Arnold Kühhorn Gerhard Silber Technische Mechanik für Ingenieure Grundlagen für Studium und Praxis Hüthig Verlag Heidelberg
Inhalt Grundlagen 1 1.1 Körper und Kontinuum 1 1.2 Dynamische Größen 2 1.2.1 Der Kraftbegriff 2 1.2.2 Der Momentenbegriff 5 1.2.3 Das Wechselwirkungsprinzip 7 1.2.4 Das Befreiungs- und das Schnittprinzip 8 1.2.5 Der Spannungsvektor 10 1.3 Kinematische Größen 12 1.3.1 Ortsvektor, Bewegung und Bahnkurve 12 1.3.2 Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor 14 1.3.3 Winkelgeschwindigkeits- und Winkelbeschleunigungsvektor 15 1.3.4 Verschiebungsvektor 16 1.3.5 Freiheitsgrade 17 1.4 Die Grundgesetze der klassischen Mechanik 18 1.4.1 Impuls und Drall 19 1.4.2 Impuls- und Drallsatz 21 1.5 Kraftgesetze 22 1.6 Energetische Größen 26 1.6.1 Arbeit 27 1.6.1.1 Einleitende Bemerkungen 27 1.6.1.2 Räumliche Probleme 28 1.6.1.3 Ebene Probleme 31 1.6.2 Potenzial (Potenzielle Energie) 34 1.6.3 Kinetische Energie 37 1.6.4 Leistung 38 Statik starrer Körper 39 2.1 Zentrale Kräftesysteme 39 2.1.1 Zentrales ebenes Kräftesystem (ZEKS) 40 2.1.1.1 Kräftereduktion, resultierende Kraft 40 2.1.1.2 Kräftezerlegung 49 2.1.1.3 Gleichgewichtsbedingungen 53 2.1.2 Zentrales räumliches Kräftesystem (ZRKS) 60 2.1.2.1 Kräftereduktion, resultierende Kraft 61
VIII Inhalt 2.1.2.2 Kräftezerlegung 64 2.1.2.3 Gleichgewichtsbedingungen 66 2.2 Allgemeine Kräftesysteme 67 2.-2.1 Allgemeine ebene Kräftesysteme (AEKS) 68 2.2.1.1 Das Kräftepaar (freies Moment) 72 2.2.1.2 Das Versetzungsmoment (Parallelverschiebung einer Kraft) 76 2.2.1.3 Das Moment einer Kraft 77 2.2.1.4 Kräfte- und Momentenreduktion, resultierende Kraft und resultierendes Moment 80 2.2.1.5 Gleichgewichtsbedingungen 89 2.2.2 Allgemeine räumliche Kräftesysteme (ARKS) * 95 2.2.2.1 Kräfte- und Momentenreduktion (resultierende Kraft und resultierendes Moment) 96 2.2.2.2 Gleichgewichtsbedingungen 101 2.3 Mittelpunkte 103 2.3.1 Mittelpunkt paralleler Kräfte 104 2.3.1.1 Mittelpunkt kontinuierlicher Linienlasten 104 2.3.1.2 Schwerpunkt, Massenmittelpunkt und Volumenmittelpunkt eines Körpers 107 2.3.2 Flächenmittelpunkt 113 2.3.3 Mittelpunkt zusammengesetzter Gebilde 118 2.4 Lagerarten und Lagerreaktionen 128 2.4.1 Allgemeines 128 2.4.2 Ebene Probleme 130 2.4.3 Räumliche Probleme 132 2.5 Statische Bestimmtheit 133 2.5.1 Notwendige und hinreichende Bedingungen 134 2.5.2 Einige Beispiele 136 2.6 Lager- und Bindereaktionen spezieller Tragwerke 138 2.6.1 Einteilung der Tragwerke 138 2.6.2 Ebene Tragwerke 139 2.6.2.1 Gerader Balken 139 2.6.2.2 Gelenkträger (GERBER-Träger) 143 2.6.2.3 Dreigelenkbogen 151 2.6.2.4 Lösungshinweise 154 2.6.3 Räumliche Probleme 157 2.7 Schnittlasten 160 2.7.1 Schnittkraft- und Schnittmomentenvektor 160 2.7.2 Die Schnittmethode * 162
