DIE DYNMISCHE OPTIMIERUNG BEIM GRDIENTENENTWURF Wlhelm CSPRY Hansbert HEISTER Walter WELSCH In: CSPRY, Wlhelm / WELSCH, Walter (Hrsg.) [98]: Beträge zur großräumgen Neutrasserung Schrftenrehe des Wssenschaftlchen Studengangs Vermessungswesen der Hochschule der Bundeswehr München, Heft 6, S. 40-58 ISSN: 073-009
DIE DYNMISCHE OPTIMIERUNG BEIM GRDIENTENENTWURF von W. Caspary, H. Hester und W. Welsch. Enführung Für das Problem der Gewnnmaxmerung auf dem Gebet der Unternehmensforschung wurden set Begnn der fünfzger Jahre n Form der lnearen und nchtlnearen Programmerung mathematsche Lösungsmethoden entwckelt, de n den letzten Jahren mehr und mehr auch auf technsche Problemstellungen übertragen wurden und sch ebenfalls dort als sehr wrkungsvoll erwesen haben. Wesentlch dazu begetragen hat de rapde Stegerung der Lestungsfähgket dgtaler Rechenanlagen. us derselben Zet werden de ersten Versuche (MILLER (958)) berchtet, de oft aufwendgen Trasserungsarbeten zu automatseren; dabe beschäftgte er sch noch hauptsächlch mt der Erstellung enes geegneten dgtalen Informatonsmodells. Erst nachdem man de herbe auftretenden Probleme gelöst hatte, war es möglch, ene automatsche Trassenfndung anzugehen. Des führte schleßlch zur nwendung verschedener Optmerungsalgorthmen, worüber vor allem n den rbeten von HINTZEN (965), BOESEFELD (970), SCHECK (973), KOCH (975), MNOLOPOULOS (979) berchtet wrd. Herzu mußten de be der manuellen Bearbetung mest ntutv berückschtgten Beurtelungskrteren mathematsch formulert und den vorhandenen Optmerungsmodellen angepaßt werden. We n dem Betrag CSPRY, HEISTER und WELSCH (98b) engehend erläutert, entsched man sch be der Bearbetung der egentlch dredmensonalen Entwurfsaufgabe für ene Trennung n Lage und Höhe. Wegen der Velschchtgket der Lageoptmerung wurde her ken strenger mathematscher Weg beschrtten, velmehr wurde ene Lösung durch nteraktves systematsches Proberen gesucht. Somt st unter Bebehaltung der berets optmerten Trasse de optmale Gradente zu fnden. Prnzpell snd bede Probleme stark korrelert, jedoch erschent zur Zet ene ganzhetlche strenge mathematsche Lösung ncht praktkabel. Da be der Gradentenbearbetung wet wenger enengende Randbedngungen zu berückschtgen snd sowe berets gerngfügge Änderungen der Entwurfspara- 40
meter großen Enfluß auf de Kosten haben, erschent es her snnvoll, en strenges mathematsches Modell zur Kostenoptmerung enzuführen. Unter dem Begrff mathematsche Optmerung faßt man ene Rehe von Methoden zusammen, de geegnet snd, Systeme hnschtlch ener vorher defnerten Zelgröße - der Zelfunkton - unter Enhaltung gewsser Nebenbedngungen - den Restrktonen - zu optmeren. Dabe werden dese Methoden ncht auf das System selbst, sondern auf ene modellhafte Nachbldung des Systems angewendet. Es wrd daher egentlch ncht das System, sondern das Modell optmert. Nur be hnrechend genauer Überenstmmung kann deshalb der erzelte Optmerungseffekt auf das System übertragen werden. Um be der vorlegenden Problemstellung ene möglchst gernge Klaffung zwschen System und Modell zu errechen, snd unter Zugrundelegung des n CSPRY, HEISTER und WELSCH (98a) beschrebenen dgtalen Informatonsmodells folgende Faktoren be der Formulerung von Zelfunkton und Restrktonen zu berückschtgen: a) Der Gradentenverlauf soll möglchst kostengünstg sen. Des st hauptsächlch abhängg von den Größen Grunderwerb, Damm, Enschntt, Höhe der ufständerung, Geländequernegung, Tunnel- und Brückenkosten. b) De Gradente soll möglchst gut den fahrdynamschen Egenschaften