und mit t in Sekunden wird mit einer Frequenz von 8000 Hz abgetastet. Die Abtastung beginnt bei t=0 mit dem Zeitindex n=0.

Aufgabe 1 Das periodische Signal x t) 0,5 sin(2 f t) 0,5 cos(2 f t) mit f 1000Hz und mit f 2000Hz ( 1 2 1 2 und mit t in Sekunden wird mit einer Frequenz von 8000 Hz abgetastet. Die Abtastung beginnt bei t=0 mit dem Zeitindex n=0. a) In welchem zeitlichen Abstand T werden zwei aufeinanderfolgende Abtastwerte bestimmt? b) Geben Sie das abgetastete Signal x(n) in allgemeiner Form als Funktion von n an. c) Bestimmen Sie die Amplitudenwerte der Abtastwerte zu den Zeitindices n=0, 3, 6 und n=7. Welche Zeitpunkte (in ms) entsprechen den angegebenen Zeitindices? Praktische Übung 1 1. Kontrollieren Sie Ihre Berechnungen in Aufgabe 1-c, in dem Sie die ersten 20 Abtastwerte des Signals x(t) in der graphischen Oberfläche des Signal-Generators erzeugen. Aufgabe 2 Ein Cosinussignal x( t) cos(2 f t) wird zur digitalen Verarbeitung des Signals mit einer Abtastfrequenz von f a = 8 khz abgetastet. Die Abtastung beginnt bei t=0 mit dem Zeitindex n=0. a) Bestimmen Sie die ersten 3 Abtastwerte eines Cosinussignals x 1 (t), das eine Frequenz von 1 khz besitzt. b) Bestimmen Sie die ersten 3 Abtastwerte eines Cosinussignals x 2 (t), das eine Frequenz von 7 khz besitzt. c) Vergleichen Sie die in den Unterpunkten a) und b) bestimmten Abtastwerte. Wie lässt sich dieses Ergebnis erklären? Praktische Übung 2 1. Kontrollieren Sie Ihre Berechnungen in den Aufgaben 2-a und 2-b, in dem Sie jeweils die ersten 16 Abtastwerte in der graphischen Oberfläche des Signal-Generators für das jeweilige Cosinussignal erzeugen. Erzeugen Sie anschließend einen 1 s langen Abschnitt des jeweiligen Signals und hören Sie sich das Ergebnis an. Wie hören sich die beiden Töne im Vergleich an: 2. Generieren Sie einen 1 s langen Sinuston mit der Frequenz 2 khz bei einer Abtastfrequenz von 16 khz. Hören Sie sich den Ton an. Bei welcher höheren Frequenzen (oberhalb der halben Abtastfrequenz) eines Sinussignals ergibt sich ein digitales Signal, das nach der Rekonstruktion ebenfalls als 2 khz Ton hörbar wird: khz H.G. Hirsch 1 DSV-Übung & Praktikum

3. Kontrollieren Sie Ihre Überlegung durch Generierung und Anhören der entsprechenden Sinustöne. Aufgabe 3 Ein analoges Audiosignal x(t), dessen Betragsspektrum im nachstehenden Bild dargestellt ist, wird mit einem Analog-Digital Umsetzer, der eine Abtastfrequenz von 10 khz besitzt, digitalisiert. -12-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 12 Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm das Spektrum des abgetasteten, zeitdiskreten Signals im Bereich von 0 bis +25 khz. X abgetastet (f) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Das abgetastete Signal wird mit einem idealen digitalen Bandpass gefiltert, der Frequenzanteile unterhalb von 2 khz und oberhalb von 4 khz vollständig unterdrückt. Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm zunächst die Filtercharakteristik des digitalen Bandpasses im Frequenzbereich von 0 bis +25 khz. H BP (f) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm das Spektrum des gefilterten Signals im Frequenzbereich von 0 bis +25 khz. X BP (f) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 H.G. Hirsch 2 DSV-Übung & Praktikum

