Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn Ax 0 und Ay 0, dann ist auch i Ax + y Ax + Ay 0 + 0 0 ii Aλx λax λ0 0, λ R Das sind die Eigenschaften eines Vektorraumes, so dass einer ist KernA {x R n : Ax 0} c b 0 Wenn Ax b und Ay b, dann ist gilt auch i 0 Ax Ay Ax y x y KernA, ii Ax + z b für alle z KernA Satz Die Menge der Lösungen des homogenen LGS Ax 0 ist ein Unterraum des R n, genannt der Kern der Matrix A Notation KernA Entweder ist KernA {0} oder es ist dim KernA n mit dim KernA k Dann existiert eine Basis x,, x k von KernA und die Menge aller Lösungen des homogenen LGS ist k L 0 λ j x j, λ j R j
Ist x s irgend eine Lösung des inhomogenen LGS Ax s b x s heißt spezielle oder partikuläre Lösung, so ist L {x s + x 0, x 0 KernA} Quadratische Matrizen Betrachtet werden hier nur Matrizen A R n n Wenn das LGS A 0 eindeutig lösbar ist, dh L 0 {0 R n } KernA, dann ist dim KernA 0 Die Spalten von A sind linear unabhängig und bilden somit eine Basis von R n Folglich ist das LGS Ax b stets eindeutig lösbar Weiter folgt, dass für jedes b R n genau ein x R n existiert, so dass Ax b gilt Die Abbildung b x ist linear Deswegen ist diese Abbildung darstellbar als x Bb Die Matrix B heißt die inverse von A Notation A Es gilt x A b A Ax und b Ax AA b Somit folgt AA A A I n Definition Sei A R n n Wenn eine Matrix A R n n existiert mit AA A A I n, dann heißt A die inverse Matrix zu A Die Matrix A heißt dann regulär invertierbar Sonst heißt die Matrix singulär Satz Die folgenden Aussagen sind äquivalent: Die Matrix A R n n ist regulär invertierbar Das LGS A 0 hat die Lösungsmenge dim KernA 0 KernA {0} L {0 R n } 4 Das LGS Ax b ist für jedes b R n eindeutig lösbar mit x A b
a b Beispiel Es sei A R c d, wobei ad bc 0 Dann ist A regulär und die Inverse kann angegeben werden: A d b ad bc c a Verifizierung: AA A A ad bc ad bc ad bc ad bc Bemerkung Betrachte ã Satz Sei A R n n a b d b c d c a ad bc ab + ba cd cd cb + da d b a b c a c d ad bc db + bd ca ca cb + da a c 0, ã b d 0 ã ã e ad cb 0 0 0 0 0 I I Eine Berechnung ergibt ã, ã sind linear unabhängig a b, sind linear unabhängig c d Ist A invertierbar, so ist ihre Inverse A eindeutig bestimmt Ist AC I n für eine Matrix C R n n, so folgt CA I n und B A Ist auch B R n n auch invertierbar, so ist die Matrix AB invertierbar mit 4 Es gilt AB B A I n I n, A A, A A
Berechnung der Inversen Matrix Wir wollen nun ein Verfahren angeben, mit dem man feststellen kann, ob eine gegebene quadratische Matrix invertierbar ist, und mit dem sich die Inverse gegebenenfalls auch berechnen lässt Algorithmus Berechnung der Inversen Matrix Zunächst schreibt man die zu invertierende Matrix A R n n und die Einheitsmatrix nebeneinander in eine Doppelmatrix a a n a n a nn Anschließend versucht man, solange elementare Zeilenumformungen durchzuführen, bis auf der linken Seite eine obere Dreiecksmatrix steht dh alle Einträge unterhalb der Diagonalen Null sind: d 0 d 0 0 d n Ist bei dieser oberen Dreiecksmatrix mindestens ein Diagonaleintrag d i 0, so ist A nicht invertierbar Sind jedoch alle Diagonaleinträge in der oberen Dreiecksmatrix 0, so ist A invertierbar Durch weitere elementare Zeilenumformungen kann man dann erreichen, dass auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht: b b n b n b nn Die Matrix B b ij i,j auf der rechten Seite ist dann die Inverse von A Ist man lediglich an der Frage interessiert und nicht an der Berechnung der Inversen, ob A invertierbar ist, so kann man auch ein einfacheres Kriterium benutzen, das wir später kennenlernen werden Beispiel Es sei A 0 0 R 4
