Vergleichende Anwendung von Gauß- und Lagrange schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren

Dipl.-Ing. Dr. Dieter Mayer Vergleichende Anwendung von Gauß- und Lagrange schen Partikelmodell zur Ausbreitung von Viren DIPLOMARBEIT Zur Erlangung des akademischen Grades Magister der Naturwissenschaften Institut für Meteorologie und Geophysik Universität Wien Betreuer: A. Univ. Prof. Mag. Dr. Franz Rubel Oktober 2006

Für mein Engelchen Tanja ii

Inhaltsverzeichnis Danksagung Abstract Zusammenfassung v vii ix I Einleitung 11 1 Übersicht 13 2 Überblick über die Ausbreitungsmodelle 17 2.1 Definition und Rückblick......................... 17 2.2 Die Rolle von Tracer-Experimenten................... 17 2.3 Gauß sche und Lagrange sche Ausbreitungsmodelle.......... 18 2.3.1 Prognostische und diagnostische Modelle............ 19 2.4 Anwendungsgebiete von Ausbreitungsmodellen............. 19 2.4.1 Ausbreitung von Schadstoffen.................. 19 2.4.2 Ausbreitung von Geruchsstoffen................. 20 2.4.3 Ausbreitung von Bioaerosolen (Viren).............. 21 II Theorie 23 3 Mathematische Grundlagen der Ausbreitungsmodelle 25 3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell................... 25 3.1.1 Parametrisierung der Diffusionsparameter........... 32 3.2 Das Lagrange sche Partikelmodell.................... 36 3.2.1 Die Parametrisierung der Turbulenzgrößen........... 39 3.3 Zusammenhang zwischen den beiden Modellen............. 41 4 Die Berechnung der Ausbreitungsklassen 45 5 Die Maul- und Klauenseuche 49 iii

6 Berechnung / Abschätzung fehlender meteorologischer Parameter 51 6.1 Berechnung der Gesamtbedeckung.................... 51 6.2 Berechnung der relativen Luftfeuchtigkeit................ 52 7 Statistische Methoden 55 7.1 Die Punkt-Moment-Korrelation..................... 55 7.2 Der Spearman sche Korrelationskoeffizient............... 56 7.3 Die Partialkorrelation........................... 57 7.4 Die multiple Regression.......................... 59 7.5 Die Varianzanalyse............................ 60 III Daten und Ergebnisse 63 8 Bestimmung der Ausbreitungsklassen aus empirischen Daten 65 8.1 Der Datensatz............................... 65 8.2 Statistik der Ausbreitungsklassen.................... 66 8.3 Relevanz der Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken....... 72 9 Vorhersagefehler der Risikodistanzen 75 9.1 Datensatz des Lokal Modells des deutschen Wetterdienstes...... 75 9.2 Bestimmung der Risikodistanzen.................... 76 9.3 Statistik des Vorhersagefehlers der Risikodistanzen.......... 77 9.4 Güte der Vorhersagbarkeit der Ausbreitungsklassen.......... 82 10 Beispiel einer MKS-Ausbreitung mit einem homogenen Windfeld 85 Literatur 88 Lebenslauf 92 iv

Danksagung Diese Diplomarbeit wurde am Department für Naturwissenschaften (DND) an der Veterinärmedizinischen Universität in Wien durchgeführt. Am Ende dieser Arbeit möchte ich die Gelegenheit nutzen, all jenen zu danken, die zu ihrem Gelingen beigetragen haben. Mein besonderer Dank gebührt A.Univ.-Prof. Dr. Franz Rubel für den Vorschlag dieses Diplomarbeitsthemas und die fachkundige Betreuung. Für die Benutzung der Infrastruktur des Instituts für Medizinische Physik und Biostatistik möchte ich mich beim Department-Sprecher Herrn Univ.Prof. Dr. Dipl.- Ing. Gerhard Windischbauer recht herzlich bedanken. Ebenfalls bedanken möchte ich mich bei Austro Control - Österreichische Gesellschaft für Zivilluftfahrt mbh und da vor allem bei Dr. Markus Kerschbaum und Dr. Hans Kohlgruber für die sehr umfangreichen Messdaten. Meiner Freundin Tanja Kiennast gilt mein Dank für das geduldige und gewissenhafte Korrekturlesen dieser Diplomarbeit. v

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Abstract The main focus of this work is directed to the Gaussian and Lagrangian dispersion models, applied to the spread of foot-and-mouth disease-virus. Assuming simplified meteorological conditions, for a spontanously and alternatively continuously emitting point source, the diffusion equation is solved analytically in order to derive the Gaussian dispersion model. Furthermore a Lagrangian dispersion model is presented and the relations to the Gaussian model are pointed out. A major role plays the estimation of the dispersion parameters and the turbulent wind speed components. The diffusion-caused dispersion of particles depends on the stability of the atmosphere. By means of an extensive set of measuring data, the relations between stability classes and meteorological parameters are described and the secondary role of the cloud base of low clouds is discovered. A statistical analysis of the stability classes completes this subject. A further object of this work is the quality of the predictability of the risk-distance for cattle, sheep and swines in the case of a foot-and-mouth disease outbreak. For this purpose, stability classes and thereby the risk-distances, computed by measured data on the one hand and by predicted data on the other hand, are compared. vii

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Zusammenfassung Der Schwerpunkt dieser Arbeit ist den Gauß schen und Lagrange schen Ausbreitungsmodellen, angewandt auf die Ausbreitung der Maul- und Klauenseuche-Viren, gewidmet. Für eine spontan bzw. kontinuierlich emittierende Punktquelle wird unter der Annahme vereinfachter meteorologischer Verhältnisse die Diffusionsgleichung analytisch gelöst und damit das Gauß sche Ausbreitungsmodell hergeleitet. Alternativ dazu wird ein Lagrange sches Ausbreitungsmodell vorgestellt und auf die Zusammenhänge mit dem Gaußmodell eingegangen. Ein Hauptaugenmerk wird dabei auf die unterschiedlichen Parametrisierungen der Dispersionsparameter bzw. der turbulenten Windfluktuationen gelegt. Die diffusionsbedingte Ausbreitung von Partikeln ist eine Funktion der atmosphärischen Stabilität. In dieser Arbeit wird anhand eines umfangreichen Satzes an Messdaten gezeigt, wie diese Stabilitätsklassen auf meteorologische Messgrößen zurückgeführt werden können und welche untergeordnete Rolle dabei die Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken spielt. Eine statistische Analyse dieser Stabilitätsklassen ergänzt diesen Themenbereich. Eine zentrale Rolle nimmt die Güte der Vorhersagbarkeit der Risikodistanzen für Rinder, Schafe und Schweine im Falle eines Maul- und Klauenseuche-Ausbruchs ein. Für diesen Zweck werden die Stabilitätsklassen und damit die Risikodistanzen, zum einen aus meteorologischen Messwerten und zum anderen aus prognostizierten meteorologischen Daten, berechnet und verglichen. ix

