5 Spezielle Funktionen

5 Spezielle Funktionen In diesem Kapitel werden einige wichtige Funktionen der Mathematischen Physik vorgestellt. Solche Funktionen sind in der Quantentheorie in mehrfacher Hinsicht von Bedeutung: Einmal erscheinen sie in Form von analytischen Lösungen einfacher physikalischer Probleme, wie beispielsweise die Hermite-Funktionen als Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators. Zum anderen liefern diese Funktionen eine bequeme Basis des Hilbert-Raums. Eine solche Basis kann man verwenden, um andere Probleme darzustellen und dann als Matrixgleichungen zu behandeln. Beides haben wir am Beispiel der Hermite-Funktionen im vorangehenden Kapitel kurz vorgestellt. 5. Orthogonale Polynomsysteme In Kapitel wurde das Skalarprodukt auf dem Hilbert-Raum der Polynome P x und Rx im Intervall a x b als Skalarprodukt P R = b a P xrxϱx dx 5. definiert. Dabei ist ϱx eine nicht-negative stetige Gewichtsfunktion. Dieses Skalarprodukt erlaubt es nun, den Begriff Orthogonalität auch für Polynome zu definieren. Zwei Polynome sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist: Ein orthogonales Polynomsystem besteht dann aus Polynomen P n x vom Grad n = 0,,..., die paarweise orthogonal sind: P m P n = b a P m xp n xϱx dx = c n δ mn. 5. Oft ist es zweckmäßiger, statt der Polynome P n x die Funktionen zu verwenden, die nach p n x = ϱx/c n P n x 5.3 b a p m x p n x dx = δ mn 5.4 normiert sind und die die Vollständigkeitsrelation p n x p n x = δx x 5.5 Wir beschränken uns hier auf reelle Polynome. n 3

5. Spezielle Funktionen erfüllen. Dabei ist δx die Deltafunktion. Eine typische Anwendung orthogonaler Polynome besteht darin, Funktionen aus dem Hilbert-Raum quadratintegrierbarer Funktionen in diesen Polynomsystemen darzustellen, also als fx = n a n p n x. 5.6 Dabei ergeben sich die Koeffizienten a n durch Projektion auf die Basisfunktionen: a n = b a fx p n x dx. 5.7 Nach dem Satz von Fischer-Riesz konvergiert die Reihe 5.6 fast überall gegen die Funktion fx, wenn die Reihe n a n konvergiert. Abhängig von dem Intervall und der Gewichtsfunktion existieren unterschiedliche Polynomsysteme mit unterschiedliche Anwendungsgebieten. Wir werden hier drei typische Systeme vorstellen: Die Hermite-Polynome, die Legendre- Polynome und die Laguerre-Polynome. 5.. Hermite-Polynome Hermite- Um orthogonale Polynome auf der gesamten x-achse zu konstruieren, muss man eine Gewichtsfunktion ϱx wählen, die für große x schnell genug abfällt. Hier bietet sich eine Gauß-Funktion ϱx = e x an. Damit erhält man die Hermite-Polynome H n x. Sie erfüllen die Orthonormierungsrelation Polynome H m xh n x e x dx = π n n! δ mn, 5.8 stehen also paarweise aufeinander senkrecht. Die Polynome niedrigster Ordnung lauten H 0 x =, H x = x, H x = 4x H 3 x = 8x 3 x, H 4 x = 6x 4 48x +. 5.9 Erzeugende Diese Hermite-Polynome, dargestellt in Abbildung 5., haben jeweils n reelle Nullstellen. Man kann zeigen, dass zwischen benachbarten Nullstellen von H n x immer eine Nullstelle von H n+ x liegt. Die Hermite-Polynome entstehen auch durch Entwicklung der Erzeugenden hx, u in eine Taylor-Reihe: hx, u = e u +ux = n=0 H n x un n!. 5.0 Wir wollen auf diese Weise mit Hilfe der Erzeugenden 5.0 die in 5.9 angegebenen Polynome niedrigsten Grades verifizieren. Mit der Taylor-Entwicklung hx, u = e u +ux = n=0 n! u + ux n 5. 4

