4.3 Affine Punkträume

4.3. AFFINE PUNKTRÄUME 185 4.3 Affine Punkträume Es wird jetzt der Übergang von der linearen Algebra zur analytischen Geometrie beschrieben. 4.3.1 Definition (affiner Punktraum) Sei V ein K-Vektorraum, A eine nicht leere Menge und : A A V, (P, Q) P Q eine Abbildung. Dann heißt (A, ) affiner Punktraum zu V, wenn gilt: 1. P A, v V 1 Q A : (Kurz: Q = P + v.) 2. P, Q, R A : P Q = v. P Q + QR = P R. Die Elemente von A heißen Punkte. Ist V n dimensional, so heißt auch A n dimensional: dim K (A) := dim K (V ). V wird zur Verdeutlichung auch mit V (A) bezeichnet. 4.3.2 Beispiel Zu V sei A := V und : A A = V V V, (v0, v 1 ) v 0 v 1 := v 1 v 0. Dieser affine Punktraum zu V wird mit D(V ) bezeichnet. Leicht nachzuprüfen ist 4.3.3 Hilfssatz Ist (A, ) affiner Raum zu V und sind P, Q, R, S A, dann gilt: 1. P Q = 0V P = Q, 2. P Q = QP, 3. P Q = RS = P R = QS (Parallelogrammregel). Greifen wir uns einen Punkt 0 A als Ursprungspunkt heraus, so ist nach 4.3.1 P A eindeutig durch den Vektor p := OP V bestimmt, seinen Ortsvektor. P kann dann mit p identifiziert werden, d.h. wir haben die Bijektion 4.3.4 A V, P p := OP. Der Differenzvektor P Q von P und Q genügt dann der Gleichung 4.3.5 P Q = q p.

186 O Q P Q P Wie man nun damit die lineare Algebra auf die Elementargeometrie anwenden kann zeigt folgendes Beispiel: 4.3.6 Beispiel Wir wollen beweisen, daß die Diagonale und die Seitenhalbierende sich in nicht ausgearteten Parallelogrammen im Verhältnis 1:2 schneiden. Beweis: Wir betrachten das Parallelogramm, dessen Punkte wie skizziert bezeichnet seien: D C M P A B Gesucht sind λ, µ R mit P M = λ BM und AP = µ AC. Dazu betrachten wir das Dreieck AMP, für welches gilt: AM + MP + P A = 0, bzw. 1 AD λbm µac = 0. 2 Das ist nach 4.3.1 ii) äquivalent zu 1 AD λ( BA + AM) µ( AB + BC) = 0. 2 Da es sich um ein Parallelogramm handelt, gilt BC = AD, so daß sich hieraus folgendes ergibt: ( 1 2 λ µ) AD + (λ µ) AB = 0. 2 Das Parallelogramm ist genau dann nicht ausgeartet, wenn ( AD, AB) linear unabhängig ist, so daß wir schließlich folgendes Gleichungssystem für die gesuchten Parameter bekommen: λ µ = 0

4.3. AFFINE PUNKTRÄUME 187 1 2 λ 2 µ = 0. Die einzige Lösung ist λ = µ = 1 3, wie behauptet. 4.3.7 Definition (affine Koordinaten, Unterräume und Abbildungen) A sei ein affiner Punktraum zu V. i) Ein Ursprungspunkt O A ergibt zusammen mit irgendeiner Basisfolge B = (b 0,..., b n 1 ) von V = V (A) ein affines Koordinatensystem (O; B) = (O; b 0,..., b n 1 ). Die diesbezüglichen Komponenten p i des Ortsvektors p = OP von P A : OP = i p i b i heißen die affinen Koordinaten von P bezüglich (0; b 0,..., b n 1 ). ii) B A heißt affiner Unterraum von A, (kurz: B A), wenn gilt: P 0 B : { P 0 Q Q B} V (A). Dieser Vektorraum { P 0 Q Q B} ist offenbar unabhängig von der getroffenen Auswahl von P 0 B und kann deshalb mit V (B) bezeichnet werden, er heißt auch die Richtung von B. In Anlehnung an die Elementargeometrie heißen eindimensionale affine Unterräume Geraden, zweidimensionale heißen Ebenen. (n 1) dimensionale Unterräume n die Dimension von A heißen Hyperebenen. iii) Sind B 0,..., B m affine Unterräume von A, dann heißt der kleinste affine Unterraum, der i B i umfaßt, der Verbindungsraum der B i. Er wird mit B 0... B m bezeichnet. Beispielsweise sind Punkte P, Q A (nulldimensionale) affine Unterräume. Der Verbindungsraum P Q heißt deren Verbindungsgerade, usw. iv) Zwei Unterräume B 0, B 1 eines affinen Punktraumes A heißen parallel, kurz B 0 B 1, wenn die Richtung eines von ihnen in der Richtung des anderen enthalten ist: i: V (B i ) V (B j ), j i. (B 0 und B 1 sind dann offenbar disjunkt oder einer ist im anderen enthalten.) Disjunkte und nicht zueinander parallele Unterräume heißen windschief.

