HTL Saalfelden Taylorreihen Seite von 3 Wilfried Rohm wrohm@aon.at Taylorreihen Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Approximation von Funktionen durch Taylorpolynome, Integration durch Reihentwicklung, Näherungsformeln in Physik und Technik, Restgliedabschätzung Kurzzusammenfassung Der Artikel zeigt verschiedene Methoden zur Veranschaulichung der Approximation einer Funktion durch Taylorpolynome. Ferner werden folgende Anwendungsbeispiele für Taylorreihen besprochen: * Integration mit Reihenentwicklungen (Beispiel Normalverteilung) * Herleitung und Anwendung von Näherungsformeln in Naturwissenschaft und Technik (Kinetische Energie, Freier Fall mit Luftwiderstand, Kettenlinie) Didaktische Überlegungen / Zeitaufwand: Dieser Artikel ist inhaltlich darauf zugeschnitten, was dem Autor zum Kapitel "Taylorreihen" im HTL-Unterricht wichtig erscheint. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang): Angewandte Mathematik, 4.Jahrgang, alle Abteilungen Mathcad-Version: Mathcad 000 / 00 INHALT : (gewünschten Bereich anklicken!) Die Approximation der Sinusfunktion durch Taylorpolynome Die Approximation einer beliebigen Funktion durch Taylorpolynome (Animation) Integration mit Reihenentwicklungen (Beispiel Normalverteilung) Herleitung / Anwendung von Näherungsformeln: Kinetische Energie, Freier Fall, Kettenlinie Wilfried Rohm 00
HTL Saalfelden Taylorreihen Seite von 3 Die Approximation der Sinusfunktion durch Taylorpolynome p ( x) := x p 3 ( x) := p ( x) p 5 ( x) := p 3 ( x) p 7 ( x) := p 5 ( x) p 9 ( x) := p 7 ( x) x 3 3! x 5 5! x 7 7! x 9 9! p 3 ( x) x p 5 ( x) x p 7 ( x) x p 9 ( x) x 0 x5 0 x5 0 x5 5040 x7 5040 x7 36880 x9 Mathcad ermöglicht die direkte Bestimmung der Taylorpolynome auf Arten: Symbolik-Menü: Term eingeben, auf Variable klicken und Symbolik / Variable / Reihenentwicklung wählen sin( x) msgmapleseries x ( ) 0 x5 O x 6 enthält den Fehlerterm in Abhängigkeit von x^6 aktive Symbolik sin( x) reihe, x, 8 x 0 x5 5040 x7 Entwicklung um x=0 bis maximal zum 7.Grad sin( x) reihe, x = x x 4 4 Die Wahl eines anderen Entwicklungspunktes ist möglich! Das folgende Excel-Sheet zeigt rein numerisch, wie der Fehler bei der Approximation der Sinusfunktion durch die Taylorpolynome mit der Entfernung vom Entwicklungspunkt zu- und mit höherem Grad der Polynome abnimmt. Approximation der Sinusfunktion durch Taylorpolynome (Entwicklungspunkt x0 = 0) x sin(x) p3 p5 p7 p9 0,0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0, 0,099833 0,099833 0,099833 0,099833 0,099833 0, 0,98669 0,98667 0,98669 0,98669 0,98669 0,3 0,9550 0,95500 0,9550 0,9550 0,9550 0,4 0,38948 0,389333 0,38949 0,38948 0,38948 0,5 0,47946 0,47967 0,47947 0,47946 0,47946,04798 0,86605 0,85580 0,86695 0,8660 0,86605,570796,000000 0,9483,00455 0,999843,000004,35694 0,70707 0,76066 0,783 0,7039 0,707407 Wilfried Rohm 00
HTL Saalfelden Taylorreihen Seite 3 von 3 Die Approximation soll nun graphisch demonstriert werden z := 3, 3 0.0.. 3 5 4 3 0 3 4 5 p(x) p(x) p3(x) p4(x) p5(x) sin(x) Diese graphische Veranschaulichung kann auch über eine Animation erfolgen, bei der der Grad des Polynoms über die Frame-Variable bestimmt wird. n := 4 FRAME Für Animationen empfiehlt sich zu setzen: n = *FRAME FRAME bespielsweise von 0-7 taylor_sin( x) := sin( x) reihe, x, n x Dargestellt wird ein Taylorpolynom bis zum Grad n = 3 sin( z) taylor_sin( z) 4 0 4 z Wilfried Rohm 00
