Institut für wirtschaftliche Produktions- und Investitionsforschung Georg-August-Universität-Göttingen Prof. Dr. Dr. h.c. J. Bloech Fallstudienseminar WS 05/06 Operative Planungsfragen in Industrieunternehmen PD Dr. A. Daub Fallstudie 5 Planung von Bestellmengen und zeitpunkten Nadine Dammer Dennis Reese 1
Aufgabenkontext In einem Unternehmen werden 25.000 Stück eines Zwischenproduktes pro Periode in der gleichmäßig und kontinuierlich stattfindenden Produktion eingesetzt. Die Lagerung verursacht mengenabhängige Kosten von 0,50 /Stück und Periode. Kapitalbindungskosten sind mit 15% pro Periode anzusetzen. Eine Periode besteht aus 200 Tagen. Aufgabenteil a) Bestimmen Sie die optimale Bestellmenge sowie die entscheidungsrelevanten Kosten pro Periode, wenn die Kosten minimiert werden sollen, der Preis des Zwischenproduktes 5 /Stück beträgt und pro Bestellung 1500.-- anfallen. 2
Lösung Aufgabenteil a) Dem Grundmodell liegen folgende Prämissen zugrunde: Der Bedarf einer Materialart ist als kumulierte Größe gegeben. Der Beschaffungspreis ist unabhängig von der Bestellmenge konstant. Deshalb sind die KEV, die sich aus q B ergeben, nicht entscheidungsrelevant. 3
Lösung Aufgabenteil a) Die Bestellkosten (KB = kb n ) sind hier entscheidungsrelevant. Der Bestellkostensatz ist im Grundmodell gegeben, wird aber mit der Bestellhäufigkeit multipliziert. Diese wird durch B / ropt bestimmt und ist somit von ropt abhängig. 4
Lösung Aufgabenteil a) Die Lagerhaltungskosten (KL = kl Ld ) sind ebenfalls entscheidungsrelevant, da der durchschnittliche Lagerbestand im PZR ½ ropt ist. Dies ist darin begründet, dass: Der Lagerabgang ( Verbrauch ) kontinuierlich und linear im Zeitablauf erfolgt, d.h. der Bedarf je Zeiteinheit ist konstant. Die Lagerbestände zu Beginn und am Ende des PZR Null sind. Die Lagerauffüllung ohne Zeitverzug und bei einem Lagerbestand von Null erfolgt, da weder Sicherheitsbestände noch Fehlmengen zugelassen sind. 5
Lösung Aufgabenteil a) Ld = ( Anfangsbestand ( = ropt) + Endbestand ( = 0)) / 2 Der Lagerhaltungskostensatz kl setzt sich aus dem mengenabhängigen Lagerhaltungskostensatz und dem im PZR gebundenen Kapital zusammen (klm + i q ). 6
Lösung Aufgabenteil a) Ermittlung der optimalen Bestellmenge Zu minimieren ist also folgende Funktion: Kent(r) = KB ( r ) + KL ( r ) = kl 0,5r + kb B/r Min! Min! dkent(r) dr = kl 2 kl 2 = kb B r 2 kb B! r 2 = 0 KB ( r ) = KL ( r ) 7
Lösung Aufgabenteil a) KB und KL verlaufen gegensätzlich. Je höher r, desto niedriger KB ( es muss seltener bestellt werden ) und desto höher KL ( es wird mehr Kapital gebunden und das Lager ist über den Zeitablauf gesehen voller ). Die entscheidungsrelevanten Kosten sind dort minimal, wo die Grenzkosten der Lagerhaltung und der Bestellung vom Betrag her gleich sind. r 2 = 2 kb B kl ropt = 2 kb B kl Notwendige Bedingung 8
Lösung Aufgabenteil a) 9
Lösung Aufgabenteil a) gegebene Daten: kb = 1500 klm = 0,5 B = 25000 ME ME im Planungszeitraum kl = klm + i q = 0,5 + 0,15 5 = 1,25 i = 15 % q = 5 /Stück ME im Planungszeitraum Einsetzen in Formel für optimale Bestellmenge ergibt: ropt = 2 kb B kl ropt = 2 1500 25000 1,25 = 60000000 = 7745,97 Die optimale Bestellmenge beträgt 7745,97 Stück. 10
Lösung Aufgabenteil a) Ermittlung der entscheidungsrelevanten Kosten: K(ropt) = KB + KL = kb B/ropt + kl 0,5ropt = 1500 25000 7745,97 + 1,25 7745,97 2 = 4841,23 + 4841,23 (KB und KL müssen im Optimum übereinstimmen) = 9682,46 11
