung Grundgrößen: Kenntnisse über Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Impuls, Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls, Drehmoment, Trägheitsmoment, kinetische Energie im Falle der Translation und der Rotation Schwingungen: Schwingung (Amplitude, Schwingungsdauer, Kreisfrequenz) - Reibung - Differentalgleichungen (DGL) für harmonische Schwingungen, insbesondere für Drehschwingungen, ungedämpfte und gedämpfte freie Schwingungen, erzwungene Schwingungen, Resonanz, Phasenlage zwischen Erreger und Resonator - Einfluß der Dämpfung, Dämpfungsfaktor, logarithmisches Dekrement Mechanik des starren Körpers: Steinerscher Satz - Hauptträgheitsachsen - Berechnung von Trägheitstensoren - Freie Achsen, Deviationsmomente Physikalische Grundlagen Drehschwingungen Aus dem Drehimpulssatz n M n = dl dt = d(θ Φ) dt erhält man die Bewegungsgleichung eines Körpers mit einem Freiheitsgrad für Drehbewegungen. Dabei sind: Θ : Trägheitsmoment des Körpers bezüglich der Drehachse Φ : Drehwinkel Φ = dφ dt : Winkelgeschwindigkeit M n : die einzelnen am System angreifenden Drehmomente 1
Pohlsches Pendel / Kreisel 2 Die Bewegungsgleichung lautet dann allgemein: Θ Φ = n M n Bei Kenntnis des Körpers, d.h. seines Trägheitsmomentes, der von außen an ihn angreifenden Drehmomente und seiner Anfangsbedingungen lassen sich durch Lösen der Bewegungsgleichung Aussagen über seinen Bewegungszustand zu einem beliebigen Zeitpunkt machen. Frage: Wie sieht die Bewegungsgleichung bei Translationsbewegungen aus? Man mache sich die Zusammenhänge zwischen beiden Bewegungsgleichungen klar! Im allgemeinen kommen als Drehmomente in Frage: M 1 = D(Φ) M 2 = R( Φ) M 3 = E(t) Rückstelldrehmoment (Direktionsmoment) durch Dämpfung (Reibung) hervorgerufenes Moment Erregerdrehmoment In der Regel sind D und R nichtlineare Funktionen von Φ und Φ (die daraus resultierenden DGL sind dann nur sehr selten analytisch lösbar), doch kann man sich oft, so auch hier, auf die linearen Terme beschränken und die höherer Ordnung vernachlässigen. Dann erhält man eine DGL der Form ẍ + aẋ + bx = 0, deren Lösung x(t) = c e iλt, λ komplexe Zahl, ist. 1. Freie ungedämpfte Schwingungen Es sei E(t) = 0 und R( Φ) = 0: Die Kennlinien der Rückstelldrehmomente D = D(Φ) können sein: 1. lineare Kennlinien (lineare Schwinger) D = D Φ (z.b. Flüssigkeit im U-Rohr, Zykloidenpendel). Das negative Vorzeichen berücksichtigt, dass das Rückstellmoment der Bewegungsrichtung entgegenwirkt. D ist das sogenannte Direktionsmoment. 2. nichtlineare Kennlinien im allgemeinen Fall, z.b. beim mathematischen Pendel. Um die DGL möglichst einfach zu gestalten, linearisiert man diese Kennlinien, indem man sich auf kleine Pendelausschläge beschränkt. In diesem Fall lautet die Schwingungsgleichung: mit der allgemeinen Lösung: Θ Φ + D Φ = 0 Φ(t) = A 1 cos(ω 0 t) + A 2 sin(ω 0 t) wobei ω 2 0 = D Θ Lineare Kennlinie und harmonische Schwingung bedingen sich wechselseitig. ω 0 ist die Eigenfrequenz des Schwingungssystems, d.h. mit dieser Frequenz schwingt das ungedämpfte System, wenn es einmal angestoßen wird.
