Konzepte für nachhaltiges Lernen von Mathematik. Prof. Dr. Regina Bruder Göttingen

Konzepte für nachhaltiges Lernen von Mathematik Prof. Dr. Regina Bruder Göttingen 16.1.2007

Gliederung 1. Was soll durch MU von der Mathematik verstanden, behalten und angewendet werden können? - Bildungsstandards und Unterrichtsrealität - Mit der Mathebrille durch die Welt... - Was ist wesentlich? Semantische Netze oder Mind Map im MU... - Themenfelder für vernetztes Lernen 2. Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte verstanden, behalten und angewendet werden können?

Ziele für nachhaltiges Lernen von Mathematik Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Interpretation der Bildungsstandards http://www.kmk.org/schul/bildungsstandards/hauptschule_mathematik_bs_307kmk.pdf Wie viel Flüssigkeit passt ungefähr in dieses Fass? Begründe deine Antwort.

Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. -- kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

Ziele des MU und wo stehen wir? Bildungsstandards mit den allgemeinen Kompetenzen: - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 PISA 2000 und 2003 hohe Risikogruppe, zu schwache Spitze, Problemlösepotenzial schlägt nicht positiv auf die Mathematikleistung durch...

Was sich Lernende wünschen und vorstellen: vorurteilsfreie Lehrer/innen, die gut erklären können ernst genommen werden und etwas Sinnvolles lernen (müssen) Lernchancen erhalten toleranter Umgang mit Fehlern und klare Orientierungen ein harmonisches Lernumfeld und gerechte Beurteilungen

Orientierung des Unterrichts an den Bildungsstandards was ist damit gemeint? Bauer Alfred benötigt einen neuen Fasswagen: Er hat in einer Internetauktion folgenden Fasswagen gefunden: In der Beschreibung steht: Robuster Fasswagen mit Selbsttränke auf 15 Zoll-Felgen. Aufgabe: Bauer Alfred möchte in erster Linie wissen, welches Volumen der Wagen fasst. Du kannst ihm sicher helfen! Schätze das Fassungsvermögen des Wagens ab. M.Frank, www.madaba.de

Gemeinsame Strategie dieser Abschätzaufgaben : - einen geeigneten Vergleichsmaßstab finden und in Verbindung mit einer berechenbaren Figur umsetzen Kompetenzen, die gefordert sind: Modellieren K3 Probleme lösen K2 (wenn völlig ungewohnt) Techniken K5 (je nach Mathematisierungsidee) Leitidee: Messen

Ziele des MU Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt?

a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst! b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackung beträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eine Mogelpackung? Begründe deine Meinung rechnerisch.

Einstufung der Aufgabe: a) L2 Messen, K3- Modellieren, Level II, K6- Kommunizieren, Level II b) Ohne genaue Maßangaben: L2 Messen, K2-II Problemlösen, K3-II Modellieren K5-I Technik

Ziele des MU Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: Codierung, Bau einer Autobahnabfahrt, Proportionen in der Natur (Fibonacci) usw. Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?

Mathematikbrille aufsetzen - Reflexion Reflexion: Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zu beantworten versuchen? -etwas optimieren -etwas schrittweise verfeinern, annähern -einen Algorithmus finden (eine Formel ) für einen Zusammenhang -Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat: - Ist das die einzige Lösung? Kann man das beweisen? - Kann man die spezielle Lösung auch verallgemeinern?

Lernziele im MU und Inhalte Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, - und können solche Fragestellungen formulieren. Wo ist Mathematik versteckt? - - kennen mathematische Modelle und geeignete Vorgehensweisen zur - Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese - situationsgerecht anwenden. - Funktionen, Gleichungen, Formeln, Zusammenhänge...(Mathematisierungsmuster) Visualisierungen ( geometrische Figuren und Beziehungen ), zentrale mathematische Ideen (Approximieren- Optimieren, Algorithmieren...) und heuristische Strategien...

