NUMERIK PARTIELLER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. Elliptische und parabolische Probleme. Prof. Dr. Hans Babovsky. Technische Universität Ilmenau

NUMERIK PARTIELLER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Elliptische und parabolische Probleme Prof. Dr. Hans Babovsky Technische Universität Ilmenau (in der Fassung vom Sommersemester 2009)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Elliptische Differentialgleichungen 5 2.1 Elliptische Differentialoperatoren zweiter Ordnung............. 5 2.2 Elliptische Randwertprobleme........................ 6 3 Differenzenschemata für elliptische Gleichungen 9 3.1 Differenzenapproximationen......................... 9 3.2 Diskretisierung eines Modellproblems.................... 10 3.3 Diskretisierung von Rändern......................... 13 3.3.1 Das Dirichlet-Problem auf dem Einheitsquadrat.......... 13 3.3.2 Das Neumann-Problem auf dem Einheitsquadrat......... 14 3.3.3 Das Dirichlet-Problem für beliebige (glatte) Ränder........ 14 3.4 M-Matrizen.................................. 16 3.5 Anwendung auf elliptische RWP s...................... 22 4 Variationsformulierung elliptischer RWP s 25 4.1 Einführungbeispiel.............................. 25 4.2 Der Satz von Lax-Milgram.......................... 30 4.3 Variationsprobleme in N Dimensionen.................... 37 4.4 Ritz-Galerkin-Approximationen....................... 42 5 Methode der Finiten Elemente (FEM) 46 5.1 Ein einführendes Beispiel........................... 46 5.2 Finite Elemente für Ω lr 2......................... 49 5.2.1 Lineare Elemente........................... 49 5.2.2 Bilineare Elemente.......................... 51 5.2.3 Quadratische Elemente........................ 52 5.3 Finite Elemente mit Nebenbedingungen................... 52 5.4 H 1 -Fehlerabschätzungen für lineare Elemente............... 56 6 Parabolische Anfangs-Randwertprobleme 60 6.1 Ein eindimensionales Problem........................ 60 6.1.1 Differenzenapproximationen..................... 60

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 2 6.1.2 Stabilität............................... 61 6.2 Semidiskretisierungen............................. 66 7 Lösung großer linearer Gleichungssysteme 72 7.1 Das Richardson-Verfahren.......................... 72 7.2 Das cg-verfahren............................... 74 7.3 Präkonditionierer............................... 75

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 3 1 Einleitung Einige partielle Differentialgleichungen: 1. Eine Transportgleichung für u = u(t, x): ( t + a(t, x, u) x )u = 0 Dies ist eine PDE erster Ordnung (d.h. enthält nur erste Ableitungen). Ist u(0, x) gegeben und a = const, so ist eine Lösung gegeben durch u(t, x) = u(0, x ta) Die folgenden Gleichungen sind PDE s zweiter Ordnung. 2. Die (eindimensionale) Wellengleichung, u = u(t, x): ( xx 1 ) c 2 tt u = 0, c 2 > 0 Die Gleichung kann umformuliert werden in ( x 1 ) ( c t x + 1 ) c t u = ( x + 1 ) ( c t x 1 ) c t u = 0 Damit sind Funktionen der Form u(t, x) = u 0 (x t/c) und u(t, x) = u 0 (x + t/c) sowie Linearkombinationen Lösungen. Die Differentialgleichung ist (unter gewissen Regularitätsbedingungen) eindeutig lösbar, wenn u(0, x) und u t (0, x) vorgegeben sind. Dies ist ein Beispiel für eine hyperbolische Differentialgleichung. 3. Die Poissongleichung für u = u(x, y): Sei Ω beschränktes Gebiet. ( xx + yy )u = f auf Ω Problem ist eindeutig lösbar z.b. unter der Randbedingung u Ω = 0. Lösung ist darstellbar z.b. mit Hilfe Greenscher Funktionen G(x, y x 1, y 1 ) in der Form u(x, y) = f(x 1, y 1 )G(x, y x 1, y 1 )dx 1 dy 1 Ω

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 4 Es handelt sich um eine elliptische Differentialgleichung. 4. Die Tricomi-Gleichung für u = u(x, y) zur Berechnung von Überschallströmungen: (x xx + yy )u = 0 Dies ist eine gemischte Gleichung vom hyperbolisch-elliptischen Typ. 5. Wärmeleitungsgleichung für u = u(t, x, y): ( t xx yy )u = q Dies ist eine parabolische Differentialgleichung. Das Problem ist eindeutig lösbar z.b. wenn eine Anfangsbedingung u(0, x, y) = u 0 (x, y) gegeben ist. Die Lösung kann z.b. durch Fouriertransformation bzgl. x und y konstruiert werden. Dies führt auf eine gewöhnliche Differentialgleichung in t.

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 5 2 Elliptische Differentialgleichungen 2.1 Elliptische Differentialoperatoren zweiter Ordnung Ω lr n sei ein Gebiet. Auf Ω seien Funktionen a i,j, a i, a : Ω lr definiert, sowie der Differentialoperator L für u C 2 (Ω) in x = (x 1,..., x n ) T n 2 n Lu(x) = a ij (x) u(x) + b i (x) u(x) + c(x)u(x) x i x j x i i,j=1 Wegen des Satzes von Schwartz können wir voraussetzen, dass a ij = a ji. (Andernfalls ersetzen wir a ij durch 0.5(a ij +a ji ). Der Differentialoperator ändert sich dadurch nicht.) i=1 Für festes x Ω definieren wir die Matrix A = A(x) = (a ij (x)) n i,j=1 sowie die quadratische Form P (ξ) := ξ T Aξ für ξ lr n Da A symmetrisch ist, hat A nur reellwertige Eigenwerte. (2.1) Definition: (a) L heißt elliptisch in x, falls alle Eigenwerte von A(x) das gleiche Vorzeichen haben. (b) Wir nehmen an (o.b.d.a.), dass für alle x sämtliche Eigenwerte positiv sind. Es sei c(x) der kleinste Eigenwert von A(x). Die Konstante m := inf{c(x) x Ω} heißt Elliptizitätskonstante. (c) Der Differentialoperator L heißt gleichmäßig elliptisch, falls m > 0. (2.2) Beispiele: (a) Zum Laplace-Operator Lu = u = ( x1,x 1 + + xn,xn )u gehört die Matrix A = I. Er ist damit elliptisch. (b) Der n-dimensionale Wellenoperator für (t, x) Lu = ( x tt )u ist nicht elliptisch, da die zugehörige Matrix gegeben ist durch A = diag( 1, 1, 1,..., 1)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 6 2.2 Elliptische Randwertprobleme Der Rand Ω des beschränkten Gebietes Ω lr n werde mit Γ bezeichnet. Wir setzen voraus, dass Γ regulär ist (ohne dies formal exakt zu definieren). Reguläre Ränder sind zum Beispiel solche, welche sich aus endlich vielen glatten Rändern zusammensetzen. ( glatt bedeutet, dass in jedem Punkt x der Normalenvektor n(x) existiert, und dass die Abbildung n(.) stetig ist.) Demnach haben z.b. Kugeln, Rechtecke, Quader, Durchschnitte von Quadern etc. reguläre Ränder. Ist φ eine Funktion auf Γ, so definieren wir Randbedingungen für Funktionen u C 2 (Ω) durch (i) u Γ = φ (Dirichlet-Randbedingung) (ii) n, x u Γ = φ, wobei n der (äußere) Normalenvektor an Γ in x Γ ist (Neumann-Randbedingung). (iii) Linearkombination aus (i) und (ii): n, x u + σ u = φ für x Γ (Robin- Randbedingung) (2.3) Definition: (a) Wir bezeichnen unter einem elliptischen Randwertproblem ein Problem der Form Lu(x) = f(x) für x Ω mit einem elliptischen Operator L sowie einer oben definierten Randbedingung für u Γ. (b) Eine Abbildung u : Ω lr heißt klassische Lösung des RWP, falls die Differentialgleichung (punktweise) in jedem x Ω und die Randbedingung auf jedem (regulären) Punkt x Ω erfüllt ist. Für den erfolgreichen Einsatz numerischer Verfahren ist es wichtig, Aussagen über die Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Lösungen zu kennen sowie über die stetige Abhängigkeit von Daten. Hierzu verweisen wir auf die parallel verlaufende Theorie- Vorlesung. Zum Dirichlet-Problem zählen wir einige Resultate ohne Beweis auf. (2.4) Satz: 1 Es sei c 0, das Gebiet Ω besitze einen regulären Rand, und die Daten f und φ seien glatt (mindestens stetig). Dann besitzt das Dirichlet-RWP eine eindeutige 1 vgl. [1, Satz 2.1]