Praktische Übung 3 In einem Experiment soll das wiederholte Auftreten des Spektrums eines analogen Signals bei Vielfachen der Abtastfrequenz aufgezeigt werden, wenn das analoge Signal abgetastet wird. 1. Generieren Sie dazu für eine Abtastfrequenz von 2560 Hz ein 100 ms langes Signal, das aus einer Cosinusschwingung mit einer Frequenz von 100 Hz besteht. Bestimmen Sie mit der graphischen Oberfläche zur FFT-Analyse (Diskrete Fourier Transformation) das Spektrum des Signals. Bei welcher Frequenz tritt eine Spektrallinie auf:.. Hz Im folgenden soll das aus den Abtastwerten bestehende Cosinussignal nochmals mit einer höheren Frequenz abgetastet werden. Dies kann man in der graphischen Oberfläche des Signal-Generators durch Auswahl des Menüpunkts Abtastrate und überabtasten realisieren. 2. Generieren Sie zunächst einen 10 ms langen Abschnitt eines 100Hz-Cosinussignals bei einer Abtastfrequenz von 1000 Hz, um den Effekt dieser Überabtastung zu visualisieren. Skizzieren Sie nachstehend die ersten 6 dabei auftretenden Abtastwerte. Führen Sie nun die Überabtastung mit dem Faktor 4 durch und skizzieren Sie in einer anderen Farbe die dabei erzeugten zusätzlichen Nullwerte. 0 1 2 3 4 5 n 3. Betrachten Sie nun nochmals die 100 ms lange Cosinusschwingung mit einer Frequenz von 100 Hz bei einer Abtastfrequenz von 2560 Hz. Nehmen Sie wieder eine Überabtastung mit dem Faktor 4 vor. Bestimmen Sie mit der graphischen Oberfläche zur FFT-Analyse bei einer FFT- Länge von 1024 das Spektrum des Signals. Bei welchen Frequenzen treten nun Spektrallinien auf:.. Aufgabe 4 Ein mit der Frequenz von 16 khz abgetastetes Signal besitzt im Bereich 0 f 8 khz das im nachstehenden Bild dargestellte Betragsspektrum. -24-20 -16-12 -8-4 0 4 8 12 16 20 24 H.G. Hirsch 3 DSV-Übung & Praktikum

a) Ergänzen und skizzieren Sie das Spektrum im Bereich -24 f +24 khz. Zur Übertragung im ISDN soll das abgetastete Signal bei der Abtastfrequenz f aneu = 8 khz unterabgetastet werden. Als erster Verarbeitungsschritt muss das Signal dazu gefiltert werden. b) Welcher Filtertyp (TP, HP oder BP) wird dazu benötigt und welche Grenzfrequenz f g (in khz) muss das Filter besitzen? Welchem relativen Verhältnis f g f a entspricht dies? c) Skizzieren Sie im nachstehende Diagramm das Spektrum des gefilterten Signals.. -24-20 -16-12 -8-4 0 4 8 12 16 20 24 d) Welcher zweite Verarbeitungsschritt wird benötigt? e) Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm das Spektrum des Signals nach der Anwendung des zweiten Verarbeitungsschritts? -24-20 -16-12 -8-4 0 4 8 12 16 20 24 Praktische Übung 4 Zur Durchführung von Experimenten zur Unter- und Überabtastung steht im Praktikum die graphische Oberfläche zur Abtastratenwandlung zur Verfügung. In dieser Oberfläche können die zur Unter- und Überabtastung benötigten Arbeitsschritte isoliert ausgeführt werden. 1. Laden Sie das Musiksignal africa_16k.wav, das mit 16 khz abgetastet wurde. Durch Anklicken des Lautsprechersymbols können Sie sich das Signal anhören. Durch Anklicken des roten Segments im Signalfenster kann bei gedrückter Maustaste ein kleiner Ausschnitt des Signals ausgewählt werden, der in dem darunter liegenden Fenster angezeigt werden. 2. Führen Sie nun die in der vorherigen Aufgabe bestimmte Filterung durch, in dem Sie die entsprechende Grenzfrequenz eingeben und das zugehörige Ausführen Symbol anklicken. Das gefilterte Signal als auch der entsprechende Ausschnitt werden in den rechten Fenstern angezeigt. Das gefilterte Signal können Sie sich durch Anklicken des zugehörigen Lautsprechersymbols anhören. H.G. Hirsch 4 DSV-Übung & Praktikum