5.. Orthogonale Polynomsysteme 0.5 0 0.5 0 x Abbildung 5.: Hermite-Polynome H n x für n = 0, und 4 sowie n = und 3 - - -. Die Polynome wurden auf den Wert eins bei x = renormiert. finden wir in niedrigster Ordnung hx, u + u + ux + u + ux = u + ux + u4 u 3 x + u x + xu + 4x u. 5. Dabei stimmen die drei Koeffizienten, wie erhofft, mit den Polynomen 5.9 überein. Mit mehr Aufwand lassen sich so auch die Hermite-Polynome höheren Grades bestimmen. Aufgabe 5. Zeigen Sie, dass die mit der Entwicklung 5.0 erzeugten Poly- Aufgabe 5. nome H n x die Orthonormierungsrelation 5.8 erfüllen. Hinweis: Integrieren Sie dazu das Produkt hx, uhx, v über x. Als Folgerung der Formel 5.0 für die Erzeugende sehen wir, dass die Hermite- Polynome folgende Parität besitzen: H n x = n H n x. 5.3 Das ergibt sich direkt aus h x, u = hx, u. Sie sind also abwechselnd symmetrisch und antisymmetrisch. Die Aussage von 5.0 lässt sich mit Hilfe von H n x = n h u n 5.4 u=0 auch ausdrücken als H n x = n e x dn dx n e x, 5.5 5

5. Spezielle Funktionen Rodrigues- Gleichung Rekursionsgleichung die so genannte Rodrigues-Gleichung. Auch mit dieser Formel können wir leicht die fünf Hermite-Polynome aus 5.9 berechnen. Bei Polynomen von höherem Grad werden diese Methoden aber sehr unhandlich. Eine bequemere Berechnung der Hermite-Polynome ermöglicht die Rekursionsgleichung H n+ x = xh n x nh n x. 5.6 Die Ableitungen der Polynome erhält man mit H nx = nh n x. 5.7 Die Hermite-Polynome lösen die Differentialgleichung f x xf x + nfx = 0, 5.8 was direkt aus den Rekursionsgleichungen folgt: Setzen wir die zweite Gleichung in die erste ein, und differenzieren, so erhalten wir H n+ x = xh n x H nx 5.9 H n+x = xh nx + H n x H nx. 5.0 Jetzt benutzen wir die Rekursionsgleichung 5.7 für die Ableitung noch einmal in der Form H n+x = n + H n x mit dem Resultat nh n x = xh nx + H n x H nx 5. oder, in Übereinstimmung mit 5.8, H nx xh nx + nh n x = 0. 5. Hermite- Funktionen Oft verwendet man statt der Hermite-Polynome die Hermite-Funktionen ϕ n x = A n H n x e x /, A n = n n! π. 5.3 Ein kurzer Blick auf Gleichung 5.8 zeigt, dass hier die gaußförmige Gewichtsfunktion e x in zwei gleiche Faktoren zerlegt wird, die man dann den Hermite- Polynomen zuschlägt. Das gleiche gilt für den Ausdruck auf der rechten Seite von 5.8. Der Faktor A n sorgt für eine Normierung der Funktionen auf einen Integralwert von eins in Gleichung 5.8. Umgeschrieben auf die Hermite- Funktionen nimmt diese Gleichung dann die Form ϕ n x ϕ n x dx = δ n n 5.4 an. Das heißt, die Hermite-Funktionen sind orthonormiert. In Abbildung 5. sind die Hermite-Funktionen ϕ n x für n = 0 bis n = 4 dargestellt. 6

5.. Orthogonale Polynomsysteme 4 0 4 x Abbildung 5.: Hermite-Funktionen ϕ n x für n = 0, und 4 sowie n = und 3 - - -. Zur besseren Darstellung wurden die Funktionen jeweils um ein Vielfaches von n nach oben verschoben. Mit nur wenig Rechenarbeit können wir auch zeigen, dass die ϕ n x die Differentialgleichung ϕ x + n + x ϕx = 0 5.5 lösen. Um dies zu sehen, setzen wir ϕx = fxe x /. Die Funktion fx ist bis auf einen Normierungsfaktor gleich einem Hermite-Polynom und erfüllt als die Differentialgleichung 5.8. Zweimaliges Differenzieren ergibt ϕ x = f x xfx e x / ϕ x = f x xf x fx e x / x f x xfx e x / 5.6 = f x xf x + x fx e x /, 5.7 und mit f x xf x = nfx nach 5.8 erhalten wir sofort die gesuchte Differentialgleichung 5.5. Die Differentialgleichung 5.5 ist eine fundamentale Gleichung in der Quantenmechanik, denn sie ist die Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator 4.33 mit den Eigenwerten ɛ = n + / vgl. Seite 88. Zum Abschluss notieren wir noch die Symmetrie ϕ n x = n ϕ n x 5.8 der Hermite-Funktionen, eine direkte Folge der Symmetrie 5.3 der Polynome. Die Vollständigkeitsrelation 5.5, also ϕ n x ϕ n x = δx x, 5.9 n erlaubt es uns, quadratintegrable Funktionen fx durch die Hermite-Funktionen darzustellen: fx = n c n ϕ n x mit c n = ϕ n xfx dx. 5.30 7