188 v) Eine Abbildung f: A A, P P heißt affine Abbildung, wenn und die von f induzierte Abbildung P 1 Q 1 = P 2 Q 2 = P 1Q 1 = P 2Q 2 ϕ: V V, P Q P Q linear ist, also die Abbildung ϕ, die folgendes Diagramm kommutativ ergänzt: A A V (f f) V ϕ 4.3.8 Beispiele Für irgend zwei Punkte aus einem affinen Raum A zu einem Vektorraum V über GF (2) gilt: P Q = {P, Q}. Demnach enthält jede Teilmenge eines solchen affinen Unterraums mit zwei Punkten auch deren Verbindungsgerade. Es ist jedoch nicht jede Teilmenge eines affinen Raums zu GF (2) 2 ein affiner Unterraum. Das liegt an der Charakteristik von GF (2), denn bei char(k) 2 folgt aus der Tatsache, daß B A nicht leer ist und mit je zwei Punkten auch deren Verbindungsgerade enthält, daß B ein affiner Unterraum ist (vgl. Übungsblatt). 4.3.9 Hilfssatz Zu jedem ϕ End K (V ) und jedem Punktepaar (O, O ) A 2 gibt es genau eine affine Abbildung f: A A, mit f(o) = O, die gemäß 4.3.7 v) die lineare Abbildung ϕ induziert, nämlich f: P P, mit OP = OO + ϕ( OP ). Mit Hilfe von Ortsvektoren p = OP läßt sich diese Abbildung auch wie folgt schreiben: f: x x = ϕ(x) + t, mit t := OO. Affine Abbildungen f: x x = ϕ(x) + t mit ϕ = id V heißen Translationen. Offenbar ist die affine Abbildung f genau dann injektiv, surjektiv, bijektiv, wenn dies für die induzierte lineare Abbildung ϕ gilt. Die Inverse f 1 einer affinen

4.3. AFFINE PUNKTRÄUME 189 Abbildung f induziert die Inverse ϕ 1 der von f induzierten linearen Abbildung ϕ. Die bijektiven affinen Abbildungen ergeben, zusammen mit der Komposition als Verknüpfung, eine Gruppe, die affine Gruppe Aff(A) von A. Unter den Teilmengen affiner Räume sind solche der folgenden Form besonders wichtig: 4.3.10 Definition (allgemeine Lage, Parallelepiped, Simplex) A sei ein affiner Raum, P 0,..., P m A. i) Die P ν heißen Punkte in allgemeiner Lage, wenn sie in keinem (m 1) dimensionalen Unterraum liegen, d.h. wenn die Folge ( P 0 P 1,..., P 0 P m ) linear unabhängig ist, bzw. wenn dim(p 0 P 1... P m ) = m. ii) Sind P 0,..., P m, Punkte in allgemeiner Lage und ist K = R, dann heißt {P 0 + m i=1 κ i P 0 P i 0 κ i 1} das von den P i aufgespannte Parallelepiped. Die Teilmenge {P 0 + m i=1 ρ i P 0 P i 0 κ i 1, i κ i = 1} heißt das von den P i aufgespannte Simplex. Affine Räume A mit euklidischen Vektorräumen V (A) nennt man euklidische Räume. Die hier definierte Metrik ergibt eine Distanzfunktion ρ(p, Q) := P Q, und auch die anderen für euklidische Vektorräume behandelten metrischen Konzepte erfahren eine geometrische Interpretation. Affine Abbildungen, die die Distanzen erhalten, heißen starre Bewegungen. Die zugehörigen linearen ϕ gehören zu der folgenden Klasse linearer Abbildungen: 4.3.11 Definition (Isometrie) f Hom R (V, W ) heißt Isometrie, wenn f das innere Produkt invariant läßt: f(v 1 ) f(v 2 ) = v 1 v 2. Aus den vorangegangenen Überlegungen über lineare Abbildungen zwischen euklidischen Vektorräumen ergeben sich leicht die folgenden Eigenschaften von Isometrien:

