7. Die Brownsche Bewegung

7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG 7 5 5 50 00 50 200 250 0 5 20 Abbildung 7.: Pfad einer Brownschen Bewegung 7. Die Brownsche Bewegung Definition 7.. Ein cadlag stochastischer Prozess {W t } mit W 0 = 0, unabhängigen Zuwächsen und W t hat eine N (0, t) Verteilung, heisst standard Brownsche Bewegung. Ist {W t } eine standard Brownsche Bewegung, so heisst X t = mt+σw t, mit m IR und σ > 0 eine (m, σ 2 )-Brownsche Bewegung. Die Brownsche Bewegung hat ihren Namen vom schottischen Botaniker Robert Brown, der die Bewegung von kleinen Teilchen unter dem Mikroskop beschrieb. Wir wollen nun die Verteilung von W t+s W t für s, t > 0 bestimmen. Wegen den unabhängigen Zuwächsen erhalten wir die momentenerzeugende Funktion, siehe Beispiel 2.0, e (t+s)r2/2 = IIE[e rw t+s ] = IIE[e r(w t+s W t) e rwt ] = M Wt+s W t (r) e tr2 /2. Also gilt M Wt+s W t (r) = e sr2 /2. Da die momentenerzeugende Funktion die Verteilung eindeutig bestimmt (siehe auch Proposition 9.3), ist W t+s W t normalverteilt mit Mittelwert 0 und Varianz s. Somit hat eine Brownsche Bewegung auch stationäre Zuwächse. Aus der Theorie der Markovprozesse folgt, dass die Brownsche Bewegung existiert. Man sieht leicht, dass { aw t/a } auch eine standard Brownsche Bewegung ist. Wir wollen nun zeigen, dass eine Brownsche Bewegung stetige Pfade hat. Proposition 7.2. Eine Brownsche Bewegung {W t } hat stetige Pfade.

8 7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG Beweis. s, ε > 0 Bezeichnen wir mit Φ(x) die Standard-Normalverteilung. Wir haben für t 0 t IIP[ W s+t W s > ε] = t 0 t 2( Φ(ε/ t)) = t 0 ε 2t3 π e ε2 /(2t) = 0, wobei wir die Hôpital sche Regel verwendet haben. Für jedes δ > 0 gibt es somit ein t(δ) δ, so dass Definieren wir nun τ k = kt(δ) und Wir bemerken, dass IIP[ W s+t(δ) W s > ε] < δt(δ). n N δ (n) = I { W (τk+ ) W (τ k ) >ε}. k=0 n M δ (n) = N δ (n) IIP[ W τk+ W τk > ε] ein Martingal ist. Sei T > 0. Wir definieren die beschränkte Stoppzeit Aus dem Stoppsatz folgern wir IIE[N δ (γ δ )] = IIE [ γ δ k=0 k=0 γ δ = min{n : N δ (n) = oder τ n > T }. ] IIP[ W τk+ W τk > ε] IIE [ γ δ k=0 ] δt(δ) = δiie[τ γδ ] δ(t + δ). Auf der Menge, auf der W einen Sprung grösser als 2ε vor dem Zeitpunkt T hat, haben wir δ 0 N δ (γ δ ) =. Somit hat diese Menge Wahrscheinlichkeit 0. Da ε und T beliebig waren, folgt das Resultat. Analog zu Hilfssatz 4.7 haben wir die folgenden Martingale. Hilfssatz 7.3. Sei r IR. Folgende Prozesse sind Martingale i) {W t }, ii) {W 2 t t}, iii) {e rwt r2 t/2 }. Beweis. Prozesses. Dies folgt leicht aus den unabhängigen und stationären Zuwächsen des