Zum dreißigjährigen Schulfest fand an der Regelschule Oswin Weiser in Pößneck ein Ballonwettbewerb statt. Rund 300 mit Helium gefüllte Ballons stiegen gleichzeitig in die Höhe. An diesem Tag lag die Windgeschwindigkeit bei 6 Meter pro Sekunde in Richtung der 2 km entfernten und 150 m hohen Berge. Die Steiggeschwindigkeit der Ballons beträgt etwa 0,5 Meter pro Sekunde. Hatten die Ballons eine Chance, die Berge zu überfliegen? Begründe!

Das Lernpotenzial, das in einer Aufgabe steckt, auch nutzen: Welche Strategien waren nützlich? Welche mathematischen Werkzeuge haben uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? Was ist das Gemeinsame aller Beispielaufgaben, die wir zuletzt bearbeitet haben? Worin unterscheiden sich die bearbeiteten Aufgaben voneinander?

Was ist das Wesentliche... Themenfelder für vernetztes Lernen Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Zuordnungen beschreiben (Wachstum/Zerfall) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...) Symmetrie, Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...

Breite eines Flusses bestimmen mit Maßband und Winkelmessgerät

Beispiel: Laternenhöhe a) Schätze zunächst die Höhe der Laterne anhand des Fotos. Entwickle dann eine rechnerische Methode, um vor Ort die Höhe der Laterne mit einer angemessenen Genauigkeit zu ermitteln, wenn ein Maßband und ein Winkelmessgerät zur Verfügung stehen. Aus: Bildungsstandards konkret 2006

b) Eine weitere mathematische Vorgehensweise zur Höhenbestimmung, die sogenannte Holzfäller- Methode, ist hier beschrieben (zitiert nach http://www.wdrmaus.de/sachgeschichten/baumhoehe _messen/:... Erkläre, wie diese Methode mathematisch begründet werden kann und führe diese mit deinen Mitschülern an Objekten auf dem Schulhof durch. Präsentiert Eure Gruppenergebnisse auf einem Poster!

- Überlege dir zwei verschiedene reale Situationen, in denen es notwendig oder interessant sein kann, die Entfernung zwischen zwei Punkten zu bestimmen, von denen mindestens einer nicht zugänglich ist. -Versuche, möglichst viele verschiedene mathematische Vorgehensweisen zu finden, die bei einem solchen Problem helfen können. Ordne verschiedenen Situationen geeignete Verfahren zu. - Begründe, warum die früheren Segelschiffe einen Ausguck auf dem Hauptmast hatten. Wie weit konnten sie auf einem 20m hohen Ausguck im Vergleich zu einer 3 m hohen Bordwand sehen?

a)modellieren (K3 - II) Erkennen, dass der Messstab in der Hand der Person vermutlich 2m lang sein wird und etwa dreimal in die Laternenlänge auf dem Foto passt. Daraus ergibt sich eine geschätzte Laternenhöhe von 6m. Für eine rechnerische Methode zur Höhenermittlung: - Strahlensätze (Klassenstufe 9). b) erfordert die Fähigkeit, das beschriebene neue Verfahren auf seine Richtigkeit und mathematische Korrektheit zu überprüfen und zu beschreiben. Kompetenzprofil: K1- III Argumentieren K6- II/III Kommunizieren

Mehrwert der Bestimmung von Kompetenzprofilen für Aufgaben: Aufgabenschwierigkeit: Klasse 7 Gymnasium Aufgabenschwierigkeit 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1a 1b 1c 1d 2 3 4a 4b 4c 5a 5b 6a 6b 7 8 9 10 11 12 13g13k13w14 15 16 17 Teilaufgabe Mittelwert der empirischen Aufgabenschwierigkeit bezogen auf den Eingangstest Theoretische Aufgabenschwierigkeit

Was ist das Wesentliche... Themenfelder für vernetztes Lernen Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Zuordnungen beschreiben (Wachstum/Zerfall) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...) Symmetrie, Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...

