Neue Aufgabenkulturen zur Vorbereitung auf die Mathematik-Vergleichsarbeiten

Neue Aufgabenkulturen zur Vorbereitung auf die Mathematik-Vergleichsarbeiten Prof. Dr. Regina Bruder TU Darmstadt

Ziele des MU und wo stehen wir? Folgerungen aus den Ergebnissen der Bildungsstudien - bzgl. der Art der Lernangebote für die Schüler - bzgl. Anstrengungsbereitschaft und Reflektionsfähigkeit 1. Beispiele zur Weiterentwicklung der Lernangebote 2. Mehr Verantwortung für das eigene Lernen Ansätze für den MU

Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - - kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und - Reflektionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

Ziele des MU und wo stehen wir? Bildungsstandards mit den allgemeinen Kompetenzen: - mathematisch Argumentieren - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen - kommunizieren - mathematisch Modellieren - Probleme mathematisch lösen - mathematische Darstellungen verwenden PISA 2000 und 2003 hohe Risikogruppe, zu schwache Spitze, Problemlösepotenzial schlägt nicht positiv auf die Mathematikleistung durch...

Ziele des MU und wo stehen wir? Uli hat drei Murmeln weniger als Anja, und Bernd hat viermal so viele Murmeln wie Uli. Mara sagt: Egal wie viele Murmeln Uli hat wenn er drei weniger hat als Anja und Bernd viermal so viele wie Uli, dann ist die Gesamtzahl der Murmeln bestimmt ungerade. Hat Mara recht?

Ziele des MU und wo stehen wir? Uli hat drei Murmeln weniger als Anja, und Bernd hat viermal so viele Murmeln wie Uli.

PISA-Feldstudie für Erhebung 2003 Uli hat drei Murmeln weniger als Anja, und Bernd hat viermal so viele Murmeln wie Uli. PISA 2003 Probleme in der logischen Argumentation, im Verbalisieren von mathematischen Zusammenhängen, in der Verwendung mathematischer Darstellungsweisen Und: Hohe Auslassungsquote bei schwierigen Aufgaben

Ziele des MU und wo stehen wir? Forschungsergebnisse zum Arbeiten mit Aufgaben im MU 100 Prozent 80 60 40 20 Typ 1 - Algebra Komplexere Aufgaben - Algebra Typ 1 - Geometrie Komplexere Aufgaben - Geometrie 0 USA Deutschland Japan TIMS-Videostudie: BRD,USA, Japan 22 h pro Land mit insgesamt ca. 1000 Aufgaben (J.NEUBRAND 2003)

Gliederung 1.Was ist das Wesentliche, das im MU verstanden, behalten und angewendet werden sollte? 2.Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte tatsächlich verstanden, behalten und angewendet werden können?

Lernziele drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik MU was ist wesentlich?-lernmethoden Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, behalten und Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Differenzierte Lernangebote - Bsp. Modellieren: Aufgaben mit aufsteigender Komplexität und Offenheit: An der Anlegestelle einer großen Fähre steht: Karte 1 Person 50 Blockkarte 8 Personen 380 Blockkarte 20 Personen 900 a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 4 Personen zu zahlen? b) Wie viele Karten bekommt man für 300? c) Handelt es sich bei der Preistabelle um eine proportionale Zuordnung? Begründe. d) Für 24 Schüler rechnet Frank einen Preis von 1140 aus. Maike meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann. Hat Maike recht? Begründe. e) Die Fährgesellschaft will eine Blockkarte für 50 Personen einführen. Was wäre ein angemessener Preis? Quelle: Jordan, Uni Kassel 2004

Ein geschlossenes Einstiegsproblem wird schrittweise erweitert, verallgemeinert in diesem Sinne geöffnet: Blütenmodell (z.b. PISA-Aufgaben)