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Teil I Einleitung 11

Kapitel 1 Übersicht Die Ausbreitung von Substanzen in der Atmosphäre, seien es nun Schadstoffe aus der Industrie, Geruchsstoffe, radioaktive Partikel oder Bioaerosole wie die im Folgenden betrachteten Viren, erfolgt einerseits mit der mittleren Strömung (Wind), andererseits auch senkrecht dazu durch turbulente Diffusion. Die Grundlage der Ausbreitungsmodelle bildet die turbulente Diffusionstheorie. Für diese Theorie existieren drei von der Methodik zwar unterschiedliche, aber in den Ergebnissen sehr ähnliche Zugänge (Kolb 1981). Dabei handelt es sich um den auf H. Fick zurückgehenden Gradientansatz, auch K-Theorie genannt, den von Taylor stammenden statistischen Ansatz und zuletzt einen auf Ähnlichkeitstheorie basierenden Ansatz. Für die hier behandelte Ausbreitung wird der durch statistische Überlegungen ergänzte Gradientansatz herangezogen, aus welchem schließlich das Gauß sche Ausbreitungsmodell hervorgeht. Auf die Unterscheidung der Ausbreitungsmodelle in die Lagrange schen und die Gauß schen Modelle so wie einige Anwendungsbeispiele wird in Kapitel (2) dieser Arbeit eingegangen. Der mathematische Hintergrund dieser Diplomarbeit, dazu zählen eine Herleitung des Gauß schen Ausbreitungsmodells, eine Einführung in das Lagrange sche Partikelmodell, eine kurze Präsentation der verwendeten statistischen Methoden, die Berechnung der Gesamtbedeckung aus den Bedeckungen unterschiedlicher Bewölkungsgruppen sowie die Berechnung des Sonnenwinkels, ist Gegenstand von Teil (II). Die Konzentration einer Substanz in Raum und Zeit wird durch die Transportgleichung beschrieben. Abgesehen von den Raumkoordinaten ist die Konzentration der betrachteten Substanz von der mittleren Windgeschwindigkeit, von der Quellstärke sowie der Höhe der Quelle über dem Boden und was für die weiteren Betrachtungen besonders wesentlich ist, von den Diffusionskoeffizienten abhängig. Der Auswertung dieser Differentialgleichung ist für punktförmige spontan bzw. kontinuierlich emittierende Quellen Abschnitt (3.1) gewidmet. Diese Koeffizienten steuern die Ausweitung der Isoflächen der Substanzkonzentration quer zur mittleren Strömungsrichtung (z.b. Ausweitung der Rauchfahne aus Industrieschornsteinen). Die Konzentration ist normalverteilt, die Standardabweichungen (Streuparameter) werden von den Diffusionskoeffizienten determiniert. 13

14 1. Übersicht Turner (1964) und Pasquill (1971) ist es gelungen, die Streuparameter empirisch zu approximieren. Abhängig vom Turbulenzzustand nehmen die dabei auftretenden Variablen unterschiedliche Werte an. Weitere Parametrisierungen der Streuparameter werden in Abschnitt (3.1.1) vorgestellt. Auf das Lagrange sche Ausbreitungsmodell wird im Abschnitt (3.2) eingegangen, die Parametrisierung der damit verbundenen Turbulenzgrößen ist Gegenstand von Abschnitt (3.2.1). Die Frage nach dem Zusammenhang der Streuparameter beim Gauß schen mit den Turbulenzparametern beim Lagrange schen Ausbreitungsmodell, homogene und stationäre Bedingungen vorausgesetzt, wird in Abschnitt (3.3) behandelt. Klassifiziert werden die Turbulenzzustände durch sogenannte auf die Stabilität der atmosphärischen Schichtung bezogenen Ausbreitungsklassen. In die hier verwendeten Turner-Ausbreitungsklassen gehen meteorologische Größen wie Windgeschwindigkeit, Gesamtbedeckung und die Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken, sowie die astronomische Größe Sonnenhöhe ein. Kennt man also die erwähnten Größen, so ist man in der Lage, die Ausbreitungsklassen und folglich die Streuparameter zu bestimmen. Diese Thematik wird in Kapitel (4) behandelt. Auf Details der Maul- und Klauenseuche wird in dieser Arbeit nur so weit eingegangen, wie dies zum unmittelbaren Verständnis der Ausbreitung von Bioaerosolen bzw. Viren notwendig ist. Informationen dazu sind in Kapitel (5) zu finden, für eine ausführlichere Darstellung wird auf Schachner (2005) verwiesen. Für die Bestimmung der Ausbreitungsklassen ist die Kenntnis der Gesamtbedeckung und der relativen Luftfeuchtigkeit erforderlich. Wie die Gesamtbedeckung aus den Bedeckungen der einzelnen Wolkenschichten ermittelt und die Luftfeuchtigkeit auf Temperatur, Taupunkt und Luftdruck zurückgeführt wird, ist Gegenstand von Kapitel (6). Der mathematische Teil wird durch Kapitel (7) mit der Behandlung der in dieser Arbeit verwendeten statistischen Methoden abgeschlossen. Ausführlich behandelt werden an dieser Stelle die Konzepte Korrelation, multiple Regression und Varianzanalyse sowie die damit verbundenen Signifikanztests. Mit den zur Verwendung gekommenen Datensätzen und der Auswertung dieser Daten befasst sich Teil (III) dieser Arbeit. In Kapitel (8) befinden sich Informationen zu den freundlicherweise von Austro Control zur Verfügung gestellten Messwerten, zur Abhängigkeit der Ausbreitungsklassen von den einzelnen meteorologischen Größen, sowie zur Relevanz der Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken. Will man die Ausbreitung einer Substanz vorhersagen, so setzt dies die Prognose aller relevanten meteorologischen Größen voraus. Zwar sind Windgeschwindigkeit und Gesamtbedeckung in meteorologischen Vorhersagemodellen enthalten, die Höhe der Wolkenbasis der niedrigen Wolken wird in den operationellen Modellen jedoch nicht bestimmt. Es gilt nun herauszufinden, wie stark sich die Höhe der Wolkenuntergrenze auf die Ausbreitungsklassen auswirkt und gegebenenfalls eine Methode zu finden, diese Größe auf andere vorhersagbare Größen mittels statistischer Methoden zurückzuführen. Um diese Frage zu beantworten, wur-

1. Übersicht 15 den die Ausbreitungsklassen für sechs österreichische Städte für das Jahr 2004 in Intervallen von 30 Minuten, basierend auf Messwerten von Austro Control, berechnet und die Abhängigkeit von der Höhe der Wolkenbasis untersucht. Es wird gezeigt, dass die Ausbreitungsklassen in den meisten Fällen von der Höhe der Wolkenuntergrenze gänzlich unabhängig sind und in den verbleibenden Fällen durch multiple Regression aus Luftfeuchtigkeit und Gesamtbedeckung abgeschätzt werden können. Einer der Kernpunkte dieser Diplomarbeit ist die Untersuchung des Vorhersagefehlers der Risikodistanz bezüglich einer Infektion mit der durch den Picornavirus übertragenen Maul- und Klauenseuche (MKS). Unter dem Begriff Risikodistanz versteht man dabei jenen Abstand von der Virenquelle, bis zu dem eine Infektion erfolgen kann. Gegenübergestellt werden die mit Hilfe eines Wettermodells vorhergesagten und tatsächlich auftretenden Distanzen von der Quelle, bei welcher die Virenkonzentration auf einen für jede Tierart spezifischen Grenzwert abgenommen hat. Die Ergebnisse der Gegenüberstellung werden in Kapitel (9) vorgestellt. Das abschließende Kapitel (10) zieht einen Vergleich der mittels eines Gauß schen und eines Lagrange schen Ausbreitungsmodells bestimmten Risikogebiete für Rinder, Schafe und Schweine bei einem simulierten Ausbruch der Maul- und Klauenseuche bei räumlich homogenen und zeitlich konstanten Wind- und Turbulenzbedingungen.