Pohlsches Pendel / Kreisel 3 2. Freie gedämpfte Schwingungen Es sei wieder E(t) = 0 aber R( Φ) 0: Die Reibungskräfte sollen in Bahnrichtung liegen und der Bewegung stets entgegengerichtet sein; sie sollen linear mit der Geschwindigkeit zunehmen, also: R = R Φ (das gilt z.b. für die im Versuch verwendete Wirbelstrombremse, nicht jedoch für Luftreibung, für die R Φ 2 bei großen Geschwindigkeiten gilt). Die Schwingungsgleichung lautet für diesen Fall: Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet: Φ + 2δ Φ + ω 2 0Φ = 0 mit δ = R 2Θ Φ(t) = e δt (B 1 cos(ωt) + B 2 sin(ωt)) mit ω 2 = ω 2 0 δ 2 Dies ist eine exponentiell abklingende harmonische Schwingung. δ heißt deshalb Abklingkonstante. Als weiteres Maß für die Dämpfung definiert man das logarithmische Dekrement: ( ) Φk λ = ln = δ T Φ k+1 Dabei bedeutet Φ k eine Amplitude (= maximaler Ausschlag) des Schwingers, Φ k+1 die darauffolgende (kleinere) Amplitude in derselben Auslenkungsrichtung. Die allgemeine Lösung erlaubt es, drei Schwingungsfälle zu untersuchen: Im Falle der schwachen Dämpfung (ω 2 0 δ2 ) den Schwingfall. Bei sehr starker Dämpfung erhält man keine Schwingung mehr, sondern den sog. Kriechfall (ω 2 0 < δ2 ). Dazwischen liegt der sog. aperiodische Grenzfall (ω 2 0 = δ2 ). Für diesen ist die Zeit, in der die Auslenkung auf Null abgefallen ist, minimal. Gibt es sinnvolle Anwendungen hierfür? Welche? 3. Erzwungene, gedämpfte Schwingungen Nun sei ein am System angreifendes Erregermoment E(t) = A 0 cos(ωt) vorhanden: Die Schwingungsgleichung lautet dann: Φ + 2δ Φ + ω 2 0Φ = A 0 Θ cos Ωt Ihre allgemeine Lösung setzt sich additiv aus der Lösung Φ homogen der homogenen Gleichung (E(t) = 0) und einer partikulären Lösung Φ partikulär der inhomogenen Gleichung (E(t) 0) zusammen: Φ = Φ homogen + Φ partikulär Die Lösung der homogenen Differentialgleichung ist bereits erfolgt (s.o. Lösung für die freie gedämpfte Schwingung). Für die inhomogene Gleichung ist der Ansatz einer partikulären Lösung: Φ partikulär = P 1 cos(ωt) + P 2 sin(ωt) Durch Einsetzen und Koeffizientenvergleich folgt: P 1 = (ω2 0 Ω2 )A 0 NΘ, P 2 = 2δΩA 0 NΘ mit N = (ω 2 0 Ω 2 ) 2 + (2δΩ) 2
Pohlsches Pendel / Kreisel 4 Die gesamte Lösung besteht also aus einer Überlagerung einer gedämpften Schwingung mit der Eigenfrequenz ω und einer Schwingung mit der Erregerfrequenz Ω. Der erste Anteil verschwindet wegen des Faktors e δt nach hinreichend langer Zeit (sog. Einschwingvorgang). Danach schwingt das System (dessen Eigenfrequenz ω 0 ist) mit derselben Frequenz Ω wie der Erreger. Dabei stellt sich eine stationäre Amplitude des Schwingers ein. Zur besseren Übersicht soll der partikuläre Anteil in der Form: Φ partikulär = A cos(ωt ɛ) dargestellt werden, wobei ɛ die Phasenverschiebung zwischen Erreger und Resonator ist. Die Rechnung liefert als Lösung für A und ɛ: A = A ( ) 0 Θ 1 2δΩ und ɛ = arctan (ω 2 0 Ω 2 ) 2 + (2δΩ) 2 ω0 2 Ω2 Die stationäre Amplitude A bei der erzwungenen Schwingung ist also eine Funktion der Erregerfrequenz. Sie hat ein Maximum bei der Frequenz Ω = ω r = ω 2 0 2δ2 (Resonanzfrequenz), die nur wenig unterhalb der Eigenfrequenz ω 0 liegt. Das Maximum Φ max = A 0 /(2ω r δθ) ist mit zunehmender Dämpfung weniger ausgeprägt. Die Phasenverschiebung ɛ variiert ebenfalls mit der Erregerfrequenz und mit der Dämpfung. Sie hat den Wert π/2 bei Ω = ω 0. Zur Lösung der Schwingungs-Differentialgleichungen vergleiche man auch die entsprechenden Kapitel und den Anhang im Vorlesungsskript Leitfaden zur Vorlesung 1 für Physik. Bewegung eines starren Körpers Bekanntlich kann eine beliebige Bewegung eines starren Körpers aus einer Translation und einer Rotation zusammengesetzt werden. Wird diese allgemeine Bewegung derart beschränkt, dass ein Punkt des Körpers raumfest sein soll, so spricht man von einer Kreiselbewegung. Der Körper heißt dann Kreisel. Die Bewegungen des Kreisels können mittels des folgenden, sehr wichtigen physikalischen Gesetzes vollständig verstanden werden: Die Änderung des Drehimpulses L des rotierenden starren Körpers ist gleich der Summe der an ihm angreifenden Momente, d.h. d L dt = M n n Ist die Summe der Momente gleich Null, so folgt, dass sich der Drehimpuls nicht ändert, d.h. er bleibt in Betrag und Richtung konstant. Einen Kreisel, für den dies gilt, nennt man kräftefreien
