5. Die Integralrechnung

5. Die Integralrechnung 5.1 Die ursprüngliche Einführung des Integrals Ursprünglich wurde das Integral zur Flächendefinition und -erechnung eingeführt: x Aszissenachse (Blaue) Oersummen als oere Schranke, (rote) Untersummen als untere Schranke. Falls für ( x 0) der Limes der Oersummen mit dem der Untersummen üereinstimmt, heißen die eiden einfaches Riemann-Integral oder kurz Einfachintegral oder noch kürzer Integral. Mit Hilfe dieses Integralegriffes wird die Fläche desjenigen Geildes definiert, das aus der Kurve, der Aszissenachse und zwei Senkrechten auf die B-Achse ei der unteren und oeren Grenze. 5.2 Der moderne Integralegriff Es zeigte sich ald, dass sich die Rechenregeln zur korrekten Integration ( Integrationsregeln ) durch Umkehrung der Differentiationsregeln ergeen. Damit ist dieses Einfachintegral als Umkehroperation der Differentiation von Funktionen mit einer unahängigen Varialen erkannt worden. Nun setzte ein, was wir auch ei den Zahlen und ihren Verknüpfungsoperationen (Addition, Multiplikation,...) sowie ei den Funktionen und der Differentialrechnung kennen gelernt haen: Ein durch Neugier motivierter Astraktionsprozess. Selstverständlich zeigte es sich auch ei der Integralrechnung, dass durch die formale Benützung der Integrationsregeln auch dort sinnvolle Ergenisse herauskommen, wo die ursprüngliche Bedeutung osolet ist. Heute verzichten wir auf jegliche geometrische Deutung und sehen die Integralrechnung als reinen Umkehrprozess zur Differentialrechnung: Wir suchen die Stammfunktion J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 1

F(x) einer gegeenen Funktion f(x), also jene Funktion(en) F(x) als deren Aleitungen die gegeene Fkt. f(x) angesehen werden kann. Manche dieser Ergenisse können geometrisch gedeutet werden, die allermeisten aer nicht. Die Integrationsregeln ergeen sich somit direkt aus den Differentiationsregeln! 5.2-1 Definitionen (1) Es sei in einem Definitionsereich D eine Funktion f(x) gegeen, die im Intervall B D stetig ist. Jede im Intervall B differenzierare Funktion F(x) heißt genau dann "Stammfunktion von f(x)", wenn in diesem Intervall B ihre Aleitung F'(x) = f(x) ist. (2) Die Ermittlung einer Stammfunktion F heißt "Integration", die Funktion f(x) wird "Integrand" genannt und das Intervall B heißt "Integrationsintervall B" (auch: "Integrationsereich B" oder "Integrationsgeiet B"). (3) Bestimmt heißt ein Integral, wenn sowohl die untere als auch die oere Integrationsgrenze explizit angegeen sind: a dx. f ( x,...) = F(x=,...) - F(x=a,...) Ansonsten heißt das Integral unestimmt und es muss eine Konstante ( Integrationskonstante ) hinzugefügt werden. dx. f ( x,...) = F(x,...) + Const. J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 2

5.2-2 Einteilung der Integrale (i) n-dimensionale Bereichsintegrale: Integrationsintervall B = Definitionsereich D. n = 1: Einfachintegrale; n = 2: Doppelintegrale; n = 3: Dreifachintegrale; n = k k-fache Integrale. (ii) Kurvenintegrale (Linienintegrale): Integrationsintervall B = 1; Definitionsereich D > 1. (iii) Flächenintegrale: Integrationsintervall B = 2; Definitionsereich D > 2. 5.3 Einfachintegrale Integrationsintervall B = Definitionsereich D = 1. Der Integrationsereich ist eine Gerade. Dies ist das einfachste Bereichsintegral und identisch mit dem ursprünglichen Integralegriff auch die geometrische Interpretation lie erhalten. a) B = x 1 -Achse (meist: x-achse ): Integrationsvariale = x 1 ; x 2,...,x n konstant. dx 1. f(x 1,x 2,...) = F(x 1 =) - F(x 1 =a) a (2a) ) B = x 2 -Achse (meist: y-achse ): Integrationsvariale = x 2 ; x 1, x 3,...,x n konstant. dx 2. f(x 1,x 2,...) = F(x 2 =) - F(x 2 =a) a (2) c) B = x k -Achse: Integrationsvariale = x k ; x 1, x 2,..., x k-1, x k+1,..., x n konstant. dx k. f(x 1,x 2,...,x k,...) = F(x k =) - F(x k =a) a (2c) Geom. Bedeutung: Identisch mit jener des historischen Integrals: Flächenmaßzahl des Geildes aus Kurve, B-Achse und zwei Senkrechten auf die B-Achse ei den unteren und oeren Grenze. J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 3