16 1. Übersicht

Kapitel 2 Überblick über die Ausbreitungsmodelle 2.1 Definition und Rückblick Ausbreitungsmodelle haben das Ziel, die räumlichen und zeitlichen Konzentrationsverteilungen von aus Quellen stammenden, mit dem Wind transportierten Gasen, Schadstoffen, nuklearen Partikel oder auch Viren, zu bestimmen. Die Geschichte der Ausbreitungsrechnung reicht bis in die frühen 20er Jahre des vergangenen Jahrhunderts zurück, als britische Wissenschafter versuchten, die Ausbreitung chemischer Giftstoffe bei militärischen Einsätzen abzuschätzen (McDonald 2003). Die ersten wegweisenden theoretischen Arbeiten zur Diffusion wurden von Taylor (1921) und die grundlegenden Forschungen bezüglich der von der Stabilität abhängigen Dispersionsparameter von Gifford (1960), Pasquill (1961) und Turner (1994) durchgeführt. 2.2 Die Rolle von Tracer-Experimenten Neben den theoretischen Arbeiten zur Ausbreitung von Partikeln wurden immer wieder so genannte Tracer-Experimente durchgeführt. Dabei handelt es sich um eine kontrollierte Emission leicht detektierbarer Partikel wie beispielsweise Tetrachlorkohlenwasserstoff (CCl 4 ), welche sich mit dem Wind unter Einfluss der Turbulenz ausbreiten und die anschließende Bestimmung der räumlichen Konzentrationsverteilung am Boden erlauben. Diese Experimente verfolgen dabei zwei unterschiedliche Ziele: einerseits werden solche Experimente immer wieder herangezogen, um die Dispersionsparameter für unterschiedliche meteorologische Bedingungen abzuschätzen und andererseits um unterschiedlich parametrisierte Ausbreitungsmodelle zu validieren. Als Beispiel für die erste Anwendung kann das Tracer-Experiment vom Kernforschungszentrum Karlsruhe (1969) erwähnt werden, Details dazu sind in Schachner (2005) zu finden. Zur Validierung eines Gauß schen Ausbreitungsmodells mit zwei unterschiedlichen Parametrisierungen der Dispersionsparameter wurde für die Simulation der Ausbreitung 17

18 2.3 Gauß sche und Lagrange sche Ausbreitungsmodelle von Geruchsstoffen ein Tracer-Experiment mit dem Isotop Krypton-85 durchgeführt (Lung 2002). Auf die Ergebnisse dieses Freifeldversuchs wird in Abschnitt (3.3) noch einmal eingegangen. Für die Behandlung der Ausbreitung von Partikeln sind zwei Komponenten von Bedeutung. Zum einen ist die Kenntnis des Grundstromes, zum anderen die der Turbulenz (Windfluktuation) notwendig. Informationen über den Grundstrom werden von diagnostischen oder prognostischen Modellen zur Verfügung gestellt, während die Turbulenz, diese ist für die Ausbreitung senkrecht zum Grundstrom verantwortlich, parametrisiert werden muss. Die Kombination dieser beiden Konzepte in einem Ausbreitungsmodell unterscheidet die Gauß schen von den Lagrange schen Ausbreitungsmodellen. 2.3 Gauß sche und Lagrange sche Ausbreitungsmodelle Erstere beschreiben die Konzentrationsverteilungen als geschlossene Funktionen des Ortes und werden ausführlich in Abschnitt (3.1) behandelt. Als Eingangsparameter werden abgesehen von den Quelldaten noch die Windgeschwindigkeit und die Windrichtung, sowie die Diffusionsparameter als Maß für die turbulente Diffusion lateral und vertikal zur Ausbreitungsrichtung benötigt. Dieses Modell hat den Vorteil, nicht sehr rechenintensiv zu sein, allerdings sind die Anwendungsgebiete auf homogene und stationäre Windfelder und auf eben gegliedertes Gelände beschränkt. Dennoch existieren Ansätze zur Verwendung modifizierter Gaußmodelle für gering ausgeprägte Topographien (Kolb 1981). Erstmals hergeleitet wurde das Gauß sche Ausbreitungsmodell von Sutton (1947). Den Gauß schen Ausbreitungsmodellen stehen die Lagrange schen Ausbreitungsmodelle gegenüber. Bei Kenntnis der Grundströmung und der Windfluktuationen, diese können durchaus raum- und zeitabhängig sein, wird eine Reihe von Trajektorien simuliert und von der Aufenthaltsdauer der Teilchen in den Zellen des dafür diskretisierten Raumes auf die Konzentrationsverteilung geschlossen. Die Einschränkungen der Gauß schen Ausbreitungsmodelle werden von den Lagrange schen Ausbreitungsmodellen nicht geteilt. Komplexe Topographien, räumlich inhomogene und zeitliche variable Wind- und Turbulenzfelder, also realitätsnahe Verhältnisse, lassen sich mit den Lagrange schen Ausbreitungsmodellen handhaben. Auf die mathematische Formulierung und die Parametrisierung der Turbulenzgrößen wird ausführlich in Abschnitt (3.2.1) eingegangen.

2.4 Anwendungsgebiete von Ausbreitungsmodellen 19 2.3.1 Prognostische und diagnostische Modelle Die Berechnung der Grundströmung und teilweise auch der zur Parametrisierung der Turbulenz erforderlichen meteorologischen Parameter kann entweder mit Hilfe eines prognostischen oder eines diagnostischen Modells erfolgen. Von einem prognostischen numerischen Wettervorhersagemodell spricht man, wenn von einem atmosphärischen Anfangszustand ausgehend, die Gleichungen für die Erhaltung der Masse, der Energie und des Impulses fortlaufend integriert werden und die nicht direkt erfassbaren subskaligen Phänomene parametrisiert werden. Prognostische Modelle können weiter in hydrostatische und nicht-hydrostatische Modelle unterschieden werden. Erstere gehen von einem Gleichgewicht zwischen der vertikalen Druckgradientkraft und der Gravitationskraft aus und vernachlässigen damit vertikale Beschleunigungen, während diese bei letzteren mitberücksichtigt werden. Es liegt in der Natur der Sache, dass nicht-hydrostatische Modelle bezüglich des Rechenaufwandes aufwendiger sind. Sie werden erst seit kürzerer Zeit operationell gerechnet. Den prognostischen Modellen stehen die diagnostischen Modelle gegenüber. Diese simulieren zeitlich konstante Gleichgewichtszustände und verfügen über zweierlei Zugänge. Der erste führt über die Gleichgewichtslösungen der linearisierten Navier- Stokes Gleichungen (Jackson 1975), der zweite über die massenkonsistente Interpolation eines Initialwindfeldes unter Berücksichtigung der Topographie. Abhängig vom Modell stammt das Initialwindfeld von unregelmäßig verteilten Beobachtungen (Bodenstationen und Radiosonden) oder von Vorhersagen an den Punkten eines Gitters mit geringerer Auflösung (Sherman 1978). Eine Methode zur massenkonsistenten Interpolation eines Windfeldes von einem gering auf ein hochauflösendes Gitter unter Berücksichtigung der Topographie wird z.b in Magnusson (2005) beschrieben. Sowohl bei prognostischen als auch bei diagnostischen Modellen liegt eine große Bandbreite an Komplexität vor. Die einfacheren sind nur auf ebenes und homogen gegliedertes Gelände anwendbar, während die komplexeren auch bei einer nahezu beliebig stark ausgeprägten Topographie zu realistischen Resultaten führen. Eine ausführliche Auflistung von prognostischen und diagnostischen Modellen mit Untergliederungen bezüglich der Hydrostasie und der Massenkonsistenz bzw. Linearität ist in Finardi et al. (1998) zu finden. 2.4 Anwendungsgebiete von Ausbreitungsmodellen 2.4.1 Ausbreitung von Schadstoffen Eine sehr typische Anwendung von Ausbreitungsmodellen ist nach wie vor in der Bestimmung der Konzentrationsverteilung von Schadstoffen aus der Industrie gegeben. Als Beispiel dafür kann eine 2003 in Mittelitalien nahe Rom in einer mäßig ausgeprägten Topographie durchgeführte Fallstudie erwähnt werden (Gariazzo 2004). Das