Aufgabenteil b) Berechnen Sie die optimale Bestellhäufigkeit, den optimalen Abstand zwischen zwei Bestellungen, die optimale Bestellmenge und die entscheidungsrelevanten Kosten pro Periode, wenn das Lager am Ende der Periode geräumt sein muss und die Zielsetzung sowie die weiteren Daten mit denen aus Aufgabenteil a) übereinstimmen. Stellen Sie dazu vorab die Bestell- und Lagerkosten als Funktionen in Abhängigkeit von der Bestellhäufigkeit dar. 12
Lösung Aufgabenteil b) Vorab: Bestell- und Lagerkosten als Funktionen in Abhängigkeit von der Bestellhäufigkeit darstellen. Bestellkosten: KB =kb B/r =kb n Lagerkosten: KL = kl Ld T = kl 0,5r T KL(n) = kl 0,5 B/n T KL(n) = 1,25 0,5 25000/n 1 KB(n) = 1500n n = B/r r = B/n KL(n) = 15625 n 13
KB KL Lösung Aufgabenteil b) Graphische Darstellung der Bestell- und Lagerkosten in Abhängigkeit von der Bestellhäufigkeit n Wertetabelle für KL n KL 1 2 3 4 5 15625 7812,5 5208,3 3906,3 3125 6 2604,2 16000 10000 (eigentlich) optimale Bestellhäufigkeit bei n = 3,23 KB(n) = 1500n 2000 KL(n) = 15625 n 1 2 3 4 5 6 n 14
Lösung Aufgabenteil b) Prämisse: Lager soll am Ende der Periode geräumt sein! Zielsetzung der Kostenminimierung soll beibehalten werden! nopt = B/ropt = 25000 7745,97 = 3,23 Die optimale Anzahl an Bestellungen beträgt somit eigentlich 3,23. Zur Aufrechterhaltung der Prämisse muss die Bestellhäufigkeit jedoch ganzzahlig sein. Somit müssen die direkt benachbarten (ganzzahligen) Bestellhäufigkeiten n=3 und n=4 geprüft werden. Ein Kostenvergleich entscheidet dann über die realisierbare wirtschaftliche Bestellpolitik. 15
Lösung Aufgabenteil b) Berechnung der Kosten für n=3 K(n=3) = 3 1500 + 8333 1,25 0,667 + 2 8334 2 = 1 = 4500 + 5208,33 = 9708,33 1,25 0,333 (Die Rechnung beruht auf der Tatsache, dass zwei Bestellungen je 8333 ME des Gesamtbedarfs abdecken und damit in gut 2/3 des Planungszeitraums verbraucht werden. Die Restmenge von 8334 deckt den Restzeitraum und bedarf ab.) Berechnung der Kosten für n=4 K(n=4) = 4 1500 + 6250 2 1,25 = 9906,25 Der Vergleich zeigt, dass die entscheidungsrelevanten Kosten bei einer Bestellhäufigkeit von n=3 geringer sind. (Entspricht Zielsetzung der Kostenminimierung) 16
Lösung Aufgabenteil b) KB Graphische Darstellung der Bestell- und Lagerkosten in Abhängigkeit von der Bestellhäufigkeit n KL 16000 10000 optimale Bestellhäufigkeit n = 3 bei der Prämisse eines geräumten Lagers am Ende der Periode (eigentlich) optimale Bestellhäufigkeit bei n = 3,23 KB 2000 KL 1 2 3 4 5 6 n 17
Zusammenfassung der Ergebnisse aus Teilaufgabe b) optimale Bestellhäufigkeit: nopt=3 optimaler Abstand zwischen zwei Bestellungen topt = T nopt = 200 3 = 66 2 3 Tage Optimale Bestellmenge bei Bestellung 1 und 2 je 8.333 Stück bei der 3. Bestellung 8.334 Stück Entscheidungsrelevante Kosten: K = KB + KL = kb nopt + kl 0,5r1/2 0,667 + kl 0,5r3 0,333 = 1500 3 + 1,25 8333 0,667 + 1,25 2 = 9708,33 /Planungszeitraum 8334 2 0,333 18
Aufgabenkontext zu Aufgabenteil c) Eine Analyse der Bestellkosten hat ergeben, dass diese von der Anzahl der Bestellungen abhängen und sich wie folgt ermitteln lassen: KB ={1500n für 0 < n < 5 1200n für 5 n < 10 1000n für 10 n Der Preis des Zwischenproduktes beträgt 5 /Stück; die Bedarfsmenge hat sich entscheidend erhöht und beläuft sich jetzt auf 128.000 Stück. 19