Zielklarheit und Roten Faden sichern mind maps im Unterricht

Gliederung 1. Was soll durch MU von der Mathematik verstanden, behalten und angewendet werden können? 2. Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte verstanden, behalten und angewendet werden können? - Wie gelingt Lernfortschritt? - Aufgabenformate für nachhaltiges Lernen - Kopfübungen, Matheführerschein - Reflexionsgelegenheiten: Lernprotokoll, Lerntagebuch - Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen, Selbstregulation

Differenzierte Lernangebote - Bsp. Modellieren: P Fernsehshow früher (Ungarn 1979): A 0 B The semicircular disc glides along two legs of a right angle. Which line describes point P on the perimeter of the half circle? 1) Übersetzt die Aufgabe aus der englischen Sprache in die deutsche Sprache. 2) Baut eine Vorrichtung aus Bierdeckeln, Stecknadeln oder ähnlichen Materialien, um die Aufgabenstellung anschaulich demonstrieren zu können. 3) Lasst jemand aus eurer Familie raten, auf welcher Kurve sich der Punkt nach unten bewegt. 4) Gebt dann erst dem Familienmitglied eure Vorrichtung und lasst es seine Vermutung spielerisch ausprobieren. 5) Macht eventuell ein Foto von diesem Moment des Ausprobierens und notiert kurz die Reaktionen. 6) Zeichnet dann selbst mehrere Lagen des Halbkreises beim Heruntergleiten. 7) Beschreibt die Kurve, auf der der Punkt P sich dabei bewegt, so präzise wie möglich. 8) Findet eine Begründung für die Kurvenform. Quelle:Distler Bensheim

P A 0 B Der Punkt P bewegt sich auf einer Geraden durch den Punkt 0. Weil A0BP ein Sehnenviereck ist und der Winkel PBA von Anfang an festliegt, muss auch der Winkel P0A als Umfangswinkel zur selben Sehne PA unverändert die gleiche Größe besitzen.

Anforderungsniveau im MU Forschungsergebnisse zum Arbeiten mit Aufgaben im MU 100 Prozent 80 60 40 20 Typ 1 - Algebra Komplexere Aufgaben - Algebra Typ 1 - Geometrie Komplexere Aufgaben - Geometrie 0 USA Deutschland Japan TIMS-Videostudie: BRD,USA, Japan 22 h pro Land mit insgesamt ca. 1000 Aufgaben (J.NEUBRAND 2003)

Aufgabentypen für nachhaltiges Lernen Aufgabentypen als Aufgabenset Gege- Transfor- Gesuchbenes mationen tes ----------------------------------------------------------------------- X X X gelöste Aufgabe ( stimmt das?) X X - einfache Bestimmungsaufgabe - X X einfache Umkehraufgabe X - X Beweisaufgabe, Spielstrategie X - - schwere Bestimmungsaufgabe, auch: open ended tasks, Blüte - - X schwierige Umkehraufgabe - X - Aufforderung, eine Aufgabe zu erfinden (-) - (-) offene Problemsituation (Trichtermodell)

Aufgaben für nachhaltiges Lernen Aufgabenformate und -typen Ziel- oder Strukturtyp Ein modernes Aufgabenkonzept oder ein Beitrag zur Aufgabenkultur bedeutet: Es kommen in einer Unterrichtseinheit alle 8 Strukturtypen von Aufgaben angemessen vor! Begründung: Diese Aufgabentypen bilden wesentliche Lerntätigkeiten ab, ermöglichen Vernetzung, bieten individuelle Freiräume und erfordern methodische Variabilität des Unterrichts

Langfristige (nachhaltige) Kompetenzentwicklung Wir unterscheiden eine Kompetenzförderung - innerhalb eines Schuljahres über verschiedene Unterrichtsthemen bzw. Leitideen hinweg in horizontaler Verknüpfung (z.b. Abschätzaufgaben) - innerhalb einer Leitidee, aber vertikal mit fachlicher Anreicherung angelegt über mehrere Klassenstufen. (Beispiel: Entfernungs- bzw. Abstandsbestimmungen) Benötigt wird ein lernförderliches unterrichtliches Umfeld.