Was ist wesentlich im MU? (mind map als semantisches Netz) Welche Aufgabentypen sind zentral für nachhaltiges Lernen i.s. von verstehen, behalten und anwenden? Kompetenzorientierung und Binnendifferenzierung mit offenen Formaten Basiswissen sichern mit geeigneten Aufgaben zwei Ansätze - verstandene Grundlagen (Lernprotokoll) und - intelligentes Üben und Vernetzen (Kopfübung und Führerschein) Problemlösen lernen mit Heuristiken (vor und nach einer schwierigen Aufgabe) Mehr Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen

Was ist wesentlich im MU? (mind map als semantisches Netz) Wichtige Äste: - Mathematisches Darstellen - etwas berechnen - Arten (von Objekten) unterscheiden - typische Anwendungen - Weiterungen

Zielklarheit und Roten Faden sichern mind maps im Unterricht

Selbsteinschätzung - bitte Zutreffendes ankreuzen! Themenbereich kann ich geht muß mir nochmal eine(r) mit etwas Übung gut so erklären! Brauche Hilfe! kann ich das wieder Kopfrechnen Bruchrechnung Maßumwandlungen Dreisatz, Prozentrechnung Termumformungen Zuordnungen Lineare Funktionen Winkel Flächenberechnungen Terme aus Texten aufstellen Gleichungssysteme Wurzeln Pythagoras Strahlensätze Dreieckskonstruktionen

Schüler werden zu Experten: Kannst Du helfen? Berate... Erkläre... (Situationsschilderung, Kommunikation zwischen Experten und Laien, SMS ) Wer hat Recht? Entscheide... (Gegenüberstellungen Schüler lernen eigenverantwortlich(er) mit Hilfe von Wahlaufgaben und mit klaren Zielvereinbarungen

Wahlaufgaben - Beispiele - Bei ersten Übungen mit formalen Aufgaben aber ansteigender Schwierigkeit: - Von den folgenden 10 Aufgaben sollen (mindestens) 5 gelöst werden (Differenzierung durch unterschiedlichen Einstieg) - Hausaufgabe: Zur Auswahl stehen 10 formale Aufgaben oder 3 Sachaufg./Knobelaufg. Entscheide selbst nach deinem Übungsbedarf!

Aufgaben vergleichen 1. Löse die folgenden Gleichungen: 3x +10 = 5x 70 usw. 2. Gib drei verschiedene Gleichungen an, die 5 als Lösung haben!... 6. Schreibe einen Text... 7. Wofür werden lineare Gleichungen benötigt?

Aufgaben vergleichen verschiedene Blickwinkel -Didaktische Funktion -Schülertätigkeit, Motivationspotenzial (erkennen, beschreiben, verknüpfen, anwenden/ausführen, begründen, interpretieren) -Mathematischer Gehalt -Aufgabentyp (acht Zieltypen), Aufgabenformat -Schwierigkeitsgrad (Formalisierung, Komplexität, Bekanntheit, Ausführungsaufwand)

Aufgabenformate und -typen Gege- Transfor- Gesuchbenes mationen tes ----------------------------------------------------------------------- X X X gelöste Aufgabe ( stimmt das?) X X - einfache Bestimmungsaufgabe - X X einfache Umkehraufgabe X - X Beweisaufgabe, Spielstrategie X - - schwere Bestimmungsaufgabe, auch: open ended tasks, Variation - - X schwierige Umkehraufgabe - X - Aufforderung, eine Aufgabe zu erfinden (-) - - offene Problemsituation (Trichtermodell)

Aufgabenkonzept - Beispiel Grundaufgabe (xx-) geg: Gleichung einer linearen Funktion ges: Abwandlung einer Grundaufgabe (-xx) Skizziere lineare Funktionen f(x)= mx + n mit a) m > 0, n > 0,5 b) m < -2, n >1 Graph (Intervall evtl. vorgeg.) Lösungswege: 2 Möglichkeiten

Aufgabenkonzept - Beispiel Erweiterung einer Grundaufgabe (x--) Welche Bedingungen müssen die Gleichungen zweier linearer Funktionen erfüllen, damit a) die Bilder zusammen fallen, b) die Geraden parallel verlaufen, c) sich die Bilder in genau einem Punkt schneiden?