190 4.3.12 Satz i) Genau die die Norm erhaltenden linearen Abbildungen sind Isometrien. ii) Isometrien sind injektiv. iii) Isometrien f zwischen euklidischen Vektorräumen derselben Dimension sind Isomorphismen, und für sie gilt f = f 1. iv) Gilt für f Hom R (V, W ) die Gleichung f = f 1, dann ist f Isometrie. v) Isometrien zwischen euklidischen Vektorräumen derselben Dimension bilden Orthonormalbasisfolgen auf Orthonormalbasisfolgen ab, und umgekehrt sind Isomorphismen mit dieser Eigenschaft Isometrien. vi) Ist f End R (V ) eine Isometrie, dann ist det(f) {1, 1} und Eigenwerte sind ggf. auch aus der Menge {1, 1}. 4.3.13 Definition (Rotation) f End R (V ) heißt Rotation, wenn f isometrisch ist. Die Rotationen f mit det(f) = 1 heißen dabei eigentliche, die anderen uneigentliche Rotationen. Es gibt natürlich auch Rotationen, die überhaupt keine Eigenwerte im vorgegebenen Grundkörper haben, z. B. die Abbildung f mit ( ) 0 1 M(E, f, E) :=. 1 0 Sie beschreibt eine eigentliche Rotation des euklidischen Vektorraums R 2 mit Standardskalarprodukt v w := v i w i und besitzt keinerlei Eigenwert in R. Aus den Ergebnissen über die Existenz von Eigenwerten im Reellen, die mittels Zwischenwertsatz erzielt worden waren, erhalten wir (weil das Quadrat eines Eigenwerts λ einer Isometrie gleich 1 ist): 4.3.14 Folgerung Eigentliche (uneigentliche) Rotationen von Räumen ungerader Dimension besitzen einen Eigenwert 1( 1). Uneigentliche Rotationen auf Räumen gerader Dimension besitzen die beiden Eigenwerte ±1. Eine weitere leicht einzusehende Folgerung formuliert 4.3.15 Hilfssatz Ist U V invariant unter der Rotation f, dann auch U. Sind f, g End R (V ) Rotationen, dann auch f 1 und g f 1. Die Rotationen bilden also eine Untergruppe O(V ) in der Gruppe GL(V ) der regulären linearen Automorphismen von V, sie heißt die (volle) orthogonale Gruppe von V, denn die Rotationen sind, wegen f = f 1 orthogonale Abbildungen: O(V ) GL(V ).

4.3. AFFINE PUNKTRÄUME 191 Den Kern der Abbildungen det : GL(V ) R bilden die eigentlichen Rotationen, er heißt die spezielle orthogonale Gruppe und wird mit SO(V ) bezeichnet: SO(V ) := Kern(det GL(V )) = {A GL(V ) det(a) = 1}. 4.3.16 Falls V {0 V } ist, gilt i) SO(V ) := {f O(V ) det(f) = 1} O(V ), ii) O(V )/SO(V ) = 2. Es soll nun gezeigt werden, daß eine Rotation f End R (V ) eine direkte Zerlegung von V ergibt in invariante und orthogonale Unterräume der Dimension 1 oder 2. 4.3.17 Satz Ist f Aut R (V ) eine Rotation, dann gibt es eine Orthonormalbasisfolge B von V mit M(B, f, B) =... ɛ 0 0 ɛm 1 cos(ω 1 ) sin(ω 1 ) sin(ω 1 ) cos(ω 1 )... cos(ωr) sin(ωr) 0 sin(ω r ) cos(ω r ), wobei ɛ ν {1, 1}, 0 ν m 1. Beweis: i) Wir bemerken zunächst, daß die Summe der Eigenräume E(1), E( 1) direkt ist: U := E(1) + E( 1) = E(1) E( 1). Nach dem letzten Hilfssatz ist die entsprechende Zerlegung V = U U = E(1) E( 1) (E(1) E( 1)) eine Zerlegung in invariante Unterräume. Die Wahl einer an U und an die Zerlegung von U in die Eigenräume angepaßten Basisfolge B ergibt den ersten