HTL Saalfelden Taylorreihen Seite 4 von 3 Dass der Fehler bei der Berechnung mit Hilfe der Taylorreihe mit der Entfernung vom Entwicklungspunkt zu- und mit dem Grad des Polynoms abnimmt, wurde bereits optisch und numerisch gezeigt. Weitere Möglichkeit: Graphische Darstellung des absoluten (gegebenenfalls auch des relativen Fehlers) in Abhängigkeit vom Polynomgrad. z := 5, 4.99.. 5 5 p 3 ( z) sin( z) p 5 ( z) sin( z) p 7 ( z) sin( z) p 9 ( z) sin( z) 0 5 Wahl des Entwicklungspunktes 6 4 0 4 6 Für die Logarithmusfunktion ergeben sich beispielsweise folgende Möglichkeiten: z Mathcad ermöglicht auch unterschiedliche Wahl von Entwicklungspunkten. Dies ermöglicht eine bessere Approximation im gewünschten Bereich. Oder es ermöglicht das Aufstellen der Taylorreihe, wenn etwa die Reihe um x=0 nicht entwickelt werden kann. ln( x) reihe, x, 7 ln( x) Reihenentwicklung um x=0 nicht möglich (Polstelle!) ln( x) reihe, x =, 7 x ( x ) 3 ( x ) 3 4 ( x ) 4 5 ( x ) 5 6 ( x ) 6 ln( x ) reihe, x = 0, 7 x x 3 x3 4 x4 5 x5 6 x6 Graphische Demonstration am Beispiel der Sinusfunktion z :=, 0.0.. n := 6 entwpkt := taylor_sin_0( x) := sin( x) reihe, x = 0, n x 0 x5 taylor_sin_e( x) := sin( x) reihe, x = entwpkt, n x ( x ) 3 6 ( x ) 5 0 sin( z) taylor_sin_0( z) taylor_sin_e( z) 6 4 0 4 6 z Wilfried Rohm 00
HTL Saalfelden Taylorreihen Seite 5 von 3 Die Approximation einer beliebigen Funktion durch Taylorpolynome (Animation) Als Beispiel wird die Exponentialfunktion verwendet, man kann aber diese durch eine beliebige andere bei x=0 entwickelbare Funktion ersetzen. Dazu muß nur f(x) umdefiniert und gegebenenfalls der z-bereich bzw. der Bereich der grafischen Darstellung angepaßt werden n := 5 FRAME f ( x) := e x Taylor_f ( x) := f ( x) reihe, x, n x x z := 5, 4.99.. 5 4 x4 Taylorpolynom bis zum Grad n = 4 0 Animation mit n:=frame und FRAME = 0-0 (beispielsweise) durchführen! 8 6 f( z) Taylor_f( z) 4 4 0 4 4 z Darstellung des relativen Fehlers der Approximation durch das Taylorpolynom 00 Polynomgrad n = 4 f( z) Taylor_f( z) f( z) 50 4 0 4 z Wilfried Rohm 00
HTL Saalfelden Taylorreihen Seite 6 von 3 Integration mit Reihenentwicklungen (Beispiel Normalverteilung) Eine wichtige Anwendung von Reihenentwicklungen bezieht sich auf die (allgemeine) näherungsweise Berechnung von Integralen, für welche keine Stammfunktion existiert. (z.b. elliptische Integrale,...) Das Prinzip wird hier an Hand der Ermittlung der normierten Normalverteilung rechnerisch und graphisch demonstriert. Integrale der Dichtefunktion können als Wahrscheinlichkeiten interpretiert werden. g_nv( x) := x e Die Dichtefunktion der normierten Normalverteilung Diese Funktion ist nicht elementar integrierbar. Daher wird die e-funktion in eine Reihe entwickelt. Dies kann direkt geschehen oder durch die Reihenentwicklung von e u x, indem u = anschließend substituiert wird. e x reihe, x, x 8 x4 48 x6 384 x8 3840 x0 e u reihe, u, 6 ersetzen, u = x x 8 x4 48 x6 384 x8 3840 x0 Wir verwenden das Polynom 0.Grades zur näherungsweisen Berechnung des Integrals in den Grenzen a und b nv( a, b) := b a x 8 x4 48 x6 384 x8 x 3840 x0 d Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Meßwert innerhalb des Bereiches µ-σ < x < µσ befindet, entspricht dem Integral dieser Funktion mit den Grenzen a=- und b=. nv(, ) = 0.686884 Im Vergleich mit der in Mathcad eingebauten Funktion für die normierte Normalverteilung sehen wir eine Abweichung erst bei der 6.Dezimalstelle knorm( ) knorm( ) = 0.6868949 Für den graphischen Vergleich der Normalverteilung mit ihrer Näherung durch Reihenentwicklung definieren wir uns eine "angenäherte Dichtefunktion" gnv_n(x). Der Grad der Näherung wird neben der Graphik bestimmt!! g_nv_n( x) := x e reihe, x, grad x 4 x 4 6 x 6 96 76 z := 3,.99.. 3 Wilfried Rohm 00
HTL Saalfelden Taylorreihen Seite 7 von 3 g_nv( z) g_nv_n( z) 0.5 Polynomgrad kleiner als: grad 3 0 3 z Herleitung / Anwendung von Näherungsformeln Exakte Zusammenhänge physikalischer Größen werden oft durch komplizierte bzw. numerisch schwer handbare Formeln beschrieben. Zur tatsächlichen Berechnung werden - insbesondere in der Technik - häufig einfacher zu handhabende Näherungsformeln verwendet. Diese erhält man allgemein dadurch, dass man die exakte Formel (Funktion) in der Nähe des interessierenden Wertes in eine Taylor-Reihe entwickelt und nach dem ersten, zweiten oder dritten Glied abbricht..beispiel: Berechnung