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 7 klassische Lösung. Einige negative Aussagen über die Regularität von Lösungen ergeben sich aus den folgenden Übungen. (2.5) Übungen: (a) Es sei Ω = (0, 1) (0, 1). Zeigen Sie, dass die Lösung des RWP u = 0 in Ω, u Γ = x 2 nicht zweimal stetig differenzierbar ist. (b) Im L-Gebiet Ω = ( 0.5, 0, 5) (0.5, 0.5) \ [0, 0.5) [0, 0.5) sei in Polarkoordinaten das RWP u = 0 in Ω u = r 2/3 sin((2φ π)/3) auf Γ gegeben. Zeigen Sie, dass die Lösung gegeben ist durch u(r, φ) = r 2/3 sin((2φ π)/3), und weisen Sie nach, dass u / C 1 (Ω) Sehr nützlich ist die folgende Monotonieeigenschaft für elliptische RWP. 2 (2.6) Satz: Ω lr n sei beschränkt, L gleichmäßig elliptisch. Für v, w C(Ω) C 2 (Ω) gelte Lv(x) Lw(x) für alle x Ω, v(x) w(x) für alle x Γ. Dann gilt v(x) w(x) für alle x Ω. (2.7) Beispiel: Es sei Ω [0, 2] [0, 1]. u sei Lösung des RWP u = 1 in Ω u = 0 auf Γ. Wir suchen Abschätzungen für u und definieren hierzu die Vergleichsfunktion v(x, y) = (2 x)x/4 + y(1 y)/4. 2 vgl. [1, Satz 2.3]

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 8 Es gilt u = v in Ω und u v auf Γ. Damit ist v obere Schranke für u auf Ω. Eine untere Schranke ist w 0. (Warum?) Im Zusammenhang damit steht eine Aussage, welche besagt, dass Extremwerte für gewisse Probleme immer am Rand angenommen werden (Maximumprinzip). (2.8) Satz: L sei elliptisch mit konstanten Koeffizienten a ij. Weiter gelte c(x) < 0 für alle x Ω. Erfüllt eine nicht konstante Funktion u C 2 (Ω) die Gleichung Lu = f, so gilt Ist f 0 in Ω, so hat u kein negatives Minimum in Ω Ist f 0 in Ω, so hat u kein positives Maximum in Ω (Entsprechende Extremwerte werden also höchstens am Rand angenommen.) (2.9) Übung: Beweisen Sie das Maximumprinzip für das eindimensionale Problem u = f auf dem Intervall Ω = (a, b). Wir schließen mit einer Aussage zur stetigen Abhängigkeit von den Daten. (2.10) Satz: L sei gleichmäßig elliptisch mit stetigen Koeffizienten. Erfüllen u 1, u 2 C 2 (Ω) C 0 (Ω) die Gleichungen Lu i = f i in Ω und u i = φ i auf Γ, so gilt u 1 u 2 φ 1 φ 2 + M f 1 f 2. Die Konstante M hängt höchstens von K := sup{ a ij, b i, c } sowie von der Elliptizitätskonstante m und dem Durchmesser diam(ω) ab.

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 9 3 Differenzenschemata für elliptische Gleichungen 3.1 Differenzenapproximationen Wir betrachten die Differentialgleichung Lu = f mit Lu(x) = n 2 a ij (x) u(x) + x i x j i,j=1 n b i (x) u(x) + c(x)u(x) x i i=1 Mögliche Differenzenapproximationen für xi sind die Vorwärtsdifferenz die Rückwärtsdifferenz die zentrale Differenz + i u(x) := (u(x + he i) u i (x))/h i u(x) := (u(x) u i(x he i ))/h 0 i u(x) := (u(x + he i ) u i (x he i ))/2h Eine Approximation für 2 u/ x 2 i ist + i i u(x) = 1 h 2 (u(x + he i) 2u(x) + u(x he i )) Gemischte zweite Ableitungen 2 u/ x i x j können approximiert werden durch ( ) 1 i 0 j 0 u(x) = i 0 2h [u(x + he j) u(x he j )] = 1 4h {[u(x + he 2 j + he i ) u(x + he j he i )] [u(x he j + he i ) u(x he j he i )]} (3.1) Beispiel: Der Differentialoperator in zwei Dimensionen, kann diskretisiert werden durch L = a 11 2 x + 2a 12 x y + a 22 2 y + b 1 x + b 2 y + c a 11 + x x + 2a 12 0 x 0 y + a 22 + y y + b 1 0 x + b 2 0 y + c Bei der Diskretisierung von Lu(x) sind insgesamt neun Punkte beteiligt. Die zugehörigen Gewichte werden gewöhnlich in einem neun-punkte-stern wie folgt dargestellt. a 12 /2 a 22 a 12 /2 1 h 2 a 11 2(a 11 + a 22 ) a 11 + 1 0 b 2 0 0 0 0 2h b 1 0 b 1 + 0 c 0 a 12 /2 a 22 a 12 /2 0 b 2 0 0 0 0

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 10 Bemerkung: Aus numerischen Gründen kann die im Beispiel vorgestellte Diskretisierung problematisch werden. Wir werden später genauer darauf eingehen (vgl. Übung 3.6). (3.2) Übungen: (a) Geben Sie zu allen oben vorgestellten Differenzenverfahren die Approximationsordnung an. (b) Finden Sie eine Differenzenapproximtion mindestens dritter Ordnung für die ersten partiellen Ableitungen / xi. (c) Leiten Sie eine Differenzenapproximation her für u. (Dieser Operator spielt zur Behandlung elastischer Körper eine wichtige Rolle; vgl. Beispiel (4.25).) (3.3) Übung: (a) Gegeben sei das Dirichlet-RWP auf Ω = (0, 1) u = f in Ω, u(0) = α, u(1) = β. Gewählt seien die äquidistanten Stützstellen 0 = x 0 < x 1 < < x N < x n+1 = 1. Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf zur Bestimmung von u i := u(x i ) für i = 1,..., N. (b) Nun seien nicht äquidistante Stützstellen 0 = x 0 < x 1 < < x N < x n+1 = 1 gegeben. Eine glatte bijektive Transformation ξ : [0, 1] [0, a] sei gegeben derart, dass die Punkte ξ i := ξ(x i ) eine äquidistante Zerlegung von [0, a] darstellen. Transformieren Sie das RWP aus (a) unter ξ und stellen Sie ein lineares Gleichungssystem zur numerischen Lösung auf. 3 3.2 Diskretisierung eines Modellproblems Wir wollen versuchen, das folgende RWP auf Ω = (0, 1) (0, 1) zu diskretisieren. u = f, u Γ = φ. Hierzu wählen wir ein hinreichend großes N ln und definieren als Diskretisationsparameter h := 1/(N + 1). Für i, j = 0... N + 1 definieren wir das äquidistante Gitter u ij := u(i h, j h). 3 Vgl. [3, Beispiel 3.1 (S. 38)].

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 11 Die Werte u i,0, u i,n+1, u 0,j, u N+1,j sind durch die Randbedingungen vorgegeben und damit bekannt. Berechnet werden müssen also nur die Werte u i,j für i, j {1,..., N}. Wir erhalten den folgenden 5-Punkte-Stern. 0 1 0 1 h 2 1 4 1 0 1 0 Zur Formulierung eines linearen Gleichungssystems müssen wir nun die Punkte (i, j) in eine lineare Reihenfolge bringen. Dazu gibt es viele Möglichkeiten. Eine Möglichkeit (lexikografische Ordnung) ist die zeilenweise Numerierung Die Abbildung (i, j) k(i, j) = (i 1) + (j 1) N + 1 für 1 i, j N. k : {1,..., N} {1,..., N} {1,..., N 2 } ist bijektiv. Wir identifizieren im Folgenden u ij mit u k(i,j) =: u k und leiten ein Gleichungssystem für u = (u 1,..., u N 2) T her. Für (i, j) = (1, 1) ergibt sich aus die Gleichung 1 h (u 2 21 + u }{{} 01 +u 12 + u 10 4u }{{} 11 ) = f 11 =φ 01 =φ 10 u 2 + u N+1 4u 1 = h 2 f 1 (φ 01 + φ 10 ). Für i = 2,..., N 1 erhalten wir mit k = i u k+1 + u k 1 + u N+k 4u k = h 2 f k φ 0i. Der Punkt i = N wird ähnlich wie i = 1 behandelt. Die Diskretisierung wird in diesem Sinn fortgeführt. Für nicht-randpunkte ergibt sich die Gleichung 1 h 2 (u k+1 + u k 1 + u k+n + u k N 4u k ) = f k.