Ein lernförderliches Umfeld: Zieltransparenz des Mathematikunterrichts für die Lernenden und deren Eltern mit klaren Informationen über Leistungserwartungen Klare Strukturierung des Unterrichts im Hinblick auf die zu lernenden Inhalte mit Reflexionselementen zur Beschreibung des Lernstandes Schaffen von Lerngelegenheiten für Selbsteinschätzungen der Schülerinnen und Schüler und für das individuelle und zunehmend eigenverantwortliche Schließen von Lücken im Basiswissen Effektiver Umgang mit der Lernzeit mit einem professionellen Klassenraum-Management Kognitive Aktivierung im Unterricht mit einem funktionalen Wechsel der Sozial- und Arbeitsformen, Ein positives Unterrichtsklima mit einer lernförderlichen Arbeitsatmosphäre sowohl für Lernschwache als auch für Leistungsstarke und einer entsprechenden Gesprächs- und Feedback- Kultur.

Hausaufgabenkonzept (ml 140!) Anstrengungsbereitschaft stärken (Willen entwickeln, Ablenker meiden, realistische Ziele stellen, Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen) mit einem Hausaufgabenkonzept! Die Lernenden notieren am Ende jeder Hausaufgabe: Beginn: Verwendete Hilfsmittel: Offene Fragen: Ende: Effektive Kontrollformen (mehr Verantwortung für eigenes Lernen!) -Hausaufgabenfolie (Präsentation durch einen Schüler) -Karteikastensystem, Gruppenkontrolle Gruppenpräsentation

Vortrag unter www.math-learning.com Lehrerfortbildungskurs unter www.prolehre.de Aufgabendatenbank für Lehrkräfte www.madaba.de Schnupperzugang: ID: mathe PW: lernen www.problemloesenlernen.de Materialplattform www.amustud.de für Anwendungsorientierten MU www.mathe-zirkel.de für Begabtenförderung ab Kl.7

Notwendige Bedingungen für nachhaltiges Lernen Individualisierte Lernangebote im Aufgabenset (Trichtermodell, Blütenmodell, Lösungswegevielfalt, selbst Aufgaben erfinden) Basiswissen sichern mit geeigneten Aufgaben für - verstandene Grundlagen (Lernprotokoll) - intelligentes Üben und Vernetzen von Grundwissen (Kopfübung und Mathe-Führerschein)

Lernziel gestellt Lernziel angekommen? Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll Aufgabenformate für Lernprotokolle Worum ging es im Einführungsbeispiel in der letzten Stunde? (Erläuterung) Grundaufgabe und ihre Umkehrung Wir haben ein neues Verfahren (Begriff, Satz) kennen gelernt: Gib ein Beispiel an, wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins, wo das nicht möglich ist! (Beispiel Gegenbeispiel) Welche Fehler können passieren, wenn man das Verfahren... anwendet?

Lernprotokoll Beispiel Beispiel für ein Lernprotokoll (Klasse 9): 1. Wie kann man die Länge einer unzugänglichen Strecke bestimmen, wenn ein Maßband und ein Winkelmessgerät zur Verfügung stehen? (Einführungsbeispiel erläutern) 2a) Stelle zur gegebenen Strahlensatzfigur zwei passende Gleichungen auf! (Zeichnung vorgeben) 2b) Zeichne eine Strahlensatzfigur, für die folgendes gilt: x : 20 = (x + 40) : 28 3. Welche Fehler können passieren, wenn man die Strahlensätze für Berechnungen anwendet? 4. Wann kann man Strahlensätze anwenden und wann nicht? Gib jeweils ein Beispiel an!

