Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Die Zahl pi - Wege zur Ermittlung von Näherungswerten Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
S 1 Die Zahl p Wege zur Ermittlung von Näherungswerten Udo Mühlenfeld, Hiddenhausen Eine Frau erklärt im Mathematikum in Gießen die Zahl p, die an der Wand als Spirale dargestellt ist. Foto: ddp images/dapd/thomas Lohnes Klasse: 8 Dauer: Inhalt: 4 Stunden Umfang U = p d und Flächeninhalt A = p r 2 eines Kreises, wobei die Kreiszahl p = 3,141592654; Daten aufnehmen, grafisch darstellen und auswerten; näherungsweise den Flächeninhalt eines Kreises mithilfe einbeschriebener regelmäßiger Vielecke ermitteln Ihr Plus: ein Experiment zum Vergleich des Flächeninhalts eines Kreises und des ihm umbeschriebenen Quadrates; Simulation dieses Experimentes mithilfe einer Tabellenkalkulation und eines Programms (CASIO ClassPad) Die Kreiszahl p hat unendlich viele Stellen in einer Reihenfolge ohne Muster. Sie übt deshalb eine große Faszination aus. Fast alle Menschen kennen ihre Bedeutung, aber nur wenige Menschen können sie exakt beschreiben bzw. Näherungswerte angeben.
S 2 Didaktisch-methodische Hinweise Die Jagd nach immer mehr Nachkommastellen der Zahl p hat bereits sehr früh begonnen: Im Jahr 250 v. Chr. bestimmte Archimedes mithilfe eines 96-Ecks zwei Nachkommastellen der Zahl p. Im Februar 1981 lernte ein Kandidat für eine Wette in der ersten Wetten, dass?-sendung 100 Nachkommastellen auswendig. Es gibt Vereine wie z. B. die Freunde der Zahl p, die sich mit allem Wissenswerten rund um die Zahl beschäftigen. Im Jahr 2000 gab es dazu eine weltweite p-konferenz und einige Mathematiker haben den 14. März zum p-day gekürt, basierend auf der amerikanischen Schreibweise 3,14. Die Kreiszahl p übt also offenbar eine derart große Faszination auf viele Menschen aus, dass der Mathematikunterricht die Chance nutzen muss, sich mit ihr und dem Problem ihrer Bestimmung auseinanderzusetzen. Es genügt nicht, den Schülern die Formeln für den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises mitzuteilen mit dem Hinweis, dass es auf dem Taschenrechner eine Taste gibt, mit deren Hilfe man einen ungefähren Wert für p erhalten kann. In den folgenden Abschnitten wird deutlich, welche Möglichkeiten die Schüler anhand der Bestimmung der Zahl p haben, an Alltagserfahrungen anzuknüpfen, selbstständig zu arbeiten, zu argumentieren und über Strategien zu kommunizieren, ihre individuellen Lösungswege einzubringen, Ergebnisse zu präsentieren, zu modellieren und Vorwissen gewinnbringend einzusetzen. Außerdem wird eine Tabellenkalkulation und/oder Geometriesoftware eingesetzt. Ablauf M 1 Kreisförmige Gegenstände Durchmesser und Umfang Die Schüler ermitteln einen Zusammenhang zwischen dem Durchmesser d und dem Umfang U, der über die Aussage Je größer d, desto größer U hinausgeht. Sinnvoll ist Partnerarbeit, zu deren Beginn sich beide über das Messinstrument verständigen müssen: Maßband, flexibles Lineal oder Faden, der anschließend mit dem Lineal vermessen wird. Die Messwerte der Schüler sollten ungefähr den Zusammenhang U = π d liefern. Ursprungsgerade, Steigung, Funktionsterm einer linearen Funktion Setzen Sie für die Aufgabe für Experten eine Tabellenkalkulation ein. Sie erleichtert den Schülern die Darstellung und die Auswertung der Ergebnisse. M 2 Experimentieren mit Kreis- und Quadratflächen Mit diesem Material fördern Sie eigenständiges Lernen. Hierfür bietet sich eine arbeitsteilige Gruppenarbeit an. Sie verteilen die Experimente auf die Gruppen. Wichtig ist, dass die Schüler ihre Ergebnisse anschließend mithilfe von Lernplakaten präsentieren. So bringen Sie zum einen die Gruppen auf den gleichen Kenntnisstand und fördern zum anderen prozessbezogene Kompetenzen wie das Argumentieren und Kommunizieren.