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 12 Das Ergebnis ist ein Gleichungssystem Au = f mit der Matrix A, welche die folgende Blockstruktur besitzt. T I A = 1 I T I......... h 2 I T I I T Hier ist I die N N-Einheitsmatrix und 4 1 T = 1 1 4 1......... h 2 1 4 1 1 4. (3.4) Eigenschaften: Für A gilt: Vorzeichen: Diagonaldominanz: Die Diagonalelemente sind negativ, die anderen nicht-negativ. Es ist N 2 a ii a ij. j=1 j i Es gibt Zeilen, für die strikte Ungleichheit gilt. (3.5) Bemerkung: Anstelle der lexikografischen Ordnung sind auch andere Ordnungen zur linearen Anordnung der Gitterpunkte übleich, z.b.

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 13 das Diagonal-Abzählverfahren, wie es bei der Abzählung der rationalen Zahlen üblich ist; das Schachbrettmuster (vgl. [2, S. 47]), bei dem zunächst die Punkte (i, j) in schwarze und weiße Punkte getrennt werden und dann nacheinander schwarze und weiße Punkte wie oben lexikographisch durchnumeriert werden. Dies führt auf eine Matrix A der Form ( ) A = 1 4I B h 2 B T 4I. Die Eigenschaften (3.4) bleiben erhalten. (3.6) Übung: Das RWP auf Ω = (0, 1) (0, 1), ɛ u + b u = f auf Ω, u Γ = φ mit b = (2, 1) T soll auf dem oben definierten äquidistanten Gitter diskretisiert werden. Welche Diskretisierung für u muss gewählt werden, damit die Eigenschaften (3.4) für beliebige ɛ > 0 erhalten bleiben? Bestimmen Sie den 9-Punkte-Stern und für N = 4 die Matrix A für das Gleichungssystem Au = f. 3.3 Diskretisierung von Rändern 3.3.1 Das Dirichlet-Problem auf dem Einheitsquadrat Zu Ω = (0, 1) 2 betrachten wir das RWP u = f, u Γ = φ. Wir definieren die Schrittweite wie vorher: h := 1/N. Definieren wir u ij := u(i h, j h) für 0 i, j N, so stellen die u ij (N + 1) 2 Unbekannte dar. Hiervon gehören (N 1) 2 Werte zu inneren Punkten, welche durch die Differentialgleichung bestimmt werden. Die restlichen Punkte sind Randpunkte und damit durch die Randbedingung vorgegeben. Aus der Diskretisierung der Differentialgleichung erhalten wir (N 1) 2 Gleichungen für (N 1) 2 Unbekannte.

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 14 3.3.2 Das Neumann-Problem auf dem Einheitsquadrat Zu Ω = (0, 1) 2 betrachten wir das RWP u u = f, n = n u Γ = φ. Γ Zur Illustration greifen wir uns einen Punkt heraus: (0, k), 1 k N 1. Die Diskretisierung des Laplace-Operators in (0, k h) führt mit y := k h auf u(0, y) 1 [u( h, y) + u(h, y) + u(0, y h) + u(y + h) 4u(0, y)]. h2 Der Punkt ( h, y) liegt außerhalb des Definitionsbereichs. Damit ist u( h, y) nicht definiert. Ein Ausweg hierbei ist, den Quotienten (u( h, y) u(h, y))/2h als Approximation von u/ n aufzufassen und daher mit φ(0, y) gleichzusetzen. Dies führt auf den 4-Punkte-Stern in (0, y) 0 1 0 1 h 2 0 4 2. 0 1 0 Ähnlich kann u in Eckpunkten diskretisiert werden. Zum Beispiel gilt für den Punkt (0, 0) der 3-Punkt-Stern 1 h 2 0 0 0 0 4 2 0 2 0. 3.3.3 Das Dirichlet-Problem für beliebige (glatte) Ränder Wir betrachten wieder das RWP u = f, u Γ = φ, wobei diesmal Ω lr 2 ein beliebiges Gebiet mit hinreichend harmlosem Rand ist. Die Diskretisierung von Ω mit einer Schrittweite h > 0 führt auf die Menge Ω h Z 2, Ω h = {(x, y) Ω x/h Z, y/h Z}.

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 15 (3.7) Definition: Ein Punkt x R = (x R, y R ) T Ω heißt Randpunkt, falls es einen Punkt x Ω h und ein s ( h, h) derart gibt, dass x R = x + se x oder x R = x + se y. In diesem Fall heißt x randnah. A Shortley-Weller-Diskretisierung Eine Approximation von u in randnahen Punkten beruht auf der folgenden Formel, welche sich leicht aus der Taylorentwicklung ableiten lässt. (3.8) Newtons dividierte Differenzen: Ist u : [x L, x R ] lr dreimal stetig differenzierbar, so gilt für x (x L, x R ) mit h := (x R x L ) ( u 2 u(xr ) u(x) (x) = u(x) u(x ) L) + O(h) x R x L x R x x x ( L 2 1 = x R x L x R x u(x R) + 1 ) 2 u(x L ) u(x) + O(h). x x L (x R x)(x x L ) (3.9) Übung: Leiten Sie eine Formel für das Restglied in Newtons dividierten Differenzen her. Diese Formel wird angewandt im (3.10) Differenzenschema von Shortley und Weller: Es sei x = (x, y) ein randnaher Punkt. s L, s R, s U, s O (0, 1] seien so gewählt, dass (x s L h, y), (x + s R h, y), (x, y s U h) und (x, y + s O h) Gitterpunkte oder Randpunkte sind. Dann wird u(x) approximiert durch durch ( 2 h 2 + 2 ( h 2 2 h 2 1 s R (s R + s L ) u(x + s Rh, y) + 1 s O (s O + s U ) u(x, y + s Oh) + ( 1 + 1 ) u(x) s L s R s U s O ) 1 s L (s R + s L ) u(x s Lh, y) ) 1 s U (s O + s U ) u(x, y s Uh)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 16 B Interpolation Eine weitere Möglichkeit besteht darin, den Wert u(x) für randnahe Punkte x durch lineare Interpolation zu gewinnen. Ist z.b. (x s L, y) ein Randpunkt und (x + s R, y) Gitterpunkt oder Randpunkt, so folgt mit linearer Interpolation Ebenso gilt u(x) u(x) Addition beider Approximationen liefert (3.11) Interpolationsschema: 1 h 2 1 s L + s R (s L u(x + s R h, y) + s R u(s s L h, y). 1 s U + s O (s U u(x, y + s O h) + s O u(x, y s U h). ( 1 s L u(x s L h, y) + 1 + 1 h 2 ( 1 s U u(x, y s U h) + 1 1 h 2 ( sl + s R s L s R ) u(x + s R h, y) s R ) s O u(x, y + s O h) + s U + s O s U s O ) u(x) = 0 (3.12) Übung: Auf Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 < 1} ist das RWP u = f, u Γ = φ gegeben. Zur Diskretisierung wählen wir das Gitter Ω 25 Ω, wobei Ω 25 äquidistante 25- Punkt-Diskretisierung von [0, 1] [0, 1] ist. Welches sind die randnahen Punkte? Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem zur numerischen Lösung des RWP auf. 3.4 M-Matrizen Wie wir gesehen haben, führt die Diskretisierung eines Randwertproblems zur Differentialgleichung u = f auf ein lineares Gleichungssystem der Form A h u h = f. Wir wollen nun die Regularität von A h, das Verhalten von A 1 h für h 0 und schließlich die Konvergenz der diskreten Lösungen u h gegen die Lösung u des ursprünglichen Problems

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 17 diskutieren. Von zentraler Bedeutung sind hierbei die Eigenschaften (3.4). Im Folgenden sei I eine endliche Indexmenge, z.b. I = {1,..., N} oder I = {(i, j), 1 i, j N}. Vergleichsoperatoren zwischen I I -Matrizen A = (a α,β ) α,β I und B = (b α,β ) α,β I werden komponentenweise interpretiert. So bedeutet A B, dass für alle α, β I gilt a α,β b α,β. Die Aussage A < B bedeutet entsprechend, dass a α,β < b α,β für alle α, β I. (3.13) Definition: Die Matrix A heißt M-Matrix, wenn gilt (i) für alle α I ist a α,α > 0; für alle α, β I, α β, ist a α,β 0; (ii) A ist regulär und hat eine Inverse A 1 0. Wir werden herleiten, dass Diskretisierungen elliptischer Gleichungen auf M-Matrizen führen. Hierzu benötigen wir weitere Grundbegriffe. (3.14) Definition: A sei Matrix wie oben, α und β seien Indizes aus I. (a) α heißt direkt mit β verbunden, falls a α,β 0. (b) α heißt mit β verbunden, falls es eine Folge α = α 0, α 1,..., α k 1, α k = β gibt mit a αi,α i+1 0 für i = 0,..., k 1. (c) A heißt irreduzibel, falls jedes α mit jedem β verbunden ist. (3.15) Beispiele: (a) Tridiagonalmatrizen α 1 γ 1 β 2 α 2 γ 2 A =......... β n 1 α n 1 γ n 1 β n α n mit α i, β i, γ i 0 sind irreduzibel, denn es ist a i,i+1 0 und a i,i 1 0. (b) 5-Punkte-Stern für in Ω lr 2 : Obere, untere, linke und rechte Nachbarn sind direkt verbunden; die zugehörige Matrix ist irreduzibel.

