Kapitel 4 Nutzenmaximierung

Kapitel 4 Nutzenmaximierung Vor- und Nachbereitung: Varian, Chapters 4 und 5 (mit Appendix) Frank, Chapter 3 (mit Appendix) Übungsblatt 4 Klaus M. Schmidt, 008

4.1 Die Nutzenfunktion Indifferenzkurven sind sehr anschaulich, aber relativ unhandlich. Eine alternative Darstellung der Präferenzen des Konsumenten ist die sog. Nutzenfunktion. Verschiedenen Güterbündeln werden Nutzenwerte zugeordnet, und zwar so, dass bevorzugte Güterbündel einen höheren Nutzenwert erhalten als weniger erwünschte: ( x1, x) ( y1, y) u( x1, x) u( y1, y) Eine Nutzenfunktion ordnet Güterbündel entsprechend den Präferenzen des Konsumenten. Die absoluten Nutzenwerte selbst haben keine Bedeutung. Klaus M. Schmidt, 008 Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009)

Bündel u 1 u u 3 A 3 17-1 B 10 - C 1 0.00-10000 Abb. 4.1: Ordinaler Nutzen Jede der drei Nutzenfunktionen u 1, u und u 3 ordnet die Güterbündel A, B und C in derselben Reihenfolge und repräsentiert darum dieselbe Präferenzordnung. Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 3

Bemerkungen: Da eine Nutzenfunktion keine kardinale Bedeutung hat, ist es sinnlos zu sagen: Gut A stiftet mir doppelt so viel Nutzen wie Gut B, oder: Mein Nutzenzuwachs aus dem Konsum einer zusätzlichen Tafel Schokolade ist nur halb so groß wie der aus dem Konsum einer zusätzlichen Orange. Die Nutzenfunktion beschreibt lediglich die Rangfolge von Güterbündeln (ordinales Konzept). Der Nutzen ist auch nicht interpersonell vergleichbar. Auch wenn wir die Nutzenfunktion verschiedener Individuen kennen, ist es unmöglich zu sagen, ob es Person 1 besser geht als Person. 4.1.1 Die Konstruktion einer Nutzenfunktion Angenommen, man kennt die Indifferenzkurvenschar des Konsumenten. Wie kann man daraus seine Nutzenfunktion ableiten? Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 4

Eine Möglichkeit bei monotonen Präferenzen: Zeichnen Sie die 45 o - Linie durch den Ursprung. Bei monotonen Präferenzen muss sie jede Indifferenzkurve genau einmal schneiden. Der Nutzen kann gemessen werden als Abstand der Indifferenzkurve vom Ursprung. x Abb. 4.: Konstruktion einer Nutzenfunktion Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 5 x 1

4.1. Existenz und Eindeutigkeit der Nutzenfunktion Angenommen, wir haben einen Konsumenten mit irgendwelchen gegebenen Präferenzen. Können wir sicher sein, dass eine Nutzenfunktion existiert, die die Präferenzen dieses Konsumenten beschreibt? Wenn das nicht der Fall wäre, dann wäre das Konzept der Nutzenfunktion nicht viel wert, weil es eben nur zur Beschreibung von manchen, aber nicht von allen Präferenzen genutzt werden könnte. Darum ist der folgende Satz wichtig: Satz 4.1 [Existenz einer Nutzenfunktion]: Wenn eine Präferenzordnung vollständig, transitiv und streng monoton ist (und zusätzlich eine schwache technische Annahme erfüllt ist), dann existiert eine Nutzenfunktion, die diese Präferenzen repräsentiert. Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 6

Bemerkungen: Zwar existiert für (fast) jede Präferenzordnung eine Nutzenfunktion, aber sie ist nicht eindeutig: Wenn ich eine gegebene Präferenzordnung habe, dann gibt es viele verschiedene Nutzenfunktionen, die diese Präferenzordnung beschreiben (vgl. Abb. 4.1). Aber: Jede dieser Nutzenfunktionen enthält exakt dieselbe Information und führt zu denselben Entscheidungen des Konsumenten. 4.1.3 Beispiele von Nutzenfunktionen Wenn man eine Nutzenfunktion gegeben hat, ist es in der Regel leicht, die zugehörigen Indifferenzkurven zu finden: Zeichne einfach die Menge aller Punkte, für die u(x 1,x ) konstant ist. Beispiel: ux (, x) x x 1 1 Auf einer Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant: > Indifferenzkurve hat die Form: x k x 1 x1 x k Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 7

x Abb. 4.3: Indifferenzkurve für ux ( 1, x) x1 x x 1 Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 8