Aufgabenteil c1) c Zeichnen Sie die Bestell- und Lagerhaltungskosten in Abhängigkeit von der Bestellhäufigkeit in ein Diagramm ein. Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Diagramms die optimale Bestellhäufigkeit für den Fall der Nicht-Ganzzahligkeit, wenn die entscheidungsrelevanten Kosten minimiert werden sollen und berechnen Sie die dazugehörigen Bestell- und Lagerkosten. 20
Lösung Aufgabenteil c1) c Lieferant 1 räumt Rabatte auf den Bestellkostensatz ein, je häufiger man bestellt. Daher kommt es zu Sprüngen der Bestellkostenkurve an den Rabattgrenzen. KL = kl 0,5r in Abhängigkeit von n ausdrücken KL = kl B/2n KL(n) = 1,25 128000 2n (n = B/r 80000 = n r = B/n eingesetzt) Wertetabelle für KL n KL 4 5 6 7 8 20000 16000 13333,3 11428,6 10000 9 8888,9 10 11 12 13 8000 7272,7 6666,7 6153,8 21
KB KL 20000 Lösung Aufgabenteil c1) c Diagramm der Bestell- und Lagerhaltungskosten in Abhängigkeit von n KB 10000 KL = 80000 n 2000 1 5 10 15 n n=8,2 22
Lösung Aufgabenteil c1) c Überprüfen des Abschnitts mit n 10 Man würde in dem Definitionsbereich für n > 10 erwarten, dass die Kosten niedriger sind als in den anderen Bereichen, da der Bestellkostensatz dort am niedrigsten ist. Deshalb würde man dort mit der rechnerischen Überprüfung beginnen. Anhand der Zeichnung ist aber bereits erkennbar, dass das Minimum für 1000 n nicht im Definitionsbereich liegt (der Schnittpunkt mit KL liegt bei n < 10). 23
Lösung Aufgabenteil c1) c Überprüfen des Bereichs mit 5 n < 10 Das Minimum für diese Rabattstufe liegt in etwa bei 8,2. Dies liegt im Definitionsbereich. Die zugehörigen Bestell- und Lagerkosten betragen: KB = 1200n = 1200 8,2 = 9840 KL = 80000 n = 80000 8,2 = 9756,10 Es ergeben sich entscheidungsrelevante Kosten von 19596,10 als Summe von KB und KL 24
Lösung Aufgabenteil c1) c Damit wäre nopt aber noch nicht mit Sicherheit bestimmt, da bei der Bestellhäufigkeit n = 10, die der Grenze des höchsten Rabatts auf kb entspricht, noch niedrigere Kosten erreicht werden könnten: Berechnung der Bestell- und Lagerkosten mit n=10: KB = 1000n = 1000 10 = 10000 KL = 80000 n = 80000 10 = 8000 Es ergeben sich entscheidungsrelevante Kosten von 18000 25
Lösung Aufgabenteil c1) c Damit reicht der Kostensprung an der Stelle n = 10 aus, die Kosten bei der Bestellhäufigkeit 8,2 zu unterschreiten. Es wäre ein weiteres Minimum bei Annahme des höchsten kb möglich, aber durch den höheren kb und die in Richtung niedrigerer n progressiv steigenden KL würde eine eventuelle KB-Senkung überkompensiert werden. Also ist es optimal 10 mal zu bestellen und KL = 8000 und KB = 10000. 26
Aufgabenteil c2) c Ein neuer Lieferant (Lieferant 2) bietet das Zwischenprodukt in Abhängigkeit von der Absatzmenge zu den folgenden Konditionen an: q(r) ={ 5,10 für 0 < r 10.000 4,80 für 10.000 < r < 20.0000 4,60 für 20.000 r Stellen Sie ein Modell zur Ermittlung der minimalen entscheidungsrelevanten Kosten in Abhängigkeit von der Bestellhäufigkeit auf und berücksichtigen Sie dabei die Konditionen beider Lieferanten. Gehen Sie in diesem Zusammenhang davon aus, dass nur einer der beiden ausgewählt werden kann. Bestimmen Sie anschließend ausgehend von Ihrem Modell die optimale Bestellhäufigkeit und -menge, den gewählten Lieferanten, die anfallenden Bestell- und Lagerkosten, die entscheidungsrelevanten Kosten und die insgesamt anfallenden Kosten in der Periode sowie den benötigten Finanzbedarf, 27 den ein Bestellvorgang auslöst.