angepaßt sen; darunter st ene flüssge Lnenführung unter Enhaltung vorgegebener Mndestparameter zu verstehen. c) De Gradente soll n vorgegebenen bschntten der systemtypschen Bauwese von Hochgeschwndgketsbahnen entsprechen. d) De Gradente soll vorgegebene Zwangspunkte durchlaufen. Nach ener Gegenüberstellung der verschedenen Optmerungsverfahren, auf de her ncht näher engegangen werden soll, erschent der Ensatz der dynamschen Optmerung als besonders zweckmäßg, da de Berückschtgung der oben angegebenen Faktoren und somt ene gute Modellanpassung möglch st; dabe braucht auf ene strenge mathematsche Lösung ncht verzchtet zu werden. Das Modell und de erforderlchen Rechenregeln wurden von BELLMNN (957) für de Optmerung sequenteller Entschedungsprozesse entwckelt. Um de Übertragung der dynamschen Optmerung auf de vorgegebene ufgabenstellung besser nachvollzehen zu können, wrd zunächst ene kurze Enführung n das Verfahren und de Termnologe der Unternehmensforschung gegeben. 4
z e u = u (7). Das mathematsche Konzept. Dynamsche Optmerung Man geht davon aus, daß der Zustand enes Systems zu jedem Zetpunkt durch enen Zustandsvektor TE = (z E, z E,..., z pe ) () festgelegt werden kann. Untertelt man das System n Stufen, auf denen je- wels ene Entschedung TE = (e E, e E,..., e qe ) () gefällt werden kann, de das gesamte System beenflußt, dann kann man für den Übergang von ener Stufe zur Stufe + folgende Transformaton anschreben, um den neuen Zustandsvektor zu bestmmen: z + = v (z, e ). (3) Weterhn wrd der Gewnn auf de Stufe, der abhängt von dem Zustand z und der vorgenommenen Entschedung e, mt u (z, e ) bezechnet. Der Gesamtgewnn über N Stufen ergbt sch dann zu: U = NE = (z, e ) (4) Trfft man nun auf jeder Stufe nur solche Entschedungen, de de Gewnnfunkton U maxmert, so st de Lösung des dynamschen Programms de optmale Stratege E = (e, e,..., e N ) (5) Be vorgegebenem nfangszustand z st dann über de vorgegebene Transfor- maton (3) mt dem optmalen Entschedungsvektor e der optmale Zustand z zu berechnen. So fährt man fort bs de entsprechende Zustandsfolge errecht st. Z = (z, z, z 3,..., z E N+ ). (6) Jetzt st nur noch de Frage zu klären: We bestmmt man de optmale Stra- tege? Dazu bedent man sch der Rückwärtsrechnung mt folgenden Rechenre- geln: usgehend von der Stufe N berechnet man zunächst alle möglchen Gewnne u N durch Ensetzen aller Entschedungsmöglchketen: mt u N = u N (z N, e N ) + u E N+ E N+ u N+ (z N+ ) = 0. 4
u u z e = = Von desen Werten st aber nur der optmale für de wetere Rechnung von Be- deutung: N max {u N (z N, e N )} (8) Geht man zur nächsten Stufe N- zurück, dann lassen sch weder Gewnne u N- berechnen, de mt dem optmalen Gewnn u chen: N folgende Gewnnsummen ermögl- w N- = u N- (z N-, e N- ) + u (9) N Sucht man jetzt weder den maxmalen Wert von u N-, dann erhält man auf der Stufe N-: max w N- = u E N- = max {u N- (z N-, e N- ) + u N }. (0) llgemen glt für Stufe : max w = max {u (z, e ) + u E + }, = N, N-,...,. () Setzt man de Rückwärtsrechnung bs zur. Stufe fort, ergbt sch der opt- male Wert der Zelfunkton (4) zu: U = u = max w = max {u (z, e ) + u }. () Hat man so den optmalen Gewnn berechnet, können de optmale Stratege E und Z durch Vorwärtsrechnung bestmmt werden; be der Rückwärtsrechnung wurden nämlch neben den Funktonswerten u auch de optmalen Entschedun- gen für jeden Zustand abgespechert. Dann läßt sch aus () be vorgegebe- nem nfangszustand z und bekannten u, u de optmale Entschedung e festlegen. nschleßend kann über de Transformaton (3) der optmale Zu- stand z ermttelt werden. Für de -te Stufe glt = v - (z E E, e - - ) (3) mt E - = e - (z E - ). (4) Damt st das Zel der dynamschen Optmerung errecht, nämlch nach Bestmmung des optmalen Wertes U de optmale Stratege E und Zustandsfolge Z zu kennen. Deser zunächst abstrakte Lösungsweg soll durch en klenes Bespel auch graphsch näher erläutert werden: 43