5. Spezielle Funktionen Beispiel 5. Man benutzt die Hermite-Funktionen oft als Basisfunktionen des Hilbert-Raums der quadratintegrablen Funktionen, um dadurch eine unendlich dimensionale Matrixdarstellung der Operatoren zu erhalten. Ein typisches Beispiel soll dieses Vorgehen illustrieren: Beispiel 5. Wir betrachten zunächst den Ortsoperator ˆx und berechnen seine Matrixelemente in der Basis der Hermite-Funktionen ϕ n ˆx ϕ n = ϕ n x xϕ n x dx = A n A n H n x e x / xh n xe x / dx 5.3 = A n A n H n xxh n x e x dx. Für den Impulsoperator ˆp = id/dx hier benutzen wir dimensionslose Einheiten mit = finden wir entsprechend d ϕ n ˆp ϕ n = i ϕ n x dx ϕ nx dx = ia n A n H n x e x / H nx xh n x e x / dx 5.3 = ia n A n H n x H nx xh n x e x dx. Eine Auswertung dieser Integrale ist möglich, ohne irgendein Integral zu berechnen. Wir überlassen das einer Aufgabe: Aufgabe 5. Aufgabe 5. Berechnen Sie mit Hilfe der Rekursionsgleichungen und der Orthonormierungsrelation der Hermite-Polynome die Matrixelemente des Ortsund Impulsoperators aus den Gleichungen 5.33 und 5.3. Als Resultat von Aufgabe 5. erhalten wir eine einfache Matrixdarstellungen für den Ortsoperator: 0 0 0... ˆx = 0 0... 0 0 3... 0 0. 5.33 3 0.......... Diese Matrix ist reell und symmetrisch. Genauso einfach ist das Resultat für den Impulsoperator. Seine Matrixdarstellung 0 0 0... ˆp = i 0 0... 0 0 3.... 5.34 0 0 3 0.......... 8

5.. Orthogonale Polynomsysteme Wie zu erwarten war sind beide Matrizen hermitesch, d.h. es gilt ˆx n n = ˆx nn und ˆp n n = ˆp nn, denn der Ortsoperator und der Impulsoperator sind hermitesch. Es ist hier wichtig, darauf hinzuweisen, dass diese Matrizen unendlich dimensional sind. Die Argumente aus Abschnitt 3.4, die eine endlich dimensionale Matrixdarstellung von Orts- und Impulsoperator verbieten, treffen also hier nicht zu. Wir werden in Abschnitt 7.3 auf diese Matrixdarstellung zurückkommen und demonstrieren, wie man sie in numerischen Rechnungen verwenden kann. 5.. Legendre-Polynome Wenn das Integrationsintervall in 5. endlich ist, lässt es sich durch Umskalieren der Variablen auf das Intervall x + transformieren. Außerdem existieren die Integrale auch für eine konstante Gewichtsfunktion ϱx =. Die dann entstehenden Legendre-Polynome P n x erfüllen die Orthonormierungsrelation + P m xp n x dx = n + δ mn. 5.35 Sie sind so normiert, das P n = gilt. Die Polynome niedrigster Ordnung lauten Legendre- Polynome P 0 x =, P x = x, P x = 3 x P 3 x = 5 x3 3 x, P 4x = 35 8 x4 5 4 x + 3 8. 5.36 Sie sind in Abbildung 5.3 dargestellt. 0 0.5 0 0.5 x Abbildung 5.3: Legendre-Polynome P n x für n = 0, und 4 sowie n = und 3 - - -. Genau wie die Hermite-Polynome entstehen die P n x durch Entwicklung einer Erzeugenden hx, u in eine Taylor-Reihe: hx, u = = P n x u n. 5.37 ux + u n=0 9