Inhalt IX 2.7.3 Die Schnittlasten-Differentialgleichungen 177 2.7.3.1 Zusammenhang zwischen Schnittgrößen und Belastung.177 2.7.3.2 Integration der Schnittlasten-Differentialgleichungen...181 2.7.3.3 Mehrfeldprobleme 185 2.7.4 Schnittlasten bei Rahmen und Bögen 192 2.8 Fachwerke 204 2.8.1 Allgemeines 204 2.8.2 Aufbau ebener Fachwerke 207 2.8.3 Null- oder Blindstäbe 208 2.8.4 Vorzeichenfestlegung bei Stabkräften 209 2.8.5 Ermittlung der Stabkräfte 210 2.8.5.1 Das Knotenpunktverfahren 210 2.8.5.2 Der CREMONA-Plan 214 2.8.5.3 Das RlTTERsche Schnittfahren 218 2.8.6 Zusammenfassung und Beispiel 219 2.9 Haftreibung 224 2.9.1 Einleitende Bemerkungen 224 2.9.2 Haftkraft und Haftbedingung 226 2.9.3 Seilhaftung 233 Festigkeitslehre 239 3.1 Grundlagen der Elastizitätstheorie 240 3.1.1 Verschiebungszustand 240 3.1.2 Verzerrungszustand 241 3.1.2.1 Dehnungen 242 3.1.2.2 Gleitungen, Scherungen, Schubverzerrungen 246 3.1.2.3 Volumendilatation 248 3.1.2.4 Verzerrungstensor 249 3.1.3 Spezielle Verformungszustände 251 3.1.3.1 Starrkörperverformung 251 3.1.3.2 /Konstanter Verzerrungszustand 252 3.1.4 Beispiel zum Verformungsbegriff 252 3.1.5 Spannungszustand 259 3.1.5.1 Spannungsvektor 259 3.1.5.2 Spannungstensor 260 3.1.5.3 CAUCHYsche Formel 263 3.1.5.4 Äquivalenzbedingungen und Schnittgrößen 265 3.1.6 Materialgesetze 268 3.1.6.1 Phänomenologie 269
X Inhalt 3.1.6.2 Das einachsige HOOKEsche Materialgesetz 274 3.1.6.3 Das räumliche HOOKEsche Materialgesetz... 277 3.1.6.4 Das HOOKEsche Materialgesetz der linearen Thermoelastizität 284 3.1.6.5 Volumen-.und Gestaltänderungsanteil des HoOKEschen Materialgesetzes 289 3.1.7 Spezielle Spannungs- und Verzerrungszustände 295 3.1.7.1 Ebener Spannungszustand (ESZ) 295 3.1.7.2 Ebener Verzerrungszustand (EVZ) 300 3.1.7.3 Dünnwandiger Hohlzylinder (Kesselformeln) 302 3.1.8 Gleichgewichtsbedingungen 305 3.2 Transformationen 312 3.2.1 Räumliche Hauptachsentransformation 312 3.2.1.1 Allgemeines 312 3.2.1.2 Spezielles Eigenwertproblem 314 3.2.1.3 Invarianten 316 3.2.1.4 Berechnungsformeln für Haupt- bzw. Eigenwerte 317 3.2.1.5 Mohrsche Kreise und Hauptschubspannungen 318 3.2.1.6 Zusammenfassung der Hauptachsentransformation 319 3.2.1.7 Beispiel zur Hauptachsentransformation 320 3.2.2 Transformationen für ebene Zustände 325 3.2.2.1 Allgemeines 325 3.2.2.2 Analytische Transformationen 328 3.2.2.3 MOHRscher Kreis- Grafische Transformation 335 3.2.2.4 MOHRsche Kreise spezieller Spannungszustände 337 3.2.2.5 Beispiel zur ebenen Transformation 341 3.3 Elementare Stab- und Balkentheorie 345 3.3.1 Voraussetzungen und Beänspruchungsarten 345 3.3.2 Zug und Druck 348 3.3.2.1 Ableitung der Grundgleichungen 348 3.3.2.2 Zusammenfassung und Beispiele 352 3.3.3 Eb.ene oder einachsige Balkenbiegung 360 3.3.3.1 Ableitung der Grundgleichungen 361 3.3.3.2 Zusammenfassung und Beispiele 371 3.3.4 Flächenträgheitsmomente (Flächenmomente 2. Ordnung) 387 3.3.4.1 Allgemeines und Definitionen 387 3.3.4.2 Parallelverschiebung des Bezugssystems (Satz von STEINER) 393 3.3.4.3 Drehung des Bezugssystems (Hauptträgheitsmomente). 395 3.3.4.4 Flächenträgheitsmomente einiger spezieller Flächen... 401