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 18 Im Folgenden bezeichne K r (z) für z lc und r > 0 den Kreis um z mit Radius r: K r (z) = {ξ lc : z ξ < r}. (3.16) Satz (Gerschgorin): A sei beliebige I I-Matrix. (a) Es sei r α = β α a αβ. Alle Eigenwerte von A liegen in K rα (a αα ). (b) Ist A irreduzibel, so liegen alle Eigenwerte in ( ) ( ) K rα (a αα ) K rα (a αα ). α I α I α I Beweis: Zu (a): Es sei Au = λu. O.B.d.A. sei u so gewählt, dass u = max u α = 1. Dann gilt für ein γ I: u γ = 1. Es ergibt sich die folgende Argumentationskette. λu = Au λu γ = β I a γβ u β (λ a γγ )u γ = β γ a γβ u β λ a γγ β γ a γβ u β β γ a γβ = r γ ( ) λ K rγ (a γγ ) Zu (b): λ, u und γ seien wie oben gewählt. Ist λ / α I K rα (a αα ), so muss nach (a) gelten Es folgt λ K rγ (a γγ ) λ a γγ = r γ

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 19 Damit gelten in der Abschätzung ( ) die Gleichheitszeichen. Insbesondere ist λ a γγ = a γβ u β = a γβ β α β α Daher ist u β = 1 für alle β, welche mit γ direkt verbunden sind. Jedes β mit dieser Eigenschaft erfüllt die Voraussetzung, welche in (a) an γ gestellt wurde. Daher gilt λ K rβ (a ββ ) Ist nun β ein beliebiger Index, so ist β mit γ durch eine Kette α 1,..., α k = β verbunden. Durch Induktion folgt u αi = 1 sowie λ K rαi (a αi α i ). (3.17) Beispiel: Sämtliche Eigenwerte von 3 1 5 A = 2 2 2 4 2 2 liegen in der Vereinigung der Kugeln K 6 (3), K 4 (2) und K 6 (2). (3.18) Definition: (a) A heißt strikt diagonal dominant, falls α I : a αβ < a αα. β α (b) A heißt irreduzibel diagonal dominant, wenn A irreduzibel ist und wenn außerdem gilt α I : α I : a αβ a αα β α a αβ < a αα β α (3.19) Beispiel: Vergleiche die Diskretisierung von u auf (0, 1) 2. Die zugehörige Matrix ist irreduzibel diagonal dominant. (3.20) Definition: Der Spektralradius ρ(a) einer Matrix A ist definiert durch ρ(a) = max{ λ, λ Eigenwert von A}

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 20 Im Folgenden schreiben wir A in der Form A = D B mit D = diag{a αα, α I}. (3.21) Satz: A sei eine I I -Matrix. Für alle α I gelte a αα > 0 und für alle β α a αβ 0. (a) Falls ρ(d 1 B) < 1, so ist A eine M-Matrix und ( ) A 1 = (D 1 B) n D 1. n=0 (b) Ist A strikt diagonal dominant oder irreduzibel diagonal dominant, so ist ρ(d 1 B) < 1. Beweis: zu (a): Wir definieren C := D 1 B. Aus ρ(c) < 1 folgt, dass die Neumann- Reihe S := konvergiert. ν=0 (Übung: Beweisen Sie dies für symmetrische Matrizen C.) Nach Voraussetzung (Vorzeichen der a αβ ) sind D 1, B 0. Damit sind auch C ν 0 und S 0. Aus der absoluten Konvergenz folgt für S S (I C) = C ν C ν = I, C ν ν=0 ν=1 also I = S(I C) = S(I D 1 B) = SD 1 (D B) = SD 1 A 0. Damit ist A invertierbar und A 1 = SD 1. zu (b): Wie oben sei C = D 1 B. Für die Koeffizienten gilt c α,α = 0, und für β α c αβ = a αβ /a αα. Nach dem Satz von Gerschgorin liegen alle Eigenwerte von C in α I K r α (0). Fall 1: A ist diagonaldominant. Dann ist r α = 1 a αα a αβ < 1 β α

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 21 und damit ρ(c) < 1. Fall 2: A ist irreduzibel diagonaldominant. Dann gilt für alle β I : r β 1, und es gibt ein α I : r α < 1. Falls gilt β I : r β < 1, so ist ρ(c) < 1. Nehmen wir an, es gebe ein γ I mit r γ = 1. Dann gilt K rβ (0) K rα (0) K rγ (0) =. β I Nach dem Satz von Gerschgorin liegen daher alle Eigenwerte in der offenen Menge K rβ (0) = K 1 (0). Damit ist ρ(c) < 1. β I (3.22) Bemerkung: Es gilt auch die Umkehrung von Satz (3.21)(a): Ist A M-Matrix, so ist ρ(d 1 B) < 1. Damit können wir Lösungen des Gleichungssystems Ax = b abschätzen und ein Maximumprinzip für die Inverse herleiten. Im Folgenden ist die Vektornorm. die Maximumnorm und die Matrixnorm. die Zeilensummennorm. (3.23) Satz: A sei M-Matrix. Dann gilt (a) Ist A irreduzibel so ist A 1 > 0. (b) Definiere den Vektor1 l = (1, 1,..., 1) T. Ist w ein Vektor mit Aw 1, l so ist A 1 w. (c) Ist A M-Matrix mit A A, dann ist 0 A 1 A 1. Insbesondere ist A 1 A 1. Beweis: Zu (a): Wegen A 1 = ( n=0 Cn ) D 1 ist zu zeigen, dass n=0 Cn > 0. Hierzu reicht es zu zeigen dass für alle Paare (α, β) I 2 ein k existiert mit (C k ) αβ > 0. Sei also (α, β) beliebig. Wegen der Irreduzibilität gibt es eine Folge α = α 0, α 1,..., α k = β (α i α i+1 ) mit a αi,α i+1 > 0. Damit ist auch c αi,α i+1 > 0 und (C k ) αβ = γ 1,...,γ k 1 c αγ1 c γ1 γ 2 c γk 1 β c αα1 c α1 α 2 c αk 1 β > 0.