5. Spezielle Funktionen Ihre Rodrigues-Gleichung ist gegeben durch P n x = n n! und die Rekursionsgleichungen lauten d n dx n x n 5.38 n + P n+ x = n + xp n x np n x 5.39 x P nx = nxp n x np n x. 5.40 Die Legendre-Polynome haben die Parität P n x = n P n x 5.4 und lösen die Differentialgleichung x f x xf x + nn + fx = 0, 5.4 die legendresche Differentialgleichung. Neben diesen normalen Legendre-Polynomen gibt es auch verallgemeinerte Legendre-Polynome, die auch als zugeordnete Legendre-Polynome be- zeichnet werden. Das sind Lösungen Pn m x der Differentialgleichung zugeordnete Legendre- Polynome x f x xf x + nn + m fx = 0, 5.43 x wobei m die ganzen Zahlen von n bis +n durchlaufen kann. Bei vorgegebenem n gibt es also n+ Funktionen P m n x. Man kann zeigen, dass diese Lösungen durch die Rodrigues-Gleichung Pn m x = m x m/ dn+m n n! dx n+m x n 5.44 gegeben sind eine direkte Verallgemeinerung der Gleichung 5.38 für die normalen Legendre-Polynome. Alternativ erhält man die Polynome für m > 0 durch m-fache Differentiation aus den einfachen Legendre-Polynomen, Pn m x = m x m/ dm dx P nx, 5.45 m und für negativen oberen Index aus der Beziehung Pn m m n m! x = n + m! P n m x. 5.46 Für m = 0 stimmen die P 0 n x mit den P n x überein. Wir berechnen aus diesen Gleichungen die verallgemeinerten Legendre-Polynome für n = und n = : Aus P 0 x = P x = x erhalten wir P + x = x / P x = x P! x = +! P + x = + 5.47 x 30

5.. Orthogonale Polynomsysteme 4 3 0 3 4 0 3 4 5 6 x Abbildung 5.4: Laguerre-Polynome L n x für n = 0, und 4 sowie n = und 3 - - -. Die Polynome wurden auf den Wert eins bei x = 0 renormiert. und aus P 0 x = 3 x die vier Funktionen P + x = x / P x = 3x x P! x = +! P + x = x x P + x = x / P x = 3 x P! x = +! P + x = 8 x. 5.48 Wir werden diesen verallgemeinerten Legendre-Polynomen im Abschnitt 5. über die Kugelfunktionen wieder begegnen. 5..3 Laguerre-Polynome Funktionen, die von einem Abstand abhängen, wie zum Beispiel der Radialteil der Lösungen der Schrödinger-Gleichung in Polarkoordinaten, lassen sich durch Polynome auf einem halb-unendlichen Intervall 0 x < darstellen. Die Gewichtsfunktion ϱx = e x liefert hier als orthogonales Polynomsystem die Laguerre-Polynome L n x mit der Orthonormierungsrelation 0 L m xl n x e x dx = n! δ mn. 5.49 Laguerre- Polynome Die Polynome niedrigster Ordnung L 0 x =, L x = x, L x = x + x / 5.50 L 3 x = 6 8x + 9x x 3, L 4 x4 96x + 7x 6x 3 + x 4 sind in Abbildung 5.4 dargestellt. 3

