K2 KLAUSUR MATHEMATIK NACHTERMIN 16.02.2012 Pflichtteil: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 (max) 2 2 3 4 5 3 4 3 Wahlteil Analysis Aufgabe a b c (max) 10 3 5 Wahlteil Geometrie Aufgabe a b c (max) 7 4 5 Gesamtpunktzahl /60 Notenpunkte (1) Bestimmen Sie die Ableitung von (2) Berechnen Sie das Integral Pflichtteil f(x) = x sin(2x). 3 π/2 0 (2 cos(x)) dx. ( 1 ) (3) Lösen Sie die Gleichung (sin(πx) 1) x 4 = 0. 4 (4) Gegeben ist die Funktion f(x) = x 4 4x 3. Zeigen Sie, dass einer der beiden Wendepunkte ein Sattelpunkt ist, und bestimmen Sie die Normale im andern Wendepunkt.
2 NACHTERMIN 16.02.2012 (5) Eines der folgenden Diagramme zeigt das Schaubild der Funktion f(x) = ax x 2 1, wobei a eine positive ganze Zahl ist. a) Begründen Sie, welches der Schaubilder zu f gehört. b) Bestimmen Sie den Wert von a. (6) Gegeben sind die Geraden g und h mit g : x = 4 1 + r 3 1 und h : x = 4 1 + s 0 5 1 Zeigen Sie, dass g und h parallel, aber nicht identisch sind. 9 3 15 Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in welcher beide Geraden liegen. (7) Die Gerade g verläuft durch die A(1 4 0) und B(2 3 0). Die Schnittpunkte mit der x 1 - bzw. der x 2 -Achse sind die Eckpunkte P, Q eines gleichseitigen Dreiecks. Wo liegen alle möglichen C des Dreiecks? Der Punkt C liege nun auf der x 3 -Achse. Geben Sie die Ebenengleichung in Koordinatenform an, in der das Dreieck liegt. (8) Gegeben sind zwei parallele Geraden. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die Symmetrieebene 1 dieser Geraden bestimmen kann. 1 Spiegelt man eine Gerade an dieser Ebene, erhält man die andere..
K2 KLAUSUR MATHEMATIK 3 Analysis Die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge eines Menschen kann durch die Funktion f mit ( 2π ) f(t) = 2 sin 5 t modelliert werden; dabei ist die Zeit t in Sekunden, f(t) in Liter pro Sekunde angegeben. Wir nehmen an, dass zur Zeit t = 0 genau 400 cm 3 Luft in der Lunge sind. a) Bestimmen Sie die Periodendauer von f(t). Geben Sie einen Funktionsterm F (t) für das Volumen der Luft in der Lunge an, und skizzieren Sie das Schaubild von F im Intervall 0 t 5. Bestimmen Sie das minimale und das maximale Luftvolumen in der Lunge. Bestimmen Sie die Zeitpunkte während der ersten 5 Sekunden, zu denen die Lunge jeweils die Hälfte des maximalen Luftvolumens enthält. Wie groß ist das durchschnittliche Luftvolumen in der Lunge während der ersten 4 Sekunden? In welchem Zeitraum während der ersten 5 Sekunden enthält die Lunge mehr als 3 Liter? b) Beim Sport verkürzt sich die Periodendauer auf 3 Sekunden, und die Differenz zwischen minimalem und maximalem Luftvolumen in der Lunge beträgt nur noch 2,5 l. Das minimale Luftvolumen bleibt dabei unverändert. Stellen Sie einen Term für die Funktion G(t) auf, die das Luftvolumen beim Sport beschreibt. c) Nun soll die Funktion F (t) = 5 π cos ( 2π 5 t ) + 5 π + 0,4 durch eine quadratische Funktion H(t) angenähert werden, die durch die beiden Tiefpunkten und den Hochpunkt von F im betrachteten Intervall [0; 5] geht. Bestimmen Sie einen Funktionsterm für H, und geben Sie die maximale Abweichung von F und H in dem betrachteten Intervall an.
4 NACHTERMIN 16.02.2012 Durch die Eckpunkte Geometrie O(0 0 0) A 1 (10 0 0) B 1 (10 6 0) C 1 (0 8 0) O 2 (0 0 10) A 2 (10 0 11) B 2 (10 6 8) C 2 (0 8 6) ist ein Ausstellungspavillon mit ebenen Seitenwänden gegeben, welches auf der x 1 x 2 - Ebene steht (Längeneinheit entspricht 1 m). Die Eckpunkte der Dachfläche sind O 2, A 2, B 2, C 2. a) Zeichnen Sie das Gebäude in ein geeignetes Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Eckpunkte der Dachfläche in einer Ebene E liegen, und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Falls der Neigungswinkel der Dachfläche größer als 30 ist, muss ein Schneefanggitter angebracht werden. Überrpüfen Sie, ob dies der Fall ist. Teilergebnis: E : x 1 5x 2 10x 3 = 100. b) Untersuchen Sie die Lage gegenüberliegender Dachkanten, und bestimmen Sie die Größe der Dachfläche. c) Die trapezförmige Fläche M 2 M 3 C 3 C 2 mit M 2 (5 7 7), M 3 (5 7 4) und C 3 (0 8 4) in der entsprechenden Außenwand ist verglast. Durch diese Glasfläche fällt paralleles Sonnenlicht ein, wobei zu einem bestimmten Zeitpunkt der Lichtstrahl durch die Ecke C 2 im Punkt Q 2 (2 0 2) der gegenüberliegenden Wand A 1 OO 2 A 2 auftrifft. Bestimmen Sie den vom Sonnenlicht getroffenen Bereich dieser Wand und schraffieren Sie diesen in ihrer Zeichnung.
K2 KLAUSUR MATHEMATIK 5 Geometrie Eine ägyptische Pyramide hat eine quadratische Grundfläche ABCD mit A(72 72 0), B( 72 72 0), C( 72 72 0) und die Spitze S(0 0 90) (eine Längeneinheit entspricht dabei 1 m). a) Fertigen Sie eine Zeichnung in einem geeigneten Koordinatensystem (Maßstab 1 : 18) an und bestimmen Sie die Koordinaten von D. Welchen Neigungswinkel besitzt eine Seitenkante zur Grundfläche? Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E 1 durch A, B und S, und geben Sie den Neigungswinkel der Seitenfläche gegenüber der Grundfläche an. (Teilergebnis: E 1 : 5x 2 + 4x 3 = 360) b) Die Ägypter bauten die Pyramide schichtweise. Zum Transport der Steine zur jeweiligen Schicht wurde eine Rampe benötigt. Die zum Transport der Steine benötigte Rampenfläche ist rechteckig und liegt in der Ebene E 2 : 5x 2 + 26x 3 = 1350. x 3 Pyramidenstumpf Rampe x 2 Berechnen Sie die Höhe des bisher gebauten Pyramidenstumpfes. Wie lang ist die zum Transport der Steine benötigte Rampenfläche? c) Der Punkt Q(48 0 30) ist der Schwerpunkt der Seitenfläche DAS. Senkrecht zu dieser Seitenfläche verläuft ein Schacht, dessen Mittelachse von Q ausgeht und in 14 m Höhe über der Grundfläche am Eingang des Königsgrabs endet. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Endpunktes. Eine weitere Kammer wurde um denjenigen Punkt gebaut, der von allen Seitenflächen und der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Bestimmen Sie die Koordinaten von P.