u. Bespel Um drekt den Bezug zur Trasserung herzustellen, wrd ene Gradente verenfacht durch en Tangentenpolynom dargestellt (sehe bbldung a). Der optmale Verlauf deses Polynoms st nur durch Veränderung der Tangentenanstege zu errechen. Durch de nzahl der Tangenten st das System n N=4 Stufen untertelt. uf jeder Stufe snd de Entschedungsmöglchketen zur Änderung der Tangente durch den Entschedungsvektor e ( =,..., 4) festgelegt. Zum Bespel kann man auf der Stufe den nsteg der Tangente auf 0 %, 3 % und 6 % festlegen. Ist der Zustand z = 0 [m], (5) so wrd gemäß (3) mt dem bstand s der Tangentenschnttpunkte der Zustand zu Begnn der. Stufe durch de Transformaton berechnet: z = v (z, e ), (6) 0 0,00 0,00 z = z + s e = 0 + 00 0,03 = 3,00. (7) 0 0,06 6,00 Deser neue "Zustand" st n der bbldung a durch de Gtterpunkte (00,0; 00,3; 00,6) graphsch dargestellt. Weterhn kann jetzt auch für dese Stufe je nach Entschedung de Gewnnfunkton u berechnet werden. Her wurde en Kostenmodell smulert, das von der Fläche zwschen Tangente und Gelände abhängt. Je nach nsteg betragen de Kosten, de auch als negatve Gewnne berechnet werden können, -0, -0 oder -6. uf der. Stufe können jetzt n jedem Gtterpunkt weder de Entschedungen e gefällt werden. Des führt weder zu neuen Gtterpunkten und entsprechenden Kosten. So fährt man fort bs zur 4. Stufe. lle Möglchketen snd n bbldung a aufgezegt. Zel der Optmerung st de Bestmmung desjengen Tangentenpolynoms, das mnmale Kosten verursacht oder maxmalen Gewnn brngt. 4E = (z, e ) = U Max. (8) Nach (7) bestmmt man alle möglchen Gewnne u 4 auf der 4. Stufe, wobe de Endkosten mt u = 0 angesetzt werden. De Enzelwerte snd der bbldung b 5 zu entnehmen. Hervon snd jedoch nur de mnmalen Werte u für den wete- ren Rechengang nteressant. Geht man jetzt auf de 3. Stufe zurück, bldet man de Kostensummen w 3 nach (9). Für jeden Knotenpunkt zu Begnn der 3. Stu- 4 44
bb. a: Darstellung aller möglchen Tangentenpolynome bb. b: Darstellung der Rückwärtsrechnung 45
z z z z z = = = = E e e e e = = = = E. fe wrd jetzt weder das Optmum u 3 gesucht. Glechzetg wrd de herfür relevante Entschedungsvarable notert; se wurde n der bbldung a je- wels durch das Symbol gekennzechnet. Fährt man n desem Schema bs zur ersten Stufe fort, so ergbt sch der optmale Wert der Zelfunkton (8) zu: U = u = -8. Mt Hlfe der Vorwärtsrechnung läßt sch dann gemäß (3) und (4) de opt- male Stratege E und de Zustandsfolge Z endeutg bestmmen: z = 0 z + s e = 0 + 00 0,06 = 6 e (z ) = 0,06 3 z + s e = 6 + 00 0,00 = 6 e (z ) = 0,00 (9) 4 z + 3 s 3 e = 3 6 + 00 0,00 = 6 3 e 3 (z 3 ) = 0,00 5 z + 4 s 4 e = 4 6 + 00 (-0,03) = 3 4 e 4 (z 4 ) = -0,03 Damt legt der Verlauf des kostengünstgsten Tangentenpolynoms fest..3 Dskretserung Be der numerschen Behandlung größerer Probleme wrd man sch darauf be- schränken, de Funktonen u nur n enem gewssen Berech zu bestmmen, um her ncht snnvolle Lösungswege, de den Rechenvorgang unnötg aufblähen, auszuschalten. Dese Begrenzung wrd durch de Vorgabe von Maxmal- und Mnmalwerten der Zustandsvarablen errecht: k Mn ke z z k Max =,..., N+ (0) k =,..., p 46
