adjungiert, Adjunktion

A adjungiert, Adjunktion Ist A eine lineare Transformation des Hilbertraumes H mit Skalarprodukt, so gibt es eine (eindeutig bestimmte) lineare Transformation A von H mit der Eigenschaft (A x) y = x (Ay) für alle x, y H. Dies ist die zu A adjungierte Transformation 1. Bezeichnet A M n eine Matrix, die die gleichnamige Transformation realisiert, so wird die adjungierte Transformation durch die adjungierte Matrix A realisiert: A = [a i,j ] 1 i,j n A = [ a ] j,i 1 i,j n = [ a ] t i,j 1 i,j n. Es gilt (A ) = A, (A + B) = A + B, (A B) = B A. Hinweis: Man kann Adjunktion allgemeiner für lineare Transformationen zwischen Hilberträumen A : H H definieren, wobei die Dimensionen m = dim H und n = dim H verschieden sein können. In diesem Fall wäre dann A eine lineare Transformation A : H H. Bei den Matrizen gilt genauso: Adjunktion = (Konjugation + Transposition). Hinweis: Bei unendlich-dimensionalen Räumen muss man aufpassen, da es Probleme mit den Definitionsbereichen gibt! Das führt auch dazu, dass dort die Begriffe selbstadjungiert und hermitesch nicht mehr äquivalent sind. B Bellsche Ungleichung, CHSH-Ungleichung Sind Q, R, S, T auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω definierte Zufallsvariable, die jeweils nur die Werte ±1 annehmen. Für (q, r, s, t) {±1} 4 sei p(q, r, s, t) die Wahrscheinlichkeit der Ereignisses (Q = q, R = r, S = s, T = t). Im Bezug auf diese Verteilung kann man den Erwartungswert E p (Q S + R S + R T Q T ) = E p (Q S) + E p (R S) + E p (R T ) E p (Q T ) betrachten. Da immer Q S + R S + R T Q T = Q(S T ) + R(S + T ) = 1 Die Existenz und Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für jedes x H die Abbildung y x (Ay) linear ist, es also ein z = z x H gibt mit z y = x (Ay) für alle y H. Die Abhängigleit dieses z = z x von x ist selber wieder linear, d.h. x z x ist eine lineare Transformation: das genau ist A. In dieser Situation bezieht sich (A x) y auf das Skalarprodukt in H und x (Ay) auf das Skalarprodukt in H. 1

ist, muss E p (Q S) + E p (R S) + E p (R T ) E p (Q T ) sein. Dieses Szenario trifft insbesonder auf ein EPR-Gedankenexperiment zu, wenn man die Hypothesen des lokalen Realismus akzeptiert. Die Bell-Ungleichung (in der geschilderten Form der CHSH-Ungleichung) ist verletzt, wenn man ein -qubit-system im Bell-Zustand β 11 = ( 01 10 )/ präpariert und auf dem ersten qubit zufällig eine der Messungen Q = Z und R = X, auf dem zweiten qubit zuffällig eine der Messungen S = ( Z X)/ (), T = (Z X)/ durchführt, denn dann ist Q S = R S = R T = 1, Q T = 1. Diese Verletzung der Bell-Ungleichung ist im physikalischen Experiment bestätigt worden. Die Hypothese des lokalen Realismus trifft also auf Quantensysteme nicht zu. Bell-Zustände Die vier Bell-Zustände von H = C C sind β 00 = 1 ( 00 + 11 ), β 01 = 1 ( 01 + 10 ), β 10 = 1 ( 00 11 ), β 11 = 1 ( 01 10 ). In kompakter Form: β ab = 1 ( 0b + ( 1) a 1b ) (ab B ) Diese Zustände lassen sich mit Hilfe des Hadamard-Gatters und des CNOT leicht erzeugen. Sie sind verschränkt und spielen bei vielen Konstruktionen eine interessante Rolle. Bloch-Sphäre Die Bloch-Sphäre ist die Einheitssphäre im R 3, die zur Veranschaulichung von zweidimensionalen unitären Transformationen auf einem einzelnen qubit dient. Schreibt man einen Zustand ψ des qubits als ψ = e iγ (cos θ 0 + eiφ sin θ ) 1,