der kinetischen Energie eines Körpers. Nach A.Einstein gilt: E kin = m c m 0 c = m 0 v c c m 0 c Der folgende Ausdruck kann nun in eine Taylorreihe um x=0 entwickelt werden. m0... Ruhemasse c... Lichtgeschwindigkeit v... Geschwindigkeit des Körpers m... Masse des Körpers bei der Geschwindigkeit v x reihe, x = 0, 8 x 3 8 x4 5 6 x6 35 8 x8 Ersetzen wir x durch v/c und setzen wir in die Formel für die kinetische Energie ein. Wir erhalten: m 0 x c m 0 c reihe, x, 8 ersetzen, x = v c m 0 v 3 m 0 8 c v 4 5 m 0 6 c 4 v 6 Daher erhält man für v<<c die Formel aus der Newton schen Mechanik: m 0 v E kin = bzw. als nächste Näherung für "kleines" v/c m 0 v E kin = 3 8 m 0 v v c Wilfried Rohm 00
HTL Saalfelden Taylorreihen Seite 8 von 3.Beispiel: Freier Fall mit Luftwiderstand Das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall mit Luftwiderstand lautet s( t) = v s ln cosh g t g v s v s... maximal erreichbare Geschwindigkeit (als Maß für den Luftwiderstand g... Erdbeschleunigung Wir versuchen, eine Näherungsformel über die Reihenentwicklung des transzedenten Termes zu erhalten: ln( cosh( x) ) reihe, x, 8 x x4 45 x6 v s g ln( cosh( x) ) reihe, x, 8 ersetzen, x = g t v s g t v s g 3 t 4 4 45 v s g 5 t 6 g t Für kleines x = kann als eine entsprechende Näherung verwendet werden. Dies ist der Fall für geringen v s Luftwiderstand (=großes v s ) und / oder für kleines t (also für den "Anfang" des freien Falles). Man erhält die bereits Galilei bekannte Formel: beziehungsweise als "nächste" Näherung für kleines "x": g s( t) = t s( t) = g t g 3 t 4 v s 3.Beispiel: Die Kettenlinie y a cosh x = a Gleichung der Kettenlinie Die Größe a soll aus der gegebenen halben Spannweite l und dem Durchhang h bestimmt werden. Eine Bestimmungsgleichung für a erhält man über die Koordinaten des Punkte P (siehe Skizze): a h a cosh l = a Diese Gleichung ist aber transzendent und kann nur näherungsweise gelöst werden (Newtonverfahren,...). Wir versuchen aber, eine allgemeine Näherungslösung für die Gleichung über die Reihenentwicklung des rechten Terms zu erhalten: Wilfried Rohm 00
HTL Saalfelden Taylorreihen Seite 9 von 3 a cosh( x) reihe, x, 4 ersetzen, x = l a a a l a h = a l auflösen, a a l h Man erhält also: a = l h l Diese Näherung ist natürlich nur zulässig, wenn l klein im Vergleich zu a ist, bzw. <<. a Wie aus der Gleichung für a hervorgeht, ist dies der Fall, wenn h << l ist, das bedeutet: der Durchhang muß klein im Vergleich zur Spannweite sein. Das ist beispielsweise bei Hochspannungsleitungen gegeben. Setzen wir nun den angenäherten Wert für a in die Definitionsgleichung der Kettenlinie ein, so erhalten wir: y a cosh x l = ersetzen, a = y = a h l cosh x h l h Nun wird in der Praxis auch diese Gleichung für h<<l oft durch den Anfang der Reihe dargestellt: l h cosh( y) reihe, y, 3 ersetzen, y = x l h l h l h x Damit erhalten wir schließlich für die angenäherte Gleichung der Kettenlinie eine nach oben geöffnete Parabel mit l dem Scheitel in der Höhe a = h y = l h l h x Restgliedabschätzung für y = l h cosh h l x cosh h l x reihe, x 5, h l 4 x h 4 3 l 8 x 4 Der Abbruch der Reihe erfolgte nach dem.glied. Daher gilt für das Restglied: Daher gilt für 4das Restglied d f ( δ x) 4 dx R 4 ( x) = x 4 4! mit 0<δ< Da cosh(x) für x>0 monoton steigend ist, kann das Restglied mit δ= und x=l nach oben abgeschätzt werden: Wilfried Rohm 00
HTL Saalfelden Taylorreihen Seite 0 von 3 R 4_max ( l) 4 d l cosh h 4 x l x d = x 4 ersetzen, x = l R 4_max ( l) = h 4! 3 l h 3 cosh l h Die Abschätzung des Restgliedes ergibt also folgenden maximalen Fehler bei der Anwendung der "Parabelgleichung" R max ( h, l) := 3 l h 3 cosh l h Beispiel: l := 00m h := 0m R max ( h, l) = 0.034 m Wilfried Rohm 00
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HTL Saalfelden Taylorreihen Seite von 3 x 8 68 x 0 7680 Wilfried Rohm 00
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