r l R (3),. Zusätzlch kann deser Zustandsberech durch Vorgabe ener Schrttwete z und enes Dskretserungsfaktors l dskretsert werden, so daß nur auf Gtterpunkten enes vorgegebenen Rasters de Funktonsberechnung nach () durchgeführt wrd. Legt man noch de nzahl der Entschedungsmöglchketen auf jeder Stufe j fest, dann snd de Bereche von folgender Form: z j = z j z j p, z j = z jmn + λ z j, λ =0,,, l j, () =,,..., p E j = e j e j q, e j v E j v, v=,,, q. () j =,..., N ve ve Ist dabe r de nzahl von Entschedungsmöglchketen der Komponente e, j j dann gbt es auf der Stufe j nsgesamt R j = π qe v= ve s Entschedungen. Ist de nzahl der Gtterpunkte G j = π pe = E j (4) dann ergbt sch für de Gesamtzahl der Funktonsberechnungen auf ener Stufe G je n j = k= ke j (5) De Beschränkung und Untertelung des Zustandsbereches bedngt, daß der erhaltene Gewnn U nur optmal bezüglch der vorgegebenen Dskretserung st. Je fener dese gewählt wrd, um so dchter wrd man das wahre Optmum errechen. Des bedeutet jedoch ene wesentlche Stegerung des Gesamtrechen- 47
G aufwandes, der folgendermaßen abschätzbar st. Es gbt bedngt durch de nzahl G j der Gtterpunkte auf jeder Stufe j ns- gesamt G = π NE j= j (6) Möglchketen, den Gewnn U zu berechnen. Geht man von der Verenfachung aus, daß de nzahl der Gtterpunkte auf jeder Stufe glech st, dann snd G = G NE j Berechnungen notwendg. Be der dynamschen Optmerung st jedoch dese nzahl wesentlch gernger, da durch de lokale Maxmerung auf jedem Gtterpunkt nach () alle ncht optmalen Entschedungen entfallen. Ist de nzahl der Gtterpunkte bzw. Entschedungsmöglchketen für alle Stufen glech, dann ergbt sch aus (4), (3) bzw. (5) für jede j-te Stufe de nzahl der Gtterpunkte zu G j = (l j +) p, de nzahl der Entschedungsmöglchketen zu R j = (r j ) q, de nzahl der Funktonswertberechnungen zu n j = (l j +) p (r j ) q. Mt l j + = r j = kann schleßlch näherungswese zur bschätzung des Re- chenaufwandes de nzahl n der zu berechnenden w nach () über N Stufen mt n = N l (p+q) (7) angegeben werden. Dabe beträgt de nzahl n _E der de zur Vorwärtsrechnung abgespechert werden müssen lokalen Maxmalwerte u, _E n = N l (8) Snd zum Bespel p=q=3, N=0 und l=0, dann wäre de Gesamtzahl aller möglchen Berechnungen G = (0 3 ) 0 = 0 30 (!); de nzahl der durch de dynamsche Optmerung notwendgen Funktonsberechnungen beträgt nach (7) jedoch nur n = 0 0 6 = 0 7. De Zahl der abgespecherten Funktonswerte st letztlch _E n = 0 0 = 000. Deses Bespel zegt, daß be mehrdmensonalen Problemen dem Bellmanschen Lösungsprnzp, trotz der starken Reduzerung der Funktonswertberechnungen, Grenzen gesetzt snd, da der Rechenaufwand mt der Dmenson etwa exponentell anstegt. Deshalb st be der Formulerung des mathematschen Modells darauf zu achten, daß 48
Z Z a) de Dmensonen des Zustands- und Entschedungs- vektors möglchst klen snd, b) der Dskretserungsfaktor klen und c) de Zelfunkton sowe de Transformaton möglchst enfach snd. Snd der erlaubte Zustandsberech sowe sen Dskretserungsfaktor groß und wrd zusätzlch ene hohe Genaugket gefordert, empfehlt sch folgendes teratve Vorgehen: 0E Man bestmmt zunächst mt grober Dskretserung z j ene vorläufge optmale Zustandsfolge Z 0 = (z, z,..., z ) aus den erlaubten Zustandsmengen 0E, Z 0E,..., Z 0E und N 0E 0E 0E N erhält den Gewnn U 0. Man legt für den nächsten Itera- tonsschrtt de Zustandsmengen so fest, daß um de vorläufg optmale Zu- E standsfolge mt halbem Rasterwert z j E,..., Z E N 0E = / z ene j neue Zustandsmenge Z gebldet werden kann. In desem "Suchschlauch" wrd nun de