S 3 Zählstrategien, Anteile berechnen, Einheiten umrechnen (cm 2 m 2 ) Die Schüler lernen zudem verschiedene Problemlösestrategien kennen, die auch in anderen Zusammenhängen von Bedeutung sind: z. B. Zählgitter zum Zählen von Bienen (Biologie) und Ermitteln von Inselgrößen (Erdkunde). M 3 Verteilte Papierschnipsel Simulation am Rechner Hier lernen die Schüler eine wichtige Methode der Mathematik kennen: die Simulation. Zunächst führen sie ein reales Experiment durch: Sie streuen gleichmäßig Papierschnipsel auf eine Fläche. Anschließend erzeugen sie in der Simulation Punktkoordinaten. Danach berechnen sie den Abstand der Punkte vom Mittelpunkt. Die einzelnen Schritte sind in Teil a) detailliert aufgeführt, um auch lernschwächeren Schülern die Bearbeitung der Teilaufgabe b) zu ermöglichen. Wenn die Klasse solide Grundkenntnisse in der Handhabung einer Tabellenkalkulation besitzt, lassen Sie die Schüler die Schritte in Teilaufgabe a) selbst herausfinden. Die Teilaufgabe b) fördert die Einsicht in mathematische Prozesse und stärkt damit die Kompetenz der Schüler, sich über ihr eigenes Handeln auszutauschen. Grundlagen einer Tabellenkalkulation, Satz des Pythagoras Die Teilaufgabe c) fördert wie die Teilaufgabe b) die Fähigkeit, über Mathematik zu sprechen. Die Schüler beschreiben hier einzelne Abläufe. Die Bedeutung der Befehle können sich die Schüler ohne Kenntnisse einer Programmiersprache mit dem gesunden Menschenverstand erschließen. Alternativ lassen Sie die Schüler ein entsprechendes Programm selbst schreiben, wenn sie am Informatikunterricht teilnehmen. M 4 Den Flächeninhalt eines Kreises ermitteln Dieses Material macht die Schüler mit einer weiteren wichtigen Vorgehensweise der Mathematik vertraut: Neues (den Flächeninhalt eines Kreises) auf Bekanntes (den Flächeninhalt von Dreiecken und Vielecken) zurückführen. Machen Sie Ihren Schülern diese Strategie im Unterricht bewusst. Die Schüler sollen ihre Arbeitsweise reflektieren, um diese dann später bei der Körperberechnung zielführend einsetzen zu können, z. B. bei der Annäherung des Pyramidenvolumens durch Quadervolumina. Bei der Teilaufgabe b) sind durch die unterschiedlichen Möglichkeiten, die Kreisfläche zu füllen, individuelle Lösungswege möglich und wünschenswert. Flächeninhalte von Dreieck, Rechteck, Parallelogramm; Grundkenntnisse einer Geometriesoftware Bei der Aufgabe 2 erkennen die Schüler, dass ihr Lösungsweg aus der Teilaufgabe 1b) für eine weitere Berechnung zwar denkbar, aber mit hohem Rechenaufwand verbunden ist. An dieser Stelle ist der Einsatz einer Geometriesoftware deshalb nicht nur eine Option, sondern eine Notwendigkeit, um mit geringem Zeitaufwand zu Ergebnissen zu gelangen, die man interpretieren kann. Lassen Sie die Schüler in Kleingruppen zusammenarbeiten, falls nicht genügend Rechner für eine Partnerarbeit zur Verfügung stehen.
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