Spezielle Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie Fabian Gundlah 13. Oktober 2010 Die spezielle Relativitätstheorie untersuht die vershiedenen Sihtweisen von Beobahtern in Inertialsystemen. Ein Inertialsystem ist dabei ein System, in dem sih kräftefreie Körper geradlinig und gleihförmig bewegen. Grob gesagt ist es also ein unbeshleunigtes Bezugssystem. Ein Beobahter beobahtet die Vorgänge aus der Siht eines Inertialsystems. Er ist immer überall und bewegt sih mit einer konstanten Geshwindigkeit. Er merkt es also sofort, wenn etwas passiert und kann die Zeit- und Ortskoordinaten eines solhen Ereignisses ermitteln. Dazu wird ein Zeitpunkt 0 und ein Orts-Koordinatensystem in seinem Bezugssystem festgelegt. Im Folgenden werden wir zwei Bezugssysteme A und B betrahten. Die Koordinaten, die ein Beobahter in A für ein Ereignis ermitteln würde, bezeihnen wir in der Form t,x,y,z. Die Koordinaten, die ein Beobahter in B dem selben Ereignis zuordnen würde, kennzeihnen wir mit einem Strih: t,x,y,z. Die Koordinatensysteme von A und B sollen die selbe Rihtung haben. Außerdem stellen die beiden Beobahter ihre Uhren und vershieben ihre Zollstöke so, dass beide einunddasselbe Ereignis zur Zeit 0 und am Ort 0,0,0) messen würden. A bewege sih relativ zu B mit der Geshwindigkeit v in x-rihtung. In allen Inertialsystemen gelten die gleihen Naturgesetze. Man kann niht entsheiden, ob man sih bewegt. Es wird sogar beobahtet, dass sih Liht im Vakuum in jedem Inertialsystem unabhängig von der Quelle mit der Geshwindigkeit 3 10 8 m s ausbreitet anders als z.b. ein aus dem Zug geworfener Ball, der je nah Beobahter eine andere Geshwindigkeit hat). 1 Gegenüberstellung von klassisher Galileo- und relativistisher Lorentztransformation In der folgenden Tabelle stehen die Umrehnung von A- in B-Koordinaten sowohl mithilfe der normalen klassishen Galileotransformation, als auh mithilfe der anormalen relativistishen Lorentztransformation. 1

klassish relativistish t = t γ t + xv ) = t+ xv 1 v2 x = x + tv γ x + tv) = x+tv 1 v2 y = y y z = z z u v+u = v + u 1+ vu In der Relativitätstheorie setzt man meistens γ = 1 und β = v. 1 v2 Merkregeln: Man kann sih die Formeln shnell wieder 2 selbst überlegen, wenn man noh etwa ihre Struktur kennt. Man sollte sih merken, dass bei t und x immer 1 v2 im Nenner steht. Außerdem ist das Vorzeihen im Zähler bei diesen beiden Transformationen das gleihe und auh das gleihe wie in der klassishen Transformation von x ). Wenn man sih niht siher ist, kann man ausprobieren, ob für kleine Geshwindigkeiten die Galileotransformationen rauskommen und ob die Vakuumlihtgeshwindigkeit konstant ist wenn man in die Geshwindigkeitsaddition u = einsetzt, sollte rauskommen). Natürlih gelten die Lorentztransformationen auh, wenn man von B nah A transformiert. Dann muss man natürlih v durh v ersetzen also z.b. x = γx t v)). 2 Zeitdilatation Angenommen es bewegt sih mit A ein geheimnisvoller kleiner Kasten mit Bildshirm und einigen Tasten mit. Bei eingelegter SIM-Card klingelt dieser Kasten nun zwei mal naheinander. Wir möhten ausrehnen, wie groß der zeitlihe Abstand T des Klingelns von B aus gesehen ist, wenn wir den zeitlihen Abstand T kennen, den A misst. Die beiden Anrufe haben im Bezugssystem A die t- und x-koordinaten t 1,x bzw. t 2,x und im Bezugssystem B die Koordinaten t 1,x 1 bzw. t 2,x 2. Mithilfe der Lorentztransformationen kann man jetzt leiht t 1 und t 2 ausrehnen: t 1 = γ t 1 + xv ) und Also ergibt sih: t 2 = γ t 2 + xv ) T = t 2 t 1 = γt 2 t 1 ) = γt = T 1 v2 γ ist größer als 1, d.h. T ist größer als T, d.h. B wartet länger als A. Aufgabe: Ein Myon bewegt sih von der Erde aus gesehen mit 98% der Lihtgeshwindigkeit. Ein ruhendes Myon zerfällt mit einer Halbwertszeit von a. 1,5 10 6 s. Wie groß 2

ist seine Halbwertszeit von der Erde aus gesehen? Dadurh lassen sih Myonen auh noh auf der Erdoberflähe nahweisen, obwohl sie in 10km Höhe erzeugt werden und in einer Halbwertszeit nur a. 440m weit fliegen. 3 Längenkontraktion 7,5 10 6 s Betrahte einen Stab, der sih mit A mitbewegt und der in Bewegungsrihtung liegt. Er habe im Bezugssystem A die Länge L. Nun misst auh B die Länge des Stabes. Dazu kann er zur selben B-Zeit t das vordere und das hintere Ende des Stabes orten wobei sih die x -Koordinaten x 1 und x 2 ergeben) und dann die Differenz dieser x -Koordinaten ermitteln. Also misst B für die Länge des Stabes L = x 2 x 1. Betrahten wir nun die t- und x-koordinaten der Ereignisse, wenn B das vordere bzw. das hintere Ende des Stabes ortet. Im Bezugssystem B haben diese die Koordinaten t,x 1 bzw. t,x 2 und im Bezugssystem A die Koordinaten t 1,x 1 bzw. t 2,x 2. Mithilfe der Lorentztransformation können wir nun x 1 und x 2 berehnen: und Zusammen ergibt sih: x 1 = γx 1 t v) x 2 = γx 2 t v) L = x 2 x 1 = γx 2 x 1) = γl L = 1 γ L = L 1 v2 1 ist kleiner als 1, d.h. γ L ist kleiner als L, d.h. B ersheint der Stab, den A dabei hat kürzer als A. Längenkontraktion. 4 Geshwindigkeitsaddition Die Geshwindigkeitsaddition lässt sih aus den Koordinaten-Lorentztransformationen herleiten. Dazu betrahten wir ein Raumshiff, dass im Bezugssystem von A mit der Geshwindigkeit u in x-rihtung fliegt. Weil die Beobahter niht so gut sehen, können sie das Raumshiff nur zweimal wahrnehmen, nämlih dann, wenn der Kapitän laut shreit. Die Koordinaten dieser beiden Shreie im Bezugssystem A seien t 1,x 1 bzw. t 2,x 2 und die im Bezugssystem B seien t 1,x 1 bzw. t 2,x 2. Dann misst A für die Geshindigkeit: u = x 2 x 1 t 2 t 1 3

und B misst: u = x 2 x 1 t 2 t 1 Setzt man die Lorentztransformationen ein, so kommt raus: u = γx 2 + t 2 v) γx 1 + t 1 v) γ ) ) = x 2 x 1 ) + t 2 t 1 )v t 2 + x 2v γ 2 t1 + x 1v t 2 t 1 ) + x 2 x 1 ) v = Man kann noh ein paar Plausibilitätstests mahen: x 2 x 1 t 2 t 1 1 + x 2 x 1 t 2 t 1 + v v = v + u 1 + vu Wenn man v = 0 bzw. u = 0 setzt, ist u gleih u bzw. v. Wenn man v = bzw. u = setzt, ist u gleih, d.h. die Lihtgeshwindigkeit hängt niht vom Beobahter ab: 5 Relativistishe Energie u = v + 1 + v = v + 1 = + v) 2 Die relativistishe Gesamtenergie beträgt E = γm 0, wobei m 0 die sogenannte Ruhemasse des Körpers ist, d.h. die Masse, die der Körper hat, wenn er sih niht bewegt. γm 0 wird als die relativistishe Masse m bezeihnet, d.h. E = m. Die Ruheenergie E 0 ist m 0 da für v = 0 γ = 1 gilt). Damit ist die kinetishe Energie E kin gleih E E 0 = γ 1)m 0. Aufgabe: Die Sonne strahlt mit einer Leistung von a. 3,8 10 26 W. Wie viel Masse verliert die Sonne pro Sekunde? Aufgabe: Ein Positron und ein Elektron mit vernahlässigbaren Geshwindigkeiten treffen sih. Beim Zerstrahlen emmitieren sie zwei Photonen in entgegengesetzte Rihtungen. Wie groß ist die Energie und die Wellenlänge eines Photons? Die Masse eines Elektrons beträgt 9,1 10 31 kg. Das Plankshe Wirkungsquantum h beträgt a. 6,6 10 34 Js. 4,2 10 9 kg 8,2 10 14 J; 2,4 10 12 m Aufgabe: Fe 56 bestehend aus 26 Protonen und 30 Neutronen) hat eine Kernbindungsenergie von 8,8MeV pro Kernteilhen. Es gilt m p 938. 3 MeV und m n 939. 6 MeV. Berehne die Masse und den Massendefekt von Fe 56! 6 Relativistisher Impuls 52091 MeV ; 492,8 MeV Es stellt sih die Frage, welhe Beshleunigung a ein Körper der Ruhemasse m 0 erfährt, F wenn eine Kraft F auf ihn wirkt. Klassish gilt bekanntermaßen a = m 0, d.h. m 0 a = p = F. Auh relativistish gilt p = F. Der Impuls erfüllt allerdings p = m v = γm 0 v. 4

Wenn man den Impuls p = γm 0 v = m 0 v 1 v2 nah der Zeit t ableitet, erhält man also die Kraft F : F = d p dt = γm 0 a + γ 3 v a m 0 v Wenn die Kraft senkreht zur Bewegungsrihtung steht, gilt damit: F = γm 0 a a = und wenn die Kraft in Bewegungsrihtung ist, gilt: F = γ 3 m 0 a a = F γm 0 F γ 3 m 0 Es gilt also sehr grob gesagt: Ein Körper mit Ruhemasse m 0 hat senkreht zur Bewegungsrihtung die träge Masse γm 0 und in Bewegungsrihtung die träge Masse γ 3 m 0. Es lässt sih mithilfe der Formeln für die Energie und den Impuls folgende Beziehung herleiten, die als Energie-Impuls-Beziehung bezeihnet wird: E 2 = E 2 0 + p) 2 = m 0 ) 2 + p) 2 ) 7 Praktishe Tipps Man kann sih oft Shreibarbeit sparen, indem man wie in diesem Skript die Substitutionen β = v und γ = 1 durhführt. Dann gilt β 2 + 1 = 1. 1 v2 γ 2 In Aufgaben der Physikolympiade brauht man meistens niht die Lorentztransformation für die einzelnen Koordinaten, sondern vor allem Geshwindigkeitsaddition v 1+2 = v 1+v 2 1+ v 1 v 2, Zeitdilatation t = γ t, Längenkontraktion x = 1 x, γ E = γm 0 und Energie-Impuls-Beziehung E 2 = E0 2 + p) 2. Im Normalfall muss man erst dann relativistish rehnen, wenn v 0,1 ist für v < 0,1 gilt γ 1 = 1 1 < 0,6%). 1 v2 8 Paradoxa 8.1 Das Zwillingsparadoxon Von den zwei Zwillingen Hans und Sepp fliegt Hans ganz shnell ganz weit weg und kommt irgendwann wieder zurük. Beide denken nun aufgrund der Zeitdilatation müsse der andere viel jünger sein. Wer hat Reht? Auflösung: Sepp hat Reht. Nur er darf die Zeitdilatation einfah so anwenden, weil nur er sih in einem Inertialsystem befindet Hans muss beshleunigen um von der Erde weg und wieder zurük zu kommen!). 5

8.2 Zeitdilatation? Hans und Sepp fliegen aneinander vorbei. Aufgrund der Zeitdilatation denken beide vom anderen, dass bei dem anderen die Uhren langsamer gehen. Wer hat Reht? Auflösung: Beide! Das ist kein Widerspruh, weil die beiden niht überprüfen können, wer Reht hat. Dazu müsste einer stehen bleiben, dann befände er sih aber niht mehr in einem Inertialsystem. 8.3 Garagenparadoxon Ein Auto fährt sehr shnell in eine Garage, die knapp länger ist als das ruhende Auto. Aus der Siht der Garage passt das Auto wegen der Lorentzkontraktion loker hinein. Aus der Siht des Autos passt es aber niht heinein, da von diesem aus gesehen die Gerage lorentzkontrahiert ist. Wer hat Reht, das Auto oder die Garage? Auflösung: Beide bzw. keiner! Dies liegt an der Relativität der Gleihzeitigkeit. Die Garage stellt fest: Ih kann das Tor zur Zeit t 1 bei x 1 shließen, wenn zur Zeit t 2 = t 1 bei x 2 das Auto durh die Garagenmauer auf der anderen Seite kraht. Aus der Siht der Garage finden also diese beiden Ereignisse gleihzeitig statt. Das Auto sagt aber: Die Garage kann ihr Tor erst zur Zeit t 1 geshlossen haben, nahdem ih durh die Mauer zur Zeit t 2 gefahren bin. Also finden die beiden Ereignisse niht gleihzeitig statt. Dies folgt auh direkt aus der Lorentztransformation für die Zeit: t 2 = γ t 2 vx 2 ) = γ t 1 vx 1 + L) ) γ Auh die Gleihzeitigkeit hängt vom Beobahter ab. t 1 vx 1 ) = t 1 6

9 Aufgaben 1. Zeige die Energie-Impuls-Beziehung E 2 = E 2 0 + p) 2 mithilfe von E = γm 0, E 0 = m 0 und p = γm 0 v! 2. Leite aus F = γ 3 m 0 a für F v die Formel E kin = γ 1)m 0 her! 3. eigentlih keine Relativitätstheorie-Aufgabe) a) Ein sehr weit entfernter relativ zu dir ruhender) Quasar stößt einen Jet mit der Geshwindigkeit v aus. Der Jet bewegt sih shräg auf dih zu. Der Winkel zwishen der Verbindungslinie zwishen dir und dem Quasar und dem Jet beträgt θ. Wie shnell sheint sih der Jet senkreht zu der Verbindungslinie zwishen dir und dem Quasar) zu bewegen du beobahtest das ganze mit dem Teleskop)? Quasar v θ Jet Rihtung der sheinbaren Geshwindigkeit Du v sin θ 1 v os θ b) Wie groß muss v mindestens sein, damit es ein θ gibt, sodass sih der Jet mit Überlihtgeshwindigkeit zu bewegen sheint? v > 1 7

4. Ipho 2010 3. Runde leiht abgewandelt): Es treffe ein Lihtstrahl auf ein Raumshiff B, das sih relativ zu A mit der Geshwindigkeit v in x-rihtung bewegt. A beobahtet dabei einen Winkel von α zwishen dem Lihtstrahl und der x-ahse α < 90 bedeutet, dass der Lihtstrahl aus negativer x-rihtung kommt). B beobahtet dagegen einen Winkel von α. Berehne α in Abhängigkeit von α, v und. Von A aus gesehen Von B aus gesehen Lihtstahl α x-ahse Lihtstahl α x-ahse B v Tipp: Berehne, wie shnell sih der Lihtstrahl von beiden Beobahtern aus gesehen in x-rihtung bewegt! v A ) os α β 1 β os α α = aros 5. Compton-Streuung: Ein Photon treffe auf ein ruhendes Elektron und werde von diesem um einen Winkel ϕ gestreut. Berehne, um wie viel sih die Wellenlänge des Photons erhöht! p P hoton e p P hoton ϕ p Elektron Tipp: Wende Energie- und Impulserhaltung bei dem Stoß an und benutze für letztere den Kosinussatz), dann benutze die Beziehung E p = p p = λ für die h Photonen. Wende anshließend die Energie-Impuls-Beziehung für das Elektron an. 1 os ϕ) λ = h m0 8

6. Ipho 2007 3. Runde: A beobahtet, wie ein von rehts oben kommender Lihtstahl auf einen senkrehten Spiegel trifft, der sih mit der Geshwindigkeit v nah rehts bewegt. Der Winkel zwishen dem einfallenden Lihtstrahl und der Horizontalen ist α. Berehne den Winkel δ zwishen dem reflektierten Strahl und der Horizontalen. α δ v δ = aros 1+β2 ) os α+2β 1+β 2 +2β os α 7. Dopplereffekt: Eine Lihtquelle, die Liht mit einer Frequenz von f in ihrem Bezugssystem gemessen) abstrahlt, bewegt sih auf dih zu. Welhe Frequenz f misst du? 1+β 1 β f = f 8. Sei s = t) 2 x) 2 y) 2 z) 2 wobei t, x, y, z den zeitlihen und örtlihen Abstand zweier Eregnisse darstellen). Zeige, dass s nur von den Ereignissen und niht vom Bezugssystem abhängt. 9

9. a) shwierig) Der Hans befindet sih in einem Raumshiff, das so in x-rihtung) beshleunigt, dass er ständig sein normales Erdgewiht spürt d.h. er misst die Raumshiffbeshleunigung g). Berehne seine Geshwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit, gemessen von der Erde das Raumshiff starte zur Zeit 0 bei x = 0)! Tipp: Betrahte ein Inertialsystem, das sih zu einer Zeit t mit dem Raumshiff mitbewegt! In diesem kannst du die normalen Gesetze der Mehanik anwenden, solange das Raumshiff in diesem langsam ist. Dann kannst du die errehnete Beshleunigung in diesem System in das Erdsystem transformieren. b) shwierig) Berehne seinen Ort in Abhängigkeit von der Zeit! 1+ g2 t 2 gt v = ) 1 + g2 t 2 1 x = 2 g ) shwieriger) Hans fliegt von der Erde weg und kommt danah wieder zurük. Dazu wird er zuerst eine Zeit T lang von der Erde weg beshleunigt, dann 2T zur Erde hin beshleunigt und shließlih wieder T von der Erde weg beshleunigt, sodass er immer sein normales Erdgewiht spürt und am Shluss nah 4T ) zum Stillstand kommt. Wie lange musste Sepp inzwishen warten? Hinweis: T 0 1 1+ g2 t 2 dt = g arsinh gt 4 sinh gt g 10