ramersche Regel Satz 6 Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 6= Für das LGS Ax = b sei A j := (a,,a j, b, a j+,,a n ), also die Matrix, die entsteht, wenn in A die j-te Spalte durch den Vektor b ersetzt wird Dann gilt für die eindeutige Lösung x =(x j ) R n des Gleichungssystems Ax = b x j = det(a j) det(a) Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 9 / 98
eispiel 7 Wir betrachten das LGS aus eispiel 3 (a) Die Determinate det(a) = 6 haben wir bereits in eispiel berechnet det(a )=det 3 A =+ 6++ = @ det(a )=det det(a 3 )=det@ Daraus folgt @ 6 3 3 3 3 6 3 3 A =9 3 6+9+3 6=6 A = 6+ + 6 + 8 =6 x = 6 =, x = 6 6 =, x 3 = 6 6 = Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 93 / 98
eispiel 8 Java-Methode zur Lösung von LGS der Größe 3 3, siehe Homepage Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 94 / 98
Gaußsches Eliminationsverfahren eispiel 9 4x + x + x 3 = x + 6x + x 3 = 4 x + x + 8x 3 = =) () () (3) 4 () =) (3) () 4x + x + x 3 = 5x + x 3 = 3 x + 3 4 x 3 = 4x + x + x 3 = 5x + x 3 = 3 77 x 3 = 5 Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 95 / 98
Fortsetzung eispiel Daraus ergibt sich x 3 = 77 x = 5 (3 77 )=46 77 x = 46 ( 4 77 77 )=5 77 Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 96 / 98
Pivotisierung Für a, b R mit a groß und b klein ist die erechnung von a b schlecht konditioniert, dh ein Rundungsfehler bei der Darstellung von b wird verstärkt Deshalb: Pivotisierung durch Zeilenvertauschung Für die verbleibenden Zeilen sucht man in der zu bearbeitenden Spalte nach dem betragsgrößten Element (Pivotelement) und führt eine Zeilenvertauschung durch Die Zeile, die das Pivotelement enthält, heißt Pivotzeile emerkung: In eispiel 9 war keine Pivotisierung erforderlich Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 97 / 98
Gaußscher Algorithmus Äquivalente Umformungen eines LGS: Addition des Vielfachen einer Zeile (Gleichung) zu einer anderen, Vertauschung von Zeilen (Gleichungen), Multiplikation einer Zeile (Gleichung) mit einer Zahl ungleich null emerkung: Wir wollen mit dem Gaußschen Algorithmus auch r(a) bzwr(a b) bestimmen Deshalb schränken wir A nicht weiter ein, insbesondere sind auch Nullspalten und nicht-quadratische Matrizen zugelassen Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 98 / 98
Algorithmus 3 Initialisiere den Zeilenzähler k = Suche nach der ersten Spalte j mit (a kj,,a mj ) 6= und tausche die Pivotzeile mit der k-ten Zeile Anschließend ist a kj das Kopfelement der k-ten Zeile 3 Für i = k +,,m: Durch a i := a i a ij a kj a k Nullen unter dem Kopfelement a kj erzeugen 4 Falls k < m, dannk := k +und weiter mit Ansonsten weiter mit 5 5 Dividiere alle Nicht-Null-Zeilen durch deren Kopfelement Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 99 / 98
Zeilen-Stufen-Form @ # b # b # b 3 # b r b r+ b m A # Kopfelement, beliebige Zahlen r(a) =r(a b) =r gdw b r+ = = b m = Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 / 98
eispiel 3 Wir betrachten das LGS x + 4x 8x 3 + 6x 4 + x 5 = 4 x + x 3x 3 + 6x 4 + x 5 = 6 x + x x 3 + 7x 4 + x 5 = 9 3x + 6x 6x 3 + x 4 + 3x 5 = 7 Mit dem Gaußschen Algorithmus ergibt sich 4 8 6 4 3 6 6 @ 7 9 A =) @ 3 6 6 3 7 4 8 6 4 3 4 4 7 6 A Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 / 98
Fortsetzung eispiel =) @ 4 8 6 4 3 4 6 6 3 A =) @ 4 8 6 4 3 4 - Die eingerahmten Elemente sind die Kopfelemente Nicht-Kopfspalten sind die Spalten und 5, so dass wir x = s und x 5 = t als freie Parameter wählen Damit ergibt sich A x 4 x 5 =, x 4 = ( t) = t x 3 +3x 4 + x 5 =4, x 3 =4 3( t) t = 5 +t Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 / 98