Lösung Aufgabenteil c2) c Um beide Lieferanten vergleichen zu können, sollte man Lieferant 2 in Abhängigkeit von der Bestellhäufigkeit n darstellen. Hierzu bedient man sich wieder der Beziehung n= B und passt die r Rabattgrenzen an: Abhängigkeit von r Abhängigkeit von n 128000 10000 = 12,8 0 < r 10000 10000 < r < 20000 20000 r 128000 20000 = 6,4 0 < n 6,4 6,4 < n < 12,8 12,8 n 128000 20000 = 6,4 Durch die Umwandlung in die Abhängigkeit von n werden die Rabattgrenzen in der Reihenfolge getauscht, damit sie wieder von 0 bis dargestellt werden können. 28
Lösung Aufgabenteil c2) c Auch die Preise der einzelnen Definitionsbereiche müssen nun in Abhängigkeit von n dargestellt werden. Sie entsprechen nun jeweils den Lagerkosten KL, da in ihnen die Preise der zugehörigen Rabattstufe variieren. K(L) ={ (0,5 + 0,15 4,6) 0,5 (0,5 + 0,15 4,8) 0,5 (0,5 + 0,15 5,1) 0,5 128000 n 128000 n 128000 n für 0 < n 6,4 für 6,4 < n < 12,8 für 12,8 n K(L) ={ 76160 n 78080 n 80960 n für 0 < n 6,4 für 6,4 < n < 12,8 für 12,8 n Nun können die Bedingungen der Lieferanten verglichen und eine Entscheidung getroffen werden! 29
Lösung Aufgabenteil c2) c Berechnung der optimalen Bestellhäufigkeit für Lieferant 2 Beginn bei der untersten Rabattklasse: im Optimum gilt: 76160 n KL = KB = 1500n 76160 = 1500n² nopt = 7,126 76160 n 78080 K(L) = n 80960 {n für 0 < n 6,4 für 6,4 < n < 12,8 für 12,8 n Dieser Wert liegt jedoch nicht im Geltungsbereich, da 7,126 > 6,4 Somit muss in der nächsten Rabattstufe die optimale Bestellhäufigkeit gefunden und überprüft werden. 30
Lösung Aufgabenteil c2) c Berechnung der optimalen Bestellhäufigkeit für Lieferant 2 Mittlere Rabattklasse: im Optimum gilt wieder: 78080 n KL = KB = 1500n 78080 = 1500n² nopt = 7,215 76160 n 78080 K(L) = n 80960 {n für 0 < n 6,4 für 6,4 < n < 12,8 für 12,8 n Dieser Wert liegt im Geltungsbereich und ist somit gültig. 31
Lösung Aufgabenteil c2) c Nun müssen die entscheidungsrelevanten Kosten für Lieferant 2 ermittelt und mit denen an der niedrigeren Rabattgrenze bei n=6,4 verglichen werden, da es sein kann, dass es durch den dort herrschenden niedrigeren Preis zu geringeren Kosten als in der mittleren Rabattklasse kommt. Durch die hier vorliegende Rabattstaffelung in Abhängigkeit von n sind auch die Kosten des Einkaufsvolumens KEV als entscheidungsrelevant anzusehen, da diese vom Preis q abhängen, der in den jeweiligen Rabattstaffelungen andere Werte annimmt. Berechnung der entscheidungsrelevanten Kosten bei n=7,215 K= KB + KL + KEV =1500 7,215 + 78080 7,215 + 4,8 128000 = 636044,40 32
Lösung Aufgabenteil c2) c Berechnung der entscheidungsrelevanten Kosten bei n=6,4 K= KB + KL + KEV =1500 6,4 + 76160 6,4 + 4,6 128000 = 610300 610300 < 636044,40 Der Vergleich zeigt, dass bei einer Bestellhäufigkeit von n=6,4 die entscheidungsrelevanten Kosten geringer sind als bei n=7,215 Die optimale Bestellhäufigkeit bei Lieferant 2 beträgt also 6,4 und führt zu Gesamtkosten von 610300 33