mit reellen γ, θ, φ, wobei man den globalen Phasenfaktor e iγ als physikalisch irrelevant, weil nicht beobachtbar unterdrückt, so wird dieser durch den Punkt (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) der R 3 (in (x, y, z)-koordinaten) repräsentiert. Die Dichtematrix von ψ schreibt sich in diesen Koordinaten als [ ψ ψ = cos θ e iφ sin θ cos θ e iφ sin θ cos θ cos θ ] = 1 [ ] 1 + z x iy x + iy 1 z Mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreibt sich das sehr suggestiv als Man beachte noch die Zuordnungen ψ ψ = 1 (I + x X + y Y + z Z) (±1, 0, 0) 1 ( 0 ± 1 ) (0, ±1, 0) 1 ( 0 ± i 1 ) (0, 0, 1) 0 (0, 0, 1) 1 bra-vektor Ein bra-vektor x in der Dirac-Notation steht für einen Zeilenvektor und beschreibt eine Linearform x : H C : y x y = x y Im endlich-dimensionalen Fall ist jede lineare Abbildung H C von dieser Gestalt. C CNOT CNOT (controlled negation) ist die boolesche Funktion f CNOT : B B : (a, b) (a, a b), d.h. das zweite bit wird in Abhängigkeit vom Wert des ersten bits geändert oder nicht. Die Matrixdarstellung der entsprechenden Transformation von C C ist 1 0 0 0 M CNOT = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 D Deutsch-Josza-Algorithmus Dies ist ein Verfahren zur Lösung von Deutschs Problem. Mit einem Quantenschaltkreis, der ein Gatter U f zur Berechnung von f als einer Abbildung auf den Basisvektoren des (C ) n enthält, kann man dank des Superpositionsprinzips mit einer einzigen Auswertung zur korrekten Entscheidung kommen. 3

Deutschs Problem Eine boolesche Funktion f : B n B sei als black box gegeben, also nur als ein Orakel, das auf Eingabe von b B n mit f(b) B antwortet. Die Definition von f oder Arbeitsweise des Orakels sei unbekannt. Ferner ist garantiert, dass f entweder konstant ist oder balanciert, d.h. die Hälfte der möglichen Eingaben liefert den Wert 0, die andere Hälfte den Wert 1. Es gilt herauszufinden, welche der beiden Alternativen zutrifft. Klassisch benötigt man im worst case n 1 + 1 Auswertungen, um die Entscheidung mit Sicherheit treffen zu können. Ein Quantenschaltkreis hat den Vorteil, dass man mit Superpositionen von klassischen Eingaben arbeiten kann, siehe Deutsch-Josza-Algorithmus. Die war das erste Problem, bei dem man festgestellt hat, dass ein Quantencomputer effizienter arbeiten kann als ein klassischer Computer. Dichtematrix, Dichteoperator Ist ψ ein normierter Vektor eines Hilbertraumes H mit dim H = n, also ein Zustand(svektor) im Quantensinne, so bezeichnet man die durch die (in Dirac- Notation) mit ψ ψ gegebene Transformation (bzw. die sie realisierende Matrix) als die Dichtematrix von ψ. Beachte: Oft ist es einfacher und eleganter, mit den Dichtematrizen statt mit den Zustandsvektoren zu rechnen. Konvexe Linearkombinationen von Dichtematrizen ψ ψ, also Operatoren ρ = j p j ψ j ψ j mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung (p j ) j, bezeichnet man als Dichteoperatoren. Dieses sind genau die positiven Operatoren ρ mit der Spur Sp(ρ) = 1. Dirac-Notation Ist H C n ein (endlich-dimensionaler) Hilbertraum mit Skalarprodukt (x, y) x y und orthonormaler Basis B = {v (1),..., v (n) }, so hat sich folgende Konvention und Notation als sehr suggestiv erwiesen: Elemente von H werden als Spaltenvektoren geschreiben, und zwar abgekürzt als sog. ket-vektor x = α 1 α i v (i) x =. 1 i n α n Jedes x = 1 i n α i v (i) H definiert aber auch eine Linearform H C : y x y, 4