20 2.4 Anwendungsgebiete von Ausbreitungsmodellen Hauptaugenmerk wurde auf die Emissionen einer Zementfabrik gelegt, welche von den Anreinergemeinden als belastend empfunden wurden. Diese Belastung konnte mit Hilfe von Gauß schen Ausbreitungsmodellen bislang aber nicht verifiziert werden. Das hier zur Anwendung gekommene Modellpaket setzt sich aus drei Komponenten zusammen: Mit dem massenkonsistenten meteorologischen Modell Minerve wurden die Felder des mittleren 3D-Windes sowie der Temperatur bestimmt. Das Paket Surfpro ermittelte aus den meteorologischen Eingangsdaten am Boden sowie den Parametern Albedo, Bowen-Ratio und der Rauhigkeitslänge über die Zwischenstufe Schubspannungsgeschwindigkeit, Monin-Obukhovs-Länge, Höhe der Grenzschicht und vertikale konvektive Geschwindigkeit die für das Lagrange sche Partikelmodell notwendigen turbulenten Windfluktuationen. Das von Minerve berechnete mittlere Windfeld und die von Surfpro bestimmten turbulenten Windfluktuationen gehen in das Lagrange sche Partikelmodell Spray ein. Ein Vergleich der gemessenen mit den berechneten SO 2 und NO x Konzentrationen ergab laut Autoren eine sehr gute Übereinstimmung. 2.4.2 Ausbreitung von Geruchsstoffen Eine Prognose der Verteilung von Geruchsstoffen kann nicht nur in Genehmigungsverfahren für die Neuansiedlung von Betrieben erforderlich sein, sondern spielt in Ausnahmefällen auch für zivilrechtliche Prozesse eine Rolle. Lung (2002) führte im Jahr 2000 mehrere Freifeldversuche mit dem Odiermittel Tetrahydrothiophen unter kontrollierten Bedingungen (punktförmige Quellen, zeitlich konstant emittierende Quellen, konstante Emissionshöhen, ebenes Terrain und definierte meteorologische Bedingungen) durch und setzte zusätzlich zu diesem Geruchsstoff den Tracer Krypton-85 frei. In Abständen von 20, 50 und 100 m innerhalb eines Öffnungswinkels von α = 60 stromabwärts von der Quelle wurden Zählrohre zur Detektion des radioaktiven Isotops aufgestellt. Zusätzlich wurden in Abständen von 100 m Probanden für die Geruchswahrnehmung positioniert. Diese Feld- bzw. Tracer-Versuche verfolgten zwei Ziele: einerseits wurde der Zusammenhang zwischen einer Mindestkonzentration des radioaktiven Tracers Krypton-85 und der Wahrnehmungsschwelle des Odiermittels Tetrahydrothiophen untersucht und zweitens die gemessenen Tracer-Konzentrationen mit den Ergebnissen eines Gauß schen Ausbreitungsmodells mit zwei unterschiedlichen Parametrisierungen der Diffusionsparameter verglichen. Bezüglich der ersten Zielstellung konnte punktuell eine gute Übereinstimmung zwischen der Wahrnehmungsschwelle des Geruchsstoffes und einer von den Zählrohren detektierten Mindestkonzentration festgestellt werden, für ein abschließendes Urteil sind jedoch weitere Feldstudien notwendig. Auf die Übereinstimmung der gemessenen Konzentrationsverteilungen des Tracers und den Modellergebnissen wird im Abschnitt (3.3) eingegangen.

2.4 Anwendungsgebiete von Ausbreitungsmodellen 21 2.4.3 Ausbreitung von Bioaerosolen (Viren) Die Anwendung der Ausbreitungsmodelle auf Bioaerosole, im Speziellen auf Viren, stellt im Vergleich zu jener auf industrielle Schadstoffe nur einen kleinen Prozentsatz dar, besitzt aber dennoch eine sehr hohe Relevanz. Kommt es zum Ausbruch von bestimmten Tierseuchen, so kann die Simulation der Ausbreitung mit entsprechenden, darauf aufsetzenden Gegenmaßnahmen wirtschaftliche Schäden von mehreren Mrd. Euro verhindern. Als Beispiel sei hier die von Schachner (2005) beschriebene MKS-Echtzeitübung Picorna erwähnt, die theoretischen Vorarbeiten dazu wurden von Rubel and Fuchs (2005) geleistet. Dabei handelt es sich um die im Jahr 2004 in der Steiermark und im Burgenland durchgeführte Simulation einer Ausbreitung von Maul- und Klauenseuche-Viren mit Hilfe eines Gauß schen Ausbreitungsmodells. Als Eingangsdaten dienten einerseits die Koordinaten der Tierhaltungsbetriebe mit der Anzahl der Schweine, Schafe und Rinder und andererseits meteorologische Gitterpunktsdaten. Letztere setzen sich aus dem vom Deutschen Wetterdienst (DWD) prognostizierten mittleren Windfeld, den für die Parametrisierung der Dispersionsparameter notwendigen Größen Einstrahlung, Bedeckung und Windgeschwindigkeit sowie den, das Überleben der Viren beeinflussenden Parameter Temperatur, Niederschlag und Feuchte zusammen. Bestimmt wurden die für die erwähnten Tiere unterschiedlichen Risikogebiete innerhalb eines Umkreises mit einem Radius von 3 bzw. 10 km um die Infektionsquelle. Im Ernstfall müssten die betroffenen Tiere innerhalb dieses Gebietes zur Verhinderung der weiteren Ausbreitung der Seuche gekeult werden.

22 2.4 Anwendungsgebiete von Ausbreitungsmodellen

Teil II Theorie 23

Kapitel 3 Mathematische Grundlagen der Ausbreitungsmodelle 3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell An dieser Stelle soll die räumliche Konzentrationsverteilung einer kontinuierlich emittierenden Punktquelle für den stationären Fall hergeleitet werden. Der transparenteste Weg führt dabei über die momentan emittierende Punktquelle für eine eindimensionale, aber leicht erweiterbare Konfiguration. Die Aufstellung der partiellen parabolischen Differentialgleichung lehnt sich an die Abhandlung dieser Thematik in Etling (2002), die Lösung derselben an die Ausführungen bezüglich der Lösung der mit der Diffusionsgleichung verwandten Wärmeleitungsgleichung in Kluge (1994). Die Konzentration c einer Substanz kann sich zeitlich nur ändern, wenn eine Quelle oder Senke P c für diese Substanz vorhanden ist, so lautet die Aussage der Transportgleichung: dc dt = P c (3.1) Durch Anwenden des Euler-Operators auf die totale Zeitableitung, die Aufspaltung der Variablen in Mittelwerte und Abweichungen davon sowie durch anschließende Mittelung resultiert aus Gleichung (3.1): c t + ū c k = u k c + x k x P c (3.2) k Der Index k bezeichnet die einzelnen räumlichen Koordinaten. Bei u k c handelt es sich um den turbulenten Transport, also um den Transport der Fluktuation der Konzentration c mit der Schwankung der Geschwindigkeit u. Der turbulente Transport ist nicht messbar, daher versucht man diesen auf bekannte und messbare Größen, also Mittelwerte, zurückzuführen. Da der turbulente Transport dem Gradienten der 25

