Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 1 Übungsblätter zu Methoden der Empirischen Sozialforschung III: Inferenzstatistik Lösungsblatt zu Nr. 2 1. Für die Lösung der Aufgabe ist es erforderlich, daß wir uns zunächst veranschaulichen, welche Wahrscheinlichkeiten uns bekannt sind und welche wir aus diesen berechnen können. Bekannt sind uns... - Wahrscheinlichkeit auf Bus A nicht warten zu müssen (ihn zu erreichen): P(A) = 0,90 - Wahrscheinlichkeit Bus B zu erreichen: P(B) = 0,75 - Wahrscheinlichkeit auf Bus A und Bus B warten zu müssen, also beide nicht zu erreichen: P( A 1 B) = 0,07 Gesucht werden... a) Die Wahrscheinlichkeit Bus B zu erreichen unter der Bedingung bereit Bus A erreicht zu haben: P(B A) =? b) Die Wahrscheinlichkeit genau an einer Haltestelle warten zu müssen: P( (A 1 B) c ( A 1 B)) =? c) Die Wahrscheinlichkeit an mindestens einer Haltestelle warten zu müssen: P( (A 1 B) c ( A 1 B) c ( A 1 B) ) =? Zu a) Um die Wahrscheinlichkeit P(B A) berechnen zu können, empfiehlt es sich zunächst, die bekannten Wahrscheinlichkeiten in eine Entscheidungstabelle einzutragen und anschließend zu überlegen, welche Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung wir benötigen. Entscheidungstabelle für Aufgabe 1: Bus A nicht erreicht P ( A) Bus A erreicht P (A) Randverteilung für B Bus B nicht erreicht P ( B) Bus B erreicht P (B) P ( A 1 B) = 0,07 P ( B A) =? P( B) = 0,25 P (B A) =? P(B) = 0,75 Randverteilung für A P( A) = 0,10 P(A) = 0,90
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 2 Die bedingte Wahrscheinlichkeit P( B A) ist folgendermaßen definiert: P ( A 1 B) = P ( B A) * P ( A) oder P ( B A) = P ( A 1 B) / P ( A) P ( B A) = 0,07 / 0,10 = 0,70 und P (B A) = 0,30 Aus den bekannten Wahrscheinlichkeiten der Randverteilungen für P(A) und P(B) sowie der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B A) können wir mit Hilfe des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit von Bayes die gesuchte Wahrscheinlichkeit P (B A) berechnen. Hierzu müssen wir zunächst den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit nach P(B A) umstellen und die uns bekannten Werte einsetzen. P(B) = P(B A) * P( A) + P(B A) * P(A) P(B A) = ( P(B) - P(B A) * P( A) ) / P(A) = (0,75-0,30*0,10) / 0,90 = 0,72 / 0,90 = 0,80 Die Wahrscheinlichkeit, den Bus B zu erreichen, wenn man bereits Bus A erreicht hat, beträgt 80 %. b) Die Wahrscheinlichkeit genau an einer Haltestelle warten zu müssen: Anwendung des Definitionssatz der bedingten Wahrscheinlichkeit von Bayes und des Addtionssatzes nach Kolmogorov) P( (A 1 B) c ( A 1 B)) = P( B A) * P(A) + P(B A)*P( A) =0,20*0,90 + 0,30*0,10 = 0,18 + 0,03 = 0,21 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt 21 %. c) Die Wahrscheinlichkeit mindestens an einer Haltestelle warten zu müssen: P( (A 1 B) c ( A 1 B) c ( A 1 B) ) = 0,21 + 0,07 = 0,28 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt 28 %. 2. a) Der Stichproben oder Ereignisraum Ω des roten und weißen Würfels beinhaltet die folgenden Ereignisse: Ω = {(i,j) i,j 0 {1,2,3,4,5,6}}
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 3 b) Die Realisierungsmöglichkeiten für unsere Zufallsvariable X, die Augensumme beider Würfel, betragen: X: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 c) Tabellarische Übersicht der Augensumme zweier Würfel im Gleichmöglichkeitsmodell: Übersicht der Augensummen: R / W Î Ï Ð Ñ Ò Ó Î 2 3 4 5 6 7 Ï 3 4 5 6 7 8 Ð 4 5 6 7 8 9 Ñ 5 6 7 8 9 10 Ò 6 7 8 9 10 11 Ó 7 8 9 10 11 12 Wahrscheinlichkeitsfunktion für X: Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und kumulativen Verteilungsfunkton für X Wert von X Zugehörigen Paare P(X) F(X) 2 (1;1) 1/36 1/36 3 (2;1) (1;2) 2/36 3/36 4 (3;1) (2;2) (1;3) 3/36 6/36 5 (4;1) (3;2) (2;3) (1;4) 4/36 10/36 6 (5;1) (4;2) (3;3) (2;4) (1;5) 5/36 15/36 7 (6;1) (5;2) (4;3) (3;4) (2;5) (1;6) 6/36 21/36 8 (6;2) (5;3) (4;4) (3;5) (2;6) 5/36 26/36 9 (6;3) (5;4) (4;5) (3;6) 4/36 30/36 10 (6;4) (5;5) (4;6) 3/36 33/36 11 (6;5) (5;6) 2/36 35/36 12 (6;6) 1/36 36/36
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 4 Wahrscheinlichkeitsfunktion für X: 2e: P(X = 4) = 3 / 36 P(X $10) = 6 / 36 P(X > 10) = 3/36 P(X # 5) = 10 / 36 P(X # 12) = 36 / 36 P(X > 1) = 36 / 36 P( 3 < X < 8) = 18 / 36 3. Unter der Voraussetzung, dass die Abfahrtszeit des Busses mit ihrem Gang zur Haltestelle nicht koordiniert ist, gilt das Gleichverteilungsmodell. Dies bedeutet, dass im Intervall von 0 bis 20 Minuten die Wahrscheinlichkeitsdichte konstant ist. Sie beträgt jeweils 1/20 oder 0,05. Bei einer stetigen Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit für exakt einen bestimmten (Punkt-)Wert der kontinuierlichen Zufallsvariablen X gleich Null. Somit gilt: a) P(X = 0) = 0 b) P(X = 20) = 0 c) P(X = 10) = 0 Es lassen sich nur Wahrscheinlichkeiten für Werteintervalle angegeben. Ihnen entspricht der Flächeninhalt der Dichtefunktion für das betrachtete Werteintervall. In unserem Fall ist dies besonders einfach, da wir von einem Gleichverteilungsmodell ausgehen. Der zugehörige Flächeninhalt ist definiert als die Intervallbreite mal der Dichte (0,05). d) P ( X $ 15) = (20-15) * 1/20 = 5/20 = 1/4 e) P (X # 5) = (5-0) * 1/20 = 5/20 = 1/4 f) P (4 # X # 6) = (6-4) * 1/20 = 2/20 = 1/10 4. a) Die Wahrscheinlichkeit, daß der Anteil der Frauen in unserer Straßenumfrage zwischen einem Sechstel und zwei Dritteln liegt, erhalten wir, indem wir die zugehörige Fläche unterhalb der Dichtefunktion im Intervall [1/6 ; 2/3] mit Hilfe des Hauptsatzes der Integralrechnung ermitteln.
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 5 Dichtefunktion: Stammfunktion: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt rd. 67 %.
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 6 b) Die gesuchte kumulative Verteilungsfunktion für das stetige Merkmal Frauenanteil sieht folgendermaßen aus: c) Der gesuchte Erwartungswert E(X) = µ wird folgendermaßen berechnet: Der erwartete Frauenanteil beträgt 50 %.