O. Alaya, R. Bauer M. Fetzer, K. Sanei Kashani, F. Kissling B. Krinn, J. Schmid 9. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 3 Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: π Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Aufgabe H 9. Uneigentliche Integrale Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale konvergieren und berechnen Sie gegebenenfalls deren Werte. π + (a) cos(x) d x (b) x + (x + ) d x (c) x + 4x + 4x + d x (d) x ln(x) d x Lösungshinweise hierzu: (a) Es gilt ] cos(x) d x ln tan(x/) + tan(x/). Nach Aufgabe H 7 b). Daher konvergiert π ] cos(x) d x ln tan(x/) + a a π tan(x/) ln tan(a/) + a π tan(a/) ln tan() + tan() ln tan(a/) + tan(a/) a π nicht, da tan(a/) gegen geht. (b) Partialbruchzerlegung mit dem Ansatz führt auf x (x + ) d x Damit gilt + x (x + ) A + Bx x + + C + Dx (x + ) x + (x + ) d x ( + x )] x + x ] x + x (x + ) d x a + ( arctan(a) a ) π a + 4 nach 3.4.4
9. Gruppenübung Höhere Mathematik und, da die Funktion symmetrisch ist, + (c) Partialbruchzerlegung mit dem Ansatz x (x + ) d x π führt auf x + 4x + 4x + A x + + Bx + C x + 3x + x + 4x + 4x + d x x + x + 3 x + 3x + d x ln x + ln x + 3x + ]. Damit das Integral konvergiert, müssen die Teilintegrale und + alle konvergieren. Jedoch existiert x + 4x + 4x + d x a x + 4x + 4x + d x x + 4x + 4x + d x x + 4x + 4x + d x x + 4x + 4x + d x ln x + ln x + 3x + ] a ( ln a + ln a + 3a + ) ln() + ln() a ( ) ln a + a a + 3a + nicht.
9. Gruppenübung Höhere Mathematik (d) Es gilt Also ist x ln(x) d x ] x ln(x) x x x ln(x) ] 4 x. x ln(x) d x a x ln(x) ] 4 x a ) ( a 4 4 + a a ln(a). ( a ln(a) 4 a Nach.4.8 gilt a ln(a). Damit gilt auch a ln(a). Insgesamt ergibt a a sich also x ln(x) d x π 4. ) Aufgabe H 3. Uneigentliche Integrale Untersuchen Sie auf Konvergenz: + x + (a) + x + d x (b) Lösungshinweise hierzu: (a) Es ist + + x + x + 3x + e x d x (c) + /x (x + )/( + x + ). + d x (d) k k(ln k) x + Also haben + x + d x und d x dasselbe Konvergenzverhalten bei x +. Da letzteres Integral wegen β + ln(x)] β + divergiert, divergiert auch ersteres. (b) Wir definieren Dann gilt Und das Integral (x + 3x + )/e x x + g(x) g : R R: x e x. + g(x) d x x + 3x + x + e x + e x d x
9. Gruppenübung Höhere Mathematik konvergiert. Da beide Funktionen im Intervall (, ) positiv sind, folgt nach 3.7. + x + 3x + die Konvergenz von d x. e x (c) Da sowohl als auch + uneigentliche Stellen des Integrals + d x sind, ist die Konvergenz des Integrals + äquivalent zur Konvergenz der beiden Integrale und +. Wir wollen die Divergenz von Mit l Hôpital wird x + Also haben x / x + d x und d x belegen. x x + /(x + ). x d x dasselbe Konvergenzverhalten bei. Und letzteres divergiert wegen α + x ] α +. Also divergiert auch ersteres. + Alles in allem zeigt dies die Divergenz von d x Alternativlösung mit Stammfunktion: Es gilt d x ] + x x ( + x ) d x ] + x x + x d x x x ] Das Integral also x + d x konvergiert nicht, da mit l Hôpital x x + x /( + x ),, x + x
9. Gruppenübung Höhere Mathematik und da Daher konvergiert auch (d) Nach 3.8. haben Integral k x + x. + k(ln k) und d x nicht. d x dasselbe Konvergenzverhalten. Das x(ln x) x(ln x) d x ln() u ln() u d u ] ln() konvergiert. (Hierbei ist aber natürlich k k(ln k) ln()!) Aufgabe H 3. Γ-Funktion und Stirling-Formel Die Γ-Funktion (siehe 3.7.) ist definiert durch Γ: (, + ) : R: x + e t t x d t. (a) Zeigen Sie, dass Γ für alle x (, + ) die Gleichung Γ(x) (x )Γ(x ) erfüllt. (b) Folgern Sie, dass für jede natürliche Zahl n die Gleichung Γ(n) (n )! gilt. Skizzieren Sie den Graphen von Γ. (c) Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n > gilt: n n ln(x ) d x ln(k) k n ln(x) d x ) n+ ( n ) ( n n + (d) Verifizieren Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt: e n! e e e Hinweis: Dies ist eine (leicht vereinfachte) Version der sogenannten Stirling-Formel, die oft in der Form n! πn ( ) n n e auftaucht. Lösungshinweise hierzu:
9. Gruppenübung Höhere Mathematik (a) Γ(x) + + (x ) t x e t d t e t t x ] + + + e t (x )t x d t t + t x e t d t (x )Γ(x ). (b) Wir beweisen die Formel mit vollständiger Induktion: IA Der Werte von Γ() beträgt Γ() + IH Sei Γ(n) (n )! IS e t d t e t] + ( )!. Γ(n + ) nγ(n) nach (a) n(n )! nach IH n! (c) Wir berechnen Untersumme der Funktion f :, n] R: x ln(x). Bezüglich der Partition P : { k N k n } des Intervalls, n]: S(f, P ) n ln(k) k n inf { ln(x) x k, k + ] } ((k + ) k) k Wir berechnen Obersumme der Funktion (da der Logarithmus monoton strigend ist) g :, n] R: x ln(x ) bezüglich der Partition Q : { k N k n } des Intervalls, n]:: S(g, Q) n sup { ln(x ) } x k, k + ] ((k + ) k) k n ln(k) k (wieder aufgrund der Monotonie)
9. Gruppenübung Höhere Mathematik (d) n+ ln(x ) d x (x ) ln(x ) (x )] n+ n ln(n) n + e n ln(n) n+ n ln(k) k n k n+ ln(x) d x ln(k) x ln(x) x] n+ n ln(k) (n + ) ln(n + ) (n + ) + k e n k ln(k) e (n+) ln(n+) (n+)+ n n e n e e ln(n!) (n + ) (n+) e (n+) e ( n ) ( ) n n+ n + e n! e e e Aufgabe H 3. Graph einer Funktion Wir betrachten f : D R: (x, y) 4 x y. (a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D R und den Wertebereich W von f. (b) Zeichnen Sie die achsenparallelen Schnitte für x, y, sowie die Niveaulinien zur Höhe c für c {, /,, }. (c) Skizzieren Sie den Graph Γ(f) und markieren Sie die Menge S : {(x, y, z) R 3 (x, y) D, y x, z f(x, y)}. Lösungshinweise hierzu: (a) x und 4 x y 4 x W, ] (b) Niveaulinien achsenparallele Schnitte (c) Graph Γ(f) und Menge S
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