26 3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell Konzentration proportional ist, diesem aber zwecks Ausgleich entgegenwirkt, bietet sich folgender Schließungsansatz an: u k c = K c,k c x k (3.3) Dabei wird K c,k als Diffusionskoeffizient der Konzentration c für die Richtung x k bezeichnet. Vollständig bezüglich aller Komponenten ausgeschrieben, ergibt sich mit dem Schließungsansatz (3.3) für die Transportgleichung (3.2): c t + ū c c c + v + w x y z = x K c x x + y K c y y + z K c z z + P c (3.4) Für die weiteren Betrachtungen sollen nun einige Annahmen getroffen werden: Die Ausbreitung wird in einem mit der Grundströmung mitbewegten Koordinatensystem betrachtet, sodass ū = v = w = 0 gesetzt werden kann. Die turbulenten Diffusionskoeffizienten sind räumlich homogen, es gilt also K x / x = K y / y = K z / z = 0. Während der Ausbreitung existieren keine weiteren Quellen oder Senken für die Substanz, was sich mathematisch mit P c = 0 ausdrücken lässt. Mit diesen drei Voraussetzungen modifiziert sich die Transport- bzw. Diffusionsgleichung (3.4) zu: c t = K 2 c x x + K 2 c 2 y y + K 2 c 2 z (3.5) z 2 Aus Gründen der Übersicht soll nun von Gleichung (3.5) nur eine räumliche Dimension betrachtet werden. Da die Lösung über den Weg der Trennung der Variablen mittels Produktansatz beschritten werden kann und alle räumlichen Richtungen auf dieselbe Weise behandelt werden können, kann die eindimensionale Lösung sofort auf drei Dimensionen ausgedehnt werden. Zu lösen ist also folgende partielle Differentialgleichung: c t = K 2 c x (3.6) x 2 Die Lösung c(t, x) lässt sich allgemein mit Hilfe des Separationsansatzes in der Form c(t, x) = A(t) B(x) (3.7)

3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell 27 ausdrücken, wobei die Funktionen A und B noch spezifiziert werden müssen. Einsetzen dieses Ansatzes in Gleichung (3.6) führt zu: A(t) t Trennung der Funktionen A und B führt weiter zu: B(x) = K x A(t) 2 B(x) x 2 (3.8) 1 1 A(t) K x A(t) t = 1 2 B(x) (3.9) B(x) x 2 Da links ein nur von der Zeit t abhängiger Ausdruck steht, rechts hingegen nur eine Abhängigkeit von der räumlichen Koordinate x vorliegt, muss es sich auf beiden Seiten der Gleichung um eine Konstante λ 2 handeln. Das Quadrat ist willkürlich, verhindert bei der weiteren Herleitung jedoch unnötige Wurzelausdrücke. Gleichung (3.9) lässt sich damit in zwei Differentialgleichungen für je eine der Variablen A und B zerlegen: 1 A(t) A(t) t = K x λ 2 (3.10) 1 2 B(x) = λ 2 (3.11) B(x) x 2 Während die Differentialgleichung (3.10) mit Hilfe der Trennung der Variablen A und t und anschließender Integration gelöst werden kann, also: 1 A(t) = K x λ 2 A(t) t log A(t) = K x λ 2 t log A(t) = K x λ 2 t log A(t) = C 1 K x λ 2 t A(t) = e C 1 K x λ 2 t A(t) = C 2 e Kx λ2 t (3.12) gelangt man bei der Differentialgleichung (3.11) mit dem Exponentialansatz B(x) = C 3 e κ x am einfachsten zur Lösung: 1 2 B(x) λ 2 B(x) x 2 = 0 2 B(x) B(x) λ 2 x 2 = 0 κ 2 C 3 e κ x λ 2 C 3 e κ x = 0 κ 2 λ 2 = 0 κ = ±λ (3.13)

28 3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell Da λ beliebig ist, genügt die Verwendung des positiven Vorzeichens. Damit lautet die Lösung für Gleichung (3.11): B(x) = C 3 e λ x (3.14) Durch Einsetzen der Resultate (3.12) und (3.14) in den Separationsansatz (3.7) und durch die Substitution C 2 C 3 = C lautet die allgemeine Lösung der eindimensionalen Diffusionsgleichung (3.6): c(t, x) = C e Kx λ2 t+λ x (3.15) Die Lösung (3.15) ist jedoch nicht mit allen beliebigen Anfangsbedingungen Θ(x) = c(0, x) kompatibel. Da es sich bei der Diffusionsgleichung um eine lineare Differentialgleichung handelt, kann man sich das Superpositionsprinzip zunutze machen, wonach die Summe zweier Lösungen (mit unterschiedlichen Separationskonstanten λ) selbst wieder eine Lösung darstellt: c(t, x) = i C i e Kx λ2 i t+λ i x (3.16) Die Verallgemeinerung von Gleichung (3.16) lässt sich durch den Übergang der Summation auf die Integration erreichen: c(t, x) = C(λ) e Kx λ2 t+λ x dλ (3.17) In der vorangegangenen Gleichung stellt C(λ) eine beliebige Funktion von λ dar. Für die Anfangsverteilung der Konzentration soll angenommen werden, dass diese mit zunehmendem Abstand vom Maximum hinreichend schnell auf Null abfällt, sodass diese als Fourier-Integral mit der entsprechenden Rücktransformation dargestellt werden kann: Θ(x) = + ϑ(k) e i k x dk (3.18) ϑ(k) = 1 2 π + Θ(x ) e i k x dx (3.19) Dabei handelt es sich bei k nicht mehr um die räumliche Koordinate sondern um die räumliche Wellenzahl. Stellt man das Fourier-Integral (3.18) der Superposition (3.17) zum Zeitpunkt t = 0 gegenüber, c(0, x) = Θ(x) C(λ) e λ x dλ = + ϑ(k) e i k x dk (3.20)

3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell 29 so kann man bei entsprechender Wahl des Integrationsweges folgende Identifizierungen vornehmen: λ = i k, i C(i k) = ϑ(k) (3.21) Einsetzen der Beziehungen (3.21) in die Superposition (3.17) unter Berücksichtigung der Fourier-Rücktransformation (3.19) führt zu: c(t, x) = 1 2 π + dx + Θ(x ) e i k(x x) K x k 2 t dk (3.22) In der Beziehung für die Konzentrationsverteilung c tritt noch das Integral über die Wellenzahl k auf. Mit Hilfe der Umformung des Exponenten von Gleichung (3.22) in Form von ( ) 2 i k(x x) K x k 2 t = K x t k + i(x x) (x x) 2 2 K x t 4 K x t und der folgenden Substitution (3.23) ζ = k + i(x x) 2 K x t (3.24) schreibt sich das Integral über die Wellenzahl k aus Gleichung (3.22) als + e i k(x x) K x k 2 t dk = e (x x) 2 4 Kx t + e Kx t ζ2 dζ (3.25) Unter Berücksichtigung von + ergibt sich für das Integral aus Gleichung (3.25): + e i k(x x) K x k 2 t dk = e ζ2 dζ = π (3.26) π (x x) 2 K x t e 4 Kx t (3.27) Das Anfangswertproblem der eindimensionalen Diffusionsgleichung schreibt sich durch