Fortsetzung eispiel x +4x 8x 3 +6x 4 +x 5 =4 also x = @ s + t s 5 +t t t, x = (4 4s + + 6t 3+6t t) = A = @ s + t 5 A + s @ A + t @ A s, t R Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 3 / 98
Gaußscher Algorithmus für reguläre Matrizen Für eine quadratische Matrix A R n n mit det(a) 6= (eine sogenannte reguläre Matrix) entsteht beim Gaußalgorithmus ein Dreiecksschema @ a, a, a,n a,n b a, a,n a,n b a 3,n a 3,n b 3 a n,n b n mit a k,k 6=für k =,,n Daraus ergeben sich die Lösungen A x k = b k P n j=k+ a k,jx j a k,k für k = n,, Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 4 / 98
LR-Zerlegung Die beiden Operationen (a) Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen und (b) Vertauschung von Zeilen entsprechen der Multiplikation von A mit sogenannten Elementarmatrizen Alle Elementarmatrizen von Operation (a) zusammen ergeben eine untere Dreiecksmatrix L, das Ergebnis ist eine obere Dreiecksmatrix R In diesem Fall gilt daher L A = R bzw A = LR Dies ist die sogenannte LR-Zerlegung Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 5 / 98
LR-Zerlegung mit Pivotisierung Nutzt man zusätzlich Pivotisierung, kann dies durch eine Matrix P ausgedrückt werden Es gilt dann L PA = R bzw PA = LR Hierbei gilt det(l) =det(l )= det(p) =± det(r) = Q n i= r i,i womit det(a) einfach berechnet werden kann Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 6 / 98
Elementarmatrizen Definition 3 Die Elementarmatrix R k,l ( ) =(r ij ) R n n mit k 6= l ist definiert durch: 8 < für i = j r ij = für i = k und j = l : sonst eispiel 33 R, ( )= @ A, R 3, ( 4 )= @ 4 A Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 7 / 98
Wirkungsweise: R k,l ( ) A addiert das -fache der l-ten Zeile zu Zeile k A R k,l ( ) addiertdas -fache der k-ten Spalte zu Spalte l Eigenschaften: det(r k,l ( )) = Das Matrixprodukt von Elementarmatrizen R k,l ( ) mitk > l ist eine untere Dreiecksmatrix mit en auf der Hauptdiagonale Die Matrix L für die Zerlegung L A = R ensteht durch die Multiplikation von Elemantarmatrizen mit k, l und gemäß Gaußschem Algorithmus Es gilt (R k,l ( )) = R k,l ( ) Damit lässt sich die Matrix L sehr leicht bestimmen Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 8 / 98
eispiel 34 Zerlegung der Koe zientenmatrix A von eispiel 9: 4 4 R 3, ( ) R 3,( 4 ) R,( ) @ 6 A = @ 5 A 77 8 4 4, @ A @ 6 A = @ 5 A 77 5 8 Die linke Matrix ist die Matrix L der Zerlegung, die rechte Matrix die Matrix R Wegen det(l ) = folgt auch det(a) = ny i= r i,i =4 5 77 = 54 Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 9 / 98
Fortsetzung eispiel Weiterhin ergibt sich 4 A = @ 6 8 A = R, ( ) R 3,( 4 ) R 3,( ) @ = @ 4 {z } L 4 A @ 5 77 A {z } R 4 5 77 A emerkung: L muss nicht berechnet werden, sondern ergibt sich indirekt aus den beim Gauß-Algorithmus angewendeten Operationen negativer -Wert an Position k, l Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 / 98
Zusammenfassung Zusammenfassung Vektorraum als asisstruktur für erechnungen estimmung der Lösbarkeit von LGS mit Hilfe von r(a) bzwr(a b) Determinante und ramersche Regel für sehr kleine, eindeutig lösbare LGS Allgemeiner Lösungsalgorithmus: Gaußscher-Algorithmus LR-Zerlegung als Spezialfall des Gaußschen-Algorithmus für reguläre Matrizen Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 5 / 98