5. Spezielle Funktionen Die Erzeugende hx, u der Laguerre-Polynome ist hx, u = e xu u = u L n x u n, 5.5 und ihre Rodrigues-Gleichung ist gegeben als n=0 n + L n+ x = n + xl n x nl n x 5.53 xl nx = nl n x nl n x. 5.54 Die L n x sind Lösungen der laguerreschen Differentialgleichung xf x + xf x + nfx = 0. 5.55 L n x = ex d n x n e x. 5.5 n! dx n Einfache Berechnungen der Polynome ermöglichen auch hier wieder die Rekursionsgleichungen verallgemeinerte Laguerre- Polynome Auch in diesem Fall existieren verallgemeinerte Laguerre-Polynome L k nx = k dk dx L n+kx, n, k = 0,,,.... 5.56 k Diese Polynome n-ten Grades haben die explizite Darstellung L k nx = n j=0 und erfüllen die Differentialgleichung j n + k! n j! k + j! j! xj 5.57 xf x + k + xf x + nfx = 0, 5.58 die beispielsweise bei der Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung für das Coulomb-Potential auftritt siehe Seite 5. Sie beschreiben die radiale Abhängigkeit der Wellenfunktionen der Atomorbitale. 5. Kugelfunktionen Kugelfunktionen Für viele Anwendungen, beispielsweise bei der Behandlung eines Problems in einem dreidimensionalen Raum in sphärischen Polarkoordinaten r, θ und φ, benötigt man ein orthogonales Funktionensystem auf der Oberfläche einer Kugel um den Koordinatenursprung. Ein solches Funktionensystem wird uns durch die gemeinsamen Eigenfunktionen der Drehimpulsoperatoren ˆL z und ˆL geliefert siehe Seite 3; dabei wurde den Faktor gleich eins gesetzt die Kugelfunktionen oder Kugelflächenfunktionen Y lm ϑ, φ: ˆL z Y lm ϑ, φ = i ˆL Y lm ϑ, φ = φ Y lmϑ, φ = m Y lm ϑ, φ 5.59 sin ϑ sin ϑ ϑ ϑ + m sin ϑ Y lm ϑ, φ = l l + Y lm ϑ, φ 5.60 3

5.. Kugelfunktionen mit l = 0,,,... und m = l,..., l. Sie sind so normiert, dass das Integral von Y lm über die Einheitskugel gleich eins ist: Ylmϑ, φ dω = 5.6 vgl. Gleichung 4.67. Dabei ist dω = sin ϑ dϑd φ das Raumwinkelelement, also das Flächenelement auf der Einheitskugel. Außerdem wissen wir, das diese Funktionen als Eigenfunktionen hermitescher Operatoren orthogonal sind: Y l m ϑ, φ Y lmϑ, φdω = δ l,l δ m,m. 5.6 Die Kugelfunktionen stehen in direktem Zusammenhang mit den verallgemeinerten Legendre-Polynomen Pl m x aus Abschnitt 5.., wobei wir den Index n durch l ersetzt haben. Das wird sofort klar, wenn wir die legendresche Differentialgleichung 5.43 als d x df dx dx + ll + m fx = 0 5.63 x umschreiben und dann auf die Variable x = cos ϑ transformieren. Mit d dx = dϑ d dx dϑ = d sin ϑ dϑ und x = sin ϑ erhalten wir so aus 5.63 die Gleichung oder d sin ϑ dϑ 5.64 sin ϑ df + ll + m dϑ sin fϑ = 0, 5.65 ϑ d sin ϑ df + m sin ϑ dϑ dϑ sin fϑ = ll + fϑ. 5.66 ϑ Vergleichen wir diesen Ausdruck mit der Differentialgleichung für die Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators ˆL, also für die Kugelfunktionen Y lm ϑ, ϕ aus Gleichung 4.66, so findet man Übereinstimmung. Die Kugelfunktionen Y lm stimmen also bis auf die Normierung mit den verallgemeinerten Legendre- Polynomen Pl m cos ϑ überein: l + l m! Y lm ϑ, φ = 4π l + m! eimφ P l cos ϑ 5.67 Aufgabe 5.3 Vergewissern Sie sich, dass die Kugelfunktionen Y l 0 in Glei- Aufgabe 5.3 chung 5.67 korrekt normiert sind, also wie in 4.67. Wir haben auf diese Weise also die Eigenzustände der Operatoren ˆL und ˆL z in der Ortsdarstellung konstruiert, denn die Funktionen Y lm ϑ, φ erfüllen die Eigenwertgleichung ˆL Y lmϑ, φ = ll + Y lmϑ, φ, ˆLz Y lmϑ, φ = m Y lmϑ, φ 5.68 33