7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG 9 2 4 6 8 0 2 3 Abbildung 7.2: Pfad des Prozesses W t /t Der Prozess {W n : n IIN} ist eine Irrfahrt mit Mittelwert 0. Somit wissen wir, dass {W t } oszilliert, das heisst t W t = t W t =. Setzen wir für x > 0, T x = inf{t : W t > x}, so ist T x <. Analog setzen wir für T x = inf{t : W t < x}, was auch eine endliche Stoppzeit ist. Sei nun T b a = T a T b für a < 0 < b. Wir erhalten dann aus dem Stoppsatz, dass {W T b a t} ein beschränktes Martingal ist. Aus dem Konvergenzsatz folgt, dass der Grenzwert W T b a = t W T b a t existiert. Wegen der Beschränktheit folgt 0 = t IIE[W T b a t] = IIE[W T b a ] = aiip[w T b a = a] + biip[w T b a = b]. Somit haben wir IIP[W T b a = a] = b b a. Aus dem starken Gesetz der grossen Zahl folgt, dass W n /n 0 für n. Wir zeigen nun W t /t 0 für t. Hilfssatz 7.4. Es gilt t W t /t = 0. Beweis. Sei n IIN. Dann gilt für a > 0 IIP[ sup s (n,n+] W s W n a] = IIP[ sup W s a]. s (0,] Der Prozess {W 2 t } ist ein Submartingal. Es folgt dann also aus Hilfssatz 6.2 IIP[ sup W s a] = IIP[ sup Ws 2 a 2 ] IIE[W 2 ] = a 2. s (0,] s (0,] a 2

20 7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG Somit haben wir IIP[ n= sup s (n,n+] W s W n nε] ε 2 n 2 <. Also gilt nach dem Lemma von Borel Cantelli, dass das Ereignis {sup s (n,n+] W s W n nε} nur endlich oft eintritt. Damit ist W t t t n= t W t + W t W t t ε. Da ε beliebig ist, folgt t W t /t 0. Analog folgt t W t /t 0. Hilfssatz 7.5. Sei W t = tw /t für t > 0, und W 0 = 0. Dann ist { W t } eine standard Brownsche Bewegung. Beweis. Lassen wir t 0, so folgt aus Hilfssatz 7.4, dass { W t } stetig in 0 ist. Somit hat { W t } stetige Pfade. Da {W t } unabhängige Zuwächse hat, hängt für s > t der Zuwachs W s W t von der Vorgeschichte nur von W t ab. Wenn wir also zeigen, dass W s W t bedingt auf W /t eine N (0, t s) Verteilung hat, dann hat { W t } unabhängige Zuwächse. Die gemeinsame Dichte von (W /t, W /s ) ist f(x, y) = { ( y 2π /s(/t /s) exp 2 (x )} y)2 +. 2 /s /t /s Somit wird die bedingte Dichte von W /s gegeben W /t = x s 2 { 2π(s t) exp ( s2 2(s t) y xt s ) 2 }. Das heisst, die bedingte Verteilung von W /s ist eine Normalverteilung mit Mittelwert tw /t /s und Varianz (s t)/s 2. Für die momentenerzeugende Funktion erhalten wir nun IIE[exp{r(sW /s tw /t )} W /t ] = exp{rstw /t /s + 2 r2 s 2 (s t)/s 2 rtw /t } = e r2 (s t)/2. Somit hat { W t } die geforderte Verteilung.