näch- ste optmale Zustandsfolge Z berechnet. Man fährt so fort, bs en def- nertes bbruchkrterum erfüllt st. Ob das Iteratonsverfahren gegen das gesuchte Optmum konvergert, st allgemen ncht nachwesbar. Man kann jedoch mt großer Wahrschenlchket sagen, daß das gesuchte Optmum nnerhalb des Suchschlauchs legt, wenn en zwetbester Zustandsvektor noch nnerhalb der Grenzen des neuen Zustandsbereches legt. Deshalb st es snnvoll, bem k-ten Iteratonsschrtt berets de Zustandsgrenzen des (k+)-ten Schrttes zu bestmmen und zu überprüfen, ob de "zwetbeste" Zustandsfolge nnerhalb deser Grenzen legt. E, 3. De Gradentenoptmerung 3. Entschedungs- und Zustandsparameter be der Gradentenbearbetung Gewöhnlch wrd de Gradente ncht - we m oben angegebenen Bespel - durch enen Parameter beschreben, sondern durch mehrere, we Gerade und Kres m vorlegenden Fall. Für de nwendung der dynamschen Optmerung muß de Gradentenberechnung so umformulert werden, daß se sch n das Schema des Optmerungsalgorthmus fügt; dabe st für de praktsche Durchführung wchtg, daß Zelfunkton (4) und Transformaton (3) enen möglchst enfachen mathematschen usdruck blden. Denn we berets aus dem Bespel erschtlch, werden dese Funktonen sehr oft berechnet und blden somt den Hauptantel an Rechenzetbedarf. De Gradente des Vorentwurfs wrd deshalb n bschntte untertelt, n de- 49
z e = = nen jewels de Parameterfolge Gerade - Kres oder Kres - Gerade erlaubt st. Dese Parameterfolge entsprcht jewels ener Stufe. Wchtg herbe st, daß de nzahl N der Stufen durch den Optmerungsalgorthmus ncht geändert werden kann. Der Entwurfsngeneur hat her berets de Möglchket, auf ene ausgewogene, fahrdynamsch günstge Lnenführung Enfluß auszuüben. Der Zustand zu jedem bschnttsbegnn st festgelegt durch den dredmensonalen Zustandsvektor TE (r, h, m ) z Z, (9) wobe r de Länge der rektfzerten Trasse [m], h de Höhe der Gradente ü. NN [m], m der nsteg [ ], der Stufenndex (=,..., N) bedeutet. uf jeder Stufe können jetzt Entschedungen gefällt werden, de mehr oder wenger kostengünstg snd TE (r, h, m ) e E. (30) Dese Entschedungen mplzeren de Festlegung ener Parameterfolge, we lecht aus bb. erschtlch st: Im Punkt auf der Stufe st der Zustand festgelegt durch de Koordnaten r, h und den nsteg m. Der Punkt E kann n enem vorgegebenen Raster durch de Entschedungsmöglchketen für r, h und m verändert werden. Ge- sucht st natürlch de optmale Entschedung r, h und m. Dadurch st ndrekt der Tangentenschnttpunkt TS festgelegt, der wederum ene endeutge Bestmmung der Gradentenparameter Gerade - Kres zuläßt. De Transformaton nach (3) st durch Wahl der Größen e und z trval: z + = e. (3) Herdurch st en stetger Übergang von ener Parameterfolge zur nachfolgenden gewährletstet, so daß der Gradentenverlauf glatt st. 50
bb. : Darstellung ener Parameterfolge 3. Zelfunkton und Restrktonen Von der usbldung der Zelfunkton hängt weterhn ganz wesentlch de Güte des Optmerungsergebnsses ab. Her steht man m Zwespalt zwschen möglchst exakter Modellanpassung und wrtschaftlch vertretbarem Rechenaufwand; schleßlch kann sogar de Praktkabltät des Optmerungsverfahrens für große Systeme n Frage gestellt werden. Da de Kosten mnmert werden sollen, muß zunächst entscheden werden, ob ene enhetlche Funkton u zur Kostenberechnung n dem Planungsstadum berets erstellt werden kann oder ob herfür genäherte Größen we zum Bespel Fläche zwschen Gelände und Gradente oder Höhendfferenz - Gradente - Gelände genügen. In zwe Projektstuden, für de deses Optmerungskonzept entworfen wurde, 5