d.h. ausgeschrieben bezüglich der ON-Basis B: y = 1 i n β i v (i) x y = 1 i n αi β i = [ α1... αn ] Man schreibt x für den Zeilenvektor [ α 1... α n] und nennt dies den zu x gehörigen bra-vektor. Im Sinne der Adjunktion von Transformationen bzw. Matrizen gilt x = x und das Skalarprodukt schreibt sich als bra(c)ket x y = x y =: x y. Die bra-ket-notation passt sich an die assoziativen Gesetzmässigkeiten der Matrixmultiplikation problemlos an: - Ist A eine lineare Transformation von H, so ist A x = Ax und für x (Ay) = (A x) y schreibt man x A y. Beachte x A = x A = x A = (A x ) - Ist A = [a i,j ] 1 i,j n die Matrixdarstellung der gleichbenannten Transformation bezüglich der Basis B, also Av (j) = 1 i n a i,jv (i), so gilt a i,j = v (i) A v (j). Aus diesem Grunde bezeichnet man die Konstrukte v (i) A v (j) auch als Matrixelemente. - Auch x y ist eine erlaubte und sinnvolle Konstruktion, denn für alle z H muss β 1. β n. ( x y ) z = x y z = x ( y z ) = x ( y z ) = y z x gelten, d.h. x y : H H ist eine lineare Transformation, die durch die Matrix α 1. [ α 1 β1... α 1 β n β1... βn ] =..... α n α n β1... α n βn dargestellt wird. Ein Spezialfall ist besonders wichtig: x x : H H : y ( x y ) x = (x y) x ist die orthogonale Projektion von y auf den von x erzeugten Teilraum. 5

E EPR-Gedankenexperiment Ein von A. Einstein, B. Podolski und N. Rosen im Jahr 1935 konzipiertes Gedankenexperiment, das eine Unvollständigkeit der weithin akzeptierten Kopenhagener Deutung der Quantentheorie aufzeigen sollte. Ein verschränkter Zustand, etwa ein Bell-Zustand wird erzeugt und die beiden Teile des -qubit-systems werden so weit voneinander entfernt, dass sich Messungen an ihnen nicht beeinflussen können. Trotzdem determiniert die Messung an einem Teil (mit einem völlig zufälligen Resultat) vollkommen den Zustand und damit ein Messresultat am anderen Teil. Im Sinne eine lokalen und realistischen physikalischen Theorie sollte das nur möglich sein, indem beide Teile von ihrer Genese her zusätzliche Information hidden variables mit sich tragen. Dann müsste ein solches System aber der Bell-Ungleichung genügen. Dies ist inzwischen experimentell falsifiziert worden. Erwartungswert Ist H ein Hilbertraum, v H ein normierter Vektor und A eine normale Transformation von A, so bezeichnet man (in Dirac-Notation geschrieben) v A v als Erwartungswert von A bezüglich v. Man schreibt dafür oft einfach A, wenn klar ist, auf welches v man sich bezieht. Ist dim H = n und A = i λ i v (i) v (i) die Spektraldarstellung von A, so ist i v v (i) (1 i n) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung 3 auf {1,,..., n} und v A v = i λ i v v (i) v (i) v = i λ i v v (i) ist der Erwartungswert der Zufallvariablen i λ i (1 i n). H Hadamard-Matrix Die Hadamard-Matrix H ist die Matrix H = 1 [ ] 1 1 1 1 Das n-fache Tensor- oder Kronecker-Produkt von H mit sich selbst ist H n = 1 [ ( 1) bin(x) bin(y)]. n 0 x< n 0 y< n Diese Aufgabe dieser Matrix ist die Generierung von überlagerten Zuständen aus Basiszuständen. 3 Hierbei wird verwendet, dass v normiert ist und dass die v (i) ein ON-Basis bilden! 6

