PD Dr. A. Kollross Dr. J. Becker-Bender Klausur zur Geometrie Universität Stuttgart SoSe 213 2. Juli 213 Lösungen Aufgabe 1 Sei eine ebene Kurve c: (, ) R 2 durch ( ) 3 t c(t) = 2 t 3/2 definiert. a) Begründen Sie, warum es sich um eine regulär parametrisierte Kurve handelt. (1 P) b) Finden Sie eine Umparametrisierung φ, so dass c φ nach Bogenlänge parametrisiert ist. (4 P) c) Berechnen Sie die Krümmung der Kurve. (3 P) Lösung zu Aufgabe 1 a) Es gilt was die Regularität zeigt. b) Wir berechnen t ċ(s) ds = t ċ(t) = ( 3 3 t 1/2 ), t 9 + 9s ds = 3 1 + s ds = = 3 2 3 (1 + s)3/2 s=t s= = 2 (1 + t)3/2 2 Wir setzen ψ(t) := 2 (1 + t) 3/2 2. Die Umkehrabbildung φ := ψ 1 erhält man, indem man nach t auflöst: 2(1 + t) 3/2 2 = s φ(s) = ( s 2 + 1 ) 2/3 1. Verwendet man φ: (1, ) (, ) als Umparametrisierung, dann ist c φ nach Bogenlänge parametrisiert. c) Wir berechnen ( ) c(t) = 3 2 t 1/2.
Mit der Formel für die Krümmung einer nicht notwendig nach Bogenlänge parametrisierten ebenen Kurve erhält man κ(t) = det(ċ(t), c(t)) = 3 3 2 t 1/2 3 t 1/2 = ċ(t) 3 3 3 (1 + t) 3/2 Aufgabe 2 Sei im R 3 eine Schraubenlinie gegeben durch c: R R 3, c(t) = 1 4 cos(t) 4 sin(t). 3t 1 6 t(1 + t) 3/2. a) Zeigen Sie, dass die Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist. (1 P) b) Bestimmen Sie das begleitende Dreibein (v(t), n(t), b(t)). ( P) c) Berechnen Sie Krümmung κ und Torsion τ. (2 P) Lösung zu Aufgabe 2 a) Es gilt ċ(t) 2 = 1 (16 2 cos(t)2 + 16 sin(t) 2 + 9) = 1. b) Man erhält durch ein- bzw. zweimaliges Ableiten: v(t) = ċ(t) = 1 4 sin(t) 4 cos(t) und c(t) = 1 4 cos(t) 4 sin(t) 3 und damit: n(t) = c(t) c(t) = cos(t) sin(t). Den Binormalenvektor b(t) erhalten wir, indem wir das Kreuzprodukt von v(t) und n(t) bilden: b(t) = v(t) n(t) = 1 3 sin(t) 3 cos(t). 4 c) Wir erhalten κ(t) = c(t) = 4. Um die Torsion zu bestimmen, berechnet man ṅ(t) = sin(t) cos(t) und erhält τ = ṅ, b = 3. Alternativ: Nach der Frenetschen Formel ḃ = τn kann man, nach Ableiten von b(t), an den Ergebnissen der vorangehenden Teilaufgabe τ(t) = 3 ablesen. Aufgabe 3
a) Sei c eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve mit positiver Krümmungsfunktion. Beweisen Sie: Der Binormalenvektor ist genau dann konstant, wenn c in einer affinen Ebene des R 3 verläuft. (4 P) b) Beweisen Sie: Die Teilmenge { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = e z} des R 3 ist eine reguläre Fläche. (2 P) Lösung zu Aufgabe 3 a) Dass die Raumkurve c: I R 3 ganz in einer affinen Ebene des R 3 verläuft, ist dazu äquivalent, dass es einen von Null verschiedenen Vektor w R 3 gibt mit w, c(t) = const. Angenommen, das Bild ist ganz in einer affinen Ebene des R 3 enthalten und sei w R 3 gibt mit w, c(t) = const. Dann folgt durch ein- bzw. zweimaliges Ableiten: w, ċ(t) = w, c(t) =, d.h. ċ(t), c(t) w für alle t I. Also gilt für das begleitende Dreibein v(t), n(t) w und es folgt, dass b(t) = ±w/ w. Aus Stetigkeitsgründen folgt nun, dass entweder b(t) +w/ w oder b(t) w/ w gilt und somit b(t) konstant ist. Sei nun b(t) =: w konstant. Dann folgt w ċ(t) für alle t I und somit t w, c(t) = w, ċ(t) =. dt b) Wir berechnen den Gradienten der Funktion f : R 3 R, f(x, y, z) = x 2 + y 2 e z : gradf(x, y, z) = 2x 2y. e z Der Gradient verschwindet nirgends und somit ist insbesondere f 1 ({}) ein reguläres Urbild. Aufgabe 4 Sei durch cos(φ)(4 + cos(ϑ)) F (φ, ϑ) = sin(φ)(4 + cos(ϑ)) sin(ϑ) ein Rotationstorus parametrisiert. a) Bestimmen Sie die Strukturmatrix g ij der ersten Fundamentalform bezüglich F. (3 P) b) Bestimmen Sie die zweite Fundamentalform, d.h. die Funktionen h ij. Hinweis: Sie dürfen ohne Begründung verwenden, dass durch cos(φ) cos(ϑ) N(φ, ϑ) := sin(φ) cos(ϑ) sin(ϑ) ein Einheitsnormalenfeld gegeben ist. (4 P) c) Bestimmen Sie die Gaußsche Krümmung am Punkt F (φ, ϑ). (3 P)
Lösung zu Aufgabe 4 a) Wir berechnen sin(φ)(4 + cos(ϑ)) cos(φ) sin(ϑ) F φ = cos(φ)(4 + cos(ϑ)), F ϑ = sin(φ) sin(ϑ). cos(ϑ) Daraus ergibt sich sowie und g φφ = sin(φ) 2 (4 + cos(ϑ)) 2 + cos(φ) 2 (4 + cos(ϑ)) 2 = (4 + cos(ϑ)) 2 g φϑ = g ϑϑ = cos(φ) 2 sin(ϑ) 2 + sin(φ) 2 sin(ϑ) 2 + cos(ϑ) 2 = = (cos(φ) 2 + sin(φ) 2 ) sin(ϑ) 2 + cos(ϑ) 2 = 1. b) Wir berechnen cos(φ)(4 + cos(ϑ)) sin(φ) sin(ϑ) F φφ = sin(φ)(4 + cos(ϑ)), F φϑ = cos(φ) sin(ϑ) und cos(φ) cos(ϑ) F ϑϑ = sin(φ) cos(ϑ). sin(ϑ) Einsetzen ins Skalarprodukt mit dem Einheitsnormalenfeld N(ϑ, φ) ergibt h φφ = (4 + cos(ϑ)) cos(ϑ), h φϑ =, h ϑϑ = 1, c) Aus den obigen Ergebnissen erhalten wir Aufgabe Daraus ergibt sich det(g ij ) = (4 + cos(ϑ)) 2 und det(h ij ) = (4 + cos(ϑ)) cos(ϑ). κ(f (φ, ϑ)) = det(h ij) det(g ij ) = cos(ϑ) 4 + cos(ϑ). a) Was besagt der Umlaufsatz? (2 P) b) Geben Sie (ohne Begründung) die Tangentendrehzahlen der folgenden geschlossenen orientierten ebenen Kurven an. Lösung zu Aufgabe (2 P)
a) Eine einfach geschlossene ebene orientierte Kurve hat Tangentendrehzahl +1 oder 1. b) Bei der linken Kurve ist die Tangentendrehzahl gleich 1, bei der rechten gleich 4. Aufgabe 6 Wir betrachten die xy-ebene S = x y x, y R im R 3. a) Begründen Sie zunächst, warum für jede glatte Kurve c: ( ε, ε) S und jedes tangentiale Vektorfeld v längs c gilt: (2 P) dt v(t) = d dt v(t). b) Auf S führen wir nun Polarkoordinaten F : U S, F (r, φ) = (r cos(φ), r sin(φ), ), U = (, ) (, 2π) ein. Berechnen Sie die kovarianten Ableitungen X Y für die Koordinatenvektorfelder X, Y {F r, F φ }. (4 P) Lösung zu Aufgabe 6 a) Für ein tangentiales Vektorfeld v längs einer glatten Kurve c gilt, dass die dritte Komponente von v(t) = v 1(t) v 2 (t) v 3 (t) konstant gleich Null ist und dies gilt dann auch für die Ableitung nach t. Die orthogonale Projektion R 3 T p S ist aber in jedem Punkt durch x y x y z gegeben. Daher stimmt die kovariante Ableitung in diesem Fall mit der gewöhnlichen Ableitung überein.
b) Wegen a) gilt im Punkt p = F (r, φ) r F r (p) = F rr =, r F φ (p) = φ F r (p) = F rφ = sin(φ) cos(φ), r cos(φ) φ F φ (p) = F φφ = r sin(φ).