5. Spezielle Funktionen für m = l, l +,..., l, l vgl. auch Gleichungen 4.65 und 4.66. Die oben berechneten verallgemeinerten Legendre-Polynome aus den Gleichungen 5.47 bis 5.48 können wir direkt in die Kugelfunktionen umschreiben: Die Kugelfunktion für l = 0, Y 0, 0 ϑ, φ = 4π, 5.69 ist winkelunabhängig, für l = ergeben sich die drei Funktionen 3 Y, 0 ϑ, φ = cos ϑ 4π 3 Y,± ϑ, φ = sin ϑ 8π e±iφ, und für l = ergeben sich die fünf Funktionen Y, 0 ϑ, φ = 3 cos ϑ 5 6π Y,± ϑ, φ = Y,± ϑ, φ = 5 8π sin ϑ cos ϑ e±iφ 5 3π sin ϑ e ±iφ. 5.70 5.7 Genauso lassen sich Kugelfunktionen mit höheren Indizes berechnen, beispielsweise Y, 0 ϑ, φ = 7 4 π 5 cos 3 ϑ 3 cos ϑ. 5.7 Die Beträge Y lm, ϑ, φ der Kugelfunktionen sind unabhängig vom Winkel φ, also rotationssymmetrisch um die z-achse. Zur Visualisierung der Funktionen kann man beispielsweise ihren Betrag als einen radialen Abstand von Zentrum auffassen und Rθ = Y lm, ϑ, φ plotten, wie in Abbildung 5.5 für die Funktionen Y,0, Y,0 und Y 3,0. Aufgabe 5.4 Aufgabe 5.4 Als letzte Eigenschaft der Kugelfunktionen sei noch die Parität Y lm π ϑ, φ + π = l Y lm ϑ, φ angeführt. Die Kugelfunktionen sind also symmetrisch oder antisymmetrisch bei einer Spiegelung am Koordinatenursprung. Beweisen Sie diese Eigenschaft! 5.3 Bessel-Funktionen* Bessel- Funktionen In diesem Abschnitt werfen wir eine kurzen Blick auf eine Klasse nicht-polynomialer Funktionen, die in der Quantenmechanik eine Rolle spielen, die Bessel- Funktionen. Sie sind Lösungen der besselschen Differentialgleichung 34

5.3. Bessel-Funktionen* Abbildung 5.5: Grafische Darstellung der Kugelfunktionen Y,0 links, Y,0 Mitte und Y 3,0 rechts, dargestellt als radialer Abstand von Zentrum. Hier ist die z-achse um einen Winkel von 0 nach vorne verkippt.. f x + x f x + n fx = 0. 5.73 x Wir unterstellen hier zunächst x R und n Z, aber dir Funktionen lassen sich auch für reelle Werte von n und komplexe Werte von x erklären. Die Bessel-Funktionen erster Art, J n x, sind analytische Funktion und man bezeichnet sie oft auch einfach als Bessel-Funktionen. Neben diesen benötigt man ab und zu auch die Bessel-Funktionen zweiter Art, die als Y n x bezeichnet werden. Sie sind linear unabhängig von den J n x und streben für x = 0 gegen unendlich. Manchmal trifft man auch auf die komplexwertigen Linearkombinationen H n x = J n x + iy n x und H n x = J n x iy n x, die Hankel-Funktionen. Auch hier existiert eine Erzeugende, hx, u = e x u u = oder umgeschrieben mit u = e iφ e ix sin φ = J n x u n, u 0, 5.74 n=0 J n x e inφ. 5.75 n=0 ix sin φ Das identifiziert man als eine Fourier-Reihe der periodischen Funktion e mit den Entwicklungskoeffizienten J n x. Von Bedeutung sind auch die Reihenentwicklung k x n+k J n x = 5.76 k!n + k! und die Integraldarstellung k=0 J n x = π +π π dφ e ix sin φ nφ. 5.77 35

5. Spezielle Funktionen 0.5 0 0.5 0 5 0 5 0 Abbildung 5.6: Bessel-Funktionen J n x für n = 0, n = - - und n =.... x Hier sollte man sich davon überzeugen, dass diese Integraldarstellung wirklich eine reellwertige Funktion J n x ergibt natürlich für reelle Werte von x, und dass man sie aus Gleichung 5.75 herleiten kann. Die Rekursionsgleichungen lauten J n+ x = n x J nx J n x 5.78 J nx = n x J nx + J n x. 5.79 Die Bessel-Funktionen mit negativen und positiven Indizes sind bis auf das Vorzeichen gleich: J n x = n J n x. 5.80 Abbildung 5.6 zeigt die Bessel-Funktionen J n x für n = 0,,. Man sieht, dass diese Funktionen oszillieren und für große Werte von x gegen null gehen. Eine genauere Analyse liefert die Asymptotik J n z πz cos z n π π 4. 5.8 Für x = 0 gilt J n 0 = δ n,0. sphärische Bessel- Funktion Außer den Bessel-Funktionen mit ganzzahligem Index treten noch häufig solche mit halbzahligem Index auf. In der Quantenmechanik geht es dabei oft um Drehimpulsquantenzahlen und daher wählen wir hier wieder den Index l. Diese Funktionen sind die sphärischen Bessel-Funktionen erster und zweiter Art oder auch sphärische Bessel- und Neumann-Funktionen: π π j l x = x J l+ x, y l x = x Y l+ x. 5.8 36