Aufgabenkonzept - Beispiel Komplexe Aufgabe (Standard) Zwei lineare Funktionen mit dem Anstieg 2 und 0,5 schneiden einander in P(0;4). a) Stelle beide Funktionen in einem KS dar. b) Gib für beide Funktionen je eine Gleichung an. c) Ermittle die Nullstellen beider Funktionen. Komplexe Aufgabe (Problem) Gegeben seien g(x)= -x 1 und f(x)= mx + 2. Gesucht ist m so, dass sich f und g im II.Quadranten schneiden.

Was sind offene Aufgaben? Geschlossen formuliert, aber viele Lösungswege (Vergleich und Würdigung der Lösungswege schwierig geeignet für das Einführen von heuristischen Verfahren) Müller-Mufflig-Aufgabe, Murmelaufgabe, Blütenmodell Expertenmethode mit CAS (schafft Entlastung im Unterricht) PISA-Aufgaben Nimm-Spiel: Strategiefindung mit Variation Trichtermodell - Gruppenarbeit, Projektarbeit arbeitsteiliges Vorgehen bei Zerlegungen und echten Modellierungen (neue Kompetenzen gefordert: Kommunizieren, Präsentieren)

Was sind offene Aufgaben? Geschlossen formuliert, aber viele Lösungswege Claudia nimmt die Hälfte der Murmeln aus ihrem Sack und behält sie für sich. Dann gibt sie zwei Drittel der Murmeln, die noch im Sack waren, Peter. Sie hatte jetzt sechs Murmeln übrig. Wie viele Murmeln waren am Anfang im Sack gewesen? Wahlaufgaben-Beispiele: (*) Keks-Aufgabe: Alexa und Gerd bekommen zusammen insgesamt 26 Kekse geschenkt. Zwei Essen sie sofort auf, den Rest wollen sie teilen. Alexa soll doppelt so viele bekommen wie Gerd, weil sie lange krank war. Wie viele Kekse bekommt jeder? (**) Erfinde eine Aufgabe mit Anteilsbestimmungen und löse sie möglichst auf zwei verschiedene Arten! (***) Altersaufgabe Eine Mutter sagt zu ihrer Tochter: Als ich geboren wurde, war Oma 21 Jahre alt. Als du geboren wurdest, war ich 21 Jahre alt und heute sind wir beide zusammen gerade 21 Jahre älter als Oma. Wie alt sind Tochter, Mutter und Oma?

Ein geschlossenes Einstiegsproblem wird schrittweise erweitert, verallgemeinert in diesem Sinne geöffnet: Blütenmodell (z.b. PISA-Aufgaben)

Differenzierte Lernangebote - Bsp. Modellieren: P Fernsehshow früher (Ungarn 1979): A 0 B The semicircular disc glides along two legs of a right angle. Which line describes point P on the perimeter of the half circle? 1) Übersetzt die Aufgabe aus der englischen Sprache in die deutsche Sprache. 2) Baut eine Vorrichtung aus Bierdeckeln, Stecknadeln oder ähnlichen Materialien, um die Aufgabenstellung anschaulich demonstrieren zu können. 3) Lasst jemand aus eurer Familie raten, auf welcher Kurve sich der Punkt nach unten bewegt. 4) Gebt dann erst dem Familienmitglied eure Vorrichtung und lasst es seine Vermutung spielerisch ausprobieren. 5) Macht eventuell ein Foto von diesem Moment des Ausprobierens und notiert kurz die Reaktionen. 6) Zeichnet dann selbst mehrere Lagen des Halbkreises beim Heruntergleiten. 7) Beschreibt die Kurve, auf der der Punkt P sich dabei bewegt, so präzise wie möglich. 8) Findet eine Begründung für die Kurvenform. Quelle:Distler Bensheim