Kopfübungen und Führerscheine Querfeldeinführerschein zum Halbjahr bzw. Schuljahresende (Basics aller Gebiete, die bis dahin überhaupt im MU behandelt wurden orientiert an allgemeinbildenden Anwendungskompetenzen) Kopfübung (wöchentlich 10min) als Instrument, Basics wachzuhalten und an ein Umschalten zwischen verschiedenen Themen zu gewöhnen

Praktikable Wege zu nachhaltigem Lernen von Mathematik in heterogenen Lerngruppen - Beispiele - Intelligente regelmäßige Kopfübungen Löse die Gleichung im Kopf: 3x - 5 = 1 Löse die Klammer auf: 2 (a - 3b) 2 = Die Quadratzahl von 11 Gib Maße für zwei verschiedene Dreiecke an mit 20cm 2 Flächeninhalt. Gib einen Überschlag an für den Umfang eines Kreises mit 15cm Durchmesser. Auf einer Karte im Maßstab 1: 200000 werden 4cm zwischen zwei Orten gemessen. Wie groß ist die reale Entfernung? Gib zwei Beispiele an, die in der Form a b = c beschrieben werden können und eins, bei dem das nicht sinnvoll ist! Notiere alle Primzahlen bis 20. Unter welchen Voraussetzungen kann man den Satz des Pythagoras anwenden?

Intelligente regelmäßige Kopfübungen für die Grundlagensicherung Löse die Gleichung im Kopf: 3x - 5 = 1 Gib Maße für zwei verschiedene Dreiecke an mit 20cm 2 Flächeninhalt. Gib einen Überschlag an für den Umfang eines Kreises mit 15cm Durchmesser. Auf einer Karte im Maßstab 1: 200000 werden 4cm zwischen zwei Orten gemessen. Wie groß ist die reale Entfernung? Gib zwei Beispiele an, die in der Form a b = c beschrieben werden können und eins, bei dem das nicht sinnvoll ist! Notiere alle Primzahlen bis 20. Unter welchen Voraussetzungen kann man den Satz des Pythagoras anwenden? Was ist 80cm lang? Schreibe drei Achtel als Kommazahl Prozentrechnung...

Zusammenfassung: Rückblick und Ausblick Einige Defizite des Lernens und Lehrens von Mathematik Der Unterricht ist üblicherweise zu inhaltszentriert und zu wenig verständnisorientiert. Verschiedene Aufgabenformate einsetzen! Der Unterricht ist paradoxerweise zu oft leistungszentriert und zu selten lernorientiert. Lernprotokolle! Themenfelder... Der Unterricht ist zu stark auf ein neues Thema fixiert und vernachlässigt systematisches Wiederholen. Kopfübungen und Führerscheine!

Quellennachweis: Winter, H. : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung, In: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik Nr. 61, 1995, S. 37-46 Bruder, Regina: - Lernen, geeignete Fragen zu stellen. Heuristik im Mathematikunterricht. In: mathematik lehren 115 (2002), S.4-8 - Mathematik lernen und behalten. In: Heymann, H.-W. (Hrsg.): Lernergebnisse sichern. PÄDAGOGIK 53 (2001), Heft 10, S. 15-18 - Verständnis für Zahlen, Figuren und Strukturen. In: Heymann, H.-W.(Hrsg.): Basiskompetenzen vermitteln. PÄDAGOGIK 53 (2001), Heft 4, S.18-22 - Konzepte für ein ganzheitliches Unterrichten.- In: mathematik lehren 101 (2000), S. 4-11 - Mit Aufgaben arbeiten.- In: mathematik lehren 101(2000), S. 12 17 -Eine akzentuierte Aufgabenauswahl und Vermitteln heuristischer Erfahrung - Wege zu einem anspruchsvollen Mathematikunterricht für alle.-in: Flade/Herget (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen nach TIMSS - Anregungen für die Sekundarstufen.- Volk und Wissen 2000 - Elementares Können wachhalten. Führerscheine im Mathematikunterricht. Friedrich Jahresheft 2000, S.101-104 - Langfristiger Kompetenzaufbau. In: Blum, W., Drüke-Noe, C., Hartung, R. & Köller, O. (Hrsg.). /Bildungsstandards Mathematik: konkret. Sekundarstufe I: Aufgabenbeispiele,Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen. S. 135-151. Berlin: Cornelsen Scriptor.