5.4. Lösungen der Übungsaufgaben Die Funktionen niedrigster Ordnung sind j 0 x = sin x x, j x = sin x cos x x x, 5.83 y 0 x = cos x x und die Rekursionsgleichungen lauten j l+ x = l + x, y x = cos x x sin x x, 5.84 j l x j n x 5.85 j nx = l + x j nx + j n x 5.86 und genauso für die y n x. Außerdem lassen sie sich aus den Funktionen j 0 x und y 0 x durch Differentiation gewinnen: j l x = x l x d lj0 x, y l x = x l dx x d ly0 x. 5.87 dx Die sphärischen Bessel-Funktionen sind Lösungen der Differentialgleichung f x + x f x + ll + fx = 0. 5.88 x Diese Differentialgleichung beschreibt beispielsweise in der Quantenmechanik die radiale Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen in Kugelkoordinaten siehe Gleichung 4.7 auf Seite 4. Von Bedeutung sind außerdem die Summenregel und die Integralrelation 0 l + jl x = 5.89 l=0 dr r j l kr j l k r = π k δk k. 5.90 Aufgabe 5.5 Oft ist es zweckmäßiger, statt der sphärischen Besselfunktionen Aufgabe 5.5 j l x die Riccati-Besselfunktionen S l x = xj l x zu verwenden. Sie berechnen sich nach der gleichen Rekursionsgleichung 5.85, jedoch mit S 0 x = sin x, S x = /x sin x cos x. Warum? Zeigen Sie: Die Riccati-Besselfunktionen erfüllen die Differentialgleichung S x + ll + Sx = 0. x 37

5. Spezielle Funktionen 5.4 Lösungen der Übungsaufgaben Aufgabe 5. Seite 5 : Zeigen Sie, dass die mit der Entwicklung 5.0 Aufgabe 5. erzeugten Polynome H n x die Orthonormierungsrelation 5.8 erfüllen. Hinweis: Integrieren Sie dazu das Produkt hx, uhx, v über x. Lösung: Wir folgen dem Hinweis in der Aufgabe und berechnen das Integral hx, uhx, v e x dx = = m,n e u v +u+v x dx H m xh n x um v n m! n! e x dx und werten die beiden Terme auf der rechten Seite getrennt aus. Das ergibt für den ersten Ausdruck... = e u v e x u v +u+v u+v dx e +u+v = e uv e x u v dx = e uv e y dy }{{} = π = π e uv = n π n! un v n n=0 und für den zweiten... = u m v n H m xh n x e x dx m,n m! n!. Beide Formeln müssen übereinstimmen: H m xh n x e x dx = π n n! δ mn. Das ist die zu beweisende Orthonormierungsrelation 5.8. Aufgabe 5. Aufgabe 5. Seite 8 : Berechnen Sie mit Hilfe der Rekursionsgleichungen und der Orthonormierungsrelation der Hermite-Polynome die Matrixelemente des Orts- und Impulsoperators aus den Gleichungen 5.33 und 5.3. Lösung: Zur Berechnung des Matrixelementes des Ortsoperators aus Gleichung 5.33 schreiben wir den Ausdruck xh n x unter dem Integral um, wobei wir die Rekursionsgleichung 5.6 benutzen: Einsetzen in das Integral ergibt ϕ n ˆx ϕ n = A n A n xh n x = H n+x + nh n x. H n xh n+ x e x dx +n H n xh n x e x dx. 38