hermitesche Transformation Eine lineare Transformation A (oder eine sie realisierende Matrix) heisst hermitesch oder selbstadjungiert, wenn sie gleich ihrer adjungierten Transformation Matrix A ist. Hinweis: der Begriff hermitesch wird im Fall unendlich-dimensionaler Hilberträume anders definiert und stimmt dort nicht mit selbstadjungiert überein. Hilbertraum Ein (komplexer) Hilbertraum H ist ein Vektorraum über C, der mit einem komplexen Skalarprodukt H H C : (x, y) x y ausgestattet ist, für das folgende Regeln gelten: 1. x y = (y x) für alle x, y H,. x (α y + β z) = α(x y) + β(x z) für alle x, y, z H, α, β C, 3. x x 0 für alle x H, wobei x x = 0 x = 0 und der vollständig ist (d.h., alle Cauchy-Folgen konvergieren in H bezüglich der Metrik auf H, die durch die Norm x = x x gegeben ist. Beachte: aus 1. und. folgt und allgemein (α x) y = (y α x) = α (y x) = α (x y) (α x + β y) z = α (x z) + β (y z). Wichtig: Die Vollständigkeit ist automatisch erfüllt, falls H endlich-dimensional ist! Im Kontext der Quantencomputing wird nur dieser Fall betrachtet. Alle vorkommenden Hilberträume H sind also vom Typ C n, d.h H ist isomorph zu C n, falls dim C H = n. Die folgenden (Un-)Gleichungen gelten in jedem Hilbertraum: 1. x y x y (Cauchy-Schwarz). x + y x + y (Dreieck, Minkowski) 3. x + y + x y = x + y (Parallelogramm) Vektoren x, y H sind orthogonal, notiert mit x y, falls x y = 0 gilt. Eine Basis {v (1),..., v (n) } von H bestehend aus paarweise orthogonalen und normierten Vektoren ist ein ON-Basis. Aus n linear-unabhängigen Vektoren kann man eine orthonormale Basis, kurz ON-Basis, von H konstruieren (Gram-Schmidt-Verfahren). Ist {v (1),..., v (n) } ein ON-Basis von H, also v (i) v (j) für 1 i < j n, so gilt für das Skalarprodukt von Vektoren x = 1 i n α i v (i), y = 1 i n β i v (i), x y = αi β i. 1 i n 7

K ket-vektor Ein ket-vektor in der Dirac-Notation bezeichnet ein Element des zugrunde liegenden Vektorraumes H als Spaltenvektor. Kommutator, Antikommutator Sind A, B M n (C) Matrizen (oder auch Operatoren auf demselben Raum), so definiert man den Kommutator als [A, B] = AB BA und den Antikommutator als {A, B} = AB + BA. kontrollierte Negation CNOT Kronecker-Produkt Sind A = [a i,j ] M m,n und B = [b k,l ] M p,q Matrizen, so ist die (m p) (n q)-matrix a 1,1 B... a 1,n B A B = [a i,j B] =..... a m,1 B... a m,n B das Kronecker- oder auch Tensorprodukt von A und B. L lokaler Realismus Unter diesem Schlagwort werden zwei Hypothesen verstanden, die traditionelle (d.h. nicht quantenmechanische) Eigenschaften physikalischer Theorien in abstrakte Form fassen. Die Hypothese der Lokalität besagt, dass sich Ereignisse, hier Messungen, die in der relativistischen Raum-Zeit-Welt zu weit auseinanderliegen, sich nicht beeinflussen können. Die Hypothese des Realismus gesagt, dass sich Verteilungen bzw. Erwartungswerte von Eigenschaften von Objekten, die reproduzierbar gemessen werden können, einen Aspekt der physikalischen Realität beschreiben, und zwar unabhängig davon, ob sie gemessen werden oder nicht Diese Hypothesen spielen in dem EPR-Gedankenexperiment eine zentrale Rolle. Die experminetell verifizierte Verletzung der Bell-Ungleichung zeigt, dass die Quantentheorie keine lokal realistische Theorie ist. 8