Inhalt XI 3.3.5 Beispiele zu Ein- und Mehrfeldproblemen bei ebener Balkenbiegung 404 3.3.5.1 Einfeldprobleme bei ebener Balkenbiegung 404 3.3.5.2 Mehrfeldprobleme bei ebener Balkenbiegung 411 3.3.5.3 Biegelinien häufig vorkommender Systeme 421 3.3.6 Methode der Superposition 424 3.3.6.1 Überlagerung einfacher Lastfälle 424 3.3.6.2 Superposition zur Lösung statisch unbestimmter Biegeprobleme 425 3.3.7 Schiefe oder zweiachsige Biegung 428 3.3.7.1 Allgemeines 428 3.3.7.2 Schiefe Biegung bezüglich beliebigem Achsensystem...429 3.3.7.3 Schiefe Biegung bezüglich Hauptzentralachsensystem HZAS 431 33.7.4 Spezialisierung bezüglich Kreis- und Kreisringquerschnitten 434 3.3.7.5 Zusammenfassung und Beispiel 436 3.3.8 Schiefe Biegung mit Normalkraft 440 3.3.9 Querkraftschub bei Biegeträgern 445 3.3.9.1 Allgemeines 445 3.3.9.2 Querkraftschub bei Vollquerschnitten 447 3.3.9.3 Querkraftschub bei dünnwandigen Querschnitten 451 3.3.9.4 Schubmittelpunkt SM dünnwandiger Querschnitte 460 3.3.9.5 Zusätzliche Schubdurchsenkung bei Querkraftbiegung..463 3.3.10 Torsion gerader Stäbe 469 3.3.10.1 Allgemeines 469 3.3.10.2 Kreis- und Kreisringquerschnitte 470 3.3.10.3 Dünnwandige geschlossene Querschnitte 487 3.3.10.4 Dünnwandige offene Querschnitte 495 3.3.10.5 Zusammenfassung 499 3.4 Arbeits- und Energieaussagen der Elastostatik 502 3.4.1 Der Arbeitssatz der Elastostatik 502 3.4.2 Die Formänderungsenergie 507 3.4.2.1 Allgemeines 507 3.4.2.2 Formänderungsenergie HOOKEscher Körper 510 3.4.2.3 Formänderungsenergie für Stab und Balken 512 3.4.2.4 Energetische Querkraftschubkorrektur 514 3.4.3 Einflusszahlen - Sätze von BETTI und MAXWELL 517 3.4.4 Die Sätze von CASTIGLIANO 522 3.4.5 Prinzip der virtuellen Kräfte oder Methode der virtuellen Verschiebungsarbeit 529
XII Inhalt 3.4.6 Das Kraftgrößenverfahren für statisch unbestimmte Systeme... 538 3.5 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen 549 3.5.1 Allgemeines 549 3.5.2 Die Normalspannungshypothese 550 3.5.3 Die Schubspannungshypothese 551 3.5.4 Die Hypothese der Gestaltänderungsenergie 551 3.5.5 Vereinfachungen bei Stab und Balken 553 3.6 Stabknickung 555 3.6.1 Allgemeines 555 3.6.2 Statisch bestimmt galagerte Fälle 556 3.6.3 Der allgemeine Fall der Stabknickung 560 3.6.4 Zusammenfassung und Beispiele 564 Kinematik 577 4.1 Kinematik des materiellen Punktes 577 4.1.1 Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor 577 4.1.2 Kinematische Grundaufgaben 581 4.1.3 Geradlinige Bewegung (Eindimensionale Bewegung) 582 4.1.3.1 Gleichförmige Bewegung 587 4.1.