Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann 19. Januar 2009 1 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

1 Aufgabe Aufgabenstellung 2 Einordnung in den Rahmenlehrplan Didaktisches Konzept 3 2 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Aufgabenstellung Führen Sie in der Sekundarstufe II in Form eines Lehrervortrags das Konzept der Fairness von Spielen mit Hilfe von Zufallsgrößen und deren Erwartungswert ein. Legen Sie Wert auf eine ausreichende Motivation dieser Definition von faires Spiel. Zeigen Sie, wie man sowohl den Netto- als auch den Bruttogewinn zur Beurteilung heranziehen kann. Sie haben eine Unterrichtsstunde Zeit. 3 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Einordnung in den Rahmenlehrplan Didaktisches Konzept Abbildung: Rahmenlehrplan für die gymnasiale Oberstufe - Mathematik [1] 4 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Einordnung in den Rahmenlehrplan Didaktisches Konzept Didaktischer Aufbau an Phasen beim Regellernen nach Claus [2] orientiert. 1 Vorinformation, Einstieg 2 Aufstellen und Prüfen von Vermutungen 3 Hinführung zur Regel und Herleitung 4 die Formulierung der Regel 5 (das Lernen der Regel) 6 (das Anwenden der Regel) 5 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Einordnung in den Rahmenlehrplan Didaktisches Konzept Claus nennt den Lehrervortrag in der 3. Phase als eine Möglichkeit und hebt folgende Merkmale hervor. einfach übersichtlich gegliedert Kürze - Prägnanz Gefahr: geringe Schüleraktivität 6 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Einordnung in den Rahmenlehrplan Didaktisches Konzept Als Voraussetzungen für diese Unterrichtseinheit nehmen wir an, dass die Schüler bereits mit dem Erwartungswert von Zufallsgrößen vertraut sind und mit dem Gesetz der großen Zahlen. Unser Ziel besteht darin an die Schülervorstellung von einem fairen Spiel anzuknüpfen. Mögliche Schülervorstellung: Ein Spiel ist fair, wenn alle die gleiche Gewinnchance haben. 7 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Lehrer bietet Schüler ein Spiel an. Gewinn: 20ct, Verlust 20ct (Lehrergewinn = Schülerverlust) Würfelspiel, 1-5 Schüler gewinnt, 6 Lehrer gewinnt Ist dieses Spiel fair? Wann wäre es fair? 8 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Unwahrscheinliche Antwort: Wenn der Erwartungswert des Nettogewinns gleich Null ist. Wahrscheinliche Antwort: Wenn beide (Schüler und Lehrer) die gleiche Gewinnchance haben. z.b. 1-3 Schüler gewinnt, 4-6 Lehrer gewinnt vorläufig: Ein Spiel ist fair, wenn für alle Spieler i die Gewinnwahrscheinlichkeit p i gleich ist: p i = p i = 1, 2,... 9 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Reicht das? gleiche Gewinnchance (p 1 = p 2 = 1 2 ), unterschiedlicher Gewinn (Schüler 20ct, Lehrer 40ct)? Gesucht ist also eine Definition, die den Gewinn berücksichtigt. 10 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Was gewinnt der Schüler bei vielen Spielen? G S = Nettogewinn G S = n 1 20 }{{} + n 2 ( 40) }{{} Bruttogewinn Bruttoverlust (1) mit n 1 - Anzahl der Siege des Schülers, n 2 - Anzahl der Siege des Lehrers und N = n 1 + n 2. 11 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Sinnvoll ist: Das Spiel ist fair, wenn der andere soviel gewinnt wie ich. Da aber der Gewinn des anderen mein Verlust ist, muss ich genau soviel gewinnen, wie ich verliere. G S = 0 12 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Da wir n 1 und n 2 noch nicht kennen, können wir den Gewinn G S noch nicht bestimmen. Allerdings wissen wir, dass nach dem Gesetz der großen Zahlen, die relativen Häufigkeiten bei vielen Realisierungen des Einzelexperiments gegen die Wahrscheinlichkeit konvergiert. Somit erhalten wir: n i ( lim N N = p i) G S = N p 1 20 N p 2 40 = 0 13 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

G S = N p 1 20 N p 2 40 = 0 Den durchschnittlichen Gewinn erhält man mit: G S = p 1 20 p 2 40 = 0 Bedenkt man, dass der Gewinn eine Zufallsgröße X {20, 40} ist, so entspricht dies offensichtlich der Definition des Erwartungswertes dieser Größe und wir erhalten: E(G S ) = p 1 x 1 + p 2 x 2 = 0 14 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

Ein Spiel ist somit dann fair, wenn der Erwartungswert des Nettogewinns gleich Null ist. Dies kann auch anders betrachtet werden: Erinnerung an (1): mit folgt G S = n 1 20 }{{} + n 2 ( 40) }{{} = 0 Bruttogewinn BG Bruttoverlust BV BG = G S BV BV = n 2 ( 40) = n 2 40 = BV BG = 0 + BV Ein Spiel ist ebenso fair, wenn der Bruttogewinn gleich dem Bruttoverlust ist. 15 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2

[1] http://www.berlin.de/imperia/md/content/senbildung/schulorganisation/lehrplaene/sek2 mathematik.pdf (13.01.2009, 10:15:20) S. 41 [2] Claus, Heinz Jörg: Einführung in die Didaktik der Mathematik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1989, S. 119ff. 16 Sebastian Niemczyk, Stephan Pfeiler, Dustin Biedermann Didaktik der Stochastik - Aufgabe 6.2