M Messung Eine Messung eines quantenmechanischen Systems wird beschrieben durch eine Familie M = {M m } von Transformationen ( Messoperatoren ), die durch die Menge der möglichen Messwerte m indiziert ist. Die Operatoren E m M mm m sind dann positive Operatoren und die wesentliche Bedingung an die Familie M = {M m } ist die, dass m E m = m M mm m = I ist. Die Interpretation dieser Situation ist die, dass die durch M = {M m } beschriebene Messung für ein System im Zustand ψ mit Wahrscheinlichkeit p(m) = ψ M mm m ψ den Messwert m liefert und sich das System unmittelbar nach der Messung im Zustand 1 p(m) M m ψ = M m ψ ψ M mm m ψ befindet. Ein wichtiger Spezialfall von Messungen sind die projektiven Messungen. N normale Transformation Eine lineare Transformation A von H = C n (oder eine sie realisierende Matrix A M n (C)) heisst normal, wenn sie mit ihrer adjungierten Transformation kommutiert, d.h. AA = A A. Wichtig: die normalen Transformationen (Matrizen) sind genau diejenigen Transformationen (Matrizen), die sich diagonalisieren lassen, d.h. es gibt eine ON-Basis von H, in der A Diagonalgestalt ( Spektraldarstellung) hat, d.h. die Basisvektoren sind Eigenvektoren von A. Wichtige Unterklassen der normalen Transformationen sind selbstadjungierte (reelle Eigenwerte), positive (nichtnegative reelle Eigenwerte) und unitäre (komplexe Eigenwerte mit Absolutbetrag 1) O Observable Physikalischer Begriff zur Bezeichnung von beobachtbaren oder messbaren Grössen. Synonym mit projektive Messung. 9

P Pauli-Matrizen Die Pauli-(Spin)-Matrizen X, Y, Z sind die Matrizen [ ] [ ] [ ] 0 1 0 i 1 0 X = Y = Z = 1 0 i 0 0 1 [ ] 1 0 Sie bilden zusammen mit der Einheitsmatrix I = eine Basis des Vektorraums 0 1 M (C) der komplexen ( )-Matrizen. Häufig wird X mit σ x oder σ 1, Y mit σ y oder σ, Z mit σ z oder σ 3 und die Einheitmatrix mit σ 0 bezeichnet. Entsprechend wird der Vektor der Pauli-Matrizen mit σ = (X, Y, Z) notiert. Ist v = (v x, v y, v z ) R 3 ein reeller Vektor der Länge 1, so spielt das Skalarprodukt [ ] v v σ = v x X + v y Y + v z Z = z v x i v y v x + i v y v z im Kontext der Rotationsmatrizen eine wichtige Rolle. Die Pauli-Matrizen haben eine einfache anschauliche Interpretation als Transformationen der Bloch-Sphäre. Phase, Phasenfaktor Zustände ψ und e iθ ψ (θ reell) unterscheiden sich nur um den (globalen) Phasenfaktor e iθ, der aus der Sicht des Messens irrelevant ist. Es ist üblich, Zustände, die sich nur um einen solchen Faktor unterscheiden, miteinander zu identifizieren. positive Transformation Eine lineare Transformation A von H = C n (oder eine sie realisierende Matrix A M n (C)) heisst positiv, wenn (x, Ax) 0 für alle x H gilt. Positive Transformationen sind hermitesch. projektive Messung Eine p.m. (gelegentlich auch als von-neumann-messung bezeichnet) ist eine hermitesche (selbstadjungierte) Transformation mit Spektralzerlegung M = m m P m bei der die Transformationen P m die Projektionen auf den jeweiligen Eigenraum zum Eigenwert m sind. 10