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung 588 4.1.4 Ebene Bewegungen (zweidimensionale Bewegungen) 590 4.1.4.1 Kartesische Koordinaten 590 4.1.4.2 Polarkoordinaten 594 4.1.4.3 Kreisbewegung 600 4.1.4.4 Winkelgeschwindigkeitsvektor 604 4.1.4.5 Symbolische Darstellung 606 4.1.5 Räumliche Bewegung (Dreidimensionale Bewegung) 609 4.1.5.1 Kartesische Koordinaten 610 4.1.5.2 Zylinderkoordinaten 611 4.1.5.3 Natürliche Koordinaten 614 4.2 Kinematik starrer Körper 624 4.2.1 Allgemeines 624 4.2.2 Translation, Rotation und allgemeine Bewegung 625 4.2.3 Räumliche Bewegung 627 4.2.3.1 Geschwindigkeitsvektor (EULERscheGeschwindigkeitsformel) 627 4.2.3.2 Beschleunigungsvektor 631 4.2.3.3 Sonderfälle reiner Translation und Rotation 633 4.2.4 Ebene Bewegung 636
Inhalt XIII 4.2.4.1 Geschwindigkeitsvektor 637 4.2.4.2 Momentanzentrum (Momentanpol) 646 4.2.4.3 Rollendes Rad (Kinematische Beziehungen) 651 4.2.4.4 Beschleunigungsvektor 656 4.3 Relativkinematik des Punktes 664 4.3.1 Absolut- und Relativgeschwindigkeit 665 4.3.2 Absolut- und Relativbeschleunigung 669 Kinetik starrer Körper 671 5.1 Kinetische Grundgleichungen 671 5.1.1 Massenmittelpunktsatz 671 5.1.2 Drallsatz 677 5.1.2.1 Drallvektor bei unterschiedlichen Bezugspunkten 679 5.1.2.2 Drallsatz bei unterschiedlichen Bezugspunkten 681 5.2 Rotation um eine raumfeste Achse (Rotor) 684 5.2.1 Drallvektor 684 5.2.2 Massenmittelpunkt- und Drallsatz 688 5.3 Bewegung in der Ebene 694 5.3.1 Drallsatz bezüglich eines Fixpunktes 694 5.3.2 Drallvektor und Drallsatz bezüglich des Massenmittelpunktes...695 5.3.3 Massenmittelpunkt- und Drallsatz 702 5.3.4 Lösungshinweise und Beispiele 704 5.4 Bewegung im Raum 715 5.4.1 Massenträgheitsmomente 716 5.4.1.1 Definintion, Massenträgheitsmomenten-Tensor 716 5.4.1.2 Satz von STEINER (Parallelverschiebung des Bezugspunktes) 722 5.4.1.3 Haupt-Massenträgheitsmomente (Drehung des Bezugssystem) 724 5.4.2 Allgemeine räumliche Bewegung 725 5.4.3 Bewegung um einen raumfesten Punkt 728 5.4.4 Der momentenfreie Kreisel 734 5.5 Abgeleitete Sätze der Kinetik 736 5.5.1 Arbeitssatz 737 5.5.1.1 Ableitung von Arbeits- und Energiegrößen aus Impuls- und Drallsatz 737 5.5.1.2 Zerlegung der kinetischen Energie 741 5.5.1.3 Arbeitssatz für räumliche Probleme 744 5.5.1.4 Arbeitssatz für ebene Probleme 747
XIV Inhalt 5.5.1.5 Lösungshinweise und Beispiele 748 5.5.2 Energiesatz 759 5.5.2.1 Ergänzungen zum Potenzial von Kräften (Momenten) 759 5.5.2.2 Ein (wichtiges) Beispiel 763 5.5.2.3 Energiesatz 765 5.5.2.4 Lösungshinweise und Beispiele 766 Schwingungen 773 6.1 Grundbegriffe 773 6.2 Schwingungen mit einem Freiheitsgrad 776 6.2.1 Freie ungedämpfte Schwingung 776 6.2.1.1 Der einfache Feder-Masse-Schwinger 776 6.2.1.2 Der Einfluss des Eigengewichtes 780 6.2.1.3 Der Pendel-Schwinger 781 6.2.1.4 Zusammenfassung des harmonischen Schwingers 784 6.2.1.5 Elastische Struktur-Schwinger 790 6.2.1.6 Federschaltungen 792 6.2.2 Freie, viskos gedämpfte Schwingungen 798 6.2.2.1 Allgemeines zur Dämpfung 798 6.2.2.2 Der einfache viskos gedämpfte Schwinger 798 6.2.2.3 Das Lösungsverhalten 800 6.2.2.4 Logarithmisches Dekrement und Abklingverhalten... 