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 22 Zu (b): Es sei Aw 1. l Zu u = (u α ) α I, definieren wir u := ( u α ) α I. Wegen A 1 0 folgt u u 1l u Aw A 1 u A 1 u u A 1 Aw = u w A 1 u u w A 1 = sup u 0 A 1 u u w. Zu (c): Aus A 1 0, A 1 0 und A A 0 folgt A 1 A 1 = A 1 A A 1 A 1 AA 1 = A(A A)A 1 0. 3.5 Anwendung auf elliptische RWP s Die Überlegungen des vorangehenden Abschnitts lassen sich leicht auf allgemeinere elliptische Operatoren übertragen. Betrachten wir beispielsweise die Differentialgleichung u + b u = f Die Diskretisierung von mittels Fünfpunktstern und die korrekte Differenzenapproximation für b (im Sinne der Übung (3.6)) führt auf eine irreduzible diagonaldominante Matrix L h = (l αβ ) mit l αα < 0 und l αβ 0 für α β. Nach den Ergebnissen des Abschnitts 3.4 ist damit L h eine M-Matrix, was die eindeutige Lösbarkeit des diskretisierten Dirichlet-Problems garantiert. Betrachten wir nun den allgemeinen elliptischen Operator aus Definition (2.1). Offensichtlich führt die Diskretisierung aus Beispiel (3.1) nicht zu einer M-Matrix. (3.24) Übung: Es sei c 0 und a 12 (x, y) min{a 11 (x, y), a 22 (x, y)}. Finden Sie einen 7-Punkte-Stern für den elliptischen Operator aus Beispiel (3.1), welcher zu einer M-Matrix führt. Zu klären sind noch die Fragen der Konvergenz numerischer Lösungen für h 0, die Kondition des linearen Gleichungssystems und Eigenschaften der diskretisierten Lösungen. Hierbei beschränken wir uns auf das Dirichlet-Problem auf Ω = (0, 1) 2, u = f, u Γ = 0 (III.1)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 23 Mit Ω h bezeichnen wir das äquidistante Gitter zur Schrittweite h = 1/(N + 1). Die numerische Lösung auf Ω h bezeichnen wir mit u h. Außerdem bezeichne u h = max{ u(x, y) (x, y) Ω h }. (3.25) Satz: Für die Diskretisierung u h des Problems (III.1) gilt: (a) Mittelwerteigenschaft: u ij = 1 4 (u i+1,j + u i 1,j + u i,j+1 + u i,j 1 ). (b) Maximum-Minimum-Prinzip: Ist (u ij ) i,j I nicht konstant, so gilt max{u ij i, j I} < max{φ(x) x Γ} und min{u ij i, j I} > min{φ(x) x Γ}. (3.26) Übung: Beweisen Sie Satz (3.25). Lassen sich die Ergebnisse auch auf Gebiete mit gekrümmten Rändern verallgemeinern? Es sei L h die Matrix, welche aus der Diskretisierung eines elliptischen RWP s entsteht. Das numerische Verfahren heißt stabil, wenn für ein Intervall H = (0, h 0 ] (h 0 > 0) gilt sup L 1 h <. h H (3.27) Übung: Zeigen Sie für die äquidistante Diskretisierung des RWP s (III.1): L 1 h 1 8. (Hinweis: Benutzen Sie Satz (3.23)(b) und verwenden Sie als Vergleichsfunktion w(x, y) := 0.5 x(1 x).) Neben der Stabilität des Verfahrens ist auch die Konsistenz wichtig. Ist u eine stetige Funktion auf Ω, so bezeichne R h u die Restriktion von u auf Ω h. Ist nun L h die zum

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 24 5-Punkte-Stern gehörige Matrix, so folgt für u C 4 (Ω) aus der Taylorreihenentwicklung: L h R h u R h u h C h 2 u (4). Wir bezeichnen daher L h als konsistent mit der Ordnung 2. (3.28) Satz: u sei die exakte Lösung des Problems (III.1), u h sei die numerische Lösung auf dem Gitter Ω h. Das Verfahren ist konvergent von der Ordnung 2, d.h. es gilt R h u u h h C h 2. Beweis: Wir definieren w h := u h R h u. Aus folgt L h u h = R h f (diskretes System), u = f und R h u = R h f (exakte Lösung) L h R h u R h u h = O(h 2 ) Konsistenz) L h w h = L h u h L h R h u = R h f L h R h u = R h f R h u + R }{{} h u L h R h u = O(h }{{} 2 ). =0 =O(h 2 ) Die Behauptung folgt nun aus der Beschränktheit von L 1 h. Für numerische Zwecke ist es wichtig, die Kondition der Matrix L h zu untersuchen. Das typische Verhalten ergibt sich schon aus dem eindimensionalen Modellproblem. (3.29) Übung: (a) Es sei h = π/(n+1). Zeigen Sie: Die Eigenvektoren der n n-matrix 2 1 1 2 1 L h =......... 1 2 1 1 2 sind v (i) = (sin(ijh), j = 1,..., n), i = 1,... n. (b) Berechnen Sie die Kondition von L h bezüglich der Norm.. Wie verhält diese sich für h 0?

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 25 4 Variationsformulierung elliptischer RWP s 4.1 Einführungbeispiel Wir betrachten das folgende Zweipunkt-Randwertproblem auf Ω = (0, 1): (a(x)u (x)) + b(x)u (x) + c(x)u(x) = f(x), u(0) = g 0, a(1)u (1) = g 1. (IV.1) Sind a C 1 [0, 1] und b, c, f C[0, 1], so können wir vom klassischen Lösungsbegriff ausgehen und eine Funktion C 2 [0, 1] als klassische Lösung bezeichnen, wenn sie in jedem Punkt x [0, 1] die Differentialgleichung und an den Rändern die Randbedingungen erfüllt. (4.1) Übung: Zeigen Sie, dass jede lineare Differentialgleichung 2. Ordnung a(x)u (x) + b(x)u (x) + c(x)u(x) = f(x) mit a C 1 [0, 1] und b, c, f C[0, 1] sich auch in der Form schreiben lässt (a(x)u (x)) + b(x)u (x) + c(x)u(x) = f(x) mit geeigneten Funktionen a C 1 [0, 1] und b C(0, 1). Variationsformulierung Wir verfolgen nun ein alternatives Lösungskonzept, welches den klassischen Lösungsbegriff abschwächt und gleichzeitig erlaubt, auf der selben Grundlage als endlich-dimensionale Variante mit den Finite-Elemente-Methoden ein numerisches Verfahren zu entwerfen. Hierzu multiplizieren wir die Gleichung (IV.1) mit einer Testfunktion φ C 1 [0, 1] und integrieren über das Intervall [0, 1]. Für das erste Integral erhalten wir mit partieller Integration und durch Einsetzen der Randbedingungen 1 1 (au ) φdx = a(x)u (x)φ(x) 1 0 + au φ dx 0 0 = g 1 φ(1) + a(0)u (0)φ(0) + 1 0 au φ dx Lassen wir als Testfunktionen nur Funktionen zu, welche die zusätzliche Bedingung (IV.2) φ(0) = 0

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 26 erfüllen, so erhalten wir als Variationsformulierung des RWP s (IV.1) die Gleichung 1 [au φ + bu φ + cuφ] dx = 1 0 0 für beliebige Testfunktionen aus dem Raum fφdx + g 1 φ(1) (IV.3) {φ C 1 [0, 1] : φ(0) = 0} (IV.4) Zwei Typen von Randbedingungen erkennen wir bei der Herleitung der Variationsformulierung. Die Bedingung am rechten Rand, a(1)u (1) = g 1, konnte in die partielle Integration (IV.2) eingefügt werden. Bedingungen dieser Art nennen wir natürliche Randbedingungen. Dagegen konnte die Bedingung u(0) = g 0 nicht berücksichtigt werden. Stattdessen mussten wir fordern, dass Testfunktionen am linken Rand verschwinden. Randbedingungen dieser Art heißen wesentliche Randbedingungen; ihnen muss durch die geeignete Wahl von Lösungsräumen Rechnung getragen werden. Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume Wir erkennen, dass in der Variationsformulierung die Ableitung u nur innerhalb eines Integrals und in Verbindung mit Testfunktionen vorkommt. Dies erlaubt die Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs. Wir bezeichnen mit C0 (0, 1) die Menge aller C -Funktionen auf (0, 1), deren Träger eine kompakte Teilmenge von (0, 1) ist. Durch partielle Integration rechnen wir nach, dass für beliebige u C 1 [0, 1] und φ C0 gilt 1 u (x)φ(x)dx = 1 0 0 u(x)φ (x)dx (IV.5) Wir benutzen diese Gleichung nun als Definitionsgleichung für schwache Ableitungen. Hierzu beschränken wir uns auf den Raum L 2 (0, 1) als Grundmenge von Funktionen. (4.2) Definition: (a) Sei u L 2 (0, 1). Eine Funktion u L 2 (0, 1) heißt schwache Ableitung von u, wenn (IV.5) gilt für beliebige φ C0 (0, 1). (b) Der Sobolev-Raum H 1 (0, 1) bezeichnet die Menge aller Funktionen u L 2 (0, 1), welche eine schwache Ableitung u L 2 (0, 1) besitzen. H 1 (0, 1) heißt auch Sobolevraum 1. Ordnung. (4.3) Übung: (a) Auf Ω = [0, 1] sei die stetige und stückweise lineare Funktion u(x) definiert. Bestimmen Sie die verallgemeinerte erste Ableitung von u. Besitzt u eine zweite