7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG 2 Wollen wir die Ableitung von W t in t berechnen, erhalten wir (W t+s W t )/s = s(w t+/s W t ) =, s 0 s wobei wir verwendet haben, dass {W t } unabhängige und stationäre Zuwächse hat. Analog folgt s 0 (W t+s W t )/t =. Also ist {W t } in t nicht differenzierbar. Es lässt sich sogar zeigen, dass {W t } fast sicher in keinem Punkt Hölder-stetig der Ordnung γ für jedes γ > ist, siehe [4]. Daher folgt, dass die Brownsche Bewegung 2 fast sicher nirgends differenzierbar ist. Korollar 7.6. Intervall [0, ε) unendlich oft. Beweis. Die (m, σ 2 )-Brownsche Bewegung schneidet die t-achse in jedem Aus Korollar 5.2 folgt, dass die Brownsche Bewegung {σt(w /t + µ/σ)} die t-achse in jedem Intervall (ε, ) unendlich oft schneidet. Dies ist äquivalent zur Aussage. Wir sehen also, dass T 0 = T 0 = 0. Sei nun {X t } eine (m, σ 2 )-Brownsche Bewegung. Wir nehmen zuerst m < 0 an. Dann konvergiert X t nach und {e 2mXt/σ2 } ist ein Martingal. Sei x > 0. Wir erhalten = IIE[e 2mX T x t/σ 2 ] = e 2mx/σ2 IIP[T x t] + IIE[e 2mXt/σ2 ; T x > t]. Der erste Term ist wachsend in t, der zweite Term ist durch e 2mx/σ2 beschränkt. Somit können wir Grenzwert und Erwartungswert vertauschen, und erhalten für t IIP[T x < ] = e 2mx/σ2. Wir wollen nun die Ruinwahrscheinlichkeit in endlicher Zeit betrachten. Sei m IR und x > 0. Dann erhalten wir IIP[T x t] = IIP[ sup σsw /s + ms > x] = IIP[ sup σw s /s + m/s > x] 0 s t s /t = IIP[ sup σw s xs > m] s /t = IIE[IIP[ sup σ(w s W /t ) x(s /t) > m (σw /t x/t) W /t ]] s /t (x tm)/(σ t) ( x tm ) = Φ σ + t ( tm x ) (x tm)/(σ t) = Φ σ + e 2mx/σ2 t ( tm x ) ( = Φ σ + e 2mx/σ2 Φ tm + x ) t σ. t e 2x(m+(σy/ t x/t))/σ 2 2π e y2 /2 dy 2π e (y 2x/(σ t)) 2 /2 dy

22 7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG Setzen wir m = 0 und σ =, so erhalten wir IIP[ sup W s > x] = 2Φ( x/ t) = 2IIP[W t > x]. 0 s t Diese Formel ist allgemein bekannt unter dem Namen Reflektionsprinzip. In der Tat kann man wegen der Symmetrie den Pfad ab der Stelle wo x erreicht wird spiegeln. Dann gehört zu jedem Pfad, der x erreicht und zum Zeitpunkt t in x y endet ein Pfad, der in x + y endet, da jeder dieser Pfade ja x zuerst erreicht. Damit erhält man obige Formel. Als nächstes beweisen wir die folgenden Abschätzungen der Standardnormalverteilung für x > 0 (x + x ) /2 2π e x2 < IIP[W > x] < x /2 2π e x2. (7.) Mittels partieller Integration erhalten wir IIP[W > x] = 2π x y ye y2 /2 dy = x 2π e x2 /2 2π x y 2 e y2 /2 dy. Die eine Richtung folgt, da der Integrand positiv ist. Die andere Richtung folgt aus /2 2π y 2 e y2 dy < x x 2 2π x e y2 /2 dy = IIP[W > x] x 2. Wir können nun das Gesetz vom iterierten Logarithmus beweisen. Satz 7.7. Für eine standard Brownsche Bewegung gilt t W t 2t log log t =. Bemerkung. Wegen der Symmetrie folgt automatisch t W t 2t log log t =. Beweis. Sei α > und t n = α n. Wir setzen f(t) = 2α 2 log log t. Dann haben wir [ IIP sup W s > ] [ t n f(t n ) IIP sup W s > ] t n+ f(t n )/α t n<s t n+ 0<s t n+ = 2IIP[W tn+ > t n+ f(t n )/α] = 2IIP[W tn+ / t n+ > f(t n )/α] 2 α 2α 2π f(t n ) e f(tn)/(2α) = πf(t n ) n α (log α) α.