Für eine System im Zustand ψ wird der Messwert m wird mit Wahrscheinlichkeit p(m) = ψ P m ψ gemessen und unmittelbar nach der Messung befindet sich das System im Zustand 1 p(m) P m ψ Projektive Messungen sind solche Messungen M = {M m, }, bei denen die M m hermitesch sind und die Orthogonalitätsbedingung M m M m = δ m,m M m erfüllen. Der Erwartungwswert einer projektiven Messung M in einem Zustand ψ ist E(M) = m m p(m) = m m ψ P m ψ = ψ m mp m ψ = ψ M ψ und wird mit M abgekürzt. Q Quantenregister Ein einzelnes Quantenregister ist ein qubit. Ein n-faches Quantenregister wird dargestellt durch das n-fache Tensorprodukt H n = (C ) n. H n ist also isomorph zu C n. Eine ON-Basis von H n ist gegeben durch die n Basisvektoren (in Dirac-Notation) b = b 1 b... b n = b 1 b b n mit b = b 1 b... b n B n Man schreibt diese Basiszustände oft auch als k mit 0 k < n und meint damit bin(k), wo bin(k) die Binärdarstellung von k ist. In dieser Reihenfolge werden auch die Matrizenkomponenten in Zeilen und Spalten indiziert. Ein Zustand ψ ist ein normierter Vektor ψ = α b b mit α b = 1 b B n b B n also eine Überlagerung (Superposition) der Basiszustände b, b B n mit den Amplituden α b. Die wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation besagt, dass man bei Messung von ψ in der ON-Basis das Ergebnis b mit Wahrscheinlichkeit α b erhält. Wichtig: Zustandstransformationen des Quantenregisters H n werden durch unitäre Tranformationen auf H n realisiert, Messungen durch selbstadjungierte Transformationen von H n. 11

qubit Der Hilbertraum H = C mit den beiden Einheitsvektoren [ 1 0 ] t [ ] t und 0 1 als ON- Basis repräsentiert ein Quantenregister, genannt qubit. In der Dirac-Notation schreibt man 0 für [ 1 0 ] t [ ] t. und 1 für 0 1 Zustandsvektoren (Zustände des qubits) sind normierte Vektoren aus H, also [ ] α0 ψ = bzw. ψ = α 0 0 + α 1 1 mit α 0 + α 1 = 1. α 1 eine manchmal nützliche Veranschaulichung der Zustandsmenge eines qubits ist die Bloch-Sphäre, die auf der Darstellung [ ] ( α0 e iγ cos θ 0 + eiφ sin θ ) 1 mit reellen γ, θ, φ beruht. R Rotationsmatrizen α 1 Die Rotationen der Bloch-Sphäre um die Koordinatenachsen des R 3 mit Drehwinkel θ schreiben sich mit Hilfe der Pauli-Matrizen als R x (θ) = e iθ/ X = cos θ I i sin θ [ cos θ X = i sin θ ] i sin θ cos θ R y (θ) = e iθ/ Y = cos θ I i sin θ [ cos θ Y = sin θ ] sin θ cos θ [ ] R z (θ) = e iθ/ Z = cos θ I i sin θ Z = e i θ 0 0 e i θ Allgemein: ist v = (v x, v y, v z ) R 3 ein Vektor der Länge 1, so beschreibt die Matrix R v (θ) = e iθ/ v σ = cos θ I i sin θ v σ die Rotation der Bloch-Sphäre um die durch v bestimmte Achse mit dem Winkel θ. Jede unitäre Transformation U von C ist, von einem physikalisch irrelevanten Phasenfaktor abgesehen, eine Rotation, d.h. U = e i α R v (θ) mit reellen α, θ, v und lässt sich mit Rotationen um zwei beliebige (!) Achsen v und u darstellen als U = e i α R v (β) R u (γ) R v (δ) mit reellen α, β, γ, δ. 1