Lösung Aufgabenteil c2) c Entscheidender Vergleich zwischen Lieferant 1 und 2 Lieferant 1: Aus Aufgabenteil c1) ergaben sich für Lieferant 1 mit nopt=10 entscheidungsrelevante Kosten in Höhe von 18000. Aufgrund der Vergleichbarkeit müssen jedoch noch die Kosten des Einkaufsvolumens KEV bei Lieferant 1 einbezogen werden. Gesamtkosten = entscheidungsrelevante Kosten + KEV = 18000 + 5 128000 = 658000 Die Gesamtkosten für Lieferant 1 belaufen sich also auf 658000. 34
Lösung Aufgabenteil c2) c Entscheidender Vergleich zwischen Lieferant 1 und 2 610300 < 658000 Da es bei Lieferant 2 zu geringeren Gesamtkosten kommt, sollte er den Zuschlag erhalten! Zusammenfassung der Ergebnisse aus Teilaufgabe c2) Gewählter Lieferant Lieferant 2 Optimale Bestellhäufigkeit Optimale Bestellmenge Bestellkosten KB nopt=6,4 ropt= B nopt = 128000 6,4 = 20000 Stück 1500 n = 1500 6,4 = 9600 Lagerkosten KL 76160 n = 76160 6,4 = 11900 35
Lösung Aufgabenteil c2) c Zusammenfassung der Ergebnisse aus Teilaufgabe c2) Entscheidungsrelevante Kosten K= KB + KL + KEV = 610300 Insgesamt anfallende Kosten pro Periode K= KB + KL + KEV = 610300 Anmerkung: Durch die verschiedenen Preise in den Rabattstaffelungen ist hier auch KEV als entscheidungsrelevant anzusehen. Somit entsprechen sich die entscheidungsrelevanten Kosten und die insgesamt in der Periode anfallenden Kosten! Finanzbedarf, den eine Bestellung auslöst: kb + q r = 1500 + 4,6 20000 = 93500 36
Aufgabenkontext zu Aufgabenteil d) Für zwei Rohstoffe R1 und R2 ist die Beschaffung ebenfalls zu planen. Im Rahmen einer Vorstandsanweisung wurde dazu festgelegt, dass für beide Rohstoffe maximal 40.000 an Finanzmitteln zu einem Zeitpunkt in Anspruch genommen, maximal 9.000 Liter im Lagerraum untergebracht und nicht mehr als 8 Arbeitsstunden in der Warenannahmestelle pro Bestellung benötigt werden dürfen. Die Lagerung der Rohstoffe verursacht mengenabhängige Kosten von 0,20 /Liter bei R1 und 0,40 /Liter bei R2 pro Periode. Kaptialbindungskosten sind mit 10 % pro Periode anzusetzen. Der Einkaufspreis beträgt 5 /Liter bei R1 und 4 /Liter bei R2. Für die Annahme von 2000 Litern von R1 bzw. 1000 Litern von R2 wird eine Arbeitsstunde in der Warenannahmestelle benötigt. Die Kosten je Bestellvorgang belaufen sich auf 500 bei R1 und 800 bei R2. Pro Periode werden 50.000 Liter R1 und 30.000 Liter R2 benötigt. 37
Aufgabenteil d1) d Stellen Sie ein Modell zur Ermittlung der minimalen entscheidungsrelevanten Kosten auf. Gegebene Daten: klm1 = 0,2 Liter im Planungszeitraum klm2 = 0,4 Liter im Planungszeitraum q1 = 5 Liter q2 = 4 Liter kb1 = 500 kb2 = 800 B1 = 50000 Liter B2 = 30000 Liter i = 10% kl1 = klm1 + i q1 = 0,2 + 0,1 5 = 0,7 kl2 = klm2 + i q2 = 0,4 + 0,1 4 = 0,8 38