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 27 Ableitung? (b) f : [0, 1] lr sei definiert durch f(x) = { 0 für x lq 1 für x lr \ lq. Besitzt f eine verallgemeinerte erste Ableitung? In der Funktionalanalysis wird gezeigt: (4.4) Lemma: (a) H 1 (0, 1) ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt (v, w) H 1 (0,1) = und der zugehörigen Norm 1 0 v H 1 (0,1) = v(x)w(x)dx + 1 0 (v, v) H 1 (0,1) (b) C 1 (0, 1) ist bezüglich der H 1 -Norm dicht in H 1 (0, 1). v (x)w (x)dx Der Spuroperator Da L p -Räume (und damit zunächst auch H 1 (0, 1)) nicht punktweise definiert sind, muss genauer untersucht werden, in welchem Sinn Randbedingungen der Form u(ξ) = α für ξ {0, 1} interpretiert werden müssen. Die Schlüsselbeobachtung liefert das folgende Ergebnis. (4.5) Lemma: Es gibt eine Konstante C tr > 0 derart, dass für alle v C 1 [0, 1] gilt v(0) C tr v H 1 (0,1) Beweis: Aus der Identität v(0) = v(x) x 0 v (y)dy folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung und der Cauchy-Ungleichung v(0) v(x) + x v (y) dy v(x) + 1 0 0 v (y) dy v(x) + v L 2 (0,1)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 28 Durch Integration folgt (mit ( a + b ) 2 2( a + b ) 2 für beliebige a, b lr) v(0) 1 v(x) dx + v L 2 (0,1) v L 2 (0,1) + v L 2 (0,1) 0 ( 1/2 2 v 2 L 2 (0,1) + v 2 L (0,1)) 2 Aus dem Lemma folgt, dass die Abbildung γ 0 : C 1 [0, 1] lr, γ 0 (v) = v(0) auf dem Teilraum C 1 [0, 1] von H 1 (0, 1) bezüglich der H 1 -Norm ein beschränkter Operator ist. Da C 1 [0, 1] in H 1 (0, 1) dicht ist, kann γ 0 stetig auf ganz H 1 (0, 1) fortgesetzt werden. γ 0 : H 1 (0, 1) lr heißt Spuroperator. Endgültige Formulierung des Variationsproblems Nach diesen Vorbereitungen können wir das Randwertproblem vom Beginn dieses Abschnitts umformulieren in ein Variationsproblem. Es sei V := H 1 (0, 1) der Grundraum mit dem Teilraum V 0 = {v V v(0) = 0} (Menge der Testfunktionen) und dem affinen Teilraum V g = {v V v(0) = g 0 } in welchem die Lösung des RWP s gesucht wird. Zu a, b, c L (0, 1), f L 2 (0, 1) und g 1, g 1 lr definieren wir die Bilinearform a(.,.) : V V lr, a(v, w) = 1 0 [a(x)v (x)w (x) + b(x)v (x)w(x) + c(x)v(x)w(x)]dx (IV.6) und das lineare Funktional f : V lr, f, v = 1 0 f(x)v(x)dx + g 1 v(1) (IV.7)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 29 Entsprechend der obigen Herleitung erhalten wir folgendes (4.6) Variationsproblem: Gesucht ist u V g derart, dass a(u, v) = f, v v V 0 (4.7) Übung: Wandeln Sie das Randwertproblem u (x) = f(x) x (0, 1), u (0) = g 0 α 0 u(0), u(1) = g 1 um in ein Variationsproblem. (4.8) Übung: Zeigen Sie, dass u(x) = 2x x 2 eine klassische Lösung des RWP s (a(x)u (x)) = 1 x (0, 1), u(0) = 0, a(1)u (1) = 0 mit a(x) = 2x x 2 ist, dass aber u / H 1 (0, 1) und damit keine Lösung des entsprechenden Variationsproblems ist. Nachdem wir in Übung (4.8) gesehen haben, dass eine klassische Lösung nicht notwendig eine schwache Lösung ist, kehren wir die Frage um und betrachten eine schwache Lösung u V g des Problems. Unter welchen Bedingungen ist diese eine klassische Lösung? Sei also u V g eine schwache Lösung. Wir nehmen an, dass a stetig differenzierbar und b, c, f stetig sind sowie dass u zweimal stetig differenzierbar ist. Durch partielle Integration erhält man 1 1 a(x)u (x)v (x)dx = a(x)u (x)v(x) 1 0 (a(x)u (x)) v(x)dx 0 0 Wegen v(0) = 0 folgt aus der Variationsgleichung a(1)u (1)v(1) + = 1 0 1 0 [ (a(x)u (x)) + b(x)u (x) + c(x)u(x)] v(x)dx f(x)v(x)dx + g 1 v(1) (IV.8) Wir wählen zunächst Testfunktionen v C 0 (0, 1) V 0. Dann ist insbesondere v(0) = v(1) = 0. Es folgt 1 [ (a(x)u (x)) + b(x)u (x) + c(x)u(x)] v(x)dx = 0 0 1 f(x)v(x)dx

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 30 Da C 0 (0, 1) bezüglich der L 2 -Norm dicht in C[0, 1] liegt, folgt (a(x)u (x)) + b(x)u (x) + c(x)u(x) = f(x) x (0, 1) (IV.9) Damit ist die Differentialgleichung erfüllt und aus (4.8) folgt also die Randbedingung a(1)u (1)v(1) = g 1 v(1) v V 0 a(1)u (1) = g 1 (4.9) Bemerkung: Bei der folgenden theoretischen Untersuchung des Variationsproblems ist es störend, dass i.a. V 0 V g. Es ist aber leicht einzusehen, dass es ein g V gibt mit V g = g + V 0. Setzen wir u = u 0 + g, so lässt sich das Variationsproblem (4.6) umformulieren in ein äquivalentes (4.10) Homogenisiertes Variationsproblem: Gesucht ist u 0 V 0 derart, dass für alle v V 0 a(u 0, v) = f, v wobei a(.,.) wie in (IV.6) definiert, das lineare Funktional (IV.7) aber ersetzt ist durch f, v = 1 4.2 Der Satz von Lax-Milgram 0 f(x)v(x)dx + g 1 v(1) a(g, v) Gegeben seien ein Hilbertraum V, eine Bilinearform a(.,.) : V V lr und ein lineares Funktional f,. : V lr. Untersucht werden soll das Variationsproblem: Gesucht ist u V mit a(u, v) = f, v v V (IV.10)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 31 A Der Rieszsche Darstellungssatz Wir betrachten zunächst das spezielle Variationsproblem mit a(u, v) = (u, v) V (.,.) V das Skalarprodukt in V ist). Gesucht ist also u V mit (wobei (u, v) V = f, v v V (IV.11) Dieses Problem lässt sich wie folgt als Minimumproblem formulieren. (4.11) Lemma: Das Variationsproblem (IV.11) ist äquivalent zu folgendem Minimierungsproblem: Gesucht ist u V derart, dass J(u) = min v V J(v) mit J(v) = 1 2 (v, v) V f, v (IV.12) Beweis: J(u) = min v V J(u) J(u + tw) w V, t [0, 1] J(u) J(u) + t[(u, v) f, v ] + t2 2 (w, w) V w V, t [0, 1] (u, v) V f, v + t 2 (w, w) V 0 w V, t [0, 1] (u, w) V f, w 0 w V Setzen wir w = v, so folgt während mit w = v folgt (u, v) V f, v (u, v) V f, v Ist f,. : V lr lineares Funktional, so definieren wir die Norm f := f, v sup v V \{0} v V (IV.13)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 32 Den Raum der beschränkten linearen Funktionale auf V bezeichnen wir mit V. (4.12) Rieszscher Darstellungssatz: Sei V reeller Hilbertraum und f V. Dann gibt es eine eindeutige Lösung u des Variationsproblems (IV.11) und es gilt u V = f. Beweis: Das Funktional J ist nach unten beschränkt, denn J(v) 1 2 v 2 V f v V = 1 2 ( v V f ) 1 2 f 2 1 2 f 2 Daher gibt es eine Folge (u k ) k ln in V mit J(u k ) inf J(v) > v V (u k ) k ln erfüllt das Cauchy-Kriterium, denn wegen ist u k u l 2 V + u k + u l 2 V = (u k u l, u k u l ) V + (u k + u l, u k + u l ) V = 2 u k 2 V + 2 u l 2 V u k u l 2 V = 2 u k 2 V + 2 u l 2 V u k + u l 2 V ( ) uk + u l = 4J(u k ) + 4J(u l ) 8J 2 4J(u k ) + 4J(u l ) 8 inf J(v) 0 v V für k, l Da V vollständig ist, konvergiert (u k ) gegen einen Grenzwert u V. Aus der Stetigkeit von J folgt J(u) = lim k J(u k ) = inf v V J(v) Sei û eine weitere Lösung des Variationsproblems, also (û, v) V = f, v v V Dann ist (u û, v) V = 0 für alle v V, also u = û. Außerdem ist u V = (u, v) V f, v sup = sup = f v V \{0} v V v V \{0} v V