7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG 23 30 20 0 0 50 00 50 200 250 20 30 Abbildung 7.3: Gesetz vom iterierten Logarithmus Für n gross genug ist dies beschränkt durch n α. Da n= n α < gilt, haben wir aus dem Borel Cantelli-Lemma, dass {sup tn<s t n+ W s > t n f(t n )} nur endlich oft eintritt. Somit gilt W t > tf(t) t n f(t n ) nur auf endlich vielen Intervallen (t n, t n+ ]. Also haben wir t W t 2t log log t α. Da α > beliebig war, folgt die obere Grenze. Setze β = (α )/α und g(t) = 2β 2 log log t. Wir können annehmen, dass g(t n ) β. Wir haben t n t n = βt n. Es gilt dann g(t n )/β + β/g(t n ) 2g(t n )/β, und somit IIP[W tn W tn > t n g(t n )] = IIP[(t n t n ) /2 (W tn W tn ) > β g(t n )] = IIP[W > β g(t n )] 2 β 2π g(t n ) e g(tn)/(2β) β = 8πg(t n ) (log α) β n β. Da die rechte Seite nicht summierbar ist, und die Ereignisse unabhängig sind, tritt das Ereignis nach dem Borel Cantelli-Lemma unendlich oft ein. Es gilt n t n log log t n t n log log t n = α. Wegen dem bereits gezeigten, gilt W tn > ( + ε)α /2 2t n log log t n für fast alle n und alle ε > 0. Also schliessen wir dass für unendlich viele n W tn > α /2 2t n log log t n + t n g(t n ) = (β α /2 ) 2t n log log t n.

24 7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG Also gilt n Lassen wir α, folgt die Aussage. W tn 2tn log log t n α α α. Für einen Prozess {Z t } definieren wir den Variationsprozess { n } V t = sup Z ti Z ti, wobei wir das Supremum über alle 0 = t 0 < t < < t n = t und alle n nehmen. Wir sagen, {Z t } hat endliche Variation, falls V t < für alle t. und Wir schreiben nun { n } Z t = sup (Z ti Z ti ) + { n } Z t = Z t (Z t Z 0 ) = sup (Z ti Z ti ). Die Prozesse {Z t } und {Z t } sind dann wachsend, Z t = Z 0 + Z t Z t und V t = Z t + Z t. Sind {A t } und {B t } zwei wachsende Prozesse mit A 0 = B 0 = 0, so dass Z t = Z 0 + A t B t, so gilt A t Z t und daher auch B t Z t. Dies folgt aus Z ti Z ti = A ti A ti (B ti B ti ) A ti A ti. Betrachten wir nun die Brownsche Bewegung. Wir haben und [ 2 n ] IIE (W i2 n t W (i )2 n t) 2 = t [{ 2 n } 2 ] IIE (W i2 n t W (i )2 n t) 2 = 2 n {IIE[(W i2 n t W (i )2 n t) 4 ] IIE[(W i2 n t W (i )2 n t) 2 ] 2 } + 2 n 2 n j= IIE[(W i2 n t W (i )2 n t) 2 ]IIE[(W j2 n t W (j )2 n t) 2 ] = 2 n {3 }(2 n t) 2 + (2 n 2 n t) 2 = t 2 ( + 2 n+ ).

7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG 25 Wir schliessen daraus, dass [{ 2 n } 2 ] IIE (W i2 n t W (i )2 n t) 2 t = 2 n+ t 2 und damit aus der Chebychev-Ungleichung [ 2 n ] IIP (W i2 n t W (i )2 n t) 2 n+ t2 t > ε 2 ε ;. 2 Da letzterer Ausdruck summierbar ist, folgt aus dem Borel Cantelli-Lemma, dass 2 n (W i2 n t W (i )2 n t) 2 t > ε nur für endlich viele n gilt. Also konvergiert 2 n folgt nun 2 n (W i2 n t W (i )2 n t) 2 nach t. Es 2n W i2 n t W (i )2 n t (sup W i2 n t W (i )2 n t ) (W i2 n t W (i )2 n t) 2. i Da die Pfade stetig sind, folgt dass sup i W i2 n t W (i )2 n t gegen Null konvergiert. Das heisst, die Brownsche Bewegung hat unendliche Variation. Aus der Stetigkeit der Pfade folgt, dass der Grenzwert von n (W t i W ti ) 2 nicht von der Wahl von {t k } abhängt, solange sup k (t k t k ) 0. Somit haben wir Q t = n n (W ti W ti ) 2 = t. Der Prozess {Q t } heisst quadratische Variation.

26 7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG