für alle a, b, x, y R.

Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 33 1.5 Ringe Definition 1.5.1 Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, genannt Addition und Multiplikation, für die folgendes gilt: (R1) (R, +) ist eine abelsche Gruppe. (R2) die Verknüpfung ist assoziativ (R3) (Distributivgesetze) a (x + y) = a x + a y (a + b) x = a x + b x } für alle a, b, x, y R. Manchmal wird diese Definition noch aufgeschlüsselt, wobei dann der Begriff Gruppe nicht mehr benutzt wird. Das läuft auf dasselbe hinaus und erscheint in der obigen Form etwas übersichtlicher. Im allgemeinen wird von einem Ring zusätzlich verlangt, dass ein neutrales Element bzg. der Multiplikation existiert. Ein solches Element heißt Einselement oder einfach Eins und wird mit 1 R bezeichnet. Man spricht auch kurz von einem Ring mit Eins. Ein Ring heißt kommutativ, falls die Multiplikation kommutativ ist: a b = b a für alle a, b R. Die aus der Linearen Algebra wie auch aus der Analysis bekannte Definition eines Körpers kann jetzt sehr kurz gefasst werden: Definition 1.5.2 Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement, in dem jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzt. Die Forderung nach Inversen macht Sinn, weil es für die Multiplikation ein neutrales Element gibt. Beispiele 1.5.3 Alle Ringe in den folgenden Beispielen haben ein Einselement. Alle außer (6) sind kommutativ. (1) (Z, +, ): die ganzen Zahlen mit der üblichen Multiplikation und Addition bilden einen kommutativen Ring mit Einselement. (2) (Q, +, ), (R, +, ): die rationalen bzw. reellen Zahlen bilden einen Körper. (3) Z[ 2]: die Menge aller reellen Zahlen x + y 2, x, y Z bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Ring. Hierzu muss man sich vor allem überlegen, dass das Produkt zweier solcher Zahlen wieder von derselben Bauart ist. Dieses gilt allgemeiner für d anstelle von 2, für irgendeine feste Zahl d Z, die kein Quadrat in Z ist. Siehe auch unten 1.5.4.

Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 34 (4) F(M, R): die Menge der reellwertigen Funktionen auf einer beliebigen Menge M bildet einen Ring mit der üblichen Addition und Multiplikation von Funktionen: (f + g)(x) = f(x) + g(x) für alle f, g F(M, R). (5) K[X]: der Polynomring über einem beliebigen Körper K; Polynome sind aus der Linearen Algebra (charakteristisches Polynom einer Matrix) und der Analysis bekannt, allerdings sagt man oft nicht, was sie wirklich sind. Polynome sind keine Funktionen, sondern formale Ausdrücke, die allerdings eine Funktion definieren. Dieser Ring K[X] der abstrakten Polynome wird unten in Abschnitt 3.2 exakt definiert. (6) End(V ), die Menge aller Endomorphismen eines K-Vektorraums V der Dimension 2 ist mit der üblichen Addition und der Komposition von Abbildungen als Multiplikation ein nicht-kommutativer Ring mit Einselement Id V. Entsprechend gibt es den Ring der n n-matrizen M n (K). (7) Z/mZ, die Menge der Restklassen ganzer Zahlen modulo m, bildet mit der von der Addition und Multiplikation auf Z abgeleiteten Restklassen- Addition und -Multiplikation (siehe 1.2.11) einen Ring; man erhält einen in natürlicher Weise isomorphen Ring, wenn man die Verknüpfungen von Z/mZ auf das Vertretersystem Z m überträgt (siehe 1.4.11). Immer dann, wenn auf einer Menge zwei Verknüpungen gegeben sind, hat man einen möglichen Kandidaten für einen Ring. Sehr wichtig ist dabei das Distributivgesetz, das das Zusammenspiel der beiden Verknüpfungen regelt. Ein einfaches Beispiel, bei dem dieses erfüllt ist, man aber trotzdem keinen Ring hat, liefert die folgende Struktur: Man betrachtet als Menge R die Potenzmenge einer beliebigen Menge M mit den beiden Verknüpfungen und, also Durchschnitt und Vereinigung. Dann gilt das Distributivgesetz (man mache sich das klar!) und trivialerweise auch das Assoziativgesetz jeweils für die einzelne Verknüpfung. Die Ringeigenschaft scheitert daran, dass die erste Verknüpfung keine Gruppe liefert (es gibt keine inversen Elemente). Das Beispiel (3) führt in natürlicher Weise auf den Begriff des Teilrings (oder Unterrings), der dem Begriff der Untergruppe oder des Untervektorraumes (Teilraumes) völlig analog ist. Definition 1.5.4 Es sei (R, +, ) ein Ring. Eine Teilmenge S R heißt Teilring (oder Unterring) von R, falls gilt: (TR1) S ist Untergruppe von (R, +), (TR2) S ist abgeschlossen unter Multiplikation: x, y S = x y S.

Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 35 Beispiel 1.5.5 (Die Gauß schen Zahlen) (1) Die Menge Z[i] := {x + yi x, y Z} C ist ein Teilring von C, der sogenannte Ring der ganzen Gauß schen Zahlen. (2) Die Menge Q[i] := {x + yi x, y Q} C ist ebenfalls ein Teilring von C und selbst ein Körper. Es handelt sich um einen sog. Teilkörper des Körpers C. Bei völlig systematischer Vorgehensweise wäre als Nächstes analog zu Fall der Gruppen das Konzept des Homomorphismus (strukturerhaltende Abbildung) sowie der Isomorphie von Ringen zu behandeln. Soweit gegenüber Gruppen etwas Neues passiert, verzichten wir in dieser kurzen Einführung darauf und verweisen auf den Beginn des (Haupt-)Kapitels über Ringe. Ringe unterscheiden sich von den aus der linearen Algebra besser bekannten Körpern dadurch, dass man nicht uneingeschränkt dividieren kann, d.h. nicht jedes von Null verschiedene Element hat ein Inverses bezüglich der Multplikation. Aber es macht Sinn, die Teilmenge derjenigen Elemente, die ein solches Inverses besitzen, gesondert zu betrachten: Definition 1.5.6 Ein Element a eines Ringes R mit Eins heißt Einheit oder invertierbar, falls ein b R existiert mit Bezeichnung: R := {a R a Einheit} a b = 1 = b a. Wie im Fall von Gruppen zeigt man: Das Element b ist bei gegebenem a eindeutig bestimmt. (Erinnerung: hierzu nimmt man sich ein weiteres Element b, das die gleichen Eigenschaften wie b hat, und zeigt b = b.) Das Element b heißt das Inverse von a; Bezeichnung: b =: a 1. Beispiele 1.5.7 (Einheiten in Ringen) (1) Die Einheiten des Ringes Z sind lediglich 1 und 1. (2) In dem obigen Beispiel (3) eines Ringes ist 2 keine Einheit, aber 1 + 2 ist eine, denn (1 + 2)( 1 + 2) = 1, und der zweite Faktor liegt wieder im betrachteten Ring.

Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 36 (3) Für alle Elemente z Z[i] des Ringes der ganzen Gauß schen Zahlen gilt z 1 (Betrag der komplexen Zahl z), sobald z 0 ist. Mit Hilfe dieser Tatsache bestimmt man leicht die Einheiten dieses Rings (Übung). (4) Die Einheiten des Polynomrings K[X] über einem Körper sind die konstanten Polynome ausser der Null. Das zeigt man unter Benutzung des Grades von Polynomen. Wasserdicht können wir dieses Argument erst machen, wenn wir Polynome exakt definiert haben und die Gradformel 3.2.6 b) zur Verfügung haben. Beim Restklassenring Z/mZ müssen wir etwas Neues lernen: es ist nicht offensichtlich, welche Elemente Einheiten sind. Deshalb gibt es dafür einen eigenen Satz. Satz 1.5.8 Für m N und a Z ist [a] m Einheit im Restklassenring Z/mZ genau dann, wenn a und m teilerfremd sind: (Z/mZ) = {[a] m Z/mZ a Z so, dass ggt(a, m) = 1}. Notation: wir werden im Folgenden für eine Restklasse [a] m gelegentlich auch a schreiben, wenn m sich eindeutig aus dem Kontext ergibt. Beweis von 1.5.8: Wenn a und b teilerfremd sind, so gibt es nach dem Satz 1.1.5 ganze Zahlen x, y Z mit 1 = ggt(a, m) = xa + ym. Für die entsprechenden Restklassen modulo m bedeutet das 1 = x a y m. Wegen m = 0 ist x a = 1, also a invertierbar mit Inversem x. Wenn umgekehrt letzteres gilt, ist die Kongruenz xa m 1 lösbar, d.h. es gibt ein Vielfaches ym von m mit xa + ym = 1. Dann muss aber offensichtlich der ggt von a und m gleich 1 sein. Beispiel Die Einheiten in Z/6Z sind 1, 5; die Einheiten in Z/10Z sind 1, 3, 7, 9. Der folgende Satz kann keine Überraschung sein. Satz 1.5.9 Wenn R ein Ring ist und a, b R Einheiten, so ist auch a b R. Mit der Ringmultiplikation als Verknüpfung ist R eine Gruppe. Die erste Behauptung besagt, dass die Multiplikation eine Verknüpfung auf R liefert. Zum Beweis hiervon rechnet man nach, dass b 1 a 1 invers zu a b ist. Nachdem die erste Behauptung bewiesen ist, ist auch die zweite klar: alle drei Gruppenaxiome gelten nach Definition. Eine Vorbemerkung zu den folgenden Beispielen: Aus den Übungsaufgaben wissen wir, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung 4 gibt, nämlich Z 4 und Z 2 Z 2. Jede weitere Gruppe mit 4 Elementen ist zu einer dieser beiden isomorph.

Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 37 Beispiele 1.5.10 (Einheitengruppen) (1) Die Einheitengruppen (Z/5Z) = {1, 2, 3, 4}, (Z/8Z) = {1, 3, 5, 7} und (Z/10Z) = {1, 3, 7, 9} habe alle jeweils 4 Elemente. In den Übungen klären wir, zu welchen der beiden Standardgruppen Z 4 bzw. Z 2 Z 2 sie isomorph sind. (2) Die Einheitengruppe des Endomorphismenrings End(V ) eines Vektorraumes V ist die Gruppe der Automorphismen von V, die wir schon aus der linearen Algebra kennen und dort als allgemeine lineare Gruppe von V bezeichnet haben: End(V ) = GL(V ). Entsprechend besteht die Einheitengruppe des Ringes der n n-matrizen aus den invertierbaren Matrizen; sie heißt allgemeine lineare Gruppe vom Grad n über K: M n (K) = GL n (K). Die Einheiten eines Ringes sind diejenigen Elemente, die sich bezüglich der Multiplikation so verhalten, wie man es in einem Körper erwartet. Nun betrachten wir gewisse Elemente, die eine Abweichung vom Körper-Sein beinhalten, nämlich die sogenannten Nullteiler. In einem Körper gilt folgende, aus der Schule bekannte Regel: Wenn ein Produkt Null ist, so ist schon einer der Faktoren Null. Nullteiler sind diejenigen Elemente, die in Abweichungen von dieser Regel auftauchen. Der Einfachheit definieren wir sie nur in kommutativen Ringen. Definition 1.5.11 Es sei R ein kommutativer Ring. a) Ein Element x R heißt Nullteiler, falls x 0 ist und ein y R, y 0 existiert mit x y = 0. b) R heißt nullteilerfrei oder ein Integritätsbereich, falls R keine Nullteiler enthält. Beispiele 1.5.12 (Nullteiler) (1) Z ist nullteilerfrei. (2) Jeder Körper K ist nullteilerfrei. (Das beweist man aus der Linearen Algebra.) (3) Der Polynomring K[X] ist nullteilerfrei. (4) Z/6Z = Z 6 besitzt Nullteiler: 2 3 = 6 = 0, 2 0 3. Ähnlich wie in Beispiel (4) kann man für jede Nicht-Primzahl statt 6 verfahren. Das Beispiel (2) wird in folgender Bemerkung verallgemeinert.

Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 38 Bemerkung 1.5.13 Eine Einheit in einem Ring mit Eins ist nie Nullteiler. Beweis: Sei a R, a b = 1. Sei angenommen, dass a auch Nullteiler ist: d.h. (a 0 und) es existiert ein x R, x 0 mit x a = 0. Es folgt: einerseits x (a b) = x 1 = x andererseits x (a b) = (x a) b = 0 b = 0 also x = 0, Widerspruch. Der folgende Satz ist eine leichte Folgerung aus Satz 1.5.8; man beachte auch Beispiel (4). Satz 1.5.14 Sei m N, m 2, Z/mZ der Restklassenring modulo m. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) m ist Primzahl. (ii) Z/mZ ist nullteilerfrei. (iii) Z/mZ ist ein Körper. Beweis: Vorweg bemerken wir, dass wir in diesem Satz die übliche Definition einer Primzahl zugrundelegen: Eine natürliche Zahl p 1 heißt Primzahl, wenn aus p = ab, a, b N folgt a = 1 oder b = 1. (Kompliziertere Aussagen über Teilbarkeit wie die eindeutige Primfaktorzerlegung werden nicht benötigt.) Nun zum Beweis des Satzes. Die Implikation (iii) = (ii) ist trivial. Der Beweis von (ii) = (i) folgt (mittels Kontraposition) unmittelbar aus der Definition einer Primzahl: wenn m keine Primzahl ist, so schreibe m = ab mit a > 1, b > 1. Dann ist a b = 0 in Z/mZ, aber beide Faktoren ungleich 0. Der Beweis von (i) = (iii) ist eigentlich der schwierigste Teil, ergibt sich aber für uns leicht aus dem obigen Satz 1.5.8. Sei nämlich m Primzahl und a Z beliebig. Dann gibt es für g = ggt(a, m) als Teiler von m nur zwei Möglichkeiten. Entweder ist g = 1 und damit a nach 1.5.8 invertierbar. Oder es ist g = m und somit a = 0. Also ist jedes von Null verschiedene Element in Z/mZ invertierbar, wie gewünscht. Alternativ ergibt sich die zunächst überraschende Implikation (ii) = (iii) auch unabhängig von 1.5.8 aus folgendem Satz. Satz 1.5.15 Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins, R enthalte keine Nullteiler und sei endlich. Dann ist R ein Körper. Den Begriff eines Primelementes und die Äquivalenz zwischen (i) und (ii) im Satz 1.5.14 werden wir im folgenden weiter untersuchen und auf eine größere Klasse von Ringen verallgemeinern.