5.4 Integrationsregeln (i) (ii) Summenregel: Das Integral einer Summe ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Summanden. dx.[ f(x,...)+ g(x,...)] = dx. f(x,...)+ dx.g(x,...) Faktorregel: Konstante Faktoren können herausgehoen werden: dx. [f(x,...). c] = c. dx. f(x,...) (iii) Potenzregel: [f(x,...)] n. f (x,...). dx = [f(x,...)] n+1 / (n+1) + C (n -1) (iv) Logarithmische Integration: [f (x,...) / f(x,...)]. dx = ln f(x,...) + C (v) Bei Vertauschen der Integrationsgrenzen kehrt sich das Vorzeichen um: a dx. f(x,...) = - dx. f(x,...) a (vi) (vii) Additivität des Integrals: c dx. f(x,...) = dx. f(x,...) + dx. f(x,...) a a c Aer: nicht jeder elieige Ausdruck kann das Ergenis der Aleitung einer Fkt. sein! => Int. nicht immer möglich manchmal kompliziert, manchmal verorgen. Beispiel: tan²x.dx =? weil: d(tan x)/dx = d(sin x / cos x) /dx = cos x.cos -1 x + sin x.(-1) cos -2 x. (-sin x) = 1 + tan² x gilt: tan²x.dx = (tan²x +1-1)dx = (tan²x +1)dx - 1.dx = tan x -x +C J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 4

5.5 Integrationstechniken 5.5-1 Sustitution. Ziel ist, das zu lösende Integral durch geeignete Sustitution der Integrationsvarialen in ein einfacher zu lösendes Integral umzuformen. (1) dx. f(x) = f(g(t). g*(t). dt: => Sustitution: x = g(t); dx = g*(t). dt (2) f(g(x). g (x). dx = dt. f(t) => Sustitution: t = g(x); dt = g (x). dx Beispiele: (i) (ax + ) 1/2. dx Sustitution: t = (ax + ) 1/2 ; dt = dx. a/2t = dt. t.2t/a = (2/a). dt. t² = 2t³ / (3a) + C = 2. (ax + ) 3/2 /(3a) + C (ii) sin x. cos x. dx Sustitution: t = sin x; dt = cos x. dx = dt. t = t²/2 + C = (sin² x) /2 + C (iii) x/ (2x² +3). dx Sustitution: t = 2x² +3; dt = 4x. dx = 1/4. dt/ t = 1/4. ln t + C = 1/4. ln 2x² +3 + C 5.5-2 Bestimmte Integrale. Bei der Berechnung estimmter Integrale sind zwei Wege gangar: a) Einsetzen der Grenzen nach Rücksustitution; ) Sustitution auch der Grenzen, dann entfällt die Rücksustitution. Beispiel: π sin x. cos² x. dx Sustitution: t = cos x; dt = -sin x. dx 0 = - dt. t² = - t³/ 3 π a) = - (cos³ x) /3 = 2/ 3. 0 ) Für x = 0 => t = cos 0 = 1; für x = π = t = cos π = -1; -1 1 => - t³/ 3 = t³/ 3 = 1/3 - (-1/3) = 2/ 3. 1-1 J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 5