gegeben Wir prüfen nun, ob A invertierbar ist und bestimmen gegebenenfalls die Inverse A 0 0 0 0 0 0 0 0 II III II I III + I 0 0 0 0 0 0 0 Da auf der linken Seite eine obere Dreiecksmatrix steht, deren Diagonaleinträge alle 0 sind, ist A invertierbar und wir können fortfahren I I III 0 0 II II III 0 0 0 0 0 I I + II 6 0 0 0 0 0 0 0 Somit ist A I II III I 6 II III / / / / / / / 0 / Beispielsweise das LGS Ax Sei nun A x 0 4 6 0 / / / / / / / 0 / 0 0 / / / 0 0 / / / 0 0 / 0 / hat daher die eindeutige Lösung 6 0 6 R Wir gehen wie in vor: 0 0 0 0 0 4 0 0 5
II III II + I III + I 0 0 0 5 6 0 0 5 6 0 III III II 0 0 0 5 6 0 0 0 0 Da nun links eine obere Dreiecksmatrix erzeugt wurde und eine 0 auf der Diagonalen steht, ist A nicht invertierbar Drehmatrix y y E Px a, y a F G H B C x α O A D x Wir betrachten einen Punkt P x a, y a und wollen das Koordinatensystem um einen Winkel α gegen den Uhrzeigersinn drehen Wie sieht dann der Punkt P x b, y b im neuen Koordinatensystem aus? Es gilt im grünen Dreieck: OB OA cos α OB x a cos α Nach Konstruktion BC AD Im roten Dreieck: AD AP sin α AD y a sin α 4 OC OB + BC x a cos α + y a sin α Damit haben wir aber gerade die x-koordinate von P berechnet Im blauen Dreieck: OF OE cos α OF y a cos α Nach Konstruktion F G EH 6
Im gelben Dreieck: EH EP sin α F G x a sin α 4 OG OF F G y a cos α x a sin α Damit haben wir aber gerade die y-koordinate von P berechnet Insgesamt haben wir die Bedingungen: x b x a cos α + y a sin α y b x a sin α + y a cos α oder in Matrixform: xb y b cos α sin α sin α cos α xa y a Eine weitere Möglichkeit ist es das Koordinatensystem nicht zu drehen, sondern den Punkt P um den Ursprung Dazu mache man sich klar, dass dies eine Drehung im obigen Fall des Koordinatensystems um α bedeutet Für diesen auch im nächsten Beispiel betrachteten Fall ergibt sich: xb cos α sin α xa y b sin α cos α y a Beispiel Verkettung von Abbildungen Wir betrachten die Matrix A, die eine Drehung um 0 gegen den Uhrzeigersinn beschreibt Die inverse Matrix dazu beschreibt eine lineare Abbildung, die diesen Vorgang umkehrt Es muss sich bei A also um eine Drehung um 0 im Uhrzeigersinn handeln, so dass gilt: A : cos 0 sin 0 sin 0 cos 0 Das Produkt A A bzw AA ist dann die Einheitsmatrix I und erzeugt damit die lineare Abbildung, die einen Vektor unverändert lässt Die beiden Matrizen und 0 0 B 0 0 B 0 0 0 0 7
beschreiben jeweils eine Drehung um 0 im Uhrzeigersinn um die erste bzw die zweite Achse des Koordinatensystems des dreidimensionalen Raumes Auch eine Transformation, bei der zunächst die erste und dann die zweite Drehung ausgeführt wird, lässt sich mittels B und B beschreiben Dies leistet die Matrix B B B und die entsprechende lineare Abbildung f B : R R, f B x Bx B B x }{{} erste Drehung Man kann B leicht durch Matrixmultiplikation berechnen: 0 0 0 B B B 0 0 0 0 0 4 4 0 4 4 Wir betrachten nun die Matrix C f C : R R, f C x C x x und die lineare Abbildung x +x x +x Die Multiplikation eines Vektors x mit der Matrix C entspricht damit der Projektion von x auf die erste Winkelhalbierende Da man aus dem Vektor Cx nicht zurück auf x schließen kann, ist C nicht invertierbar die Inverse müsste Cx zurück auf x abbilden Mit den nachfolgenden Methoden kann man sich leicht davon überzeugen, dass C tatsächlich nicht invertierbar ist 4 Wir untersuchen nun, wie man eine Matrix D R findet, so dass die Multiplikation mit D einen Vektor x R zunächst um 0 gegen den Uhrzeigersinn dreht und dann auf die Winkelhalbierende projiziert Analog zu Teil leistet dies offenbar die Matrix D CA mit der linearen Abbildung f D : R R, f D x Dx C Ax }{{} gedrehter Vektor Man kann D wie folgt berechnen: D + 4 4 + 4 4 8