Was ist eine gute Aufgabe? Sie bietet - reichhaltige Tätigkeiten auf verschiedenen Ebenen - verschiedene/neue Sichtweisen auf mathematische Inhalte - Vernetzungen - Anwendungsmöglichkeiten heuristischer Strategien Sie können verschiedene Formate besitzen: geschlossen offen mit verschiedenen Lösungswegen...als Blütenmodell...als Trichtermodell www.madaba.de eine Aufgabendatenbank

Problemlösenlernen im MU - Aufgaben Ein geschlossenes Einstiegsproblem wird schrittweise erweitert, verallgemeinert in diesem Sinne geöffnet: Blütenmodell (z.b. PISA-Aufgaben) Familie Müller wandert mit ihren beiden kleinen Kindern auf einem Rundweg über 12km im Odenwald und plant dafür 4h ein. Eine Stunde nach ihrem Start tropft es bei Herrn Mufflig durch die Decke. Müllers Waschmaschine ist defekt! Herr Mufflig läuft aufgebracht den Müllers mit 5km/h hinterher. Wann und wo wird er Müllers treffen können? Würdest du auch hinterherlaufen?

offene Aufgaben und entsprechende Trichtermodell - Gruppenarbeit, Projektarbeit arbeitsteiliges Vorgehen z.b. bei Modellierungen: * wie lange dauert ein Wasserwechsel im Schwimmbad? -** Vereinsbeitrag neu festlegen aber gerecht! Ein Sportverein hat 3500 Mitglieder, davon 2000 Jugendliche. Diese zahlten bisher 5 Monatsbeitrag, die Erwachsenen 7. Die gesamten Beitragseinnahmen müssen auf 34.500 monatlich erhöht werden. Wie sollen die Beiträge neu festgesetzt werden? - ** Im Märchen vom Froschkönig musste die goldene Kugel herunterfallen gibt es Alternativen, so dass das Märchen weiter - *** Modellierung gehen kann? einer Autobahnausfahrt

Expertenmethode

Lehr- und Lernkonzepte Wesentliche Bedingungen für das Entstehen von Lernhandlungen: Lernaufgaben Handlungsaufforderungen: WAS? WARUM das? Orientierungsgrundlagen für die erforderlichen Handlungen WIE kann ich vorgehen?

Lernziele Lernaufgaben - Unterrichtsmethoden Verstehen behalten anwenden können erfordert: Zielklarheit: Ausgangsniveau: Vergewissern, ob die gestellten Lernziele mit den individuellen Lernaufgaben übereinstimmen Vergewissern, ob die Lernenden eine realistische Chance haben, die Lernaufgabe zu bewältigen Eine geeignete Unterrichtsmethode: Lernprotokoll

Unterrichtsmethode Lernprotokoll ein Beispiel Beispiel für ein Lernprotokoll (Klasse 9): 1. Wie kann man die Länge einer unzugänglichen Strecke bestimmen, wenn ein Maßband und ein Winkelmessgerät zur Verfügung stehen? (Einführungsbeispiel erläutern) 2a) Stelle zur gegebenen Strahlensatzfigur zwei passende Gleichungen auf! (Zeichnung vorgeben) 2b) Zeichne eine Strahlensatzfigur, für die folgendes gilt: x : 20 = (x + 40) : 28 (Umkehraufgabe) 3. Welche Fehler können passieren, wenn man die Strahlensätze für Berechnungen anwendet? 4. Wann kann man Strahlensätze anwenden und wann nicht? Gib jeweils ein Beispiel an!

Unterrichtsmethode Lernprotokoll Argumente für Lernprotokolle zu Beginn oder am Ende einer Unterrichtsstunde ohne Hilfsmittel: - alle Lernenden werden angesprochen und gefordert mit geringem Zeitaufwand Empfehlung - Verbalisierung von Vorstellungen - Verständnisprobleme können frühzeitig erkannt und repariert werden Das erste Lernprotokoll einsammeln und kommentieren, aber nicht bewerten jedoch mit der Klasse besprechen und gemeinsam Konsequenzen ziehen...