3. Speichern Sie das gefilterte Signal ab und gehen Sie anschließend in die graphische Oberfläche zur FFT Analyse. Laden Sie zunächst das ungefilterte Signal africa_16k.wav. Analysieren Sie das Signal mit einer FFT Länge von 2048. Laden Sie anschließend das gefilterte Signal. Wird die durchgeführte Filterung dabei sichtbar? 4. Führen Sie nun in der graphischen Oberfläche zur Abtastratenwandlung den zweiten Verarbeitungsschritt durch. Welche Abtastfrequenz besitzt das unterabgetastete Signal:... Hz Bis zu welcher Frequenz kann das unterabgetastete Signal noch Frequenzanteile beinhalten: Hz 5. Überprüfen Sie die zuvor angegebenen Werte, in dem Sie das Signal wiederum abspeichern und in der graphischen Oberfläche zur FFT Analyse laden. Aufgabe 5 Ein mit der Frequenz von 16 khz abgetastetes Signal besitzt im Bereich 0 f 8 khz das im nachstehenden Bild dargestellte Betragsspektrum. -24-20 -16-12 -8-4 0 4 8 12 16 20 24 Zur Verwendung des Signals in einem qualitativ höherwertigen Audiosystem soll das abgetastete Signal bei der Abtastfrequenz f aneu = 40 khz überabgetastet werden. a) Welchen Wert nimmt das Verhältnis f aneu f a an? Da es sich dabei nicht um einen ganzzahligen Wert handelt, wird das kleinste gemeinsame Vielfache von f a und f aneu gesucht: b) Um welchen Faktor muss das mit 16 khz abgetastete Signal zunächst überabgetastet werden, um ein Signal mit einer Abtastfrequenz f akgv des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu erzeugen: Wie viele Nullwerte müssen dazu zwischen 2 Abtastwerten eingefügt werden:.. c) Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm das Spektrum des überabgetasteten Signals im Frequenzbereich -48 khz f 48 khz? -48-40 -32-24 -16-8 0 8 16 24 32 40 48 H.G. Hirsch 5 DSV-Übung & Praktikum

d) Bevor die Unterabtastung vorgenommen werden kann, muss das überabgetastete Signal zuvor gefiltert werden. Welcher Filtertyp (TP, HP oder BP) wird dazu benötigt und welche Grenzfrequenz f g (in khz) muss das Filter besitzen? Welchem relativen Verhältnis entspricht dies? e) Welcher letzte Verarbeitungsschritt muss nun noch angewendet werden? f) Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm das Spektrum des Signals nach der Anwendung des letzten Verarbeitungsschritts? f g f akgv -48-40 -32-24 -16-8 0 8 16 24 32 40 48 Praktische Übung 5 1. Laden Sie in der graphischen Oberfläche zur Abtastratenwandlung wieder das Musiksignal africa_16k.wav, das mit 16 khz abgetastet wurde. Es sollen die in der vorherigen Aufgabe bestimmten Verarbeitungsschritte zur Generierung eines bei einer Frequenz von 40 khz überabgetasteten Signals durchgeführt werden. 2. Führen Sie den in der Aufgabe 5-b) bestimmten Verarbeitungsschritt durch. Hören Sie sich das überabgetastete Signal an. Speichern Sie das Signal ab und laden Sie es wiederum in der graphischen Oberfläche zur Spektralanalyse. Bei welchen Frequenzen tritt das Tiefpassspektrum des Originalsignals wieder auf: 3. Führen Sie die in der Aufgabe 5-d) bestimmte Filterung durch. Hören Sie sich das gefilterte Signal an. Speichern Sie das Signal ab und laden Sie es wiederum in der graphischen Oberfläche zur Spektralanalyse. In welchem Frequenzbereich sind keine Signalanteile mehr vorhanden:. 4. Führen Sie nun in der graphischen Oberfläche zur Abtastratenwandlung den unter 5-e) ermittelten letzten Verarbeitungsschritt durch. Welche Abtastfrequenz besitzt das unterabgetastete Signal:... Hz Bis zu welcher Frequenz kann das unterabgetastete Signal noch Frequenzanteile beinhalten: Hz 5. Überprüfen Sie die zuvor angegebenen Werte, in dem Sie das Signal wiederum abspeichern und in der graphischen Oberfläche zur FFT Analyse laden. H.G. Hirsch 6 DSV-Übung & Praktikum

Aufgabe 6(*) Im Rahmen dieser Aufgabe wird gezeigt, dass man durch eine bewusste Verletzung des Abtasttheorems ein Bandpasssignal speichereffizient erfassen kann. Es wird ein Bandpasssignal betrachtet, das nur Frequenzanteile im Bereich von 6 bis 7 MHz besitzt, wie es das nachstehend dargestellte Spektrum widerspiegelt. f/mhz -12-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 12 a) Mit welcher Frequenz muss das Signal nach dem Abtasttheorem mindestens abgetastet werden? Wie viele Abtastwerte ergeben sich bei einer Abtastung eines 10 s langen Signalabschnitts? b) Mit welcher minimalen Frequenz könnte das Signal abgetastet werden, wenn man nur die Bandbreite des Signals berücksichtigt (d.h. nach einer Verschiebung der Frequenzanteile in den TP Bereich)? c) Mit welcher minimalen Frequenz kann das Bandpasssignal direkt abgetastet werden, so dass die Frequenzanteile des analogen Signals im Bereich von 6 bis 7 MHz bei dem abgetasteten Signal im Bereich von 0 bis 1 MHz auftreten? Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm das Spektrum des abgetasteten Signals im Frequenzbereich -12 MHz f 12 khz? f/mhz -12-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 12 d) Wie viele Abtastwerte ergeben sich in diesem Fall bei der Abtastung eines 10 s langen Signalabschnitts? H.G. Hirsch 7 DSV-Übung & Praktikum