Pohlsches Pendel / Kreisel 5 oder genauer momentenfreien Kreisel. Im folgenden soll nur der einfache Spezialfall des symmetrischen Kreisels (starrer Körper mit Rotationssymmetrie) behandelt werden. Die Symmetrieachse heisst Figurenachse. Die Nutation eines symmetrischen, momentenfreien Kreisels Neben der Figurenachse unterscheidet man beim Kreisel zwei weitere, durch den Schwerpunkt gehende Achsen: die Drehimpulsachse und die momentane Drehachse. Erteilt man dem Kreisel einen Drehimpuls L, der nicht parallel zur Figurenachse ist, so rotiert er mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die sogenannte momentane Drehachse. Die Richtung des Drehimpulses nennt man Drehimpulsachse. Laut Voraussetzung bleibt der Drehimpuls konstant, also ändert auch diese Achse ihre Lage im Raum nicht. Die Vektoren L und ω können in jeweils zwei Komponenten senkrecht und parallel zur Figurenachse zerlegt werden. Die Beziehung zwischen diesen Größen ist gegeben durch: L = ˆΘ ω wobei ˆΘ der Trägheitstensor und ω der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ist. Diese Beziehung kann in die senkrecht und parallel zur Drehimpulsachse liegenden Komponenten zerlegt werden: L = ˆΘ ω und L = ˆΘ ω Da im allgemeinen Fall Θ Θ ist, wird der resultierende Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω = ω + ω nicht parallel zur Drehimpulsachse liegen. Deshalb müssen bei der Kreiselbewegung sowohl die Figurenachse als auch die momentane Drehachse die raumfeste Drehimpulsachse auf Kegelmänteln umkreisen. Diese allgemeine Bewegungsform des kräftefreien Kreisels wird als Nutation bezeichnet. Ein Kreisel ist nutationsfrei, wenn seine Figurenachse mit der Drehimpulsachse zusammenfällt. Präzession eines Kreisels Greift an einem Kreisel senkrecht zur Drehimpulsachse ein Moment an, so bewirkt dieses eine Richtungsänderung von L. Die Drehimpulsachse ist nicht mehr raumfest, sondern sie bewegt sich ihrerseits auf einem raumfesten Kegelmantel. Diese Bewegung heißt Präzession. Die Winkelgeschwindigkeit ω p, mit der die Drehimpulsachse den Präzessionskegel umläuft, lässt sich sehr einfach für den Spezialfall eines symmetrischen, schnellen Kreisels (Drehimpulsachse Figurenachse) berechnen: L + dl dl = M dt dφ L d L = L d φ = M dt ω p = d φ dt = M L Den Drehsinn der Präzession findet man mit d L = M dt. Wie liegt ω p? Die allgemeine Bewegung eines Kreisels besteht aus Präzession und Nutation und kann somit sehr komplizierte Formen annehmen.
Pohlsches Pendel / Kreisel 6 Experimentelle Anordnung Im Versuch wird ein sogenannter schwerer Kreisel benutzt. Bei diesem werden die Momente durch die Schwerkraft erzeugt: Ein mit 50 Umdrehungen pro Sekunde laufender Synchronmotor mit künstlich vergrößertem Trägheitsmoment liefert den Drehimpuls vom Betrag L Motor = Θ Motor ω Motor Der Drehimpulsvektor liegt zunächst exakt in der Figurenachse der Anordnung. Der Kreisel steht unter dem Einfluss von durch die Schwerkraft verursachten Momenten. Das vom Eigengewicht des Motors verursachte Moment sei MMotor. Mit Hilfe eines auf einer Stange verschiebbaren Gewichtes kann ein weiteres Moment erzeugt werden, mit dessen Hilfe M Motor kompensiert oder sogar überkompensiert werden kann. Die Stange hat cm-markierungen. Beginnt die obige Anordnung zu präzidieren, so kommt ein zusätzlicher Drehimpuls zustande. Seine Richtung liegt parallel zur Winkelgeschwindigkeit der Präzession. Das Trägheitsmoment um die Achse AA sei Θ A. Gilt jedoch Θ A ω p Θ Motor ω Motor, so kann der Kreisel als schneller Kreisel betrachtet werden. Für die Winkelgeschwindigkeit der Präzession gilt dann ω p = M result L Motor mit M result = M Motor M Gewicht. Experiment Vorbereitende Aufgabe Man beweise, dass die Winkelgeschwindigkeit der Präzession in dem hier geschilderten Fall auch dann noch denselben Betrag hat, wenn die Figurenachse der Anordnung nicht mehr waagerecht steht! Versuchsaufgaben Für alle nachfolgenden Messungen sollen die Messfehler in den Zeichnungen angegeben sein und die Messergebnisse diskutiert werden.