Grundaufgabe und Umkehraufgabe Beispiele: Diagramm aufstellen, Diagramm interpretieren Brüche multiplizieren, dividieren ein Volumen eines Körpers berechnen, Volumen vorgeben und Maße suchen eine quadratische Gleichung lösen und eine aufstellen, die bestimmte Lösungen hat Frage nach Anwendungsmöglichkeiten und Gegenbeispiel - wann kann man das Potenzgesetz... anwenden und wann nicht? - gib einen Term an, den man mit Hilfe der 3.binomischen Formel vereinfachen kann und einen, bei dem das nicht geht - Gib einen Zusammenhang an, den man mathematisch in der Form a b=c beschreiben kann und einen, bei dem das nicht möglich ist.

Name:... Lernprotokoll zu Prozent und Prozentsatz 1. % - W arum m a chen wir das? (Anwendungen) 2. W elche M öglichkeiten kennst du, um Anteile zu vergleichen? (Stichwort: Klassensprecherw ahl) 3. Vergleiche den Zuckera nteil von Nuss- Nougat- C reme und M armelade (Buch S. 45, rechts unten 1 ) auf m indestens 2 Arten. 4. Form uliere Fragestellungen m it %, die dich interessieren. Verwende im Text möglichst 60 und 15 %. Quelle: E. Hasenbank-Kriegbaum (Idstein) 1 Nuß- Nougat- Creme (20g): 6 g Fett, 12 g Zucker; Erdbeer- M armelade (25 g): 0 g Fett, 15 g Zucker

Problemlösenlernen im MU Ziele, Methoden Wohnwagen-Aufgabe Familie Maier verbrachte dieses Jahr ihre Sommerferien in Österreich. Bei der Straße von Innsbruck nach Zehfeld ist auf 2,2km ein Höhenunterschied von 330m. Familie Maier macht Campingurlaub mit einem 6m langen Wohnwagen. Auf der Beschreibung des Anhängers stand, dass ein PKW mit Anhänger nur eine Steigung von 12% schafft. Durfte Herr Maier mit seinem 90 PS Auto die Straße von Innsbruck nach Zehfeld fahren? Tipps zum Textverständnis: Worum geht es? Lies die folgende Aufgabe zunächst durch. Stelle dir vor, dein Freund hat ab und zu Probleme mit Textaufgaben und versteht diese Aufgabe nicht. Du möchtest ihm helfen. Formuliere dazu Fragen, die man sich stellen sollte, wenn man eine Aufgabe verstehen möchte. Oder: Wie kann man sich klar machen, worum es in der Aufgabe geht? (SMS-Technik)

1.Problemlösenlernen im MU Ziele Problemlösen heißt Fragen stellen Probleme, die nicht verstanden wurden, können auch nicht gelöst werden Worum geht es? Erfolgreiches Problemlösen setzt solides Basiswissen voraus Was weiß ich alles schon im Zusammenhang mit dem Problem? Kopfübungen als vermischte Übungen 10min pro Woche für mehr Sicherheit und Flexibilität in den Basics Lernprotokolle für mehr Verständnis

1. Löse die Gleichung: 3x - 5 = 1 2. Quadratzahl von 15 3. Gib 3 verschiedene Maßpaare an für ein Rechteck mit 30cm 2 Flächeninhalt. 4. Gib einen Überschlag an für den Umfang eines Kreises mit 15cm Durchmesser. 5. Schreibe einen Term: Das Dreifache einer um 5 verminderten Zahl! 6. Notiere die Koordinaten eines beliebigen Punktes im dritten Quadranten des Koordinatensystems! 7. Welcher Zusammenhang besteht zwischen einem Umfangswinkel und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel im Kreis? 8. Auf einer Karte im Maßstab 1: 200000 werden 4cm zwischen zwei Orten gemessen. Wie groß ist die reale Entfernung? 9. Löse die Klammer auf: 2 (a - 3b) 2 = 10. Eine Bank bietet zur Zeit eine Geldanlagemöglichkeit ab 5000 zu 4% Zinsen an. Wie hoch wären die Zinsen am Jahresende, wenn ich zum 1. des nächsten Monats 6000 bei einzahlen würde?