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 33 Die Abbildung R : V V, die jedem f,. V die Lösung u V des Variationsproblems (IV.11) zuordnet, heißt Riesz-Isomorphismus. (Wir schreiben kurz Rf für das Bild von f,. unter R.) Offensichtlich ist R linear und es gilt (Rf, v) V = f, v für alle v V, f,. V (IV.14) Wegen des Rieszschen Darstellungssatzes ist R bijektiv und Rf und f,. haben die gleiche Norm. R ist daher ein isometrischer Isomorphismus, mit Hilfe dessen V und V identifiziert werden können. B Der allgemeine Fall Die Bilinearform a(.,.) : V V lr heißt beschränkt, wenn es ein µ 1 > 0 gibt derart, dass a(w, v) µ 1 v V w V v, w V (IV.15) In diesem Fall ist für beliebige w V die Abbildung v a(w, v) ein Element von V. Wir bezeichnen mit A : V V die Abbildung, welche jedem w V das lineare Funktional a(w,.) zuordnet. Es gilt also a(w, v) = Aw, v v, w V (IV.16) Mit dieser Schreibweise lässt sich das Variationsproblem (IV.10) umformulieren in Au, v = f, v v V welches wir als Operatorgleichung in V kurz schreiben als Au = f (IV.17) Ist τ lr \ {0}, so lässt sich diese Gleichung mit Hilfe des Riesz-Isomorphismus leicht umwandeln in die äquivalente Fixpunktgleichung in V u = u + τ R(f Au) (IV.18) Wir definieren G τ : V V durch G τ v := v + τ R(f Av)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 34 Die Existenz- und Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Lax-Milgram beruht auf der Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes auf dieses Fixpunktproblem. Hierzu benötigen wir folgende Voraussetzung. (4.13) Definition: Eine Bilinearform a(.,.) : V V lr heißt elliptisch auf V (V - elliptisch), wenn es eine Konstante µ 2 > 0 gibt mit a(v, v) µ 2 v 2 V v V (IV.19) (4.14) Satz von Lax-Milgram: Seien V reeller Hilbertraum und f,. V. Die Bilinearform a(.,.) auf V sei beschränkt und V -elliptisch mit Konstanten µ 1, µ 2 > 0 gemäß (IV.15) und (IV.19). Dann existiert eine eindeutige Lösung u des Variationsproblems (IV.10) und es gilt 1 µ 1 f u V 1 µ 2 f (IV.20) Beweis: Wir betrachten das zu (IV.10) äquivalente Fixpunktproblem u = G τ u auf V mit G τ (v) = M τ v + g τ, M τ = (I τra), g τ = τrf Es ist G τ (w) G τ (v) V = M τ (w v) V M τ w v V Um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können, genügt es zu zeigen, dass für geeignetes τ 0 gilt M τ < 1. Für v V ist M τ v 2 V = (M τ v, M τ v) V = (v, v) V 2τ(RAv, v) V + τ 2 (RAv, RAv) V Aus (IV.14), (IV.16) und den Voraussetzungen folgt (RAv, v) V = Av, v = a(v, v) µ 2 v 2 V

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 35 und (RAv, RAv) V = RAv 2 V = Av 2 Av, w 2 = sup w V \{0} w 2 V µ 2 1 v 2 V Daher ist mit p(τ) := 1 2µ 2 τ + µ 2 1τ 2 a(v, w) 2 = sup w V \{0} w 2 V M τ v 2 V p(τ) v 2 V v V (woraus p(τ) 0 für alle τ folgt) und M τ p(τ) p nimmt sein Minimum in τ 0 = µ 2 /µ 2 1 an und es ist 0 p(τ 0 ) = 1 µ 2 2/µ 2 1 < 1. Aus dem Banachschen Fixpunktsatz folgt nun die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Variationsproblems. Die Abschätzungen ergeben sich aus und f = µ 2 u 2 V a(u, u) = f, u f u V f, v a(u, v) µ 1 u V v V sup = sup sup = µ 2 u V v V \{0} v V v V \{0} v V v V \{0} v V C Anwendung auf das Randwertproblem Wir wollen untersuchen, ob der Satz von Lax-Milgram auf das zum RWP (IV.1) gehörige homogenisierte Variationsproblem (4.10) anwendbar ist. Hierzu müssen die Beschränktheit der Bilinearform a(.,.) (vgl. (IV.6)) und des in (4.10) definierten Funktionals f,. sowie die V -Elliptizität von a(.,.) überprüft werden. Die Beschränktheit von a(.,.) folgt aus a(v, w) = 1 0 [a(x)v (x)w (x) + b(x)v (x)w(x) + c(x)v(x)w(x)]dx a L (0,1) v L 2 (0,1) w L 2 (0,1) + b L (0,1) v L 2 (0,1) w L 2 (0,1) + c L (0,1) v L 2 (0,1) w L 2 (0,1) ( a L (0,1) + b L (0,1) + c L (0,1)) }{{} =:µ 1 v H1(0,1) w H1(0,1)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 36 Für f,. ergibt sich die Beschränktheit aus 1 f, v = f(x)v(x)dx + g 1 v(1) a(g, v) 0 f L 2 (0,1) v L 2 (0,1) + C tr g 1 v H 1 (0,1) + µ 1 g H 1 (0,1) v H 1 (0,1) mit der Konsequenz f f L 2 (0,1) + C tr g 1 + µ 1 g H 1 (0,1) (Man verwechsle nicht die beiden unterschiedlichen aber mit dem gleichen Symbol f bezeichneten Objekte f L 2 (0, 1) als der rechten Seite der Differentialgleichung in (IV.1) und das lineare Funktional f,. V!) Zu überprüfen bleibt die V 0 -Elliptizität von a. Dies werden wir hier nur für den Spezialfall a(x) = 1, b(x) = c(x) = 0 tun. (4.15) Friedrichs-Ungleichung: Es gibt eine Konstante C F > 0 derart, dass v L 2 (0,1) C F v L 2 (0,1) für alle v V 0 Beweis: Sei v C 1 [0, 1] mit v(0) = 0. Aus folgt v(x) = x 0 v (y)dy v(x) Durch Integrieren folgt x v (y) dy 1 0 0 v (y) dy v L 2 (0,1) v L 2 (0,1) C F v L 2 (0,1) Für beliebige v V 0 folgt die Abschätzung aus der Tatsache, dass C 1 [0, 1] bezüglich der H 1 -Norm dicht in H 1 (0, 1) ist. Aus der Friedrichs-Ungleichung folgt v 2 L 2 (0,1) v H 1 (0,1) = v 2 L 2 (0,1) + v 2 L 2 (0,1) (C2 F + 1) v 2 L 2 (0,1)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 37 und damit a(v, v) = v 2 H 1 (0,1) 1 C 2 F + 1 v H 1 (0,1) 2 (4.16) Übung: Gegeben sei das bilineare Funktional a(v, w) = 1 0 [a(x)v (x)w (x) + b(x)v (x)w(x) + c(x)v(x)w(x)]dx des Einführungsbeispiels. Weisen Sie die Elliptizität von a(.,.) in V 0 = {v H 1 (0, 1) : v(0) = 0} (Teil (i)) bzw. in H 1 (0, 1) (Teil (ii)) unter jeder der folgenden Bedingungen nach. (i) Es ist a 0 > 0, C F b L (0,1) < a 0 und c 0 > 0, wobei a 0 = inf x (0,1) a(x), c 0 = inf x (0,1) c(x) und C F die Konstante aus der Friedrichs-Ungleichung ist. (ii) a 0 > 0, b L (0,1) < 2 a 0 c 0 und c 0 > 0. (4.17) Übung: Wandeln Sie das RWP aus Übung (4.7) um in ein homogenisiertes Variationsproblem und überprüfen Sie, ob der Satz von Lax-Milgram anwendbar ist. 4.3 Variationsprobleme in N Dimensionen Wir wollen die Untersuchungen für das eindimensionale Einführungsproblem nun auf N-dimensionale Probleme übertragen. Die Grundlage dafür ist die Green sche Formel (4.18) Greens Formel: Für Gebiete Ω lr N mit glattem Rand Γ, und für u H 2 (Ω), v H 1 (Ω) gilt Ω u u vdx = ( u, v)dx + Ω Γ n vds (wobei auf der rechten Seite (.,.) das übliche Skalarprodukt in lr N beschreibt). Hierbei sind H 1 (Ω) und H 2 (Ω) entsprechend der folgenden Definition gegeben. (4.19) Definition: (a) Sei α = (α 1,..., α N ) ln N 0 ein Multiindex mit α := N i=1 α i, und D α u = α 1 x 1 α N x N u die zugehörige α-ableitung einer Funktion u. Eine Funktion w L 2 (Ω) heißt α-ableitung einer Funktion u L 2 (Ω), falls für alle v C0 (Ω) gilt wvdx = ( 1) α u D α vdx. (IV.21) Ω Ω