S selbstadjungierte Transformation Eine lineare Transformation A von H = C n (oder eine sie realisierende Matrix A M n (C)) heisst selbstadjungiert oder hermitesch, wenn sie mit ihrer adjungierten Transformation A übereinstimmt, d.h. AA = A A. Selbstadjungierte Transformationen (Matrizen) sind offensichtlich normal, haben also eine ON-Basis von Eigenvektoren. In diesem selbstadjungierten Fall (genau!) sind alle Eigenwerte reell. separabel Ein Element eines Tensorproduktes V W zweier Vektorräume V und W heisst separabel, wenn es in der Form v w mit v V und w W dargestellt werden kann. Elemente, die nicht separabel sind, nennt man in der Quantenwelt verschränkt. Spektraldarstellung Ist A ein normaler Operator eines endlich-dimensionalen Hilbertraumes H, dim H = n, so hat er eine ON-Basis von Eigenvektoren, d.h. es gibt normierte, paarweise orthogonale Eigenvektoren v (i) mit Eigenwerten λ i (1 i n). In der Dirac-Notation schreibt sich dann A als A = λ i v (i) v (i) Spur 1 i n Ist A = [a i,j ] M m,n (C) eine Matrix, so bezeichnet man die Summe Sp(A) = 1 i n a i,i der Diagonalelemente als Spur von A. Es gilt: Sp(A + B) = Sp(A) + Sp(B), Sp(AB) = Sp(BA), Sp(A ) = Sp(A). Ist A eine lineare Transformation, so ist die Spur aller Matrixdarstellungen von A dieselbe, so dass man auch von der Spur einer linearen Transformation sprechen kann. Am Falle diagonalisierbarer Transformationen (Matrizen) sieht man, dass Sp(A) auch die Summe der Eigenwerte von A ist. Ist H ein Hilbertraum und x H, so gilt x = Sp( x x ), d.h. die Zustandsvektoren im Quantensinne zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Dichtematrix die Spur 1 hat. Ist v H ein normierter Vektor und A eine normale Transformation, so gilt bezüglich des Erwartungswertes A = v A v = Sp( v A v ) = Sp(A v v ) 13

T Teleportation In dem 3-qubit System H 3 = (C ) 3 kann ein unbekannter Zustand ψ auf dem ersten qubit mit Hilfe eines Bell-Zustandes β 00 auf den beiden anderen qubits auf das dritte qubit teleportiert werden, wobei nur zwei klassische bit Information als Ergebnisse von Messungen auf den ersten beiden qubits benötigt werden. Tensorprodukt Sind V, W zwei komplexe Vektorräume, so kann man aus den Paaren von Elementen (v, w) (v V, w W ), geschrieben als neue Symbole ( Tensoren ) v w, Linearkombinationen über C bilden, also endliche Summen α k v k w k. k Mit den offensichtlichen Rechenregeln (Addition, Skalarmultiplikation) für solche Linearkombinationen und den Regeln α(v w) = (α v) w = v (α w) v (w + w ) = (v w) + (v w ) (v + v ) w = (v w) + (v w) wird die Menge der Linearkombinationen zu einem C-Vektorraum, als das Tensorprodukt von V und W bezeichnet und mit V W notiert. Ist B V = {v (1),..., v (m) } eine Basis von V und B W = {w (1),..., w (n) } eine Basis von W, so bilden die m n Tensoren v (i) w (j) mit 1 i m, 1 j n eine Basis B V B W von V W. Sind V und W Hilberträume und die angegebenen Basen B V und B W sogar ON- Basen, so ist auch B V B W eine ON-Basis bezüglich des Skalarprodukts ( k α k v k w k, l β l v l w l ) = k,l α k β l (v k, v l )(w k, w l ) Ist A eine lineare Transformation von V und B eine lineare Transformation von W, so ist A B : α k v k w k α k A(v k ) B(w k ) k k eine lineare Transformation von V W, genannt das Tensorprodukt von A und B. Stellt man A und B mittels Matrizen dar, so wird die entsprechende Konstruktion als das Kronecker-Produkt bezeichnet. Tensorprodukte normaler bzw. positiver bzw. hermitescher bzw. unitärer Transformationen haben wieder die jeweilige Eigenschaft. 14