h st en sehr detallertes Kostenmodell (sehe SCHWINTZER, STOECKL und FISCHER (98)) entwckelt worden, so daß zunächst ene rechenaufwendge Zelfunkton unumgänglch schen. Zusätzlch sollten auch noch de Restrktonen berückschtgt werden, de sch aus den Forderungen b) bs d) des ersten bschntts ergeben. Dese Bedngungen führten zu folgender Kostenzelfunkton: KO = NE = k E j= j K j p j. (3) Hern bedeuten (sehe auch bb. 3) k = nzahl der Geländepunkte, de m Berech der Stufe legen, h j = Höhendfferenz Gelände - Gradente, K j = Kostenfaktor, p j = Gewcht. j =,..., k bb. 3: Geometrsche Darstellung zur Kostenfunkton Dese enfache Gestalt der Zelfunkton st dadurch errecht worden, daß de Kostenfunkton durch de Faktoren K j dskretsert wurde. Um für jede Staton 5
den rchtgen Kostenfaktor zu fnden, st en lokales Informatonsmodell erstellt worden. Deses dgtale Modell enthält de Größen - Geländehöhe n Regelabständen h j, - entsprechende Geländequernegung q j, - Gewcht p j, bestehend aus seben Zffern (xxxx.xx). Herbe denen de Vorkommazffern als Gewcht und ermöglchen de Berückschtgung von Zwangspunkten. De Nachkommazffern regeln de Lage und Klassfzerung von Straßen zwschen zwe benachbarten Stützpunkten. Zu jedem Höhenuntersched h j, der zum Bespel n Regelabständen von 00 m bestmmt wrd, kann dann unter zusätzlcher Berückschtgung der Quernegung auf den entsprechenden Kostenfaktor K j n ener Tabelle zugegrffen werden. Dese Tabelle hat zwe Engänge und zwar h n der Schrttwete m und de Quernegung n %-Schrtten. Snd de Nachkommastellen von p j besetzt, so werden noch de Kosten für Kreuzungsbauwerke ener zweten Tabelle entnommen und n bhänggket der Entfernung Kreuzungsbauwerk - Stützpunkt proportonal auf de Kostenfaktoren K j und K j+ vertelt. Damt st es gelungen, n ener enfachen Zelfunkton en komplzertes Kostenmodell zu berückschtgen; glechzetg mplzert dese Funkton sogar noch gewsse Restrktonen we de Berückschtgung von Zwangspunkten durch ndvduelle Steuerung des Gewchtes p j. Mndestparameter werden dadurch steuerbar, daß nur solche Entschedungen zulässg snd, aus denen sch Parameter berechnen lassen, de nur m vorgegebenen Berech legen. En Sprungbefehl m Programm bewrkt, daß für unzulässge Entschedungen kene Funktonswerte gemäß () berechnet werden können. Schleßlch se noch erwähnt, daß zur Manpulaton der Fahrdynamk entschedend de nzahl des Stufenndexes N st. Je mehr Stufen bzw. Parameterfolgen für enen bschntt angesetzt werden, um so besser kann sch de Gradente dem Gelände anpassen, um so unruhger wrd aber de Lnenführung. Weterhn st zu berückschtgen, daß de nzahl N der Stufen nach (7) mt verantwortlch für den Rechenaufwand st. Be numerschen Berechnungen hat sch N 5 bewährt; des bedeutete ene Länge zwschen 0 bs 30 km des zu bearbetenden bschntts. Wetere Detals herzu können dem Benutzerhandbuch TROP (98) entnommen wer- den. 53
bb. 4: blaufplan zur Gradentenoptmerung 54
3.3 En dalogfähges Optmerungsprogramm Nach dem dargelegten mathematschen Konzept wurde en dynamsches Optmerungsprogramm mt dredmensonalen Zustands- und Entschedungsvektoren erstellt. Trotz der für den mathematsch wenger vorgebldeten Nutzer komplzerten Matere st en enfach handzuhabendes, dalogfähges Programm EGO entstanden, dessen rbetsablauf n bbldung 4 entnommen werden kann. Um das Hauptprogramm zur Gradenten-Optmerung (GO) zu starten, müssen vorab ver Datenfles erstellt werden: HOEHEN, KOSTEN, KREUZK und EIN. Der erste Fle enthält de geländebeschrebenden Werte Höhe und Quernegung n Trassenachse und