Lösung Aufgabenteil d1) d Modellformulierung anhand der gegebenen Daten: Zielfunktion: K(r1,r2) = 0,5r1 0,7 + 0,5r2 0,8 + 500 50000 + 0,4r2 + 800 r1 50000 + 800 30000 r1 r2 30000 = 0,35r1 + 500 Min! r2 Min! unter den Nebenbedingungen: 1) 5r1 + 4r2 40000 2) r1 + r2 9000 1 1 2000 r1 + 1000 r2 3) 8 4) r1, r2 > 0 (Finanzrestriktion) (Lagerraumrestriktion) (Handlingrestriktion) (Nicht-Negativitätsbedingung) 39
Aufgabenteil d2) d Zeichnen Sie das in Aufgabenteil d1) erstellte Modell und schätzen Sie die optimalen Bestellmengen der beiden Rohstoffe aus der Zeichnung ab. Lösung Aufgabenteil d2) d Wertetabelle für K1(r1) n K1 2000 3000 4000 5000 6000 13200 9383,3 7650 6750 6266,7 7000 6021 8000 9000 10000 11000 5925 5927,7 6000 6123 Wertetabelle für K2(r2) n K2 2000 3000 12800 9200 4000 5000 6000 7600 6800 6400 7000 6228,6 8000 9000 10000 11000 6200 6266,7 6400 6581 40
Lösung Aufgabenteil d2) d Vorgehensweise bei der Zeichnung: Alle drei Restriktionen und beide Kostenfunktionen einzeichnen Abbild des äußeren Beschränkungspolyeders, der sich durch die drei Restriktionen ergibt, in den 3. Quadranten erzeugen Auf dem Abbild den Punkt suchen, dessen Abstand zum Ursprung am geringsten ist Diesen Punkt zurück in den ersten Quadranten loten Man erhält Punkt P, der näherungsweise optimal ist 41
Lösung Aufgabenteil d2) d Darstellung des Modells aus Aufgabenteil d1) r2 10000 FKap Freies Optimum K2(r2) 2000 P LKap HLKap K2 10000 2000 2000 10000 2000 r1 10000 K1 K1(r1) Geschätzte optimale Bestellmengen hier: r1= 5000, r2 = 3900 42
Aufgabenteil d3) d Formulieren Sie die Kuhn-Tucker-Bedingungen für das in Aufgabenteil d1) erstellte Modell. Überprüfen Sie anschließend die beiden folgenden Lösungen auf Optimalität und erläutern Sie explizit für eine der beiden Lösungen, von welchem Rohstoff mehr und von welchem weniger bestellt werden sollte, um eine optimale Lösung zu erhalten: r1,1 = 2.000 Liter r2,1 = 7.000 Liter r1,2 = 4.000 Liter r2,2 = 5.000 Liter 43
Lösung Aufgabenteil d3) d Formulierung der Kuhn-Tucker-Bedingungen (allgemein) L(r1,r2,λ) = K(r1,r2) + λj (Nebenbedingung j, implizit formuliert) Kuhn-Tucker-Bedingungen 1.) δl > 2.) δl ri δri = 0 δri 0 3.) ri > 0 4.) δl < 5.) δl δλj λi = 0 δλj 0 6.) λj > 0 44
Lösung Aufgabenteil d3) d Anwendung der Kuhn-Tucker-Bedingungen auf Aufgabenteil d1) L(r1,r2,λ1, λ2, λ3) = 0,35r1 + 500 50000 r1 + 0,4r2 + + λ1(5r1+4r2 40000) + λ2(r1+r2 9000) + λ3( 1 800 2000 + δl δr1 = 0,35 25000000/r1² + 5λ1 + λ2 + (1/2000) λ3 > 0 δl δr2 = 0,4 24000000/r2² + 4λ1 + λ2 + (1/1000) λ3 > 0 δl 5r1 + 4r2 40000 0 δλ1 = δl δλ2 = r1 + r2 9000 0 δl δλ3 = (1/2000)r1 + (1/1000)r2 8 0 30000 r2 1 1000 r1 r2 8) 45
Lösung Aufgabenteil d3) d Anwendung der Kuhn-Tucker-Bedingungen auf Aufgabenteil d1) δl r1 δr1 = [0,35 25000000/r1² + 5λ1 + λ2 + (1/2000) λ3] r1 = 0 δl r2 δr2 = [0,4 24000000/r2² + 4λ1 + λ2 + (1/1000) λ3] r2 = 0 δl δλ1 λ1 = [5r1 + 4r2 40000] λ1 = 0 δl δλ2 λ2 = [r1 + r2 9000] λ2 = 0 δl δλ3 λ3 = [(1/2000)r1 + (1/1000)r2 8] λ3 = 0 r1, r2 > 0 λ1, λ2, λ3 > 0 46