U unitär Eine lineare Transformation A (oder eine sie realisierende Matrix) eines Hilbertraumes H heisst unitär, wenn sie invertierbar ist und ihre Inverse gleich ihrer Adjungierten ist, d.h. A 1 = A oder auch AA = I = A A. Eine wichtige Charakterisierung unitärer Transformationen besteht darin, dass es genau(!) diejenigen Transformationen von H sind, die das Skalarprodukt (und damit auch Längen und Winkel) erhalten: (Ax) (Ay) = (A Ax) y = x y (x, y H) Unitäre Transformationen sind offensichtlich normale Transformationen, lassen sich also diagonalisieren und sind dadurch gekennzeichnet, dass ihre Eigenwerte den Absolutbetrag 1 haben, also auf dem komplexen Einheitskreis liegen. Die grosse Bedeutung unitärer Transformationen liegt darin, dass die Zustandstransformationen von geschlossenen (!) Quantensystemen unitär sind. Unschärferelation Sind A, B selbstadjungierte Transformationen auf dem Hilbertraum H, so gilt ( A) ( B) 1 [A, B] Dabei ist ( A) die Varianz von A und [A, B] der Kommutator von A und B. V Varianz Ist H ein Hilbertraum mit dim H = n, ist v H ein normierter Vektor und A eine selbstadjungierte lineare Transformation, so ist die Varianz von A bezüglich v der Erwartungswert von (A A ). verschränkt ( A) = (A A ) = A A Ein Element eines Tensorproduktes V W zweier Vektorräume V und W heisst verschränkt, wenn es nicht separabel ist, also nicht in der Form v w mit v V und w W dargestellt werden kann, sondern nur als Linearkombination von mindestens zwei solcher Terme. Prominente Beispiele verschränkter Zustände in C C sind die Bell-Zustände. 15

Z Zustand, Zustandsraum Der Zustandsraum des Quantencomputing ist i.d.r. ein endlich-dimensionaler Hilbertraum H C n, meist sogar ein Raum vom Typ (C ) k. Vektoren aus H werden üblicherweise als ket-vektoren geschrieben. Ein (reiner) Zustand in einem Vektorraum C n ist ein normierter (im Sinne der Dirac-Notation) an Stelle von ψ zu verwenden. Man bezeichnet ψ ψ als die Dichtematrix des Zustandes ψ. Gemischte Zustände (mixed states) werden dargestellt als konvexe Linearkombinationen von Dichtematrizen (und nicht etwa der zugehörigen der Vektoren!!) von reinen Zuständen, also durch Matrizen der Form p l ψ l ψ l 1 l m mit p l 0 (1 l m) und l p l = 1. M.a.W., gemischte Zustände sind endliche diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf der Menge der reinen Zustände. Geometrisch kann man die reinen Zustände mit den Punkten der Bloch-Sphäre und die gemischten, nicht-reinen Zustände mit den Punkten im Innern der Bloch- Sphäre identifizieren. Eine Dichtematrix ρ, d.h. eine positive Matrix mit Sp(ρ) = 1 beschreibt genau dann eine reinen Zusand, wenn die Spur Sp(ρ ) = 1 ist, also einen gemischten Zustand genau dann, wenn Sp(ρ ) < 1 ist. Zustandstransformation Die Dynamik eines abgeschlossenen Quantensystems wird durch unitäre Transformationen beschrieben. Wird das System durch die Schrödinger-Gleichung i d ψ = H ψ dt mit dem (zeitunabhängigen) hermiteschen Hamilton-Operator H beschrieben, so ist für zwei Zeitpunkte t 1 < t ψ(t ) = U(t 1, t ) ψ(t 1 ) = e i H(t t 1 ) ψ(t 1 ) mit unitärem U(t 1, t ) = e i H(t t 1 ). Hat der Hamilton-Operator H die Spektralzerlegung H = E E E E, wobei E den (normierten) Eigenvektor zum Eigenwert E bezeichnet, so sind diese E die Energiezustände oder auch stationären Zustände, denn für diese wird die zeitliche Entwicklung durch Multiplikation mit dem Phasenfaktor e i E t beschrieben. 16