803 6.2.2.5 Zusammenfassung und Beispiel 804 6.2.3 Erzwungene, ungedämpfte Schwingungen 808 6.2.3.1 Krafterregung 808 6.2.3.2. Diskussion der Vergrößerungsfunktion 810 6.2.3.3 Zusammenfassung 812 6.2.4 Erzwungene, viskos gedämpfte Schwingungen 813 6.2.4.1 Kraft- und Federerregungen 813 6.2.4.2 Unwucht- und Fußpunkterregung 814 6.2.4.3 Amplituden- und Phasenfrequenzgang 816 6.2.4.4 Zusammenfassung und Beispiele 821 6.2.4.5 Beispiel zur Schwingungsisolation 822 6.2.4.6 Beispiel zu fahrbahnerregter Fahrzeugschwingung 826 6.3 Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden 828 6.3.1 Freie ungedämpfte Schwingungen mit n-freiheitsgraden 829 6.3.2 Erzwungene Schwingung 841
Inhalt XV 6.4 Spezielle Anwendungen 844 6.4.1 Drehschwingungen von Maschinenwellen 844 6.4.1.1 Allgemeines 844 6.4.1.2 Modellbildung und Ersatzsystem 845 6.4.1.3 Beispiel 847 6.4.2 Ein einfaches Diskretisierungsverfahren 849 6.4.2.1 Allgemeines 849 6.4.2.2 Die Vorgehensweise *..850 6.4.2.3 Beispiel 852 6.5 Freie Schwingungen des eindimensionalen Kontinuums 856 6.5.1 Allgemeines 856 6.5.2 Ableitung der Bewegungsgleichungen 856 6.5.3 Skizzierung des Lösungsweges 859 6.5.4 Anwendungen und Beispiele 862 6.6 Wellenkritische Drehzahl 869 6.6.1 Allgemeines 869 6.6.2 Das einfache Wellenmodell 870 6.6.3 Zusammenfassung und Beispiele 874 Anhang A 875 A.l Einige Rechenregeln zur Vektor- und Tensoralgebra 875 A.l.l Der Begriff des Vektors 875 A.l.2 Addition und Subtraktion von Vektoren 875 A.l.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 876 A.l.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren (Inneres Produkt) 878 A. 1.5 Das Vektorprodukt zweier Vektoren (Kreuzprodukt oder Äußeres Produkt) 879 A. 1.6 Das doppelte Vektorprodukt dreier Vektoren 880 A.l.7 Darstellung in kartesischen Koordinaten 881 A.l.7.1 Basis 881 A. 1.7.2 Darstellung eines Vektors 882 A. 1.7.3 Addition und Subtraktion von Vektoren 882 A.l.7.4 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 883 A.l.7.5 Skalarprodukt zweier Vektoren 883 A.l.7.6 Vektorprodukt zweier Vektoren 884 A. 1.8 Etwas Tensoralgebra 886 A. 1.8.1 Der Begriff des Tensors (zweiter Stufe) 886 A.l.8.2 Darstellung in kartesischen Koordinaten 887 A.l.8.3 Transponierter Tensor 888
XVI Inhalt A.1.8.4 Symmetrischer Tensor 888 A. 1.8.5 Einheitstensor " 888 A.l.8.6 Addition zweier Tensoren 888 A.l.8.7 Das Doppel-Skalar-Produkt zweier Tensoren 889 A.l.8.8 Die Spur eines Tensors 890 Literatur 891 Sachwörterverzeichnis 895