5.4. Lösungen der Übungsaufgaben Wegen der Orthogonalität der Hermite-Polynome erhält man nur dann einen von null verschiedenen Wert, wenn der Index n gleich n + oder gleich n ist. Die Orthonormierungsrelation 5.8 liefert dann mit der Normierung 5.3 der Hermite-Funktionen für den ersten Fall und für den zweiten Fall ϕ n+ ˆx ϕ n = A n+a n π n+ n +! = ϕ n ˆx ϕ n = A n A n π n n! = n+ n. Zur Berechnung der Matrixelemente des Impulsoperators formen wir in gleicher Weise den Ausdruck H nx xh n x mit der Relation H nx = nh n x für Ableitung aus Gleichung 5.7 und der Rekursionsgleichung 5.6 um: H nx xh n x = nh n x xh n x = nh n x H n+x nh n x = nh n x H n+x. Wir erhalten also das gleiche Ergebnis wie oben, nur hat der zweite Summand ein anderes Vorzeichen. Es ergibt sich also für den Impulsoperator n+ n ϕ n+ ˆp ϕ n = i, ϕ n ˆp ϕ n = i. Aufgabe 5.3 Seite 33 : Vergewissern Sie sich, dass die Kugelfunktionen Aufgabe 5.3 Y l 0 in Gleichung 5.67 korrekt normiert sind, also wie in 4.67. Lösung: Das Normierungsintegral lautet Y l0 ϑ, ϕ l+ sin ϑ dϑ dϕ = P 4π lcos ϑ sin ϑ dϑ dϕ Ω = l+ 4π π π ϕ=0 ϑ=0 Ω Pl cos ϑ sin ϑ dϑ dϕ = l+ π ϑ=0 Pl cos ϑ sin ϑ dϑ. Wir substituieren x = cos ϑ und erhalten mit der Normierung der Legendre- Polynome Ω Y l0 ϑ, ϕ sin ϑ dϑ dϕ = l+ Pl x dx 5.35 + = l+ l + =. Aufgabe 5.4 Seite 34 : Als letzte Eigenschaft der Kugelfunktionen sei Aufgabe 5.4 noch die Parität Y lm π ϑ, φ + π = l Y lm ϑ, φ angeführt. Die Kugelfunktionen sind also symmetrisch oder antisymmetrisch bei einer Spiegelung am Koordinatenursprung. Beweisen Sie diese Eigenschaft! 39

5. Spezielle Funktionen Lösung: Es ist nach 5.67 Y lm ϑ, ϕ = N lm e imϕ P m l cosϑ, wobei N lm ein konstanter Faktor ist. Damit gilt Y lm π ϑ, ϕ + π = N lm e imϕ+π P m l cosπ ϑ = N lm e imϕ e imπ P m l cosπ ϑ = N lm e imϕ m P m l cos ϑ. Nach der Rodrigues-Gleichung 5.44 ist P m l x gegeben durch P m l x = m x m l l! d l+m dx l+m x l = m x m d m dx m P lx. Nun ist P l x ein Polynom vom Grad l mit der Parität l. Durch m-faches Differenzieren erhält man hieraus ein Polynom vom Grad l m, das die Parität l m besitzt. Es ergibt sich also Y lm π ϑ, ϕ + π = m l m N lm e imϕ P m l cos ϑ = l N lm e imϕ P m l cos ϑ = l Y lm ϑ, ϕ Aufgabe 5.5 Aufgabe 5.5 Seite 37 : Oft ist es zweckmäßiger, statt der sphärischen Besselfunktionen j l x die Riccati-Besselfunktionen S l x = xj l x zu verwenden. Sie berechnen sich nach der gleichen Rekursionsgleichung 5.85, jedoch mit S 0 x = sin x, S x = /x sin x cos x. Warum? Zeigen Sie: Die Riccati-Besselfunktionen erfüllen die Differentialgleichung S x + ll + Sx = 0. x Lösung: Zum Beweis definieren wir Sx = xfx, wobei fx die Differentialgleichung 5.88 erfüllt. Wir differenzieren zweimal, S x = fx + xf x, S x = f x + xf x, und setzen f x aus 5.88 ein. Das ergibt S ll + x + Sx = f x + xf ll + x + Sx x x = f x x x f ll + ll + x + fx + Sx x x = f x f x also die gesuchte Differentialgleichung. ll + Sx + x ll + Sx = 0, x 40