Wie sieht eine Nutzenfunktion für gegebene Indifferenzkurven aus? Perfekte Substitute > lineare Indifferenzkurven x A B x1 Eine naheliegende Nutzenfunktion, die diese Indifferenzkurven repräsentiert, ist ux (, x) ax + bx 1 1 Perfekte Komplemente > rechtwinklige Indifferenzkurven: Konsument will die beiden Güter immer in einem bestimmten Verhältnis konsumieren. Wenn die Menge von Gut 1 steigt, während die von Gut unverändert bleibt, ändert sich sein Nutzen nicht. Eine naheliegende Nutzenfunktion: { } ux (, x) min ax, bx 1 1 Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 9

Quasilineare Präferenzen > Indifferenzkurven des Konsumenten sind vertikal versetzt x Abb. 4.4: Quasilineare Präferenzen x 1 Indifferenzkurven können beschrieben werden durch: x k v( x ) 1 Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 10

Nutzenfunktion, die diese Indifferenzkurven generiert: ux (, x) vx ( ) + x 1 1 mit v' > 0, v'' < 0. Diese Funktion ist linear in x, aber nicht linear in x 1, darum die Bezeichnung quasi -lineare Nutzenfunktion. Diese Nutzenfunktionen haben die Eigenschaft, dass die Grenzrate der Substitution nur von x 1 aber nicht von x abhängt. Das ist besonders plausibel, wenn Gut für die Ausgaben für alle übrigen Güter steht und für Gut 1 nur ein kleiner Teil des Budgets ausgegeben wird. Cobb-Douglas Nutzenfunktionen Die folgende Nutzenfunktion ist eine recht flexible und leicht zu handhabende Funktion, die monotone, streng konvexe Präferenzen generiert: ux (, x) Ax x a b 1 1 wobei A, a, b > 0. Wir werden die Eigenschaften dieser Nutzenfunktion in vielen Anwendungsbeispielen näher kennenlernen. Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 11

4. Exkurs: Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Sie kennen aus der Schulmathematik Funktionen mit einer unabhängigen Variablen: Sei x eine reelle Zahl. Dann ordnet die Funktion f(x) jedem Wert x einen Funktionswert y f(x) zu. Man sagt gelegentlich auch: f : D W Das bedeutet, die Funktion f hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W. Jedem Element des Definitionsbereichs wird durch die Funktion f genau ein Element des Wertebereichs zugeordnet. Allgemeines Konstrukt: Korrespondenz (z.b. Ellipse) Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 1

R Beispiele: Sei die Menge der reellen Zahlen und die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen R + f : R R mit f( x) x + f : R R mit f( x) e + f : R R mit f( x) x + + x Sie kennen auch die Ableitungen solcher Funktionen: Die erste Ableitung gibt die Steigung der Funktion an einer Stelle x an. Die zweite Ableitung gibt an, wie sich die Steigung der Funktion an der Stelle x verändert. Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 13

Schließlich wissen Sie, dass eine Funktion an der Stelle ein (lokales) Maximum annimmt, wenn: die erste Ableitung an der Stelle gleich 0 ist und die zweite Ableitung an der Stelle kleiner als 0 ist. Wenn die zweite Ableitung der Funktion für alle Werte von x kleiner als 0 ist, muss es sich um ein globales Maximum handeln, sonst kann es auch nur ein lokales Maximum sein. Für die Nutzentheorie benötigen wir Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen: Die Nutzenfunktion ux ( 1, x,..., x n ) gibt an, wie hoch der Nutzen eines Konsumenten ist, wenn er x 1 Einheiten von Gut 1, x Einheiten von Gut, etc. und x n Einheiten von Gut n konsumiert. Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 14

Normalerweise betrachten wir nur den Zwei-Güterfall. Beispiele: ux (, x) 3x+ x 1 1 ux (, x) 4xx 1 1 a 1 a 1 1 ux (, x) x x Beachten Sie: Der Definitionsbereich einer Nutzenfunktion ist im Zwei-Güterfall die Menge aller Vektoren (x 1,x ), wobei x 1 und x nicht negativ werden dürfen. Man sagt auch: D R+ Der Wertebereich einer Nutzenfunktion ist dagegen einfach wieder die Menge der reellen Zahlen, also W R, wobei auch negative Nutzenwerte zugelassen sind. Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 15

Im Zwei-Güter-Fall kann man sich die Nutzenfunktion als Nutzengebirge vorstellen: Abb. 4.5: Ein Nutzengebirge Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 16