192 diagonalen Teil der Matrix von f mit den Einträgen ɛ i, wie behauptet: 1 0... 1 1 0... M(B, f, B) = 0 1. 0 ii) Da die Einschränkung f U = f (E(1) E( 1)) keinen Eigenwert besitzt, hat dieser Raum gerade Dimension. Wir zeigen, daß dieser Unterraum eine unter f invariante Ebene enthält: Die Einschränkung F von f + f = f +f 1 auf (E(1) E( 1)) ist selbstadjungiert, besitzt also einen Eigenvektor e, λ sei der zugehörige Eigenwert. Da f in (E(1) E( 1)) keinen Eigenvektor besitzt, sind e und f(e) linear unabhängig: Diese Ebene ist invariant unter f, denn W := e, f(e) = dim R (W ) = 2. F (e) = f(e) + f 1 (e) = λ e = f 2 (e) = λ f(e) e. Die Einschränkung von f auf W ist eine eigentliche Rotation, W also ebenfalls invariant unter f, so daß wir eine verfeinerte Zerlegung von V in invariante Unterräume erhalten: V = U W W. Wir haben also von U einen invarianten Unterraum der Dimension 2 abspalten können, so daß die Einschränkung von f auf diesen wegen der geraden Dimension eine eigentliche Rotation ist. Dies können wir iterieren und erhalten die Behauptung damit per Induktion und mit dem folgenden Hilfssatz. 4.3.18 Hilfssatz Ist W zweidimensional euklidisch, 0 die normierte Determinantenform, die eine Orientierung repräsentiert, sowie ϕ End R (W ) definiert durch ϕ(v) w = 0 (v, w), dann ist ϕ eigentliche Rotation mit ϕ 2 = id. Beweis: i) Wir beweisen als erste die Identität ϕ = ϕ : v ϕ(w) = ϕ(v) w = 0 (v, w) = 0 (w, v) = ϕ(w) v = v ϕ(w). ii) Es zeigt sich jetzt, daß ϕ eine Isometrie ist: v w 2 + ϕ(v) w 2 = v w 2 + 0 (v, w) 2 = 4.1.24 v 2 w 2.

4.3. AFFINE PUNKTRÄUME 193 Setzen wir jetzt w := ϕ(v), so ergibt sich (mit v ϕ(v) = 0, nach i)): ϕ(v) 4 = ϕ(v) ϕ(v) 2 = ϕ(v) 2 v 2. Das ergibt ϕ(v) = v, ϕ erhält also die Norm und ist demnach Isometrie. iii) Zum Nachweis von ϕ 2 = id: ϕ 2 = i) ϕ ϕ = ii) ϕ ϕ 1 = id. iv) Mit Hilfe von iii) erhalten wir schließlich det(ϕ) 0 (v, w) = 0 (ϕ(v), ϕ(w)) = ϕ 2 (v) ϕ(w) = v ϕ(w) = 0 (v, w), was det(ϕ) = 1 ergibt und den Beweis vervollständigt. Diese Abbildung ϕ heißt auch die kanonische Komplexstruktur der euklidischen Ebene W. Sei nun f eine eigentliche Drehung von W, v W \{0 V } und ω der orientierte Winkel zwischen v und f(v). Für ihn gilt cos(ω) = v f(v) v f(v), sin(ω) = 0(v, f(v)) ϕ(v) f(v) = v f(v) v f(v). Da, für jedes v W der Norm 1, (v, ϕ(v)) eine ON-Basisfolge ist, gilt also für jede eigentliche Rotation f und die kanonische Komplexstruktur ϕ zu der Orientierung, bei der diese ON-Basisfolge positiv orientiert ist (beachte v = f(v) = 1): v cos(ω) + ϕ(v) sin(ω) = v v f(v) + ϕ(v) ϕ(v) f(v) = f(v). Mit ϕ 2 = id V ergibt sich daraus f(ϕ(v)) = ϕ(v) cos(ω) v sin(ω). Das ergibt die behauptete Matrixform: ( ) cos(ω) sin(ω) M((v, ϕ(v)), f, (v, ϕ(v))) = sin(ω) cos(ω) Tatsächlich sind diese Matrixelemente unabhängig von der Wahl von v : 4.3.19 cos(ω) = 1 2 Spur(ϕ), sin(ω) = 1 Spur(f ϕ). 2 Der Winkel ω kann deshalb als der Drehwinkel von f bezeichnet werden, kurz ω(f) := ω. Insbesondere haben wir ω(id) = 0, ω( id) = π, ω(ϕ) = π/2. Für die Beschreibung von Rotationen in dreidimensionalen euklidischen Räumen gehen wir vom allgemeinen Satz über die Form von Rotationen f aus: M(B, ϕ, B) = ±1 0 0 0 cos(ω) sin(ω) 0 sin(ω) cos(ω).

194 Links oben steht ±1, je nachdem ob f eine eigentliche oder eine uneigentliche Rotation beschreibt. Dabei ist B = (b 0, b 1, b 2 ) eine ON-Basisfolge, der Unterraum b 0 heißt Drehachse von f.