30 3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell Einsetzen von Gleichung (3.27) in Gleichung (3.22) wie folgt: c(t, x) = 1 4 π Kx t + Θ(x ) e (x x) 2 4 Kx t dx (3.28) c 0 < 6 5 4 2 1 3 0 x 0 - l 0 x 0 + l 0 x 0 < x Abb. 3.1: Als nächster Schritt muss die Anfangsverteilung Θ(x) spezifiziert werden. Für die Betrachtung einer am Ort x 0 angesiedelten Punktquelle ist es zweckmäßig, sich diese aus einer immer kürzer werdenden Linienquelle hervorgehend vorzustellen. Für Θ(x) kann daher mit der konstanten Quellstärke Q folgender Ansatz gewählt werden: Q/2 l für x 0 l x x 0 + l Θ(x) = 0 für x < x 0 l und x > x 0 + l (3.29) Für eine, um x 0 zentrierte Linienquelle mit der Länge x = 2 l resultiert für die Diffusionsgleichung (3.28): c(t, x) = 1 4 π Kx t x 0 +l x 0 l Q (x x) 2 2 l e 4 Kx t dx (3.30) Für die von einer Punktquelle verursachte Konzentrationsverteilung muss in Gleichung (3.30) lediglich der Grenzübergang von l nach Null vollzogen werden. Benutzt wird dabei der Mittelwertsatz der Integralrechnung, wonach das Integral als Produkt des Integrationsweges und des Integranden an der geeigneten Stelle aufgefasst werden

3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell 31 kann. Geht nun der Integrationsweg x = 2 l gegen Null, so liegt diese repräsentative Stelle bei x 0. Für die eindimensionale Diffusionsgleichung mit einer Punktquelle resultiert nun insgesamt: c(t, x) = 1 4 π Kx t lim x 0 +l l 0 x 0 l Q (x x) 2 2 l e 4 Kx t dx = Q 4 π Kx t e (x 0 x)2 4 Kx t (3.31) Durch Erweiterung des Produktansatzes (3.7) auf die beiden anderen Raumkoordinaten y und z modifiziert sich Gleichung (3.31) unter der Annahme, dass die Koordinaten der Quelle (x 0, y 0, z 0 ) lauten, zu: c(t, x, y, z) = Q exp [ (4 (x 0 x) 2 (y 0 y) 2 (z ] 0 z) 2 π t) 3 4 K K x K y K x t 4 K y t 4 K z t z (3.32) Im Falle einer kontinuierlichen Punktquelle ist es unbedingt erforderlich, eine Grundströmung ū 0 zuzulassen. Anderenfalls würde die Konzentration am Ort der Quelle ins Unendliche ansteigen. Interessant ist bei Betrachtung einer kontinuierlichen Punktquelle der stationäre Fall. Zu diesem Zwecke wird die Transformation t = x ū c t ū c x (3.33) durchgeführt. Als weitere Annahme wird für die Ausbreitung in x Richtung die Dominanz des Transportes durch die Grundströmung gegenüber des Transportes durch Diffusion getroffen, wodurch in Gleichung (3.32) der Exponentialterm mit K x und unter der Wurzel auf der linken Seite der Ausdruck 4 π t K x wegfallen. Damit und mit Gleichung (3.33) modifiziert sich die Transportgleichung (3.32) zu: ū c(x, y, z) = [ ū Q 4 π x exp ū ( (y0 y) 2 (z )] 0 z) 2 K y K z 4 x K y K z (3.34) Durch Division durch ū auf beiden Seiten von Gleichung (3.34) und der Verschiebung des Koordinatensystems derart, dass sich die Punktquelle an der Position (0,0,h) befindet, gelangt man weiter zu: c(x, y, z) = [ Q 4π x exp ū ( y 2 + K y K z 4x K y )] (z h)2 K z (3.35) Gleichung (3.35) besitzt die Struktur einer Gauß schen Normalverteilung, was durch folgende Transformation deutlicher erkennbar wird:

32 3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell σ y = 2K y x ū (3.36) σ z = 2K z x ū (3.37) Setzt man nun die Transformationen (3.36) und (3.37) in die Transportgleichung (3.35) ein und berücksichtigt noch zusätzlich, dass die Substanz von der Erdoberfläche reflektiert wird in Form einer virtuellen Punktquelle mit den Koordinaten (0,0,-h), so gelangt man schließlich zu folgendem Resultat: c(x, y, z) = ) [ Q 2π x exp ( y2 exp ( σ y σ z 2σy 2 ) (z h)2 + exp ( 2σz 2 )] (z + h)2 2σz 2 (3.38) Die Verwendung des Gauß schen Ausbreitungsmodells ist an folgende Voraussetzungen gebunden (Zenger 1998): Es müssen kontinuierliche Emissionen vorliegen. Die untersuchten Abstandsbereiche sollen in einem Bereich zwischen ca. 100 m und einigen km liegen. Das Gelände soll möglichst eben bzw. darf nur wenig gegliedert sein. Es dürfen keine lokalen Windfelder dominieren, es soll also räumliche Homogenität vorliegen. Windschwache Wetterlagen sowie Situationen mit großen Windscherungen wie etwa bei Frontdurchgängen müssen ausgeklammert werden. Die Ergebnisse sind nur als Mittelwerte über eine Vielzahl vergleichbarer Ereignisse interpretierbar. Genaugenommen sind daher Gauß sche Ausbreitungsmodelle nicht auf Einzelereignisse anwendbar und daher für die Simulation der Ausbreitung von MKS ungeeignet. 3.1.1 Parametrisierung der Diffusionsparameter Die Diffusionsparameter aus den Gleichungen (3.36) und (3.37) werden in der Praxis nicht aus den schwer erfassbaren Diffusionskoeffizienten K xi ermittelt, sondern nach einem Vorschlag von Turner (1964) und Pasquill (1971) als Funktionen der Diffusionszeit t = x/ū und einiger relevanten meteorologischen Variablen in Form von empirischen Formeln dargestellt. Die meteorologischen Größen gehen dabei nicht direkt, sondern über den Umweg von so genannten die Diffusionsfähigkeit der Atmosphäre beschreibenden Ausbreitungsklassen ein (Turner 1964).

3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell 33 Abb. 3.2: Isoflächen der 5 µg/m 3 Konzentration von SO 2 für die Ausbreitungsklassen labil (links oben), neutral (rechts oben), mäßig stabil (links unten) und stark stabil (rechts unten). Es ist deutlich zu erkennen, dass sich bei Zunahme der Stabilität die Schadstofffahne horizontal weiträumiger ausbreitet, während die Belastung am Boden abnimmt. Man beachte die unterschiedlichen Skalierungen der beiden horizontalen Achsen.

34 3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell Abb. 3.3: Darstellung der Schadstoffkonzentration von SO 2 in den zu den Koordinatenachsen senkrechten Schnittebenen. Auch hier erkennt man einerseits den weiträumigen horizontalen Transport bei stabiler Schichtung und andererseits die hohe Schadstoffkonzentration am Boden in Quellnähe bei labiler Schichtung. Man beachte wieder die unterschiedlichen Achsenskalierungen sowie die einheitliche Darstellung von Konzentrationen von über 20 µg/m 3 mit derselben Farbe.