Aufgabe 7 Die in der Aufgabe 1-c) bestimmten Abtastwerte werden mit Hilfe eines linearen Quantisierers quantisiert, mit dem der Amplitudenbereich von 2 bis +2 mit k=6 Bit codiert wird. Der Quantisierer arbeitet mit der im nachstehenden Bild dargestellten Kennlinie: Δx -2 Δx/2-2Δx Δx +2 Eingangsamplitude a) Bestimmen Sie die aus der Quantisierung resultierenden Amplitudenwerte zu den Zeitindices n=0, 3, 6 und n=7. b) Bestimmen Sie die dabei auftretenden Quantisierungsfehler. Aufgabe 8 Das Ziel dieser Aufgabe ist die Berechnung des SNR für die im ISDN eingesetzte nichtlineare Quantisierung. Dazu wird das gleichwahrscheinliche Auftreten der Amplitudenwerte eines analogen Signals x(t) im Amplitudenbereich 0 x +1 angenommen. a) Skizzieren Sie die zum Signal x(t) gehörige Verteilungsdichtefunktion. Wie groß ist die Leistung S des Signals? Das Signal x(t) wird mit einer nichtlinearen Quantisierung nach dem Standard G.711 digitalisiert. Im folgenden wird nur der Quantisierungsbereich positiver Amplitudenwerte im Bereich 0 x +1 betrachtet. Die nichtlineare Quantisierung erfolgt durch eine segmentweise lineare Quantisierung. Dazu werden nachstehend Angaben bezüglich des zu quantisierenden Wertebereichs sowie der Anzahl der in diesem Segment verwendeten Quantisierungsintervalle für die 7 Segmente im positiven Amplitudenbereich gemacht: H.G. Hirsch 8 DSV-Übung & Praktikum

Segmentnummer Amplitudenbereich Anzahl der Quantisierungsintervalle 0 0 x < +1/64 32 1 +1/64 x < +1/32 16 2 +1/32 x < +1/16 16 3 +1/16 x < +1/8 16 4 +1/8 x < +1/4 16 5 +1/4 x < +1/2 16 6 +1/2 x < +1 16 b) Bestimmen Sie für die 7 Segmente jeweils die Breite eines Quantisierungsintervalls. c) Wie groß ist die Leistung des Quantisierungsrauschens N i (0 i 6) in jedem der 7 Segmente, wenn die Quantisierungsfehler gleichverteilt auftreten. d) Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die Amplitudenwerte des Signals x(t) in jedem der 7 Segmente auf? e) Bestimmen Sie die bei Quantisierung des Signals x(t) auftretende Leistung des Quantisierungsrauschens als Erwartungswert über die in den einzelnen Segmenten bestimmten Werte des Quantisierungsrauschens. Hinweis: Zur Bestimmung des Erwartungswerts werden die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte in den einzelnen Segmenten berücksichtigt. f) Welches SNR (in db) ergibt sich damit für die Quantisierung des Signals x(t)? Praktische Übung 7&8 Laden Sie in der graphischen Oberfläche zur Quantisierung das Sprachsignal kutsch.wav. Bestimmen Sie das sich einstellende SNR bei einer Codierung mit k = 10, 8, 6, 4, 2, 1 Bit. Tragen Sie die Werte in die nachstehende Tabelle ein. Hören Sie sich das quantisierte Signal und den Quantisierungsfehler jeweils an. k/bit 1 2 4 6 8 10 SNR/dB Erzeugen Sie sich in der graphischen Oberfläche zur Signalgenerierung ein 1 s langes Signal, das die beiden Voraussetzungen (was seine statistischen Eigenschaften betrifft bzw. die Aussteuerung des Quantisierers angeht) zur Bestimmung des möglichen SNR für 10 log S 10( ) 0dB erfüllt. S Welche Signalformen sind zur Generierung eines solchen Signals geeignet: voll H.G. Hirsch 9 DSV-Übung & Praktikum