5.5-3 Partielle Integration. Ist ein Integrand f(x) nicht direkt integrierar, kann er aer als Produkt zweier Funktionen etrachtet werden, dann gelingt es häufig, seine Stammfunktion F(x) mit Hilfe der Produktregel der Differentialrechnung zu finden. Dieser Vorgang heißt partielle Integration. Es gilt ekanntlich für die Aleitung des Produktes zweier Funktionen u(x).v(x): [u(x).v(x)] = u (x). v(x) + u(x). v (x) Damit auch: dx. (u(x).v(x)) = dx.(u'(x). v(x)) + dx.(u(x). v'(x)) = u(x). v(x) Infolgedessen : dx.(u(x). v'(x)) = u(x). v(x) - dx.(u'(x). v(x)) Fassen wir unseren Integranden f(x) = u(x). v'(x) auf, dann gilt: F(x) = dx. f(x) = dx.(u(x). v'(x)) = u(x). v(x) - dx.(u'(x). v(x)). Der Ausdruck sieht zwar etwas kompliziert aus, ermöglicht aer eine (notfalls schrittweise) Reduktion für: o Produkte von Potenzen oder Polynomen mit Faktoren, die zyklisch integrieren, wie z.b.: exp, sin, cos, sinh, cosh. o Die Potenz wird durch Differentiation erniedrigt während der Ersatz der zweiten Funktion durch ihre Stammfunktion den Ausdruck nicht komplizierter macht. o Elimination der Logarithmusfunktion aus dem Integral. Beispiele: (i) dx.(x. e x ) => u = x; v = e x ; (Unsinn wäre: u = e x und v = x). = x. e x - dx.(1. e x ) = x. e x - e x + C = e x. (x-1) + C. (ii) dx. ln x => u = ln x; v = 1. = x. ln x - dx.(x.(1/x)) = x. ln x - x + C = x.(ln x - 1) + C. (iii) dx.(x³. sin x) => u = x³; v = sin x. = -x³. cos x + 3. dx.(x². cos x) => u = x² ; v = cos x ; J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 6

= -x³. cos x + 3x². sin x - 6. dx.(x. sin x) => u = x ; v = sin x ; = -x³. cos x + 3x². sin x + 6x. cos x - 6. dx. cos x = -x³. cos x + 3x². sin x + 6x. cos x - 6. sin x. 5.5-4 Integration nach Partialruchzerlegung. Jede echt gerochenrationale Funktion f(x) kann in "Partialrüche" zerlegt werden (n,m Є N; m > n): f(x) := P(x) / Q(x) = (a 0 + a 1. x + a 2. x² +...+ a n. x n ) / ( 0 + 1. x + 2. x² +...+ m. x m ). Zu allererst werden die m Nullstellen (auch: Wurzeln ) des Nennerpolynoms Q(x) ermittelt: Q(x) = 0 + 1. x + 2. x² +...+ m. x m = 0. Anmerkung: Bei Polynomen dritten Grades enützen wir dazu am günstigsten den Vieta schen Wurzelsatz: Für Q(x) = 0 + 1. x + 2. x² + x³ = 0 gilt folgender Zusammenhang zwischen den 3 Koeffizienten i und den 3 Nullstellen x 1, x 2, x 3 : 0 = -x 1 x 2 x 3 ; 1 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 ; 2 = -x 1 - x 2 - x 3 Für das weitere Vorgehen müssen wir zwischen drei wesentlich verschiedenen Fällen unterscheiden: (1) Q(x) esitzt nur einfache reelle Nullstellen: Q(x) = (x - x 1 ). (x - x 2 ). (x - x 3 )... : Ansatz: P(x)/ Q(x) = A/ (x - x 1 ) + B/ (x - x 2 ) + C/ (x - x 3 ) +.... Auf gleichen Nenner ringen, nach Potenzen in x ordnen und Koeffizientenvergleich mit dem P-Polynom. Beispiel: I = dx.[15x² - 70x -95] / [x³ - 6x² - 13x +42] (i) Nullstellen: Q(x) = x³ - 6x² - 13x +42 = 0 => x 1 = 2; x 2 = -3; x 3 = 7; (ii) Ansatz: [15x² - 70x -95] / [x³ - 6x² - 13x +42] = A/(x-2) + B/(x+3) + C/(x-7); J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 7

(iii) Auf gleichen Nenner ringen und diesen weglassen: 15. x² - 70. x - 95 = A(x+3)(x-7) + B(x-2)(x-7) + C(x-2)(x+3) = (A+B+C). x² - (4A+9B-C). x - (21A-14B+6C); (iv) Gleichsetzen der Koeffizienten gleicher Potenzen in x: A+B+C = 15 4A+9B-C = 70 => A = 7; B = 5; C = 3; 21A-14B+6C = 95 (v) Somit ist unser Integral umgeformt zu: I = 7 dx/(x-2) + 5 dx/(x+3) + 3 dx/(x-7) = 7.ln x-2 + 5.ln x+3 + 3.ln x-7 + c. (2) Q(x) esitzt auch mehrfache reelle Nullstellen: Q(x) = (x - x 1 ) α.(x - x 2 ) ß... (α + ß +... = m) : P(x)/ Q(x) = A 1 / (x - x 1 ) + A 2 / (x - x 1 )² + A α / (x - x 1 ) α + + B 1 / (x - x 2 ) + B 2 / (x - x 2 )² + B ß / (x - x 2 ) ß +... Beispiel: Nullstellen: x=1 doppelt, x=2 einfach. (3) Q(x) lässt sich nicht ganz in lineare reelle Primfaktoren zerlegen (Außerhal des Kurses, aer zur Vollständigkeit): J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 8