Pohlsches Pendel / Kreisel 7 Pohlsches Pendel 1. Freie ungedämpfte Schwingung Das Pendel wird ausgelenkt und losgelassen. Man untersuche die ungedämpfte (d.h. in praxi schwach gedämpfte) Schwingung und messe die Kreisfrequenz ω 0 = 2π/T 0, mit T 0 : Schwingungsdauer. Man mache mindestens fünf Versuche und bilde den Mittelwert. Bei jedem Versuch messe man die Zeit, die das Pendel für mehrere Schwingungen braucht. Das Richtmoment D der Feder ist zu berechnen (Θ ist am Gerät angegeben). 2. Freie gedämpfte Schwingung Gesucht sind λ und T als Funktion des Stromes in der Wirbelstrombremse. Hierzu bestimme man bei Strömen von 0,1 A bis 0,5 A: (a) Die Schwingungsdauern T (b) Die logarithmischen Dekremente λ Eine bequeme graphische Mittelung vieler Messpunkte erreicht man, wenn man mehrere aufeinanderfolgende Amplituden auf einer Seite des Schwingers auf halblogarithmisches Papier gegen die Nummer n des Ausschlages aufträgt. Die Steigung der resultierenden Geraden ist λ n = n T δ. Man trage λ und T über der Stromstärke auf. Wie verhalten sich beide Kurven? 3. Erzwungene gedämpfte Schwingung Da der Geschwindigkeitsregler am Motor nicht reproduzierbar einzustellen ist, ist vor Beginn der eigentlichen Messungen eine Kalibrierkurve aufzunehmen, die die Abhängigkeit der Motorkreisfrequenz Ω von der Motorprüfspannung U beschreibt. Zur Aufnahme der Resonanzkurven empfiehlt es sich, von einem Punkt nahe der Resonanz ausgehend zu höheren und tieferen Frequenzen zu messen. Die Messpunkte in der Umgebung des Maximums sind hinreichend dicht zu wählen und sofort in ein Diagramm einzutragen. Man trage A gegen Ω auf. Zu messen sind die Resonanzkurven des Schwingers bei drei verschiedenen Dämpfungen. Dazu stelle man die Stromstärke I in der Wirbelstrombremse auf etwa 0,2 A, 0,3 A bzw. 0,5 A. Die Erregeramplitude bleibt konstant. Beim Ablesen der Amplituden achte man darauf, dass der Einschwingvorgang abgeklungen ist. Kreisel 1. Demonstrativer Teil (a) Die Erhaltung des Drehimpulses im momentenfreien Fall: Durch eine entsprechende Anordnung der Gewichte ist das vom Motor verursachte Moment zu kompensieren. (Ein gutes Kriterium hierfür ist das Verschwinden der Präzession!) Jetzt kann der Kreiselfuß beliebig gedreht und gekippt werden, ohne dass der Drehimpuls seine Richtung ändert. Man gebe Beispiele für die technische Anwendung dieses Verhaltens. Ferner benutze man den eingestellten Zustand des Momentengleichgewichts zur Ermittlung von M Motor. Das Gewicht ist deshalb zu wiegen und seine Dicke mit einem Messschieber zu messen. Das daraus folgende Trägheitsmoment ist zu berechnen.
Pohlsches Pendel / Kreisel 8 (b) Nutation im momentenfreien Fall: Der Kreisel ist von der Konstruktion her nahezu nutationsfrei. Erteilt man dem Kreiselsystem einen zusätzlichen Drehimpuls durch einen kurzen Stoß senkrecht zur ursprünglichen Drehimpulsrichtung, so wird die Nutationsbewegung sofort sichtbar. Sie klingt jedoch bald infolge Lagerreibung ab. (c) Nutation und Präzession: Wie bei Messung (b) kann auch im Fall der Einwirkung von Momenten die Nutation vorgeführt werden. Hierzu ist es zweckmäßig, mit einer großen Winkelgeschwindigkeit der Präzession ω p zu arbeiten. Man verschiebe daher das Gewicht bis zum Lager hin oder bis an das Ende des Balkens. 2. Quantitativer Teil Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist als Funktion des am Kreisel angreifenden Momentes zu messen. ω p = M Motor M Gewicht Θ Motor ω Motor Da Θ Motor ω Motor eine Konstante ist und außerdem ω p = 2π/T p ist, folgt: 1 = M Motor M Gewicht T p 2π Θ Motor ω Motor Es besteht also ein linearer Zusammenhang zwischen 1/T p und M result. Man trage deshalb 1/T p über M result auf und bestimme das Trägheitsmoment aus der Steigung der sich ergebenden Geraden. Der Vorzeichenwechsel von ω p kann in der Auftragung formal durch negative 1/T p - Werte berücksichtigt werden. Diese Messungen sollen für mindestens 10 verschiedene Momente durchgeführt werden.