3.1 Das Gauß sche Ausbreitungsmodell 35 Ausbreitungsklassen Atm. Schichtung A α B β 2 labil 0.086 1.456 1.270 0.900 3 leicht labil 0.834 0.889 1.105 0.868 4 neutral 0.900 0.762 1.067 0.835 5 leicht stabil 0.640 0.699 0.943 0.796 6 mäßig stabil 0.737 0.566 0.504 0.799 7 stark stabil 0.316 0.500 0.458 0.728 Tab. 3.1: Parameter des Potenzansatzes (3.39) bzw. (3.40) für die unterschiedlichen Ausbreitungsklassen ( x ) β ( x ) α σ y = B (3.39) σ z = A (3.40) ū ū Die Parameter A, B, α und β sind nun von der Stabilität der Atmosphäre bezüglich der Diffusion abhängig. In dieser Arbeit werden die vom Österreichischen Norminstitut im Rahmen der Berechnungsgrundlage für die Ausbreitungsabschätzungen von luftverunreinigenden Stoffen in der Atmosphäre festgelegten Werte verwendet (Österreichisches Norminstitut (ON) 1992). Dieses Klassifikationsschema geht auf Arbeiten von Reuter (1970) zurück und ist in Tab. (3.1) aufgelistet. Um die Auswirkungen der unterschiedlichen Streuparameter auf die Schadstoffausbreitung zu veranschaulichen, ist in Abb. (3.2) die Ausbreitung von SO 2 für vier unterschiedliche Ausbreitungsklassen dargestellt. Zu sehen ist die Isofläche der 5 µ g/m 3 Konzentration von SO 2 bei einer Emission von Q = 2 g/(m 3 s) aus einer Höhe von h = 100 m. Der mittlere Wind wurde mit ū = 2 m/s in x Richtung angenommen. Der selbe Sachverhalt ist in Abb. (3.3) in Form von Konturflächen auf den zu den Koordinatenachsen senkrechten Schnittebenen dargestellt. Neben den einfachen Potenzansätzen (3.39) und (3.40) existieren weitere Vorschläge für die Parametrisierung der Diffusionsparameter σ y und σ z. Ein von Briggs (1973) vorgeschlagener Ansatz ist von folgender Form: σ y,z = m x (1 + n x) p (3.41) Die Werte von m, n und p sind für die nach Pasquill-Gillford-Turner definierten Ausbreitungsklassen für offenes und urbanes Gelände in Carrascal (1993) tabelliert. Ein weiterer Ansatz für den lateralen Diffusionsparameter σ y stammt von Cramer (1979): σ y = m x tan [n (a b ln x)] (3.42) Eine Auflistung der Parameter a, b, m und n ist ebenfalls in Carrascal (1993) zu finden.

36 3.2 Das Lagrange sche Partikelmodell 3.2 Das Lagrange sche Partikelmodell Das Lagrange sche Partikelmodell simuliert die Ausbreitung von Substanzen mittels einer großen Anzahl von repräsentativen Teilchentrajektorien. Wie die Bezeichnung Lagrange bereits andeutet, erfolgt die physikalische Beschreibung im Gegensatz zu Gauß schen Ausbreitungsmodellen aus der Sicht des Partikels. Zur Simulation dieser Teilchenbahnen wird der vorhandenen Grundströmung zwecks Berücksichtigung der atmosphärischen Turbulenz eine Zufallskomponente aufgeprägt. Die Monte-Carlo-Methode erlaubt eine statistische Beschreibung der Diffusion sowie der Windfluktuationen. Dieser Zugang überwindet die von den Gauß schen Ausbreitungsmodellen nicht handhabbaren Hürden der Berücksichtigung räumlich inhomogener und zeitlich variabler Strömungs- und Turbulenzverhältnisse. Zusätzlich können damit reale Bedingungen wie vertikale Windscherung oder das Vorhandensein einer ausgeprägten Topographie und der damit verbundenen komplexen Windsysteme besser mitberücksichtigt werden. Die Anwendung des Lagrange schen Partikelmodells beschränkt sich nicht nur auf die Betrachtung von Fällen mit homogener Turbulenz, sondern kann auch inhomogene Verhältnisse beschreiben. Des weiteren können Depositionsprozesse durch den Niederschlag oder die Wechselwirkung mit der Bodenoberfläche in dieses Modell einbezogen werden, wie dies auch bei den Gauß schen Modellen vereinfacht möglich ist. Das angestrebte Resultat, also die Konzentrationsverteilung der Partikel, lässt sich durch die Aufsummierung der Verweildauer der einzelnen Partikel in den Zellen des dafür diskretisierten Raums bestimmen. Die mathematische Formulierung des Lagrange schen Partikelmodells soll nun für den Fall homogener Turbulenz beschrieben werden. Eine ausführliche Beschreibung des Modells für inhomogene Turbulenz befindet sich in Glaab (1986). Die Bestimmungsgleichung für die Trajektorie bzw. die zur Zeit t eingenommene Position x(t) schreibt sich formal als: x(t) = x(0) + t 0 v(t )dt (3.43) Mit v(t) wird die zur Zeit t vorliegende Geschwindigkeit des Partikels bezeichnet. Dieses Integral wird in der Zeit diskretisiert und durch folgende Iteration angenähert: x n+1 = x n + v n t (3.44) Dabei ist n der aktuelle Iterationsschritt und t das Zeitintervall. Aus numerischen Stabilitätsgründen kann das Zeitintervall nicht beliebig groß gewählt werden. Zweckmäßig ist eine Kopplung an die Geschwindigkeiten der einzelnen Koordinatenrichtungen u, v und w sowie an die Abmessungen x, y und z einer Gitterzelle

3.2 Das Lagrange sche Partikelmodell 37 des für die Auswertung diskretisierten Raumes: ( x t min u, y v, z ) w (3.45) Die Geschwindigkeit v(t) setzt sich aus der vorgegebenen Grundströmung v und einem turbulenten Anteil v zusammen: v n = v n + v n (3.46) Die turbulente Komponente v wird durch einen Zufallsprozess realisiert, berücksichtigt jedoch auch die Trägheit der Materie. Bewegt sich ein Partikel zu einer gegebenen Zeit in eine bestimmte Richtung, so kann sich dieses im nächsten Zeitschritt nicht etwa in die Gegenrichtung bewegen - sieht man von Stoßvorgängen einmal ab. Diesem, der Trägheit entsprechenden Erinnerungsvermögen wird durch die Einführung der Lagrange schen Autokorrelationsfunktion Rv( t) Rechnung getragen. Es handelt sich dabei um einen Gewichtungsfaktor der turbulenten Geschwindigkeit des vorangegangenen Zeitschrittes. Die eigentliche, mit der turbulenten Geschwindigkeit früherer Zeitpunkte unkorrelierten Geschwindigkeitsfluktuation wird mit v n bezeichnet. Gleichung (3.46) erweitert sich dadurch zu v n = v n + Rv( t)v n 1 + v n (3.47) Die Abfolge der Werte von v n stellt aufgrund der ausschließlichen Abhängigkeit des aktuellen Wertes vom direkt vorangegangenen Wert eine Markov-Kette erster Ordnung dar. Für die Lagrange sche Autokorrelationsfunktion wird in der Regel ein in der Zeit exponentiell abfallender Ansatz gewählt. Damit ist ein, zur dazwischen liegenden Zeit proportionales Abklingen des Einflusses des aktuellen Bewegungszustandes auf die weiteren gewährleistet. Das Ausmaß der Erinnerung des Systems wird durch die Lagrange sche Zeitskala T bestimmt: ( R vi ( t) exp t ) T vi (3.48) Der Index v i bezieht sich auf die betrachtete Geschwindigkeitskomponente und berücksichtigt eine mögliche räumliche Anisotropie der Ausbreitung in horizontaler und vertikaler Richtung. Gleichung (3.48) stellt nicht den einzigen Ansatz für die Lagrange sche Autokorrelationsfunktion dar. Eine dazu sehr ähnliche Formulierung wird von Frenkiel (2002) verwendet: ( R vi ( t) = exp π 4 ) ( t) 2 Tv 2 i (3.49)