Für jeden quadratischen Primfaktor: (A 0 + A 1.x)/ (c 0 + c 1.x + c 2.x²); Für jeden kuischen Primfaktor: (A 0 + A 1.x + A 2.x²)/ (c 0 + c 1.x + c 2.x² + c 3.x 3 );.... 5.5-5 Integration mit Reihenentwicklung Läßt sich der Integrand f(x) im Integrationsereich in eine konvergente Potenzreihe {a k x k } entwickeln, ist eine gliedweise Integration möglich dx. f(x) = a 0. dx + a 1. dx. x + a 2. dx. x² +... Beispiel: z dx/ (1+x²) =? 0 (i) f(x) = 1/(1+x²) = (1+u) -1 = f(u) mit u = x². (ii) Entwickeln um den Nullpunkt der u-achse: => f(u=0) = 1; f'(u) = -(1+u) - ² => f'(u=0) = -1; f''(u) = 2. (1+u) -3 => f''(u=0) = 2 = 2!; f (3) (u) = -2.3. (1+u) -4 => f (3) (u=0) = -3!; f (n) (u) = (-1) n.n! (1+u) -(n+1) => f (n) (u=0) = (-1) n.n!; (iii) Taylorreihe: f(u) = 1 + (-1). u/ 1! + 2!. u²/2! +...+(-1) n.n!. u n / n! f(x) = 1 - u + u 2 +... + (-1) n. u n => Geom. Reihe mit q = -u. (iv) Nach Rücksustitution: f(x) = 1 - x² + x 4 +... + (-1) n. x 2n z (v) Daher: dx.f(x) = dx.1 - dx.x² + dx. x 4 -... + (-1) n. dx. x 2n 0 = z - z³/3 + z 5 /5 -... + (-1) n.z 2n+1 /(2n+1). (vi) Für x < 1 ist das die Reihenentwicklung von arctan z. J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 9

5.5-6 Uneigentliche Integrale Uneigentlich heißt ein estimmtes Integral, wenn zwar die Funktion f(x) für alle reelle x mit a x < integrierar ist, aer ei der oeren Grenze Proleme auftreten. Ist der Integrand f(x) an der unteren Grenze a uneschränkt, dann drehen wir die Integrationsrichtung um und haen damit wieder den oigen Fall. (1) Uneigentlich 1. Art heißen alle Integrale mit uneschränktem Integranden f(x): Es gilt hier: -ε (1a) dx. f(x) := lim [ dx. f(x)], a ε 0 a zw.: (1) dx. f(x) := lim [ dx. f(x)]. a ε 0 a+ε Ist der Integrand f(x) in einem inneren Punkt c (a < c < ) uneschränkt, zerlegt man das Integrationsintervall in 2 Teile: [a, c- ε] und [c+ ε, ]. c-ε dx. f(x) := lim [ dx. f(x)] + lim [ dx. f(x)]. a ε 0 a ε 0 c+ε Beispiele: Sollte einer oder eide Grenzwerte nicht existieren, kann trotzdem der so genannte "Cauchy'sche Hauptwert" (HW) existieren, der dadurch erhalten wird, dass wir die eiden Integrale zuerst koppeln und dann erst den Grenzwert ilden: c-ε dx. f(x) := lim [ dx. f(x) + dx. f(x)]. a ε 0 a c+ε J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 10

Beispiel: (2) Uneigentlich 2. Art heißen alle Integrale mit uneschränktem Integrationsereich B: (2a) dx. f(x) := lim [ dx. f(x)] a a (2a) dx. f(x) := lim [ dx. f(x)] a a Sollte einer oder eide Grenzwerte nicht existieren, kann trotzdem der so genannte "Cauchy'sche Hauptwert" (HW) existieren, der durch Kopplung der Grenzwertildungen erhalten wird: k dx. f(x) := lim [ dx. f(x)]. a k -k Beispiel: J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 11

5.5-7 Numerische Integration J.Tomiska 2010: Mathematikskizzen Teil 5 12