Lösung Aufgabenteil d3) d Überprüfung folgender Lösung auf Optimalität: r1,1 = 2.000 Liter r2,1 = 7.000 Liter Es wird zuerst geprüft, ob die Restriktionen eingehalten wurden:! 2000 + 7000 9000 Lagerrestriktion 9000 = 9000 eingehalten!! 5 2000 + 4 7000 40 000 Finanzrestriktion 38 000 < 40 000 eingehalten!! 1 / 2000 2000 + 1 / 1000 7000 8 Handlingrestriktion 8 = 8 eingehalten! r1,r2 > 0 eingehalten! Produktionsbedingung 47
Lösung Aufgabenteil d3) d Hier gilt r1,1 > 0 und r2,1 > 0 Mit den Kuhn-Tucker Bedingungen δl δr1 r1 = 0 folgt daraus, dass die partiellen Ableitungen null sein müssen! δl δr1 bzw. und δl δr2 δl δr2 r2 = 0 δl δr1 = 0,35 25000000/2000² + 5λ1 + λ2 + (1/2000)λ3 = 0 δl δr2 = 0,4 24000000/7000² + 4λ1 + λ2 + (1/1000)λ3 = 0 1a) 1b) 48
Lösung Aufgabenteil d3) d LKap und HKap werden voll ausgelastet, bei FKap bleiben 2000 übrig. Da aber laut Kuhn-Tucker δl δλ1 dass λ1 = 0 sein muss! λ1 = 0 gelten muss, folgt daraus, Somit hat man mit 1a) und 1b) nur noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. 49
Lösung Aufgabenteil d3) d 1a) 0,35 25000000/2000² + λ2 + (1/2000) λ3 = 0 λ2 = 5,9 (1/2000) λ3 in 1b) einsetzen 1b) 0,4 24000000/7000² + 5,9 (1/2000) λ3 + (1/1000) λ3 = 0 λ2 (1/2000) λ3 = 5,810204082 2000 λ3 = 11620,40816 ( λ2 = 5,9 (1/2000) ( 11620,40816) = 11,71020408 ) Damit Optimalität gilt, müssen nach Kuhn-Tucker alle λ 0 sein. Somit ist diese Lösung nicht optimal. 50
Lösung Aufgabenteil d3) d Von welchem Rohstoff müsste mehr, von welchem weniger bestellt werden, um ausgehend von dem Lösungsvorschlag r1,1 = 2.000 und r2,1 = 7.000 eine optimale Lösung zu erhalten? Anhand der Zeichnung kann man sehen, dass im Optimum lediglich das Finanzbudget voll ausgelastet ist. Somit folgt nach Kuhn-Tucker, dass λ2 und λ3 null sein müssen. Und da r1 und r2 > 0 sind, folgt dass δl δr1 und δl δr2 gleich null sein muss. 51
Lösung Aufgabenteil d3) d Somit bleibt nur λ1 als einzige Unbekannte in 1a) und 1b). Damit Optimalität gilt, müsste nun bei beiden Gleichungen der selbe Wert für λ1 herauskommen. Aus 1a) mit r1 = 2000 und λ2, λ3 = 0 folgt: 0,35 25000000/2000² + 5λ1 = 0 5λ1 = 25000000 2000² λ1 = 1,18 0,35 Aus 1b) mit r2 = 7000 und λ2, λ3 = 0 folgt: 0,4 24000000/7000² + 4λ2 = 0 λ1 = 0,022448979 r1 λ1 52
Lösung Aufgabenteil d3) d In diesem Fall müsste λ aus 1a) sinken, λ aus 1b) steigen, damit es zu einer optimalen Lösung kommt! r1 müsste also steigen und r2 sinken. Durch schrittweises Ausprobieren kommt man dann recht nah an die optimalen Lösungswerte heran: 0,35 25000000/4000² + 5λ1 = 0 λ1 = 0,2425 0,4 24000000/5000² + 4λ1 = 0 λ1 = 0,14 53
Lösung Aufgabenteil d3) d 0,35 25000000/4430² + 5λ1 = 0 λ1 = 0,184778368 0,4 24000000/4590² + 4λ1 = 0 λ1 = 0,18479075 Die optimalen Lösungswerte liegen also in etwa bei r1 = 4430 und r2 = 4590 Stück. Alternativ könnte man auch λ1 eliminieren, die beiden Ableitungen nach r1 und r2 gleichsetzen und anschließend r1 durch ( 9000 r2 ) ersetzen. 54