Durch das Nutzengebirge lassen sich verschiedene Schnitte legen: Wenn Sie einen waagerechten Schnitt durch das Nutzengebirge machen, erhalten Sie eine Höhenlinie. Diese Höhenlinie gibt Ihnen alle (x 1,x )-Kombinationen an, die zur selben Nutzenhöhe führen. Eine solche Höhenlinie ist also nichts anderes als eine Indifferenzkurve! Wenn Sie einen senkrechten Schnitt durch das Nutzengebirge parallel zur x 1 -Achse für irgendeinen festen Wert von x machen, dann bekommen Sie eine Funktion im u-x 1 -Diagramm, die nur noch von x 1 abhängt. Diese Funktion gibt an, wie sich der Nutzen des Konsumenten verändert, wenn die Menge von Gut 1 variiert, während die Menge von Gut konstant gehalten wird. Analog: Wenn Sie einen senkrechten Schnitt durch das Nutzengebirge parallel zur x -Achse für irgendeinen festen Wert von x 1 machen, dann bekommen Sie eine Funktion im u-x -Diagramm, die nur noch von x abhängt. Diese Funktion gibt an, wie sich der Nutzen des Konsumenten verändert, wenn die Menge von Gut variiert, während die Menge von Gut 1 konstant gehalten wird. Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 17

Auch eine Funktion mit mehreren Variablen kann man differenzieren. In dieser Vorlesung benötigen wir nur die partiellen Ableitungen einer solchen Funktion. Bei einer partiellen Ableitung hält man eine Variable (z.b. x ) konstant, und fragt, wie sich der Funktionswert verändert, wenn sich nur x 1 verändert. Graphisch kann man sich das mit dem Schnitt durch das Nutzengebirge parallel zur x 1 -Achse veranschaulichen. Hier wird x konstant gehalten und nur x 1 variiert. Die erste partielle Ableitung nach x 1 gibt also an, wie steil das Nutzengebirge ansteigt, wenn wir uns an der Stelle x parallel zur x 1 -Achse bewegen. Wie man partielle Ableitungen bildet, wissen Sie schon: Wenn Sie partiell nach x 1 differenzieren wollen, betrachten Sie einfach x als eine Konstante und leiten die Funktion nach x 1 ab, genauso, wie Sie das in der Schule gelernt haben. Wenn Sie partiell nach x differenzieren wollen, betrachten Sie x 1 als eine Konstante und leiten die Funktion nach x ab. Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 18

Beispiele: ux (, x) 3 x+ x, 1 1 u x 1 u x ux (, x) x x, a 1 a 1 1 u x 1 u x ux (, x) 4x lnx 1 1 u x 1 u x Beachten Sie: Das Zeichen steht für partielle Ableitung. Man schreibt also f x i, wenn man die Funktion f(x 1,..., x n ) partiell nach x i ableitet. Wenn die Funktion f nur von einer Variablen abhängt, dann sind die partielle Ableitung und die totale Ableitung immer identisch und es gilt: df ( x) dx f x Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 19

4.3 Grenznutzen und Grenzrate der Substitution Der Grenznutzen des Gutes 1 ist der zusätzliche Nutzen, den der Konsument aus einer zusätzlichen kleinen Menge erhält, bezogen auf diese zusätzliche Menge, d.h.: GN 1 Δu Δx ux ( 1+ Δx1, x) ux ( 1, x) Δx 1 1 Also beträgt die absolute Nutzenänderung aus der zusätzlichen Menge : Δx 1 Δ u GN1Δx1 Wenn wir eine marginale Veränderung der Menge x 1 betrachten dann ist der Grenznutzen einfach die partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach x 1 : GN 1 ux ( 1, x) x ( Δx 0), Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 0 1 1

Wir können den Grenznutzen verwenden, um die Grenzrate der Substitution an einer beliebigen Stelle (x 1,x ) zu bestimmen: Betrachte eine kleine Variation von x 1 und x entlang der Indifferenzkurve durch (x 1,x ). Für diese muss gelten: GN x GN x u 1 Δ 1+ Δ Δ 0 Daraus folgt (vgl. Kap. 3..4): GN1 Δx GRS GN Δx 1 Wenn die Nutzenfunktion differenzierbar ist, können wir also schreiben: GRS ux (, x) x ux (, x) x 1 1 1 Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 1

4.4 Nutzenmaximierung Der große Vorzug von Nutzenfunktionen besteht darin, dass wir die optimale Entscheidung des Konsumenten leicht ausrechnen können. Im Folgenden gehen wir immer davon aus, dass der Konsument streng monotone Präferenzen hat und dass es eine innere Lösung für sein Nutzenmaximierungsproblem gibt. Nutzenmaximierungsproblem: unter der Nebenbedingung max ux (, x) x, x 1 1 p x + p x m 1 1 Beachten Sie: Wenn die Präferenzen des Konsumenten streng monoton sind, muss das optimale Konsumgüterbündel auf der Budgetgeraden liegen. Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009)