Ermitteln Sie mit Hilfe der graphischen Oberfläche zur Quantisierung die SNR Werte für dieses Signal bei einer - linearen Quantisierung mit 8 Bit: db - linearen Quantisierung mit 12 Bit: db - nichtlinearen Quantisierung nach G.711: db Dämpfen Sie in der graphischen Oberfläche zur Signalgenerierung das zuvor erzeugte Signal um 30 db, in dem Sie es mit einem entsprechenden Faktor multiplizieren (= Multiplikation mit einem Gleichanteil!!!). Wie groß muss der Faktor dazu gewählt werden: Ermitteln Sie wiederum mit Hilfe der graphischen Oberfläche zur Quantisierung die SNR Werte für das gedämpfte Signal bei einer - linearen Quantisierung (des Amplitudenbereichs von 1 bis +1) mit 8 Bit: db - linearen Quantisierung (des Amplitudenbereichs von 1 bis +1) mit 12 Bit: db - nichtlinearen Quantisierung nach G.711: db Laden Sie in der graphischen Oberfläche zur Quantisierung das Sprachsignal kutsch.wav. Welches SNR stellt sich ein bei einer - linearen Quantisierung mit 8 Bit: db - linearen Quantisierung mit 12 Bit: db - nichtlinearen Quantisierung nach G.711: db Dämpfen Sie nun die Leistung des Sprachsignals nacheinander um 6, 12 und 18 db, in dem Sie es in der Oberfläche zur Signalgenerierung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren. Welche SNR Werte stellen sich für eine lineare Quantisierung des Wertebereichs von 1 bis +1 mit k = 8 Bit bzw. für eine nichtlineare Quantisierung ein. Welcher Gewinn (in db) bezüglich des SNR lässt sich durch die nichtlineare Quantisierung im Vergleich zur linearen Quantisierung erzielen? 10 log ( S 10 S voll ) / db 0-6 -12-18 SNR /db linear (-1 +1) 8 Bit SNR /db nichtlinear SNR Gewinn /db Hören Sie sich die quantisierten Signale jeweils im Vergleich zum nicht quantisierten Signal an. H.G. Hirsch 10 DSV-Übung & Praktikum

Aufgabe 9(*) Die Amplitudenwerte eines analogen Signals x(t) treten gemäß der im nebenstehenden Bild dargestellten Verteilungsdichtefunktion im Amplitudenbereich von 0 x +1 auf. A p(x) a) Bestimmen Sie den Wert von A. b) Berechnen Sie die Leistung S des Signals x(t). 0 1 x Zur Digitalisierung des Signals wird der Wertebereich 0 x +1 zunächst linear mit 2 Bit quantisiert. c) Bestimmen Sie die Leistung N der Quantisierungsfehler. d) Geben Sie das SNR (in db) an. e) Geben Sie Amplitudenwerte b 0 bis b 4, die die Grenzen der 4 Quantisierungsintervalle festlegen, sowie die 4 Quantisierungsniveaus ˆx 1 bis ˆx 4 an. b 0 b 1 b 2 b 3 b 4 ˆx 1 ˆx 2 ˆx 3 ˆx 4 Zur nichtlinearen Quantisierung sollen im Folgenden die Intervallgrenzen und die Quantisierungsniveaus eines Max-Lloyd Quantisierers bestimmt werden, ausgehend von einer linearen Unterteilung des zu quantisierenden Amplitudenbereichs 0 x +1. f) Berechnen Sie die Quantisierungsniveaus xˆ 1 neu bis xˆ 4 neu, die sich gemäß der Max-Lloyd Quantisierung nach der ersten Iteration bestimmen lassen. Bestimmen Sie die Amplitudenwerte b 0neu bis b 4neu 0 1 der zugehörigen Intervallgrenzen. xˆ 1neu xˆ 2neu xˆ 3neu xˆ 4neu b 0neu b 1neu b 2neu b 3neu b 4neu g) Berechnen Sie die Quantisierungsniveaus xˆ 1 neu bis xˆ 4 neu und die zugehörigen Intervallgrenzen b 0 neu bis b 4 neu einstellen., die sich nach einer weiteren Iteration gemäß der Max-Lloyd Quantisierung xˆ 1neu xˆ 2 neu xˆ 3 neu xˆ 4 neu b 0 neu b 1 neu b 2 neu b 3 neu b 4 neu H.G. Hirsch 11 DSV-Übung & Praktikum