38 3.2 Das Lagrange sche Partikelmodell Im Gegensatz zum verbreiteten Ansatz (3.48) besitzt die Variante (3.49) bei t = 0 eine horizontale Tangente, während die Fläche unter den Graphen der beiden Lagrange schen Autokorrelationsfunktionen dieselbe ist. Für ein Trajektorienmodell für die synoptische Zeitskala von 10 Tagen erwiesen sich die beiden folgenden Ansätze als geeignet (Wessam 2002): ] ( t b)2 R( t) = a exp [ 2 c 2 (3.50) R( t) = cos (a t + b) c t cos b (3.51) Die darin auftretenden Parameter wurden im Rahmen einer Fallstudie angepasst. An die Zufallskomponente v n sind nun drei Bedingungen gestellt. Jede davon liefert einen Faktor, aus denen sich v n multiplikativ zusammensetzt. Berücksichtigung der Erhaltung der kinetischen Energie durch den Faktor β vi mit β vi = 1 (R vi ( t)) 2 (3.52) Kopplung der Streuung dieser Zufallskomponente an das Ausmaß der Windfluktuation durch den Faktor σ vi : σ vi = v 2 i (3.53) Berücksichtigung des statistischen Charakters durch Realisierung einer normalverteilten Zufallsverteilung mit dem Faktor λ vi. λ vi = N (0 1) (3.54) Daraus resultiert für den zufälligen Geschwindigkeitsanteil der Komponente i zum Zeitschritt n: v n,i = β vi σ vi λ vi (3.55) In Komponentenschreibweise resultiert aus den Gleichungen (3.44) bis (3.55): x n+1,i = x n,i + [ v n,i + R vi ( t) v n,i + β vi σ vi λ vi ] t (3.56) In die Ermittelung der Konzentrationsverteilung aus den Trajektorien geht die Quellstärke Q, die Anzahl der berechneten Trajektorien N, das Volumen einer Raumzelle V = x y z sowie die Aufenthaltsdauer τ der einzelnen Partikeln in den Zellen ein: c i = Q N x y z N τ ij (3.57) j=1

3.2 Das Lagrange sche Partikelmodell 39 Der Faktor τ ij bezeichnet die Aufenthaltsdauer des j. Partikels in der i. Zelle. 3.2.1 Die Parametrisierung der Turbulenzgrößen In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Ansätze für die Parametrisierung der Turbulenzgrößen (Windfluktuationen σ vi und Lagrange sche Zeitskalen T vi ) behandelt. Für die Parametrisierung der Windfluktuationen σ vi in der atmosphärischen Grenzschicht wird meist zwischen labilen und neutralen Bedingungen einerseits und stabilen Bedingungen andererseits unterschieden. Zurückgeführt werden diese Fluktuationen auf die Schubspannungsgeschwindigkeit u, die konvektive Skalengeschwindigkeit w, teilweise auf die Höhe h der Grenzschicht und die geometrische Höhe z über dem Grund. Für eine labile bzw. neutrale Grenzschicht ist folgender Ansatz und für stabile Verhältnisse der Ansatz σ vi = [(a vi u ) n + (b vi w ) n ] 1 n (3.58) σ vi = a vi u (3.59) weit verbreitet. Die Parameter a vi und b vi variieren von Autor zu Autor, eine Auswahl davon befindet sich in Kerschgens (2000), wo auch folgende Parametrisierungen vorgeschlagen werden. Für eine neutrale oder labile Grenzschicht wird der Ansatz σ u = σ v = σ w = [ (2.4 ) u e z 3 h + (0.59 w ) 3] 1 3 [ (1.8 ) u e z 3 h + (0.59 w ) 3] 1 3 [ ( (1.3 ) u e z 3 ( z 3 h + 1.3 h)1 ( 1 0.8 z ) ) 3 ] 1 3 w h (3.60) (3.61) (3.62) und für eine stabile Grenzschicht diese Parametrisierung empfohlen: σ u = 2.4 u e z h (3.63) σ v = 1.8 u e z h (3.64) σ w = 1.3 u e z h (3.65) Formal ist die Lagrange sche Zeitskala T vi als Zeitintegral über die Lagrange sche Autokorrelationsfunktion R vi definiert (Gifford 1987): T vi = R vi (t) dt (3.66) 0

40 3.2 Das Lagrange sche Partikelmodell Allerdings wird für die Berechnung der Lagrange schen Autokorrelationsfunktion wiederum die Lagrange sche Zeitskala T vi selbst verwendet, weswegen ebenfalls Parametrisierungen vorgenommen werden müssen. Ein verbreiteter Typus dieser Parametrisierungen ist von folgender Gestalt: h T vi = c vi (3.67) σ vi Die Werte für c vi variieren stark zwischen den Autoren und sind für die unterschiedlichen Stabilitätsklassen in Kerschgens (2000) aufgelistet. Als Beispiel können hier die Vorschläge von Hanna für labile und neutrale Bedingungen einerseits und für stabile Bedingungen andererseits angeführt werden. Für labile und neutrale Grenzschichten schlägt Hanna (1981) vor: T u = 0.17 h σ u (3.68) T v = 0.17 h σ v (3.69) T w = 0.17 h σ w (3.70) und für eine stabile Grenzschicht lautet die Parametrisierung nach Hanna (1981): T u = 0.15 T v = 0.07 T w = 0.10 ( z ) 0.5 h (3.71) h σ u ( z ) 0.5 h (3.72) h σ v ( z ) 0.8 h (3.73) h σ w Dabei ist h die Höhe der Grenzschicht und z die betrachtete Höhe über dem Grund.

3.3 Zusammenhang zwischen den beiden Modellen 41 3.3 Zusammenhang zwischen den Gauß schen und Lagrange schen Ausbreitungsmodellen Für den Fall, dass alle Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Gauß schen Ausbreitungsmodells gegeben sind, stellt sich die Frage nach den Zusammenhängen zwischen den Diffusionsparametern σ x, σ y und σ z beim Gauß schen und den Windfluktuationen σ u, σ v und σ w sowie den Lagrange schen Zeitskalen T u, T v und T w beim Lagrange schen Ausbreitungsmodell. Einen Zusammenhang zwischen diesen erwähnten Größen konnte Taylor (1921) herleiten. Das später nach ihm benannte Theorem lautet: t t σx(t) 2 = 2 σu 2 R u (ζ) dζ dt (3.74) 0 0 t t σy(t) 2 = 2 σv 2 R v (ζ) dζ dt (3.75) 0 0 t t σz(t) 2 = 2 σw 2 R w (ζ) dζ dt (3.76) 0 0 Legt man der Lagrange schen Autokorrelationsfunktion R vi (ζ) die Annahme (3.48) zugrunde, so resultiert für die inneren Integrale der Gleichungen (3.74) bis (3.76) mit i = 1, 2, 3: t 0 R vi (ζ) dζ = t 0 ( exp ζ ) dζ = T vi T vi ( exp ζ ) t ) ] = T vi [exp ( t 1 T vi 0 T vi (3.77) Anwendung des äußeren Integrals aus (3.74) bis (3.76) auf Gleichung (3.77) führt zu: t 0 ) ] ) T vi [exp ( t 1 dt = Tv 2 T i [exp ( t + t vi T vi T vi ( = Tv 2 i [exp t ) 1 + T vi ] t 0 t T vi ] (3.78)