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 38 Wir schreiben hierfür kurz w = D α u. (b) H k (Ω) ist der Raum aller Funktionen u L 2 (Ω), für welche verallgemeinerte Ableitungen D α u existieren für alle α mit α k. In der Funktionalanalysis zeigt man: Mit dem Skalarprodukt (u, v) k := D α u D α v dx wird H k (Ω) zum Hilbertraum. Ω α k Bei der Übertragung des eindimensionalen Falles auf N Dimensionen beschränken wir uns auf das folgende Beispiel (wobei Verallgemeinerungen kurz kommentiert werden). (4.20) N-dimensionales RWP: Ω lr N sei Gebiet mit stückweise glattem Rand γ. Es sei Γ = Γ 1 Γ 2 mit Γ 1 Γ 2 =. Wir betrachten das RWP u + cu = f in Ω, u Γ1 = g, u n + pu = q auf Γ 2. (IV.22) Ziel ist zunächst die äquivalente schwache Formulierung. Multiplikation der Differentialgleichung mit einer Testfunktion v und Integration liefert nach Anwendung der Greenschen Formel u ( u, v) + cuvdx + (pu q)vds Γ 2 Γ 1 n vds = Ω Wählen wir als Raum der Testfunktionen V 0 := {v H 1 (Ω) : v Γ1 = 0}, so erhalten wir die Variationsformulierung ( u, v) + cuvdx + Ω (pu q)vds = Γ 2 Es kann gezeigt werden, dass für u C 2 (Ω) und u Γ2 = g, gilt u erfüllt (IV.22) u erfüllt (IV.23) für alle v V. Ω Ω fvdx. fvdx. (IV.23)

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 39 Der Beweis der Richtung ist unmittelbar klar. Die Umkehrrichtung benutzt die Greensche Formel und den Satz von de la Vallée-Poussin, welcher besagt, dass die Bedingung v H0(Ω) 1 : ( u + cu)vdx = fvdx Ω Ω für u C 2 (Ω) hinreichend ist für u + cu = f in Ω. (4.21) Bemerkungen: (a) Die Randbedingung u Γ1 = g in Beispiel (4.20) muss durch einen entsprechenden Ansatz für u sichergestellt werden ( Zwangsrandbedingung ). Dagegen erscheint die Randbedingung auf Γ 2 in der Variationsgleichung ( natürliche Randbedingung ). (b) Ist A = A(x) eine n n-matrix, so führt die partielle Integration von (A u) = f auf die Gleichung ( v, A u)dx (n, A u) vds = fvdx Ω Γ Ω Im zweiten Integral erscheint die konormale Ableitung anstelle der Normalen-Ableitung u/ n. Beim Übergang von der klassischen Formulierung (4.20) des elliptischen RWP s zur homogenisierten Variationsformulierung muss zunächst ein geeigneter Hilbertraum gewählt werden. Wie im eindimensionalen Fall (vgl. Bemerkung (4.9)) wählen wir eine beliebige Funktion û H 1 (Ω), welche die Randbedingung û Γ1 = g erfüllt. Mit dem Ansatz u = u 0 + û erhalten wir die (4.22) Variationsformulierung: Es sei V 0 = {u H 1 (Ω) : u Γ1 = 0}. Gesucht ist u 0 V 0 derart, dass a(u 0, v) = f, v v V 0 (IV.24) mit der bilinearen Abbildung a(.,.) : V 0 V 0 lr, a(u, v) = [( u, v) + cuv]dx + Ω puvds Γ 2

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 40 und dem linearen Funktional f,. V f, v = [( û, v) + cûv]dx Ω (pû q)vds + Γ 2 0, Ω fvdx Um den Satz von Lax-Milgram auf dieses Problem anwenden zu können, müssen die Beschränktheit von a(.,.) und f,. sowie die V 0 -Elliptizität von a(.,.) zu zeigen. Auf die entsprechenden Abschätzungen wollen wir hier verzichten. Ähnlich wie Lemma (4.11) zeigt der folgende Satz die Äquivalenz des Variationsproblems zu einem Extremalproblem. (4.23) Satz: a(.,.) sei V -elliptisch und symmetrisch (d.h. a(u, v) = a(v, u)). Dann minimiert u V das Funktional J(v) := 1 a(v, v) f, v 2 genau dann, wenn a(u, v) = f, v für alle v V. Beweis: : Aus folgt a(w, w) a(u, u) = a(w + u, w u) = 2a(u, w u) + a(w u, w u) J(w) = 1 a(w, w) f, w 2 = 1 a(u, u) f, u + a(u, w u) f, w u + 1 a(w u, w u) J(u). 2 }{{} 2 }{{} =0 0 : J(u) sei minimal. Wir nehmen an, es gebe ein v V mit a(u, v) f, v. O.B.d.A. nehmen wir an, dass a(u, v) < f, v und definieren für t lr w(t) := u + tv. Dann gilt aber für hinreichend kleines t > 0 J(w(t)) = J(u) + t (a(u, v) f, v ) + 1 2 t2 a(v, v) > J(u), was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. (4.24) Übung: Das RWP Lu := u xx (1 + x 2 )u = 1 in ( 1, 1), u( 1) = u(1) = 0

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 41 soll auf dem Raum V 2 gelöst werden, welcher aufgespannt wird durch b 1 (x) = 1 x 2, b 2 (x) = 1 x 4. Finden Sie die Koeffizienten der Näherungslösung ũ, indem Sie (i) das Gleichungssystem (Lũ 1, b i ) L 2 (0,1) = 0 lösen für i = 1, 2, (ii) das zugehörige Energiefunktional minimieren. Wir wollen nun noch kurz zwei Beispiele anführen, welche in Anwendungen wichtig sind und über den oben gewählten Ansatz hinausgehen. (4.25) Beispiel (Biharmonische Gleichung): Auf Ω lr 2 sei das folgende RWP gegeben ( u) = f in Ω, u Γ = u n = 0, Γ welches die Durchbiegung einer fest eingespannten Platte unter einer Last f beschreibt. Aus der Greenschen Formel folgt ( u) vdx = sowie Damit ergibt sich ( u) vdx = Ω Ω Ω Ω ( u, v)dx + Γ ( u) n vds u vdx = ( u, v)dx + u v Ω Γ n ds. Ω u vdx Γ u v n ds + ( u) Γ n vds. Als Funktionenraum wählen wir V = H 2 (Ω) H 1 0(Ω). Für v V gilt v Γ = v/ n Γ = 0 und daher die Variationsformulierung ( u) vdx = Die zugehörige Bilinearform auf V ist a(u, v) = Ω Ω u vdx = Ω u vdx. Ω fvdx.

Prof. Dr. H. Babovsky, Num. PDE, SS 09 42 Man kann zeigen, dass diese V -elliptisch ist. Nach Lax-Milgram existiert daher eine eindeutige Lösung. (4.26) Beispiel (Stokes-Problem): Das Stokes-Problem ist ein vereinfachtes Modell einer inkompressiblen Strömung (Navier-Stokes-Gleichungen, wobei Trägheitskräfte vernachlässigt werden). Im Folgenden sei Ω ein Gebiet in lr n, n {2, 3}. Das RWP für die Strömungsgeschwindigkeit u = (u 1... u n ) T : Ω lr n und den Druck p : Ω lr + lautet u i + p = f i, i = 1...n, in Ω (IV.25) x i n u = xi u i = 0, (IV.26) Ω i=1 u i Γ = 0, i = 1...n. (IV.27) Die Bestimmungsgleichung für p ist implizit durch die Gleichung (IV.26) gegeben. Um die Gleichung (IV.26) zu erzwingen, definieren wir als Funktionenraum V := {u (H0) 1 n u = 0}. Wir werden gleich sehen, dass dadurch die Beschreibung des Drucks unnötig wird. Die Variationsformulierung mit v V führt nämlich auf n ( u + p, v)dx = ( u i, v i )dx p ( v)dx = i=1 n Ω ( u i, v i )dx = i=1 Ω i=1 Ω Die zugehörige Bilinearform lautet demnach n a(u, v) = ( u i, v i )dx i=1 Ω 4.4 Ritz-Galerkin-Approximationen Ω n f i v i. Die Idee der Ritz-Galerkin-Approximation besteht darin, die Variationsgleichung bzw. das Variationsproblem auf endlich-dimensionalen Unterräumen V N zu lösen. Die Aufgabe a(u N, v N ) = f(v N )