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Sie das Nutzenmaximierungsproblem lösen können: 1. Substitutionsverfahren. Lagrange-Verfahren Das Substitutionsverfahren kennen Sie aus der Schule: Sie lösen die Nebenbedingung nach x auf und setzen diesen Ausdruck für x in der Zielfunktion ein. Jetzt haben Sie ein gewöhnliches Maximierungsproblem ohne Nebenbedingung mit nur einer Unbekannten, das Sie wie gewohnt lösen können. Das Lagrange-Verfahren ist bei etwas komplizierteren Problemen sehr viel leichter zu handhaben und hat darüber hinaus den Vorteil, dass es eine interessante ökonomische Interpretation der Lösung erlaubt. Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 3

Das Lagrange-Verfahren 1. Aufstellen der Lagrange-Funktion: (,, λ) (, ) λ ( + ) L x x u x x p x p x m 1 1 1 1 Die Lagrange-Funktion ist also einfach die ursprüngliche Zielfunktion abzüglich eines Produkts. Dieses Produkt setzt sich zusammen aus dem sog. Lagrange Parameter (sprich: Lambda) und der ursprünglichen Nebenbedingung, die so aufgelöst wurde, dass alle Terme auf der linken Seite stehen. Beachten Sie: Wenn die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt ist, muss der zweite Term dieses Produkts gleich 0 sein. λ Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 4

. Partielle Ableitungen bilden und gleich 0 setzen: L x L x L λ ux (, x) 1 λ 1 1 x1 ux (, x) 1 x 1 1 3. Gleichungssystem nach x 1, x, und λ auflösen 4. Eigentlich müssten Sie jetzt noch mit den Bedingungen zweiter Ordnung überprüfen, ob Sie auch tatsächlich ein globales Maximum (und kein lokales Maximum oder gar ein Minimum) gefunden haben. Im Rahmen dieser Vorlesung lassen wir diesen Schritt weg. p λ p px px + m 0 0 0 Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 5

Ökonomische Interpretation des Ergebnisses: Aus den beiden ersten Gleichungen folgt sofort, dass ux ( 1, x) x ux (, x) x 1 1 1 Das ist die Bedingung, dass im Nutzenmaximum der Betrag der Grenzrate der Substitution gleich dem Preisverhältnis sein muss. Der Lagrange-Parameter λ, den Sie berechnen müssen, gibt an, um wie viel sich der Wert der Zielfunktion erhöht, wenn die Nebenbedingung um eine marginale Einheit gelockert wird. Hier bedeutet das: Um wie viele Nutzeneinheiten steigt der Nutzen des Konsumenten, wenn sein Budget um eine Geldeinheit größer wird. p p Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 6

Beispiel: Cobb-Douglas Nutzenfunktion Nutzenmaximierungsproblem: ux (, x) max ux (, x) x, x 1 Ax x a b 1 1 1 unter der Nebenbedingung p1 x1+ p x m Lagrange-Ansatz: a b (,, λ) λ ( + ) L x x Ax x p x p x m 1 1 1 1 Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 7

Partiell ableiten: Daraus folgt: L x 1 L x L λ a 1 b Aax1 x λ p1 0 a b 1 Abx1 x λ p 0 px px + m 0 1 1 Aax x λ p Abx x a 1 b 1 1 a b 1 1 λ p p x + p x m 1 1 Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 8

Wenn wir bei den ersten beiden Bedingungen durcheinander teilen, erhalten wir ax bx 1 1 d.h., der Betrag der Grenzrate der Substitution ist gleich dem Preisverhältnis. Auflösen nach x ergibt: p p x bp x ap 1 1 Wenn wir diesen Ausdruck in die dritte Bedingung (die ursprüngliche Nebenbedingung) einsetzen erhalten wir: bp x 1 1 px 1 1+ p m ap Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 9

Auflösen nach x 1 ergibt: x * 1 a m a + b p 1 Einsetzen in den Ausdruck für x ergibt: x * b m a + b p Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 30

Beachten Sie: 1. Die nachgefragte Menge von Gut 1 hängt nur von p 1 und m, nicht aber von p ab. Die nachgefragte Menge von Gut hängt nur von p und m, nicht aber von p 1 ab 3. Der Konsument gibt einen konstanten Anteil seines Einkommens für Gut 1 (bzw. Gut ) aus, d.h., * a * b px 1 1 m und px m a+ b a+ b Das sind wichtige Eigenschaften der Cobb-Douglas Nutzenfunktion, die Sie sich merken sollten. Übungsaufgabe: Lösen Sie dieses Problem mit dem Substitutionsverfahren. Das ist etwas umständlicher, aber Sie sollten in der Lage sein, dasselbe Ergebnis herauszubekommen. Prof. Martin Kocher Mikro 1-4 (SS 009) 31