Regelabstände von 00 m sowe das Gewcht enes jeden Stützpunktes, vorbesetzt mt Ens. De Date KOSTEN enthält de Erstellungskosten pro m Höhendfferenz und je laufendem m Trasse n bhänggket von Höhendfferenz und Quernegung. In KREUZK st de Kastentabelle für Kreuzungsbauwerke abgespechert; als Engangsgrößen zur Ermttlung der Kosten snd de Höhendfferenz und Klassfzerung der Straße notwendg. De Date EIN enthält schleßlch de Steuerparameter für das Hauptprogramm; des snd nsbesondere - der Stufenndex N, - de Untergrenze des Zustandsbereches auf jeder Stufe für jede Komponente, - der Dskretserungsfaktor für jede Stufe und jede Komponente, - de Rasterwete, - de Entwurfsgeschwndgket. De Ergebnsse der Optmerung werden an das Programm GRP zur Berechnung der Gradentenparameter übergeben, wo dann zwe Ergebnsdateen erstellt werden, de entweder enen sachgerechten usdruck über das Programm DRUCK ermöglchen oder aber über TROP 5 den n der bbldung 5 dargestellten optmalen Gradentenverlauf erzeugen. 4. Bewertung der Ergebnsse und usblck Das beschrebene Programmsystem EGO wurde n zwe Projektstuden zur Trasserung von Hochgeschwndgketsbahnen angewendet. Des führte je nach Streckenabschntt zu ener Reduzerung der Kosten zwschen 0 % bs 0 %. Da de rene Kostenmnmerung ene Gradentenführung festlegt, de ncht n allen Berechen unter den Geschtspunkten des Fahrkomforts und der Umweltfreundlch- 55
bb. 5: Optmaler Gradentenverlauf 56
ket sowe der systemspezfschen Bauwese de Vorstellungen des Trasserungsngeneurs erfüllte, wurde n enzelnen bschntten de Gradente nochmals überarbetet. Es zegt sch herbe, daß dadurch der Optmerungsgewnn um crca % reduzert wurde. Der verblebende Gewnn dürfte jedoch de heute noch relatv hohen Rechnerkosten gerechtfertgt erschenen lassen. De bwcklung der Studen machte deutlch, daß be der Komplextät und der Velfalt der betelgten Personen ene möglchst "objektve" und automatserte Bearbetung durch den Computer snnvoll st; glechzetg wrd dadurch der Entwurfsngeneur von Routnearbeten entlastet und für de wchtgen ufgaben der Beurtelung und Verbesserung fregestellt. Deshalb st es wchtg, daß de Programmsysteme so erstellt snd, daß der Bearbeter Änderungen schnell und an jeder Stelle enbrngen und damt de uswrkung unmttelbar n anschaulcher Form am Bldschrm bewerten kann. Dese Idealvorstellung enes dalogfähgen Systems konnte be der Gradentenoptmerung n ncht allen rbetsschrtten verwrklcht werden. En wesentlches Hnderns herfür st der be der heutgen Hardware-Konfguraton noch hohe Rechenzetbedarf, der befredgende ntwortzeten selbst be lestungsfähgen Großrechenanlagen kaum erwarten läßt. Man steht herbe m Zelkonflkt zwschen Modellverenfachung und schnellem Ergebns enersets sowe möglchst exaktem Modell mt scherem Optmerungsergebns aber hohem Rechenzetaufwand anderersets. Es wrd aber be der rasanten Entwcklung auf dem Hardware Sektor n naher Zukunft bestmmt ene Verbesserung erzelbar sen, de en nteraktves Optmeren am Bldschrm ohne Verzcht auf strenge mathematsche Modelle ermöglcht. Lteratur Bellmann, R.E. (957): Dynamc Programmng, Prnceton Benutzerhandbuch TROP (98): Trassenoptmerung von Landverkehrswegen, GeoMeDa, München Boesefeld, I. (970): Optmerung ener Gradente m Straßenbau nach der Monte Carlo Methode, Graz Caspary, W., Hester, H., Welsch, W. (980): En nteraktves Programmsystem zur Entwcklung ener optmalen Trasse auf der Grundlage topographscher Karten, llgemene Vermessungsnachrchten, 87, S. 78-9 57
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