Lösung Aufgabenteil d3) d Überprüfung der zweiten Lösung auf Optimalität: r1,1 = 4.000 Liter r2,1 = 5.000 Liter Es wird zuerst geprüft, ob die Restriktionen eingehalten wurden:! 4000 + 5000 9000 Lagerrestriktion 9000 = 9000 eingehalten!! 5 4000 + 4 5000 40 000 Finanzrestriktion 40 000 = 40 000 eingehalten!! 1 / 2000 4000 + 1 / 1000 5000 8 Handlingrestriktion 7 < 8 eingehalten! 55 r1,r2 > 0 eingehalten! Produktionsbedingung
Lösung Aufgabenteil d3) d Hier gilt wieder r1,2 > 0 und r2,2 > 0 Mit den Kuhn-Tucker Bedingungen δl δr1 r1 = 0 folgt daraus, dass die partiellen Ableitungen null sein müssen! δl δr1 bzw. und δl δr2 δl δr2 r2 = 0 δl δr1 = 0,35 25000000/4000² + 5λ1 + λ2 + (1/2000)λ3 = 0 δl δr2 = 0,4 24000000/5000² + 4λ1 + λ2 + (1/1000)λ3 = 0 2a) 2b) 56
Lösung Aufgabenteil d3) d LKap und FKap werden voll ausgelastet, bei HKap bleibt eine Stunde übrig. Da aber laut Kuhn-Tucker δl δλ3 λ3 = 0 dass λ3 = 0 sein muss! gelten muss, folgt daraus, Somit hat man mit 2a) und 2b) ebenfalls wieder zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. 57
Lösung Aufgabenteil d3) d 2a) 0,35 25000000/4000² + 5λ1 + λ2 = 0 λ2 = 1,2125 5λ1 in 2b) einsetzen 2b) 0,4 24000000/5000² + 4λ1 + 1,2125 5λ1 = 0 λ1 = 0,6525 λ2 λ2 = 1,2125 5 (0,6525) = 2,05 Damit Optimalität gilt, müssen nach Kuhn-Tucker alle λ 0 sein. Somit ist die Lösung nicht optimal. Bzw. der Wert für λ1 ist zu groß, wie man anhand der vorigen Aufgabe sehen kann. 58
Aufgabenteil d4) d Erläutern und interpretieren Sie an Hand Ihrer Zeichnung die Werte der Lagrangeschen Multiplikatoren. Lösung Aufgabenteil d4) d Definition: Der Wert des Multiplikators gibt die betragsmäßige Zielfunktionswertänderung bei Variation der zugehörigen Restriktion um eine infinitesimale Einheit an. Hier gibt λ also die Grenzkosten im Lösungspunkt in Bezug auf die Verschiebung der jeweiligen Restriktion an. Schattenpreis Eine Ausweitung der Kapazität ist dann sinnvoll, wenn die Kosten für eine zusätzliche Einheit unterhalb des Wertes des entsprechenden Multiplikators liegen. 59
Aufgabenteil d5) d Welche Bedeutung hat der Gradient der Kostenfunktion und welche Eigenschaft muss er im Optimum haben? Lösung Aufgabenteil d5) d Der Gradient zeigt in Richtung einer Zielfunktionswerterhöhung. Da man die Kosten aber minimieren will, bedeutet das, dass er in Richtung einer Verschlechterung zeigt. Aufgestellt wird der Vektor durch δ K / δ r1 und δ K / δ r2. Im Optimum zeigt er sozusagen auf sich selbst und nimmt für beide Ableitungen null an. Der Gradient sei δ K / δ r1 > 0 und δ K / δ r2 < 0. Dann würde das bedeuten, dass man, wenn man r1 erhöhen würde auch die Kosten zunehmen würden. Und wenn man r2 senken würde hätte das ebenfalls einen Kostenanstieg zur Folge. 60