Querfeldeinführerschein zum Halbjahr bzw. Schuljahresende (Basics aller Gebiete, die bis dahin überhaupt im MU behandelt wurden orientiert an allgemeinbildenden, realitätsbezogenen Anwendungskompetenzen) Kopfübung (wöchentlich 10min) als Instrument, Basics wachzuhalten und an ein Umschalten zwischen verschiedenen Themen zu gewöhnen Aufgabenblätter zum individuellen Nachlernen

Lernprotokoll was ist das? Einstieg in eine Stunde (Ersatz/Alternative für HA-Kontrolle): -alle Schüler/innen beantworten ca. 3 Fragen schriftlich keine Bewertung -Fragentyp: Lernanlässe schaffen für Reflektionen! - das Einstiegsbeispiel der Unterrichtsreihe beschreiben - eine Grundaufgabe und ihre Umkehrung lösen - wo kann man das neue Verfahren/den Satz anwenden und wo nicht? - welche typischen Fehler können auftreten?

Hausaufgabenkonzept Anstrengungsbereitschaft stärken (Willen entwickeln, Ablenker meiden, realistische Ziele stellen, Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen) mit einem Hausaufgabenkonzept! Die Lernenden notieren am Ende jeder Hausaufgabe: Beginn: Verwendete Hilfsmittel: Offene Fragen: Ende: Effektive Kontrollformen (mehr Verantwortung für eigenes Lernen!) -Hausaufgabenfolie (Präsentation durch einen Schüler) -Karteikastensystem, Gruppenkontrolle Gruppenpräsentation

Erfolgserlebnisse und Sinneinsicht von Mathematik Zielklarheit -Transparenz der Lernanforderungen Roten Faden sichern mind maps im Unterricht als Einstieg und zur Zusammenfassung und Systematisierung Basiswissen sichern ein Sicherheitsgefühl für Grundlagen entwickeln (Erfolgserlebnis!) durch Lernprotokoll, Kopfübung, Führerschein, Lernen an Stationen oder Arbeitsblätter mit Musterlösungen und Feedback/Lösungshinweisen Verbindung herstellen zwischen Alltag und Mathematik: Die Mathebrille Nicht nur anspruchsvolle Lernanforderungen stellen sondern auch zu deren Bewältigung befähigen (Handlungsorientierung in mehreren Stufen) - u.a. durch heuristische Bildung und Entwicklung der Selbstregulation

Verbindung herstellen zwischen Alltag und Mathematik - Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: Codierung, Bau einer Autobahnabfahrt, Proportionen in der Natur (Fibonacci) usw. Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile kann eine mathematische Beschreibung bieten?

Quellennachweis: Winter, H. : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung, In: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik Nr. 61, 1995, S. 37-46 Ferner sei verwiesen auf Bruder, Regina: Lernen, geeignete Fragen zu stellen. Heuristik im Mathematikunterricht. In: mathematik lehren 115 (2002), S.4-8 Mathematik lernen und behalten. In: Heymann, H.-W. (Hrsg.): Lernergebnisse sichern. PÄDAGOGIK 53 (2001), Heft 10, S. 15-18 Verständnis für Zahlen, Figuren und Strukturen. In: Heymann, H.-W.(Hrsg.): Basiskompetenzen vermitteln. PÄDAGOGIK 53 (2001), Heft 4, S.18-22 Konzepte für ein ganzheitliches Unterrichten.- In: mathematik lehren 101 (2000), S. 4-11 Mit Aufgaben arbeiten.- In: mathematik lehren 101(2000), S. 12-17 Eine akzentuierte Aufgabenauswahl und Vermitteln heuristischer Erfahrung - Wege zu einem anspruchsvollen Mathematikunterricht für alle.-in: Flade/Herget (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen nach TIMSS - Anregungen für die Sekundarstufen.- Volk und Wissen 2000 Elementares Können wachhalten. Führerscheine im Mathematikunterricht.Friedrich Jahresheft 2000, S.101-104